ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------

NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG

MỘT SỐ DẠNG TOÁN QUỸ TÍCH
TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN
PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------

NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG

MỘT SỐ DẠNG TOÁN QUỸ TÍCH
TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN
PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số:60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

1.3. Các hướng giải bài toán quỹ tích thường gặp trong chương trình
phổ thông ........................................................................................................ 5
Chương II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN QUỸ TÍCH TRONG CÁC ĐỀ THI
HỌC SINH GIỎI........................................................................................... 16
2.1. Dạng quỹ tích cơ bản ...................................................................... 16
2.1.1 Các bài toán sử dụng công cụ hình học tổng hợp ....................... 16
2.1.2. Các bài toán sử dụng phép biến hình ......................................... 31
2.1.3. Các bài toán sử dụng công cụ hình học giải tích ....................... 47
2.1.4. Các bài toán sử dụng công cụ đại số……………...................... 56
2.2. Dạng quỹ tích không cơ bản …………….. .................................... 69
Kết luận ……………………………………………………….. ................... 77
Tài liệu tham khảo ……………………………………………. .................. 78


1
PHẦN MỞ ĐẦU

Trong chương trình môn toán ở phổ thông, các bài toán quỹ tích đóng
một vai trò đặc biệt quan trọng trong việc giúp học sinh hình thành, phát triển
năng lực tư duy và giúp học sinh được tiếp cận với các đối tượng toán học,
các mối quan hệ toán học trong quá trình vận động biến đổi của chúng từ đó
nhận biết được các yếu tố mang tính quy luật. Tuy nhiên đây cũng là một nội
dung khó đối với cả người dạy và người học nên trong thực tế việc nghiên
cứu sâu về bài toán quỹ tích thường chỉ được đặt ra đối với học sinh giỏi.
Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi và tích lũy thêm kinh nghiệm để
phục vụ ngay chính công tác giảng dạy nội dung hình học trong ở trường phổ
thông chúng tôi chọn đề tài “Một số dạng toán quỹ tích trong đề thi học
sinh giỏi toán phổ thông” với mục đích có được một hệ thống bài tập để giúp
học sinh khá giỏi khi đứng trước một bài toán quỹ tích, có thể nhanh chóng
xác định đúng công cụ, cách tiếp cận để giải quyết đưa ra được lời giải cho

- Phần đảo: Chứng minh F  A : Để chứng minh F  A , ta lấy một
phần tử M’ bất kỳ thuộc F, ta phải chứng minh M  F kéo theo M  A . Chứng
minh được điều này là đảm bảo tính chất không thừa của quỹ tích, mọi phần
tử của F đều là của A.
Sau khi chứng minh được hai phần trên, ta kết luận: A  F .


3
Trong lý thuyết tập hợp, người ta đã chứng minh: Thuận  Phản đảo;
Đảo  Phản. Vì vậy ngoài cặp mệnh đề Thuận và Đảo, ta còn có các cặp
mệnh đề khác tương đương. Sơ đồ các cặp mệnh có thể dùng để chứng minh
một bài toán quỹ tích là:
Cặp Thuận và Đảo

Cặp Đảo và Phản đảo

a) Thuận: M  A  M  F ;

a) Đảo: M  F  M  A;

b) Đảo: M  F  M  A.

b) Phản đảo: M  F  M  A.

Cặp Phản đảo và Phản

Cặp Thuận và Phản:

a) Phản đảo: M  F  M  A;



Quỹ tích cơ bản
trong hình học
phẳng

Quỹ tích cơ bản
trong hình học
không gian

Đường tròn tâm O

Mặt cầu tâm O

bán kính R

bán kính R


4

A và B
2

Góc 

Hai cung chứa góc

nhau qua A, B

A và B

ME  Ox

7

xOˆ y

MF  Oy
ME  MF

điểm A,B

2

thẳng d
Độ dài h

1
2k 2  AB2
2

Apôlôniút

MH  d
MH  h

Là mặt cầu

(I, )




nhau qua A, B

kính IJ

2

(k  0)

dựng đối xứng

Đường tròn đường

Là đường tròn
A và B

chứa góc 

Đường tròn

A và B
4

 dựng đối xứng

AMˆ B  

Hai chỏm cầu

song song cách

trung điểm AB)

