ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN THỊ GIANG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN THỊ GIANG

Chuyên ngành: Lý luận và Phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS BÙI THỊ HẠNH LÂM

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn



Nguyễn Thị Giang

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

ii

http://www.lrc.tnu.edu.vn


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii
MỤC LỤC ..........................................................................................................iii
DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN ..................... iv
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
1. Lí do chọn đề tài .............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................. 3
................................................................. 3
6. Giả thuyết khoa học ......................................................................................... 3
7. Cấu trúc của đề tài ........................................................................................... 3
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................ 4
1.1. Về hoạt động ................................................................................................. 4
1.1.1. Sơ lƣợc về quan điểm hoạt động ............................................................... 4
1.1.2. Vai trò của hoạt động trong học tập .......................................................... 4
1.2. Phân bậc hoạt động ....................................................................................... 6
1.3. Những căn cứ để phân bậc hoạt động........................................................... 6
1.3.1. Căn cứ vào độ phức tạp của PT và BPT mũ, lôgarit ................................. 6
1.3.2. Căn cứ vào sự phức hợp của hoạt động ..................................................... 8

GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ
LÔGARIT THÔNG QUA VIỆC XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP
CÓ PHÂN BẬC....................................................................................... 33

2.1. Trang bị cho HS những kiến thức, KN cơ bản về phƣơng trình và bất
phƣơng trình mũ, lôgarit........................................................................ 33
2.1.1. Rèn luyện KN tìm điều kiện xác định của PT và BPT mũ, lôgarit ......... 33
2.1.2. Rèn luyện KN biến đổi, rút gọn biểu thức lũy thừa, mũ và lôgarit ......... 40
2.2. Xây dựng hệ thống bài tập có phân bậc để rèn luyện cho HS KN giải
PT và BPT mũ, lôgarit ........................................................................... 48
2.2.1. Rèn luyện KN giải PT mũ và PT lôgarit ................................................. 49
2.2.2. Rèn luyện KN giải BPT mũ và BPT lôgarit ............................................ 64
2.3. Giúp học sinh phát hiện và sửa chữa các sai lầm thƣờng gặp trong
giải PT và BPT mũ, lôgarit .................................................................... 75
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

iv

http://www.lrc.tnu.edu.vn


2.4. Kết luận chƣơng 2....................................................................................... 89
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM....................................................... 90
3.1. Mục đích thực nghiệm ................................................................................ 90
3.2. Đối tƣợng thực nghiệm ............................................................................... 90
3.3. Nội dung thực nghiệm ................................................................................ 90
3.4. Tổ chức thực nghiệm .................................................................................. 91
3.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm sƣ phạm ..................................................... 91
3.5.1. Đánh giá định tính ................................................................................... 91
3.5.2. Đánh giá về mặt định lƣợng .................................................................... 92


Giáo viên

HĐ

Hoạt động

HS

Học sinh

KN

Kỹ năng

PPDH

Phƣơng pháp dạy học

PT

Phƣơng trình

TXĐ

Tập xác định

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

iv

2

http://www.lrc.tnu.edu.vn


4. Phƣơng pháp nghiên cứu
-

.
- Phương pháp quan sát, điều tra: Tìm hiểu thực tế dạy học nội dung PT
và BPT

.

, GV
.
-

:
ƣ

5

.

u
-

.



http://www.lrc.tnu.edu.vn


Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Về hoạt động
1.1.1. Sơ lược về quan điểm hoạt động
Jean Piaget (1896 - 1980) - nhà tâm lí học, nhà sinh học, ngƣời Thụy Sĩ
đã nghiên cứu và đi đến kết luận: tri thức không phải truyền thụ từ ngƣời biết
tới ngƣời không biết, mà tri thức đƣợc chính cá thể xây dựng, thông qua HĐ.
Những năm 1925 - 1940, LS. Vygotsky (1896 - 1934) - nhà tâm lí học
Xô Viết, đã đề ra những luận điểm cơ bản để xây dựng nền tâm lí học kiểu mới
- tâm lí học macxit, phủ nhận tâm lí học duy tâm thần bí. Xuất phát từ những
luận điểm của Vygotsky, A.N Leonchiev (1893 - 1979) - nhà tâm lí học macxit
kiệt xuất cùng các cộng sự, đã nghiên cứu đi đến kết luận quan trọng là “HĐ là
bản thể của tâm lí”, nghĩa là HĐ có đối tƣợng của con ngƣời chính là nơi sản
sinh ra tâm lí con ngƣời. Bằng HĐ và thông qua HĐ, mỗi ngƣời tự sinh thành
ra mình, tạo dựng và phát triển ý thức của mình. Cống hiến to lớn của
Leonchiev là chỉ ra bản chất của tâm lí, với các luận điểm sau:
- HĐ là bản thể của tâm lí.
- Tâm lí, ý thức là sản phẩm của HĐ và làm khâu trung gian để con
ngƣời tác động vào đối tƣợng; các hiện tƣợng tâm lí đều có bản chất HĐ.
- Quan hệ giữa tâm lí và HĐ là quan hệ giữa một bên là điều kiện, mục
đích, động cơ và một bên là thao tác, hành động, HĐ [8].
1.1.2. Vai trò của hoạt động trong học tập
Về vai trò của HĐ trong học tập trong quá trình nhận thức, tâm lí học
hiện đại cho rằng nhân cách của HS đƣợc hình thành và phát triển thông qua
các HĐ chủ động, có ý thức. Ngay từ xa xƣa, trong dân gian đã có câu “Trăm
hay không bằng tay quen”. Nhiều danh nhân cũng đã từng nói những câu bất hủ

