Header Page 1 of 148.

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

Lê Thị Hà

PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM FGM CÓ
MẶT CẮT NGANG THAY ĐỔI DƯỚI
TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2016

Footer Page 1 of 148.


Header Page 2 of 148.

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

Lê Thị Hà

PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM FGM CÓ
MẶT CẮT NGANG THAY ĐỔI DƯỚI
TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

hộ tôi trong qúa trình làm luận án.

Nghiên cứu sinh

Lê Thị Hà

Footer Page 3 of 148.

i


Header Page 4 of 148.

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu
và kết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được
ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh

Lê Thị Hà

Footer Page 4 of 148.

ii


Header Page 5 of 148.



7

1.2. Các nghiên cứu về dầm FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3. Kết cấu FGM chịu tải trọng di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4. Tình hình nghiên cứu trong nước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.5. Mục tiêu của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Chương 2. Mô hình dầm FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1. Tính chất vật liệu FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.1. Dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20


31

2.4.1. Vật liệu có cơ tính biến đổi theo chiều cao . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Footer Page 5 of 148.

iii


iv
Header Page 6 of 148.

2.4.2. Vật liệu có cơ tính biến đổi dọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.5. Giả thiết Euler-Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.5.1. Các biểu thức năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.5.2. Phương trình chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37


49

3.3. Ma trận khối lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.3.1. Dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.3.2. Dầm có cơ tính biến đổi dọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.4. Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.4.1. Hàm dạng cho dầm Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.4.2. Ma trận độ cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.4.3. Ma trận khối lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57


66

3.9. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

Chương 4. Kết quả số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Tham số hình học và vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Footer Page 6 of 148.

69
69


v
Header Page 7 of 148.

4.2. Kiểm nghiệm phần tử và chương trình số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

4.2.1. Tần số dao động riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

4.2.2. Đáp ứng động lực học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76


93

4.4.2. Ảnh hưởng của tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

4.4.3. Ảnh hưởng của tham số lực di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

4.4.4. Ảnh hưởng của dạng mặt cắt ngang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

4.5. Dầm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

4.5.1. Tần số dao động riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

4.5.2. Ảnh hưởng của tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

4.5.3. Ảnh hưởng của tham số lực di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103


118

Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

Footer Page 7 of 148.


vi
Header Page 8 of 148.

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt
Các ký hiệu thông thường
a

Gia tốc lực di động

A

Diện tích mặt cắt ngang

A0

Diện tích mặt cắt ngang ở giữa dầm

A11

Độ cứng dọc trục


Vật liệu có cơ tính biến thiên

fD

Tham số độ võng

fv

Tham số vận tốc lực di động

G

Mô-đun trượt hữu hiệu

Gc

Mô-đun trượt của gốm

Gm

Mô-đun trượt của kim loại

h

Chiều cao dầm

h0

Khoảng cách từ mặt trung hòa tới mặt giữa dầm


Chỉ số mũ (tham số vật liệu)

Footer Page 8 of 148.


vii
Header Page 9 of 148.

ne

Số lực di động trên phần tử

nELE

Số lượng phần tử rời rạc dầm

Nf

Số lực di dộng trên dầm

P

Tính chất hiệu dụng của FGM

Pc

Tính chất của gốm

Pm


v

Vận tốc của lực di động

V

Thế năng của dầm

Ve

Thế năng của phần tử

w

Chuyển vị ngang của một điểm trên mặt trung hòa

w0

Độ võng tĩnh tại giữa dầm thuần nhất

Vec-tơ và ma trận
d

Vec-tơ chuyển vị nút phần tử

D
˙
D




viii
Header Page 10 of 148.