Mặt phẳng  d tại
H sao cho
k2
IH 
2AB

1.2.2. Các quỹ tích không cơ bản
STT

Yếu tố cố
định

Mối liên hệ giữa yếu
tố quỹ tích với yếu
tố cố định

Quỹ tích cơ bản
trong hình học
phẳng

F1, F2
1

F1F2 = 2c

MF1+MF2 = 2a
(a > c)


Quỹ tích là

Quỹ tích là mặt

Parabol

Paraboloid

(c >0)
F, (Δ)
3
p

1.3. Các hướng giải bài toán quỹ tích thường gặp trong chương
trình phổ thông
1.3.1. Sử dụng biểu thức hình học tổng hợp:
Trong chương trình phổ thông, học sinh thường giải bài toán quỹ tích
theo phương pháp tổng hợp. Sau khi dự đoán sẽ chứng minh thuận, đảo sau
đó kết luận.


6
Ví dụ 1.1.([16])
Cho đường tròn đường kính BC cố định lấy điểm M di động trên đường
tròn. Trên tia đối của tia BM lấy điểm D sao cho MD = DB. Tìm quỹ tích của
điểm D.
Lời giải

D'


∆ CMD cân → D
(MD = MC)
Nên ta thấy quỹ tích của điểm D có khả năng là cung chứa góc 45 trên
đường kính BC.
Chứng minh:
- Phần thuận
Nối CM với CD
Xét ∆ CMD
̂ = 90° (góc nội tiếp chắn cung tròn đường kính BC)
BMC
̂ = 90°,
→ DMC

MD = MC (gt)

̂ = 45°
→ MDC
→ ∆ CDM vuông cân tại M
Khi M di động trên đường tròn đường kính BC cố định nên ta luôn có
̂ = 90° nên ta có ∆ CDM vuông cân tại M → 𝐵𝐷𝐶
̂ = 45o không đổi.
BMC
Vậy khi M chuyển động trên đường tròn đường kính BC và MD = MC
thì D cũng chuyển động theo và luôn nhìn BC dưới một góc 45 không đổi.
Hay D nằm trên cung chứa góc 45 vẽ trên cung BC.
Giới hạn: kẻ tiếp tuyến với đường tròn cho trước tại B có cung chứa
góc 45 vẽ trên cạnh BC tại D’.
Khi M → B thì D → D’ lúc này thì tia BD cũng gần tiếp tuyến BD’.



9
- Bước 2: Tìm quỹ tích M’;
- Bước 3: Tìm quỹ tích M, thường được suy từ quỹ tích của M’ qua
phép biến hình.
Chú ý rằng nếu quỹ tích trung gian M’ mà phức tạp (không phải quỹ
tích cơ bản thì cần chứng minh Thuận và Đảo của M’). Quỹ tích M không cần
chứng minh Thuận và Đảo.
b) Ví dụ 1.2. (Đề thi HSG toàn quốc, bảng A, tháng 3 năm 2002)
Trong mặt phẳng cho tam giác ABC. Một đường tròn (O) thay đổi đi
qua A, không tiếp xúc với các đường thẳng AB, AC và có tâm O chuyển động
trên đường thẳng BC. Đường tròn này cắt lại các đường AB và AC lần lượt ở
M và N. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác AMN.
Lời giải

