ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ THỊ THANH HUYỀN

BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
KHÔNG THUẦN NHẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ THỊ THANH HUYỀN

BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
KHÔNG THUẦN NHẤT

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Thị Thủy

THÁI NGUYÊN - 2016

rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn
học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2016
Tác giả luận văn

Vũ Thị Thanh Huyền

ii


MỤC LỤC
Lời cam đoan…………………………………………………………………i
Lời cảm ơn……………………………………………………………….......ii
MỤC LỤC……………………………………………….…………………..iii
MỞ ĐẦU……………………………………………………………………..1
Chƣơng 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ…………………………...3
1.1. Phân loại phương trình đạo hàm riêng………………………........3
1.2. Phép biến đổi Fourier trong

………………………………8

1.3. Phép biến đổi Fourier trong

……………………………..13

1.4. Các công thức đơn giản của biến đổi Fourier…………………...19
1.5. Biến đổi Fourier của một vài hàm số đơn giản………………….22
Chƣơng 2. BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN
NHIỆT KHÔNG THUẦN NHẤT…………………………………………29

parabolic là lớp phương trình mô tả các quá trình truyền nhiệt, khuyếch
tán. Các bài toán có chứa phương trình parabolic được nghiên cứu từ rất
lâu và lý thuyết của các phương trình đó đến nay tương đối hoàn chỉnh.
Khi nghiên cứu bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt, nhà toán
học Pháp Poisson đã thiết lập công thức tính nghiệm, hiện nay mang tên
ông và có nhiều ứng dụng. Ngày nay có rất nhiều phương pháp để nghiên
cứu về phương trình đạo hàm riêng tuyến tính nhưng phương pháp biến đổi
Fourier trong nhiều trường hợp tỏ ra rất quan trọng và hiệu quả. Phương
pháp biến đổi Fourier giúp cho việc nghiên cứu các lớp phương trình khác
nhau và thiết lập được công thức biểu diễn nghiệm của các bài toán. Không
những thế phương pháp biến đổi Fourier còn nghiên cứu được tính chất của
các công thức biểu diễn nghiệm đó.
Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn “ Bài toán Cauchy đối
với phương trình truyền nhiệt không thuần nhất ” làm đề tài nghiên
cứu của mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp biến đổi Fourier và áp dụng trong việc giải bài
toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không thuần nhất.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây
- Trình bày tổng quan về phương trình đạo hàm riêng, phép biến đổi Fourier
trong L1 (Rn ), trong L2 (Rn ), và các tính chất của chúng.
- Tìm nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không
thuần nhất với hệ số hằng trong R1 , hệ số hằng trong Rn và hệ số chỉ phụ
thuộc biến thời gian trong Rn .

1



1.1.1

Phân loại phương trình đạo hàm riêng
Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến

Định nghĩa 1.1.1.1. Cho k là một số nguyên dương và U là một tập mở
trong Rn . Một biểu thức có dạng

F x, u (x) , Du (x) , . . . , Dk u (x) = 0,

x∈U

(1.1.1)

được gọi là một phương trình đạo hàm riêng bậc k với
k

F : U × R × Rn × · · · × Rn → R,
là hàm cho trước, và u : U → R là hàm cần tìm.
Phương trình đạo hàm riêng (1.1.1) được gọi là giải được nếu tìm được tất
cả các hàm số u thoả mãn (1.1.1).
Định nghĩa 1.1.1.2. Phương trình đạo hàm riêng (1.1.1) được gọi là tuyến
tính nếu phương trình đó có dạng

aα (x)Dα u = f (x) ,
|α|≤k

trong đó aα (x), f (x) là các hàm số đã cho.
Phương trình tuyến tính này được gọi là thuần nhất nếu f ≡ 0.


uxx + uyy = Φ.
- Với b2 − ac = 0 thì dạng chính tắc của phương trình loại parabolic là
uxx = Φ.
1.1.2

Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp nhiều
biến

Định nghĩa 1.1.2.1. Giả sử u = u (x1 , x2 , ..., xn ) là hàm xác định trong Rn .
Phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp n− biến là phương trình
có dạng

4


n

aij uxi xj + F (x1 , ..., xn , u, ux1 , ..., uxn ) = 0,

(1.1.3)

i,j=1

với aij = aji và là hàm của các biến x1 , ..., xn .
a) Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp
nhiều biến
Ta ký hiệu x = (x1 , x2 , ..., xn ) là điểm trong không gian Ơ – clit n chiều với
các tọa độ là x1 , ..., xn .
Xét ma trận
A(x) = aij (x) .

Dùng phương pháp đổi biến
ξ1 = ξ1 (x1 , ...., xn )

..........................