Kef

Ma trận độ cứng hữu hiệu

m

Ma trận khối lượng phần tử

M

Ma trận khối lượng tổng thể

Nu

Ma trận các hàm nội suy cho chuyển vị dọc trục

Nw

Ma trận các hàm nội suy cho chuyển vị ngang

Nθ

Ma trận các hàm nội suy cho góc quay

kaa


Chữ cái Hy Lạp
∆T

Tổng thời gian để một lực đi hết chiều dài dầm

∆t

Bước thời gian (trong thuật toán Newmark)

x

Biến dạng dọc trục

γxz

Biến dạng trượt

µ

Tham số tần số

Ω

Tần số lực di động điều hòa

ω10

Tần số dao động cơ bản của dầm thép


mặt trung hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Hình 2.2

Dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi chịu lực di động . 23

Hình 3.1

Chuyển vị nút (a) và lực nút (b) của phần tử . . . . . . 41

Hình 3.2

Sơ đồ thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Hình 4.1

Mối liên hệ giữa độ võng tại giữa dầm và thời gian của

dầm thuần nhất chịu ba lực di động (d = L/4, v = 22.5 m/s) . 78
Hình 4.2

Mối liên hệ giữa độ võng tại giữa dầm và thời gian của

dầm A chịu ba lực di động (α = 0.5, d = L/4) . . . . . . . . . 81
Hình 4.3

Mối liên hệ giữa tham số độ võng và tham số tốc độ

của dầm A chịu ba lực di động (α = 0.5, d = L/4) . . . . . . . 81
Hình 4.4




x
Header Page 12 of 148.

Hình 4.9

Ảnh hưởng của số lực di động tới mối quan hệ giữa

tham số độ võng và tham số tốc độ của dầm A chịu số lực
di động khác nhau (n = 3, α = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . . 85
Hình 4.10 Mối liên hệ giữa tham số độ võng và tham số vật liệu
của dầm FGM có mặt cắt ngang khác nhau chịu ba lực di
động (fv = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Hình 4.11 Ảnh hưởng của tham số tiết diện đến giá trị lớn nhất
của tham số độ võng của dầm có cơ tính biến đổi ngang chịu
ba lực di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Hình 4.12 Mối liên hệ giữa độ võng tại giữa dầm với thời gian
của dầm loại A với các dạng chuyển động khác nhau của lực
di động (α = 0.5, n = 2, fv = 0.25) . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Hình 4.13 Ảnh hưởng của dạng chuyển động tới quan hệ giữa
tham số độ võng và tham số vận tốc của dầm loại A chịu
một lực di động (n = 0.5, α = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . . 90
Hình 4.14 Ảnh hưởng của tham số tiết diện và dạng chuyển động
tới giá trị lớn nhất của tham số độ võng của dầm loại A
(L/h = 20)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Hình 4.15 Ảnh hưởng của dạng chuyển động và tỷ số L/h tới mối

Hình 4.24 Độ võng chuẩn hóa tại giữa nhịp thứ hai của dầm bốn
nhịp chịu lực điều hòa di động (Ω = 20) rad/s . . . . . . . . . 103
Hình 4.25 Ảnh hưởng của tần số lực kích động tới mối quan hệ
giữa độ võng tại giữa nhịp dầm với vị trí lực di động của
dầm bốn nhịp (n = 1, fv = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Hình 4.26 Mối quan hệ giữa tham số độ võng của nhịp thứ nhất
với tham số vận tốc của dầm bốn nhịp chịu lực di động . . . . 104
Hình 4.27 Ảnh hưởng của tỷ số L/h tới độ võng tại giữa nhịp thứ
nhất và nhịp thứ hai của dầm bốn nhịp (n = 1, fv = 0.5, Ω = 0) 105
Hình 4.28 Ảnh hưởng của số nhịp tới độ võng tại giữa nhịp thứ
nhất và nhịp thứ hai của dầm liên tục (n = 1, fv = 1.2, Ω = 0)

106

Hình 4.29 Ảnh hưởng của tăng, giảm tốc tới mối quan hệ giữa
tham số vận tốc và tham số độ võng của dầm liên tục . . . . . 107

Footer Page 13 of 148.


Header Page 14 of 148.