Hình 1.2
̂ ≠ 90o vì nếu A
̂ = 90o thì H = A.
Ta thấy A


10
* Lời giải 1:
Gọi D là điểm xuyên tâm - đối của điểm A trên đường tròn (O) Thế thì
M và N theo thứ tự chính là các hình chiếu (vuông góc) của D trên (AB) và
(AC). Do đó trực tâm H của tam giác AMN là điểm đối xứng với D qua trung
điểm của MN. Gọi M' và N' trên (AC) và (AB). Dễ thấy rằng tam giác AHM'
đồng dạng nghịch với tam giác ADM.
Từ đó ta được: (AH, AM = -(AD, AM) (modπ).
AH
AD

E = PE ⊥ AC, F = QF ⊥ AB và P = DB(A), Q = DC(A). Đường thẳng (PQ)
cũng được suy ra từ a = (BC) qua phép vị tự V(A, 2).
* Lời giải 2:
Gọi P = DB(A), Q = DC(A); E = PF ⊥ AC, F = QF ⊥ AB.
Thế thì: O ∈ (BC) ⇔ D ∈ (PQ)

(1)

Ta có: MH cùng hướng và bằng DN, DN song song với PE, MD cùng
hướng và bằng HN, HN song song với QF.


11
̅̅̅̅̅
𝐹𝑀

̅̅̅̅
𝑄𝐷

̅̅̅̅̅
𝐷𝑁

̅̅̅̅̅
𝑀𝐻

Suy ra: D ∈ (PQ) ⇔ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅
𝐹𝑃
𝑄𝑃
𝑃𝐸
𝑃𝐸

hết ta tìm quỹ tích trung điểm N của AB.


12

B

M

N

I

F
D

E
O

P

J

C

A

Hình 1.3
Trong ∆APM vuông ta có
1

1

IN = 𝑝 = √2R2 − 𝑑 2 và do đó 4IN2 = 2R2 – OP2
2


13
1

hay là R2 = 2IN 2 + OP 2 = ON 2 + PN 2 . Từ đó ON < R nghĩa là N
2

nằm bên trong đường tròn (O; R). Bây giờ qua N kẻ dây cung AB của đường
tròn đã cho (O; R) vuông góc với ON ở điểm N. Thế thì N là trung điểm của
AB và ta được:
1

PA2 + PB 2 = 2PN 2 + AB 2
2

1
1
= 2(R2 − ON 2 ) + AB 2 = 2(OA2 − ON 2 ) + AB 2
2
2
1

1

1

hoặc

 y  g ( m) ( 2 )

 x  h(m, x)

 y  g (m, x)


14
2. Khử m trong hệ trên suy ra (C): y  f (x) .
3. Giới hạn và kết luận quỹ tích: Từ điều kiện tồn tại điểm M, suy ra
điều kiện của m và điều kiện của x (nhờ (1)), chẳng hạn x ∈ D.
 y  f ( x)
x  D

Vậy quỹ tích của điểm M là đường (C) : 
(1) được gọi là phương trình hoành độ;
(2) được gọi là phương trình tung độ.
Các trường hợp đặc biệt:

x  a
* Nếu tọa độ của điểm M có dạng 
(a là hằng số)
 y  g (m)

(1' )
( 2)

Thì (1’) là phương trình quỹ tích, (2) là điều kiện giới hạn.

x2

(1)

Gọi h( x)  (1  k ) x 2  (3  2k ) x  1. Đường thẳng (d) cắt (H) tại hai điểm
phân biệt A và b khi phương trình hoành độ có hai nghiệm phân biệt hay
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -2. Điều ấy xảy ra khi và chỉ
khi:
1  k  0
k  1
a  0



2
2
 x  0  (3  2k )  4(1  k )  0  4(k  1)  1  0  k  1 (2)
h(2)  0
4(1  k )  2(3  2k )  1  0
 1  0