Những HĐ nhƣ: phát hiện và sửa chữa sai lầm cho HS, vận dụng toán học vào
thực tiễn là những HĐ rất đáng lƣu ý.
Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những HĐ nhất định, đó là các HĐ
đƣợc thực hiện trong quá trình hình thành hoặc vận dụng các nội dung đó.
Nội dung dạy học môn Toán thƣờng liên quan đến các dạng HĐ sau:
- Nhận dạng và thể hiện một khái niệm, một phƣơng pháp, một quy tắc,
một định lí.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

5

http://www.lrc.tnu.edu.vn


- Những HĐ toán học phức hợp: chứng minh, định nghĩa, giải bài toán
bằng cách lập PT, giải toán dựng hình, giải toán quỹ tích...
- Những HĐ trí tuệ phổ biến trong toán học: lật ngƣợc vấn đề; xét tính
giải đƣợc (có nghiệm, nghiệm duy nhất), phân chia trƣờng hợp...
- Những HĐ trí tuệ chung: phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tƣơng tự,
trừu tƣợng hoá, khái quát hoá...
- Những HĐ ngôn ngữ: khi yêu cầu HS phát biểu, giải thích một định
nghĩa, trình bày lời giải một bài toán...
1.2. Phân bậc hoạt động
Phân bậc HĐ có thể hiểu là việc tách các HĐ thành các mức độ theo các
tiêu chí riêng đặt ra.
Việc phân bậc HĐ có thể giúp HS hình thành kiến thức, rèn luyện KN,
phát triển tƣ duy hay bồi dƣỡng phẩm chất đạo đức.
Tùy đối tƣợng HS và tùy từng mục đích dạy học mà khoảng cách giữa
các bậc và tiêu chí phân bậc có thể khác nhau. Nếu HS càng kém thì việc phân
bậc càng phải “mịn”.



+ Ở PT (1), HS dễ dàng phát hiện ra cách đặt ẩn phụ và sau khi đặt ẩn
phụ sẽ dẫn đến PT bậc hai đối với ẩn phụ, hệ số nguyên..
+ Ở PT (2), HS chỉ nhìn thấy việc đặt ẩn phụ nếu biết tách

log 3 5 x log 3 5 log 3 x . Sau khi đặt ẩn phụ sẽ dẫn đến PT bậc hai đối với ẩn
phụ, các hệ số của PT bậc hai lúc này lại chứa biểu thức lôgarit, tinh toán sẽ
phức tạp hơn.
+ Ở PT (3) HS phải sử dụng cách đặt ẩn phụ nhƣng vẫn còn ẩn x ở hệ
số. Mặc dù sau khi đặt ẩn phụ dẫn đến PT bậc hai đối với ẩn phụ nhƣng hệ số
chứa x nên HS phải biến đổi về PT tích mới có thể giải đƣợc hoặc giải PT bậc
hai đối với ẩn phụ theo tham số x .
Ví dụ 1.2: Giải các PT sau:
a) 27 x 12 x

2.8 x

b) 3(3 2 2) x

0 (4)

2) 2 x

(3

2(1 2 2) x

0 (5)


2) 2 x

2(1

2) x (3

(ab) f ( x)

bmf ( x)

