Ph ơng pháp hàm số
Phơng trình và hệ phơng trình bất phơng
trình
Bài 1 (KD_2006)
CMR với mọi a>0 Hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất
ln(1 ) ln(1 ) (1)
(2)
x x
e e x y
y x a

= + +

=

HD
ĐK x,y>-1
Từ (2) thay và (1) chỉ ra f(x)>0 khi a>0 và x>-1
F(x) đồng biến và liên tục (-1;+)

1
( ) ( )
x x
Limf x Limf x
+
= = +
Kết luận phơng trình có nghiệm duy nhất
Bài 2 (KD_2004)
CMR phơng trình sau có đúng một nghiệm
5 2
2 1 0x x x =

3.4
( ) 1 0
2 4
y
y
f y y= =
+
Tính f(y)=0 là phơng trình bậc 2 theo 4
y
có không quá 2 nghiệm . Vởy theo định lý Rolle thì phơng trình f(y)=0 có
không quá 3 nghiệm mặt khác ta có y=0; y=1/2; y=1 là 3 nghiệm của phơng
trình f(y)=0 : suy ra phơng trình đã cho có nghiệm là . . . .
Bài 6 (Đề DHQG _2000) Cho
( )
2
( ) 1 6 2 1
6
x
x
f x m m= + +
Tìm m để
[ ]
1
( 6 ). ( ) 0 0;1


x
x f x voi moi x

HD: x=1 bất phơng trình thoả mãn không phụ thuộc vào m chỉ cần tìm m sao

2 1cos x m cos x tgx
1) Giải phơng trình khi m=1
2) Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc
0;
3
x


HD Đặt t=tgx
0; 3t



Đa phơng trình về dạng
2
1
( )
1
t
f t m
t

= =
+

Chỉ ra f(t)<0 với t thuộc miền trên ĐS
2

m


ữ


có 1 nghiệm duy nhất
1
;
2
m

+
ữ


có 2 nghiệm
Chứng minh bất dẳng thức
Bài 1 Chứng minh rằng
sin 2 sin
sin ... sin
2
x nx
x nx
n
+ + + >
trong đó n là số
nghuyên lớn hơn 1 và
0 x
n

0;
n


ữ

nên f(x)>0
Bài toán cực trị
Bài 1 (Đề DB _2004)
Gọi (x;y) là nghiệm của hệ phơng trình
2 4
3 1
x my m
mx y m
=


= = +

Tìm GTLN của biểu thức
2 2
2A x y x= +
khi m thay đổi
Bài 2 (KB_2006)
Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
( ) ( )
2 2
2 2
1 1 2A x y x y y= + + + + +
HD

4 2
( ) sin cos .sinf x cos x x x x= + +
HD
2
sin 2 sin 2
( ) 1 sin 2
4 2
x x
f x Dat t x= + + =
ĐS ẳ
Bài 5 Tìm GTNN, GTLN của hàm số
4 2
( ) sin cos .sinf x cos x x x x= + +
HD
2
sin 2 sin 2
( ) 1 sin 2
4 2
x x
f x Dat t x= + + =
với t thuộc [-1;1]
2
3
( ) 1
4 2
a
f t t t= + +
Tìm GTLN,GTNN của f(t) theo tham số a
Vì f(t) có nghiệm t=a/3 so sánh với 1 ĐS







Dùng đạo hàm để tính giới hạn của hàm số
Chó ý
Nªu ®Þnh nghÜa cña ®¹o hµm
Bµi 1 TÝnh giíi h¹n
3 2
2
1
5 7
lim
1
x
x x
A
x
→
− − +
=
−
(§HTCKT 2001)
HD :
( )
3 2
( ) 5 7 1 0f x x x f= − − + ⇒ =
( ) ( )
2 2

x
A
x
→
→
−
−
−
= = =
+
Bµi 2 TÝnh giíi h¹n
3 2
0
2 1 1
lim
sin
x
x x
A
x
→
+ − +
=
(§HQGHN 2000)
HD :
( )
3 2
( ) 2 1 1 0 0f x x x f= + − + ⇒ =
( ) ( )
2 2

x
f x f
f
x
A
sinx
x
→
−
−
= = =
Bµi 3 TÝnh giíi h¹n
0
1 2 1
lim
3 4 2
x
x sinx
A
x x
→
− + +
=
+ − −
(§H GTVT 1998)
HD :
( ) ( )
( ) 1 2 1 0 0, ' 0 0f x x sinx f f= − + + ⇒ = =
( ) ( ) ( )
1

Bµi 4 TÝnh giíi h¹n
sin 2 sin
0
lim
sin
x x
x
e e
A
x
→
−
=
(§H Hµng H¶i 1999)
HD :
( )
sin 2 sin
( ) 0 0,
x x
f x e e f= − ⇒ =
Suy ra
( )
sin 2 sin
0
' 0
0
lim 1
sin
1
x x

( ) 1 0,
4
f x tgx f
π
 
= − ⇒ =
 ÷
 
( )
2
2sin 1 0,
4
g x x g
π
 
= − => =
 ÷
 
Suy ra
2
'
1
4
3
2 3
'
4
f
A
g

( ) ( )
( )
0
0
5.2001
lim ' 0
0 9
x
f x f
A f
x
→
−
−
= = =
−
Bµi 7 TÝnh c¸c giíi h¹n sau
lim ( 0)
x a
x a
a x
a
x a
→
−
>
−
3
1
2

−
(§HSP2 2000)
2
2 3 2
0
1
lim
ln(1 )
x
x
e x
x
−
→
− +
+
3
2
0
1 2 1 3
lim
x
x x
x
→
+ − +
(§H Thuû Lîi)