Danh sách bảng
Bảng 1.1

Tính chất của một số vật liệu thành phần của FGM . . 9

Bảng 4.1

Sự hội tụ của tham số tần số cơ bản µ của dầm FGM

So sánh năm tham số tần số đầu tiên của dầm liên tục

có mặt cắt ngang không thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Bảng 4.7

Giá trị cực đại của tham số độ võng và vận tốc tương

ứng của dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao chịu
một lực di động (α = 0, L/h = 20) . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Bảng 4.8

Giá trị cực đại của tham số độ võng và vận tốc tương

ứng của dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc chịu một lực di
động (α = 0, L/h = 20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Bảng 4.9

Tham số tần số cơ bản µ của dầm FGM có cơ tính

biến đổi theo chiều cao với các giá trị khác nhau của tham
số tiết diện α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Footer Page 14 of 148.

xii


xiii
Header Page 15 of 148.

Bảng 4.10 Giá trị lớn nhất của tham số độ võng của dầm FGM

tỷ lệ thể tích của vật liệu thành phần thay đổi liên tục theo một hoặc vài
hướng không gian mong muốn. Do sự thay đổi liên tục của các vật liệu
thành phần, các tính chất hiệu dụng 2 của FGM là hàm liên tục của các
biến không gian, vì thế FGM không có các nhược điểm thường gặp trong
vật liệu composite truyền thống như sự tập trung ứng suất, tách lớp... và
có khả năng ứng dụng trong các môi trường khắc nghiệt như nhiệt độ cao,
tính mài mòn và ăn mòn của a-xít lớn [48, 104]. Trên quan điểm động lực
1
2

Functionally Graded Material - FGM
Effective property

Footer Page 16 of 148.

1


2
Header Page 17 of 148.

học kết cấu, sự kết hợp các ưu điểm về độ bền cao, tỷ trọng thấp của gốm
với độ dai và khả năng chịu va đập tốt của kim loại giúp cho FGM có tiềm
năng như là vật liệu cho kết cấu chịu tải trọng động nói chung và tải trọng
di động nói riêng. Các nghiên cứu gần đây về dầm FGM chịu tải trọng di
động [96–98] chứng tỏ rằng so với dầm kim loại (SUS304) thuần túy, độ
võng và sự phân bố ứng suất động trong mặt cắt ngang của dầm FGM tạo
từ thép và ô-xít nhôm (Al2 O3 ) được cải tiến đáng kể.
Dầm FGM chịu tải trọng di động mới chỉ được quan tâm nghiên cứu
trong thời gian gần đây, khởi đầu từ phân tích về ứng xử động lực học của


một phần tử dầm không chỉ có tốc độ hội tụ nhanh mà còn có nhiều ưu
điểm do chứa đựng các thông tin về hình học và vật liệu dầm. Ý tưởng
này được đặt ra trong phân tích động lực học dầm FGM chịu lực di động
sẽ được thực hiện trong luận án này.

Định hướng nghiên cứu
Phân tích dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi chịu nhiều lực di động
là bài toán phức tạp do các tính chất hiệu dụng của vật liệu và mặt cắt
ngang dầm đều là hàm của các tọa độ không gian. Phương pháp phần tử
hữu hạn được Luận án lựa chọn là công cụ để nghiên cứu bài toán này. Hai
loại dầm FGM phổ biến là dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao 3
và dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc 4 được quan tâm nghiên cứu trong
luận án này. Trên quan điểm phân tích phần tử hữu hạn, để phân tích bài
toán dầm chịu lực di động cần có các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng
và vec-tơ lực nút cho một phần tử đặc trưng. Đặc tính của các ma trận và
vec-tơ này phụ thuộc vào các hàm dạng để nội suy trường chuyển vị của
phần tử dầm. Như vậy, một số định hướng nghiên cứu cụ thể của Luận án
sẽ là:
1. Xây dựng hoặc lựa chọn các hàm dạng thích hợp cho từng loại phần
tử dầm sẽ phát triển trong Luận án.
2. Trên cơ sở các hàm dạng nêu trên sẽ tiến hành thiết lập các biểu thức
cho ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và vec-tơ lực nút cho phần
tử dầm FGM.
3. Lựa chọn thuật toán phân tích động lực học kết cấu thích hợp để phát
triển chương trình tính toán số.
4. Tiến hành phân tích các bài toán cụ thể và đánh giá các kết quả số
thu nhận được.
Các công bố liên quan tới dầm FGM chủ yếu được tiến hành trên cơ sở
lấy mặt giữa