2) x

(3

2)(1

2) ta đƣợc PT

0 , khi đó PT (4) trở thành

0. Tƣơng tự nhƣ PT (3) ta cũng có

thuật giải.
Nhƣ vậy, việc giải PT (5) đòi hỏi HS phải có sự nỗ lực nhất định so với
PT (4). Do vậy PT (5) ở mức độ cao hơn so với PT (4).
Tóm lại, độ phức tạp của các PT và BPT mũ, lôgarit là một căn cứ quan
trọng để phân bậc HĐ giải PT và BPT mũ, lôgarit. Dựa vào căn cứ này GV có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

7


2 x 1 8 0 (2)

2 x 5 0 (3)

Trong ví dụ này ta thấy PT (3) ở mức độ cao hơn PT (2) và PT (2) ở mức
độ cao hơn PT (1) vì:
- PT (1) HS có thể dễ dàng giải đƣợc bằng cách đƣa cả hai vế của PT về
cùng cơ số 2:

1
2

x2 2

24 3x

2
22 x

2
x2
x
x

24 3x

x 2 4 3x
3x 2 0
1


2

x 1.

- Đối với PT (3), HS vẫn sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ để giải nhƣng
sau khi đƣa về PT với ẩn phụ thì PT này vẫn chứa ẩn x .

3x , t

Đặt t

0 , PT (3) trở thành: t 2

2( x 2).t 2 x 5 0

Ta coi x nhƣ một tham số của PT, khi đó tìm đƣợc các nghiệm của PT
ẩn phụ là:

t
t

+ Với t

1 0 nên không thỏa mãn.

+ Với t

1
5 2x

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

9

http://www.lrc.tnu.edu.vn


log 22 1 x 6log 2 x 8 0
log 22 x 6log 2 x 8 0
Đặt t

(1)

log 2 x , khi đó BPT (1) trở thành: t 2 6t 8 0

Với 2 t

4 suy ra, 2 log 2 x 4

Vậy nghiệm của BPT là 4

4

2 t

4

x 16 .

x 16 .

3

x 27 .

Tập các nghiệm nguyên của BPT nằm trong khoảng

11 21
;
2 2

là:

S {6,7,8,9,10}
Nhƣ vậy, câu a và b HS đều phải đặt ẩn phụ, đƣa về PT và BPT đối với
ẩn phụ, ngoài ra ở câu b việc giải xong PT ẩn x chƣa phải là mục đích cuối
cùng, HS còn phải tìm những nghiệm nguyên thuộc một khoảng đã cho (tích
hợp cả kiến thức về số học), nên HĐ ở câu b là phức hợp hơn HĐ trong câu a,
do đó câu b ở mức độ cao hơn câu a.
Tóm lại, sự phức hợp của HĐ giải PT và BPT mũ, lôgarit là một căn cứ
quan trọng để phân bậc HĐ giải PT và BPT mũ, lôgarit. Dựa vào căn cứ phân
bậc này GV có thể đƣa ra những bài tập phù hợp với từng đối tƣợng HS trong
từng giai đoạn của quá trình dạy học, tránh trƣờng hợp mà GV đƣa ra những
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

10

http://www.lrc.tnu.edu.vn


bài tập mà HĐ giải các bài tập đó quá phức tạp dễ làm cho HS thấy lúng túng,


1

m 1 0

2.

b) Tìm m để BPT nghiệm đúng với mọi x .
Ví dụ này tƣơng tự nhƣ ví dụ 1.5, câu b cũng ở mức độ cao hơn câu a vì:
trong câu b HS phải là tiến hành giải một BPT không phải với giá trị cụ thể của
tham số m (nhƣ ở câu a), tức là HĐ ở mức độ khái quát hơn, đòi hỏi sử dụng
tích hợp nhiều kiến thức để giải.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

11

http://www.lrc.tnu.edu.vn


Nhƣ vậy, câu a trong cả hai ví dụ 1.5 và 1.6 HS chỉ đơn giản là thay giá
trị cụ thể của tham số m để giải PT và BPT nhƣng trong câu b đối với cả hai ví
dụ HS phải giải cho trƣờng hợp tổng quát với m là một tham số bất kỳ, nên
HĐ trong câu b đòi hỏi HS phải có năng lực giải toán tốt, do đó câu b có mức
độ cao hơn câu a.
Tóm lại, bình diện của nhận thức cũng là một căn cứ quan trọng để phân
bậc HĐ giải PT và BPT mũ, lôgarit. Dựa vào căn cứ này GV cũng có thể xây
dựng đƣợc những bài tập mang tính khái quát vừa sức đối với HS để đảm bảo
tính lôgic của nhận thức, đảm bảo phù hợp với sự phát triển tƣ duy của HS,
tránh tình trạng đƣa ra những bài tập mang tính khái quát quá cao (thiếu yếu tố
dẫn dắt), làm cho HS cảm thấy khó khăn trong nhận thức, do vậy sẽ có những