(1.1.6)

ξn = ξn (x1 , ...., xn ) .
Giả thiết trong một lân cận nào đó của điểm (x1 , x2 , ...., xn ), các hàm

ξr = ξr (x1 , . . . , xn ) ,

r = 1, . . . , n,

liên tục và có các đạo hàm riêng tới cấp hai liên tục với

D (ξ1 , . . . , ξn )
= 0.
D (x1 , . . . , xn )

(1.1.7)

Phép biến đổi (1.1.6) thỏa mãn điều kiện (1.1.7) được gọi là phép biến đổi
không suy diễn. Ta có
n
∂ξr
.
uxj =
uξr
∂x

a
˜rs uξr ξs + Φ (ξ1 , . . . , ξn , u, uξ1 , . . . , uξn ) = 0.

(1.1.9)

r,s=1

trong đó

n

a
˜rs =

aij
i,j=1

∂ξr ∂ξs
=a
˜sr .
∂xj ∂xi

Khi đó, phương trình dạng
n

λi uξi ξi + Φ (ξ1 , . . . , ξn , u, uξ1 , . . . , uξn ) = 0

(1.1.10)

i=1

- Giả thiết tại x0 = x1 0 , ..., xn 0 phương trình (1.1.9) thuộc loại hypecbolic,
thì trong n nghiệm λ của phương trình đặc trưng có n − 1 nghiệm cùng dấu
và một nghiệm khác dấu. Do đó, từ (1.1.10) ta có
n−1

uξ i ξ i + Φ∗ ξ 1 , . . . , ξ n , u, uξ 1 , . . . , uξ n = 0.

uξ n ξ n −

(1.1.13)

i=1

(1.1.13) được gọi là dạng chính tắc của phương trình loại hypecbolic.
- Giả thiết tại x0 = x1 0 , ..., xn 0 phương trình (1.1.9) thuộc loại parabolic
thì trong n nghiệm đối với λ của phương trình đặc trưng có một nghiệm
bằng không, còn n − 1 nghiệm còn lại đều khác không và cùng một dấu,
nên từ (1.1.10) ta có
n−1

uξ i ξ i + Φ∗ ξ 1 , . . . , ξ n , u, uξ 1 , . . . , uξ n = 0.

(1.1.14)

i=1

(1.1.14) được gọi là dạng chính tắc của phương trình loại parabolic.
Như vậy, rõ ràng ta thấy
- Phương trình Laplace uxx +uyy +uzz = ∆u = 0 là phương trình loại eliiptic.
- Phương trình truyền nhiệt ut −a2 (uxx + uyy + uzz ) = 0 thuộc loại parabolic.


Định nghĩa 1.2.1.2. Biến đổi Fourier ngược của hàm số f (x) ký hiệu là
∨

F −1 f (ξ) hoặc f (ξ), là hàm số của biến ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) ∈ Rn và được
tính theo công thức
∨

n

F −1 f (ξ) = f (ξ) = (2π)− 2

ei x,ξ f (x) dx.
Rn

1.2.2

Các tính chất của biến đổi Fourier trong L1 (Rn )

Mệnh đề 1.2.2.1.
Nếu f (x) ∈ L1 (Rn ) thì ∀ξ ∈ Rn ta có

(F f ) (ξ) = F −1 f (−ξ) .
Chứng minh.
Với f (x) ∈ L1 (Rn ), ∀ξ ∈ Rn ta có
n

(F f ) (ξ) = (2π)− 2

e−i x,ξ f (x) dx

Rn

ei −x,ξ f (x) dx. (1.2.3)
Rn

Đặt −x = y ⇒ dx = −dy = d (−y) thay vào (1.2.3) ta được
n

(F f ) (ξ) = (2π)− 2

ei y,ξ f (−y) d (−y) = F −1 f (y) (ξ) = F −1 f (−x) (ξ) .
Rn

Vậy (F f ) (ξ) = F −1 f (−x) (ξ) .
Mệnh đề 1.2.2.3.
Giả sử hàm f (x) ∈ L1 (Rn ) . Khi đó hàm
∧

n

f (ξ) = (2π)− 2

f (x) e−i x,ξ dx,
Rn

∧

là hàm số liên tục, bị chặn và lim f (ξ) = 0.
|ξ|→∞


2
|u| σ

f (u) e−i u,ξ du ≤
Rn

|u|>A
∧

n

⇒ f (ξ) = (2π)− 2

f (u) e−i ξ,u du

Rn
n

e−i x,ξ βg (x)dx
Rn
n

= α(2π)− 2

e−i x,ξ f (x) dx + β(2π)− 2
Rn

e−i x,ξ g (x)dx
Rn

= αF (f ) (ξ) + βF (g) (ξ) .
Vậy

F (αf + βg) (ξ) = αF (f ) (ξ) + βF (g) (ξ) .
Mệnh đề 1.2.2.5. (Biến đổi Fourier của đạo hàm)
Giả sử f (x) và Dxj f thuộc không gian L1 (Rn ) trong đó Dxj f =
Nếu ∃c > 0, ε > 0 sao cho