1. Tải trọng di động nghiên cứu trong luận án là lực tập trung di động
và lực điều hòa di động. Như vậy, ảnh hưởng quán tính của tải trọng
di động không được xét tới trong Luận án này.
2. Dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao chịu các lực di động. Bề
rộng mặt cắt ngang dầm được giả thiết thay đổi dọc theo trục dầm.
3. Dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc chịu các lực di động. Bề rộng mặt
cắt ngang dầm cũng được giả thiết thay đổi dọc theo trục dầm.
4. Dầm FGM liên tục có cơ tính biến đổi theo chiều cao. Mặt cắt ngang
của dầm liên tục được giả định là không thay đổi.
Luận án quan tâm nghiên cứu tới đáp ứng động lực học của các dầm
nói trên. Cụ thể, luận án sẽ tính toán độ võng động và sự phân bố của
trường ứng suất trong mặt cắt ngang của dầm chịu các lực di động với
các vận tốc khác nhau. Ảnh hưởng của các tham số vật liệu, ảnh hưởng
của mặt cắt ngang dầm thay đổi tới ứng xử động lực học của dầm sẽ được
khảo sát chi tiết. Thêm vào đó, như đã nói tới ở phần trên, Luận án cũng
quan tâm nghiên cứu ảnh hưởng của sự tăng tốc, giảm tốc cũng như ảnh
hưởng của vị trí của mặt trung hòa tới đáp ứng động lực học của dầm.
6

Continuous beam [47]

Footer Page 19 of 148.


5
Header Page 20 of 148.

Các giả thiết sử dụng trong luận án
Luận án sử dụng các giả thiết:
1. Lực di động luôn tiếp xúc với dầm trong quá trình chuyển động.

Header Page 21 of 148.

Chương 2 thiết lập phương trình chuyển động của dầm trên cơ sở nguyên
lý Hamilton. Phương trình chuyển động của dầm FGM có cơ tính biến đổi
theo chiều cao và cơ tính biết đổi dọc được thiết lập chi tiết cho dầm
Timosheko. Các phương trình cho dầm Euler-Bernouli nhận được như là
trường hợp riêng của dầm Timoshenko.
Chương 3 trình bày chi tiết việc xây dựng các hàm dạng cho dầm
Timoshenko. Biểu thức cho ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và vec-tơ
lực nút của phần tử dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao và dọc
được trình bày chi tiết trong chương này. Công thức phần tử hữu hạn trong
chương này được xây dựng trên cơ sở biểu thức năng lượng biến dạng đàn
hồi, động năng của phần tử dầm và thế năng của các lực di động. Ngoài
ra, chương 3 còn trình bày thuật toán số dùng cho việc giải phương trình
chuyển động dạng rời rạc và kỹ thuật phát triển chương trình tính toán
số. Chi tiết trong việc xử lý số cho trường hợp mặt cắt ngang thay đổi và
thuật toán xác định vec-tơ lực nút được đề cập chi tiết trong chương này.
Các kết quả số nhận được từ các tính toán của Luận án được trình bày
trong Chương 4. Trên cơ sở các kết quả số nhận được, một số nhận xét về
đáp ứng động lực học của dầm sẽ được thảo luận.
Một số nhận xét rút ra từ Luận án được tóm lược trong phần Kết luận.
Phần kết luận cũng kiến nghị một số nghiên cứu tiếp theo của Luận án.