HĐ giải PT ở câu b là phức tạp hơn, tuy nhiên nếu HS đã giải đƣợc câu a thì có
thể định hƣớng đƣợc ngay hƣớng giải câu b và khi giải câu b HS sẽ định hƣớng
đƣợc lời giải cho câu c, đảm bảo lời giải câu c sẽ đầy đủ vì sau khi giải và biện
luận số nghiệm của PT HS sẽ biết đƣợc trƣờng hợp nào PT có nghiệm, trƣờng
hợp nào PT vô nghiệm.
- Bậc cao: Ta yêu cầu HS tiến hành HĐ giải một câu c mà không thông
qua hai câu a và câu b sẽ làm cho HS thấy lúng túng, có thể gặp khó khăn khi
thực hiện HĐ giải.
Ví dụ 1.8: Giải các PT sau:
a) log 2

x

log3 (3 2 x) (1)

c) log2 log3 log4 x

b) log2 log3 x

log3 log2 x (2)

log4 log3 log2 x (3)

Trong ví dụ này, phƣơng pháp giải các PT là nhƣ nhau, tuy nhiên với PT
(1) việc định hƣớng giải cũng nhƣ quá trình tiến hành HĐ giải PT này là đơn
giản nhất, nếu HS giải đƣợc PT (1) thì dễ dàng giải đƣợc các PT tiếp theo. Đối
với ví dụ này ta phân thành các bậc nhƣ sau:
- Bậc thấp: Bài có đầy đủ cả ba câu a, b, c.
- Bậc cao: Bài toán gồm hai câu b và câu c.
- Bậc cao hơn: bài toán gồm một câu c.

Phân bậc HĐ trong rèn luyện KN giải toán có một số vai trò sau:
- Phân bậc HĐ để giúp HS hình thành, củng cố kiến thức: Chẳng hạn
sau khi học song các quy tắc biến đổi của lôgarit GV có thể cho HS thực hiện
ví dụ sau:
Ví dụ 1.9: Cho a, b là các số dƣơng. Tìm x biết: log3 x
Ta có, log3 x

4log3 a 7log3 b

4log3 a 7log3 b

log3 x log3 a 4 log3 b7
log3 x log3 (a 4 .b7 )

x a 4 .b7

Nhƣ vậy, để thực hiện đƣợc ví dụ trên HS cần nhớ đƣợc các quy tắc biến
đổi nhƣ: log a b

log a b và loga bc loga b loga c , vận dụng để giải

quyết bài toán.
Ví dụ 1.10: Cho a, b là các số dƣơng. Tìm x biết:

log5

1
x

log

5
log

5

1

a log 25 b

2

1
log 5 b
2

2log 5 a

log5 x log5 a

log5 x log5

2

log 5

1
b2

1
(a 2 .b 2 )


5

x
x

2

x

3

16 3

5

14 (1)
x

2x

- Với PT (1), HS nhận thấy (2
đƣợc về cùng cơ số là (2

3

(2)

3)(2


http://www.lrc.tnu.edu.vn


t
+ Với t

1
14
t

t 2 14t 1 0

t

7 4 3

t

7 4 3

7 4 3 , suy ra:
3) x

(2
+ Tƣơng tự với t

7 4 3

3) x



5

x

16

2

3

Lúc này ta thấy,

5
2

3

3

5

x

23

2

5
2


nhận thấy vế trái của PT là một hàm số luôn đồng biến với mọi x  , vế phải
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

16

http://www.lrc.tnu.edu.vn


của PT là hàm số luôn nghịch biến với mọi x  . Do đó, x

0 là nghiệm duy

nhất của PT.
+ Đối với PT (2), mặc dù về mặt hình thức thì hoàn toàn giống với PT
(1) nhƣng HS không thể giải theo cách thông thƣờng là sử dụng tính đơn điệu
của hàm số mà HS cần nhận thấy đƣợc rằng:

x 2 6 x 10 ( x 3) 2 1 1 với mọi x , dấu “=” xảy ra khi x 3 , khi
đó 3x

2

6 x 10

3 với mọi x , dấu “=” xảy ra khi x 3 .

x2 6 x 6

( x 3)2 3 3 với mọi x , dấu “=” xảy ra khi x 3 .