2. Gọi x1, x2, xI theo thứ tự là hoành độ các điểm A, B, I.
Theo đính lý Vi-ét: x1  x2 

2k  3
.
1 k



16
Chương II
MỘT SỐ DẠNG TOÁN QUỸ TÍCH
TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

2.1. Các bài toán quỹ tích cơ bản
2.1.1. Các bài toán sử dụng công cụ hình học tổng hợp
Bài toán 2.1.1.1: (Bài 194 (T5/269)/[8])
Cho đường tròn (O; R) với hai đường kính vuông góc AB và CD. Lấy
điểm P trên đường tròn đó. Trên tia OP lấy điểm M sao cho OM bằng tổng
các khoảng cách từ P đến các đường thẳng AB và CD. Tìm quỹ tích các điểm
M khi P chuyển động trên đường tròn.
Lời giải
M

A
P

H

N

D

O

B
Hình 2.1.1.1


tiếp

̂ + AOC
̂ = 180o , 𝐴𝑀𝐶
̂ = 90𝑜 .
⇒ AMC
Vậy M thuộc nửa đường tròn đường kính AC nằm ngoài đường tròn
(O ; R). Lập luận tương tự kết luận được: khi P chạy trên đường tròn (O ; R)
thì M chạy trên các nửa đường tròn đường kính AC, CB, BD, DA nằm ngoài
đường tròn (O ; R).
* Phần đảo:
Giả sử M thuộc các nửa đường tròn nói trong kết luận của phần thuận.
Không mất tính tổng quát, coi M thuộc nửa đường tròn đường kính AC nằm
ngoài đường tròn (O ; R) Tia OM cắt cung nhỏ AC của đường tròn (O) tại P.
Xác định các điểm H, K, N như trên.
̂ = OAC
̂ = 45𝑜 suy ra ∆ NCM vuông cân tại N nên MN = CN.
Từ OMC
Vậy OM = ON = OM + MN = P + CN = PH + PK.
* Kết luận:
Quỹ tích các điểm M thỏa mãn điều kiện đề bài là các nửa đường tròn
đường kính AC, CB, BD, DA nằm ngoài đường tròn (O ; R). (Hình 2.1.1.1).


18
Bài toán 2.1.1.2: (Bài 196 (T5/270)/[8])
Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ vuông góc với nhau tại điểm A. Trên
yy’ lấy điểm B (khác A) cố định. Với mỗi điểm N trên xx’ lấy điểm M trên 𝑦𝑦’
sao cho BM = AN. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN khi N di động trên

α

̂= .
điểm I nằm trên tia Et với gốc E và tEy
2

* Phần đảo:
Lấy điểm I (khác E) thuộc tia Et. Lấy điểm P đối xứng với điểm A qua
điểm I. Dựng hình bình hành AMPN sao cho N ∈ Ax và M ∈ Ay thì I là trung
điểm của MN.
̂ =
Hơn nữa, EI là đường trung bình của tam giác ABP nên PBy
̂ = α mà 𝑃𝑀𝑦
̂ = 𝛼 nên M phải thuộc tia By và BM = PM = AN.
tEy
2
* Kết luận:
Quỹ tích trung điểm I của đoạn MN thỏa mãn cho N ∈ Ax và M ∈ Ay,
̂

̂ = xAy = α.
AN = BM là tia Et có gốc E là trung điểm của AB và tEy
2

2

2) Lập luận tương tự khi cho N chạy trên xx’ và M chạy trên yy’ với
AN = BM thì quỹ tích trung điểm I của MN là hai đường thẳng t’t và vv’
̂ = α (Hình 2.1.1.2).
vuông góc với nhau tại trung điểm E của AB và tEy


⇒ tứ giác AIOD nội tiếp

2

⇒PA.PD = PI.PO = OP(OP-OI) = OP2 - OP.OI.
Mặt khác: PA.PD =

PP/(O) = OP

Suy ra: OP.OI = R21 ⇒ OP =

2

R21
OI

=

- 𝑅2

R21
R2

= hằng số.

Vậy P chuyển động trên đường tròn tâm O, bán kính

R21
R2


Lời giải

Hình 2.1.1.4

= 𝑘 (𝑘 dương, cho trước).