|f (x)| ≤
thì

c
∀x,
(1 + |x|)n−1+ε
∧

trong đó γ = (γ1 , γ2 , . . . , γn ) là véctơ pháp tuyến đơn vị ngoài tại điểm
x ∈ ∂Ω. Ta có
n

n

e−i x,ξ Dxj f dx = (2π)− 2 lim

F Dxj f (ξ) = (2π)− 2

A→+∞
|x|
Tương tự như đạo hàm cấp 1 ta có công thức biến đổi Fourier đối với các
đạo hàm cấp cao.
Giả sử f (x) ∈ L1 (Rn ), x, ξ ∈ Rn .

11


α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ,

αi ≥ 0 và αi ∈ Z, |α| = α1 + α2 + . . . + αn .

D = (Dx1 , Dx2 , . . . , Dxn ) ,

ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) .

Dα = Dxα11 , Dxα22 , . . . , Dxαnn ,

ξ α = (ξ1α1 , ξ2α2 , . . . , ξnαn ) .

Khi đó

∧

Dα f (ξ) = (iξ)α f (ξ) .
Hệ quả 1.2.2.7.
Nếu xα f (x) ∈ L1 (Rn ) thì ∀ξ ∈ Rn ta có

F (xα f (x)) (ξ) = i|α| Dξα (F f ) (ξ) .
Chứng minh.
∀ξ ∈ Rn , f (x) ∈ L1 (Rn ) ta có

(f ∗ g)(x) =

f (x − y) g (y)dy =
Rn

f (y) g (x − y)dy.
Rn

Trước hết ta chứng minh (f ∗ g)(x) ∈ L1 (Rn ).
12


Thật vậy

|(f ∗ g)(x)| =

f (y) g (x − y)dy ≤
Rn

|f (y)| |g (x − y)|dy.
Rn

Từ đó

|(f ∗ g)(x)|dx ≤
Rn

|f (y)| |g (x − y)|dy

dx

e−i x,ξ dx
Rn

n

= (2π)− 2

f (y) g (x − y)dy
Rn

e−i x,ξ g (x − y) dx.

f (y)dy
Rn

Rn

Đặt x − y = p ⇒ d(x − y) = dp ⇒ dx = dp và x = p + y .
Thay vào (1.2.4) ta được
n

F (f ∗ g) (ξ) = (2π)− 2

Rn

=

−n
(2π) 2
−n


Giả sử f (x) ∈ L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ). Khi đó f và f ∈ L2 (Rn ) và
∧

∨

f

= f
L2 (Rn )

= f
L2 (Rn )
13

L2 (Rn ) .

(1.2.4)


Chứng minh.
∞
∧ ∧
Ta thấy rằng nếu v, ω ∈ L1 (Rn ) thì v, ω ∈ L(Rn ).
Mặt khác

∧

n



e−i x,y v (x)ω (y) dxdy
Rn

− n2

e−i x,y v (x) ω (y) dydx.

= (2π)

Rn Rn

Suy ra
∧

∧

v (x) ω (x) dx =

v (y) ω (y) dy.

Rn

(1.3.1)

Rn

Mà

e

∧

v0 (y) =

n

(2ε) 2

.

Vậy với mỗi ε > 0 từ (1.3.1) suy ra
∧

2

ω (y) e−ε|y| dy =
Rn

1

ω (x) e

n

(2ε) 2

−|x|2
4ε

dx.


e−i x,y g (x) dx

n
2

Rn

∧

n

= (2π)− 2
∧

e−i x,y f (−x) dx = f (y),
Rn

∧ 2

n

suy ra ω = (2π) 2 f . Vì ω là liên tục nên ta có

1

lim

n



2

ω (y) e−ε|y| dy = lim+

lim+

(2ε)

ε→0

ε→0

Rn

ω (x) e

n
2

dx

Rn

∧

⇔

−|x|2
4ε

f (x) g (−x) dx
Rn

=

|f (x)|2 dx,

f (x) f (x) dx =
Rn

Rn

∧ 2

|f |2 dx, tức là

f dy =

Vậy ta chứng minh được
Rn

Rn

∧

f

= f

L2 (Rn ) .