Footer Page 21 of 148.


Header Page 22 of 148.

Chương 1


h
≤z≤ ,
2
2

Vc + Vm = 1

(1.1)

trong đó Vc và Vm tương ứng là tỷ lệ thể tích của gốm và kim loại; z là tọa
độ theo chiều dày dầm; h là chiều cao dầm; số mũ n (không âm) là tham
số vật liệu, xác định sự phân bố của các vật liệu thành phần; các chỉ số
dưới ‘c’ và ‘m’ dùng để chỉ các pha gốm và kim loại. Với sự phân bố các
Footer Page 22 of 148.

7


8
Header Page 23 of 148.

pha vật liệu như phương trình (1.1) và trên cơ sở phương pháp đồng nhất
hóa lựa chọn ta có thể xác định được các tính chất hữu hiệu của FGM
như mô đun đàn hồi, hệ số Poisson... theo các tính chất của vật liệu thành
phần.
Ngoài quy luật hàm số mũ nêu trên, một số tác giả [89, 112] giả định
các tính chất vật liệu thay đổi theo chiều dày dầm theo quy luật số e (cơ
số của logarite tự nhiên) hoặc quy luật sigmoid [18, 49, 74]. Phân tích kết
cấu FGM với tính chất vật liệu thay đổi theo quy luật số e hoặc quy luật
sigmoid tương tự như phân tích kết cấu có tính chất vật liệu thay đổi theo


9
Header Page 24 of 148.

Bảng 1.1: Tính chất của một số vật liệu thành phần của FGM

Gốm

Kim loại

Tên
Vật liệu

Ký hiệu

Mô đun
Young (GP a)

Hệ số
Poisson

Tỷ trọng
(kg/m3 )

Zirconia
Silicon Nitride
Nhôm ôxít

Zi2 O3
Si4 N4


tiếp tới luận án này.

1.2. Các nghiên cứu về dầm FGM
Phần lớn các công trình công bố liên quan tới phân tích dầm FGM không
xét tới ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa. Trong số này, bằng phương
pháp giải tích, Sankar [89] đưa ra nghiệm đàn hồi chính xác cho ứng suất
và chuyển vị của dầm FGM chịu tải trọng ngang hình sin tác động lên
mặt dầm và so sánh kết quả nhận được với kết quả dựa trên cơ sở dầm
Euller-Bernoulli. Ông đã chỉ ra rằng sự tập trung ứng suất ở bề mặt chất
tải của dầm FGM cao hơn trong dầm thuần nhất nếu như lực được tác
dụng trên mặt cứng hơn và ngược lại. Wu và cộng sự [108] sử dụng phương
pháp bán nghịch đảo để tìm lời giải cho phương trình động học của dầm
FGM tựa giản đơn. Nghiệm giải tích cho tần số dao động riêng của dầm
được thiết lập cho trường hợp mô đun đàn hồi và mật độ khối của dầm
có dạng hàm số mũ. Apetre và cộng sự [12] nghiên cứu phản ứng của dầm
sandwich có lõi là FGM với tính chất đàn hồi thay đổi theo chiều dày dưới
tác động của tải trọng va đập có vận tốc thấp. Kết quả nhận được cho
thấy lõi FGM có hiệu quả cao và có thể sử dụng một cách hữu hiệu để
giảm bớt hoặc tránh hoàn toàn các hư hỏng va đập của dầm. Benatta và
cộng sự [19] xây dựng nghiệm giải tích của bài toán uốn dầm có tính tới
Footer Page 24 of 148.


10
Header Page 25 of 148.

ảnh hưởng của oằn. Li [68] đề nghị phương pháp mới để khảo sát các đặc
trưng dao động riêng, độ võng, phân bố ứng suất và sự lan truyền sóng
trong dầm FGM có tính chất vật liệu thay đổi tùy ý theo chiều dày dầm.

Footer Page 25 of 148.