L2 (Rn ) .


Định nghĩa 1.3.1.2. (Định nghĩa biến đổi Fourier trong L2 (Rn ))
1
n
2
n
2
n
Cho một dãy {fk }∞
k=1 ⊂ L (R ) ∩ L (R ) với fk → f trong L (R ) và
∧

∧

f k − fj

= fk − fj
L2 (Rn )

L2 (Rn )

= fk − fj

L2 (Rn ) ,

2
n
khi đó {fk }∞


khi đó

= fk − fj
L2 (Rn )

L2 (Rn ) ,

∞

là một dãy Cauchy trong L2 (Rn ). Do đó dãy này hội tụ
k=1

∨

đến một giới hạn mà được định nghĩa là F −1 f hoặc f .
∨

Định nghĩa f không phụ thuộc vào việc chọn dãy

∨
fk

∞

tương ứng.
k=1

1.3.2



∨

=

f

(1.3.6)
(1.3.7)

∧

.

(1.3.8)

Nhận xét: (1.3.8) chính là công thức nghịch đảo đối với biến đổi Fourier
trong L2 (Rn ).

16


Chứng minh.
Chứng minh công thức (1.3.5).
∧ ∧

f g dy.

f gdx =
Rn


f

∧

∧

∧

+ |αg|2 + f (αg) + f αg

dy.

Rn

Do đó theo Định lý 1.3.1.1.
∧∧

Rn

∧∧

αf g +α f g dy.

αf g + αf g dx =
Rn

Cho α = 1 ta được
∧∧



n
2

e

−i x,y

α

D f (x) dx =

Rn

= (2π)−

(−1)|α|
−

(2π)

Dxα e−i x,y f (x) dx

n
2

Rn

∧


|(f ∗ g) (x)| ≤

1

|f (y)| |g(x − y)| dy =
Rn

1

|f (y)| 2 |f (y)| 2 |g(x − y)| dy.
Rn

Sử dụng bất đẳng thức Holder ta được

|(f ∗ g) (x)|2 ≤
Rn

= f

Rn

L1 (Rn )

Suy ra

(f ∗ g)

|f (y)| |g(x − y)|2 dy

|f (y)| dy

∧∧

Cho k → ∞ từ (1.3.10) ta được (f ∗ g) = (2π) 2 f g .
Công thức (1.3.7) được chứng minh.

18

(1.3.10)


Chứng minh công thức (1.3.8)
Với ∀f ∈ L2 (Rn ), cố định z ∈ Rn ; ε > 0 và đặt gε (x) = ei x,z
theo chứng minh của Định lý 1.3.1.1 ta có
∧
gε (y)

− n2

−i x,y−z −ε|x|

= (2π)

e

2

dx =

Rn



Rn

f (x) e

−|x−z|2
4ε

.

Rn

Theo [5] ta thấy
n

lim+ (2ε)− 2

f (x) e

ε→0

−|x−z|2
4ε

n

dx = (2π) 2 f (z) ,

Rn


Giả sử điều kiện để tồn tại các biến đổi Fourier gặp dưới đây đều thỏa mãn.
Khi đó ta có các công thức sau.
Công thức 1.4.1.
Nếu g (x) ∈ L1 (Rn ), và f (x) = g (αx) , α = 0 thì
∧

(F f ) (ξ) = g

ξ
α

1
.
|α|n

(1.4.1)

Chứng minh.
Giả sử g (x) ∈ L1 (Rn ). Ta có
n

n

F (f ) (ξ) = (2π)− 2

e−i x,ξ f (x)dx = (2π)− 2
Rn

e−i x,ξ g (αx)dx.
Rn

∧

Vậy F (f ) (ξ) = g

ξ
α

1
n
|α|

.

Công thức 1.4.2.
Giả sử g (x) ∈ L1 (Rn ) và f (x) = g

x
α

1
n, α
|α|

= 0. Khi đó

∧

F (f ) (ξ) = g (αξ) .
Chứng minh.
Với g αx ∈ L1 (Rn ) ,


Vậy F (f ) (ξ) = g (αξ) .
Công thức 1.4.3.
Với g (x) ∈ L1 (Rn ) và f (x) = g (−x). Khi đó
∧

∧

f (ξ) = g (−ξ) .

(1.4.3)

Chứng minh. Công thức (1.4.3) là trường hợp đặc biệt của công thức
(1.4.1) tương ứng với α = −1.
∧

f (x) = g (−x) ⇒ F (f ) (ξ) = g

ξ
−1

∧
1
n = g (−ξ) .
|−1|

∧

VậyF (f ) (ξ) = g (−ξ) .
Công thức 1.4.4.