BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ

BÀI TẬP LỚN
Đề tài: Sự liên tục của hàm số.
Các sinh viên thực hiện:
1.
Nguyễn Văn Toàn
2.
Nguyễn ĐìnhThức
3.
Lê VĩnhThuyên
4.
Nguyễn Văn Tịnh
5.
Cao Văn Tiến
Lớp: 11CDCK02
A.Mở Đầu:
-Vai trò của đề tài: sư liên tục của hàm số được chúng ta áp dụng vào để chứng
minh một hàm số liên tục tại một điểm,hàm số liên tục trên nửa khoảng hoặc một
đoạn, chứng minh phương trình có nghiệm và xét dấu một biểu thức phức tạp và
xét dấu của hàm số trong khảo xác hàm số (bảng biến thiên và tìm đường các
đường tiệm cận của hàm số). Ngoài ra nó cũng được dùng để tìm giá trị gần đúng
nghiệm của phương trình,tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất.
- Vị trí: Nó chiếm một vị trí quan trọng trong Giải Tích và trong các ngành Toán
học khác.
B.Nội dung:
I.Các khái niệm cơ bản:
1.Các định nghĩa:
1.1 Định nghĩa 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b),
),(

x
.
Vậy f liên tục tại
0
x
⇔
)()(lim)(lim
0
00
xfxfxf
xxxx
==
−+
→→
Nếu hàm số không liên tục tại
0
x
thì f được gọi là gián đoạn tại điểm
0
x
Vậy f
gián đoạn tại điểm
0
x
khi không tồn tại
)(lim
0
xf
xx→
hoặc

xg
.
3.
Giả sử hàm số
f
liên tục trên đoạn [a,b]. Nếu
)()( bfaf ≠
thì với mỗi số thực
M nằm giữa
)(af
và
)(bf
, tồn tại ít nhất một điểm
),( bac ∈
sao cho
.)( Mcf =
4.Định lí 1:Hàm f(x) liên tục trên [ a;b ] thì bị chặn trên đó.
5. Định lí 2:Hàm f(x) liên tục trên [ a; b] thì luôn đạt giá trị lớn nhất và bé nhất.
6.Định lí 3:( Cauchy) Hàm f(x) liên tục trên [ a;b] thì nó nhận mọi giá trị trung
gian nằm giữa Max và Min.
7.Hàm f(x) được gọi là liên tục đều trên A nếu:
0,0 >∃>∀
δε
:",', AxAx ∈∀∈∀
εδ
<−⇒<−
)"()'("' xfxfxx
8)Hàm f(x) liên tục đều trên A thì nó liên tục trên a.
9) Định lí 4:( Cantor) Hàm f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì liên tục đều trên đoạn
đó.

16
nêu x 4
( )
4
4 nêu x 4
x
f x
x
x

−
≠

=
−


+ =

tại x = 4
b)
2
2
4 4 nêu x 1
( )
nêu x < 1
x x
f x
x


4 4
4
4
16
lim ( ) lim
4
( 4)( 4)
lim
4
lim( 4) 8
x x
x
x
x
f x
x
x x
x
x
→ →
→
→
−
=
−
− +
=
−
= + =
4

= + − =
2 2
1 1
lim ( ) lim 1 1
x x
f x x
− −
→ →
= = =
1 1
1
lim ( ) lim ( ) 1
lim ( ) 1
x x
x
f x f x
f x
+ −
→ →
→
⇒ = =
⇒ =
Từ (1) và (2) ta có
1
lim ( ) (1)
x
f x f
→
=
Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 1.








−=−
−≠
+
−−+
=
2
4
1
2
2
4103
)(
xkhi
xkhi
x
xx
xg
tại điểm x= -2;
3)





+−
−−
=
−
+−
=
→→→
xx
xx
x
xx
xf
xxx
).1(
2
1
1
2
lim
1
f
x
x
x
=−=
+
−
→
Vậy hàm số liên tục tại điểm x = 1
2) Ta có:

lim
2
2
2
++++
++−
=
++++
−−−
=
−→−→
xxx
xx
xxx
xx
xx
)2(
4
1
4103
)3(
lim
2
f
xx
x
x
=−=
+++
+−

−−−
−→−→−→
x
xxx
x
xx
xh
xxx

.5)122(lim
2
1
=+−=
−
−→
xx
x
Vì
5)1()(lim)(lim
11
=−==
−+
−→−→
hxhxh
xx
nên hàm số h liên tục tại x = -1.
3.3.Xác định a để hàm số




3 2
3
−
−+−+
=
−
−++
=
→→
x
xx
x
xx
xf
xx

1)9923)92()(3(2
)9(2
lim1
)3(2
392
lim
3
2
3
22
2
3
3 2
3

f liên tục tại x = 3 ⇔
)3()(lim
3
fxf
x
=
→
⇔
9
2
=a
.
3.4.Cho hàm số f định bởi





=
≠
−
+−+
=
1
1
1
37
)(
2
3

11
+
−
+
=
−
+−+
=
→→→12
1
2
312
1
)71(3
1
3
2
−=
+
−
+
=
Vì
f
liên tục tại x = 1 nên
.
12

xkhi
x
x
a
xkhi
x
xx
xf
xác định a để hàm số liên
tục tại x = 0;
Giải:
Ta có: f(0) = a+2
2)
2
4
(lim)(lim
00
+=
+
−
+=
++
→→
a
x
x
axf
xx
1
11

2.Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số:
1)





≤
−
>−
=
1
2
3
112
)(
xnêu
x
xnêux
xf
trên R.
Vấn
đề 2: Chứng minh hàm số liên tục trên một tập hợp
Giải:
Ta có: f(x) = 2x -1 là hàm đa thức có tập xác định là R nên f(x) liên tục trên R ⇒
f(x) = 2x - 1 liên tục trên (1; +∞)
f(x) =
2
3 x−
là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là R nên f(x) =

→
⇒f(x) liên tục tại x = 1.
Vậy f(x) liên tục trên R.
2)









−<≤−−+
=−
−>
−
+
=
2353
23
2
4
8
)(
2
3
xkhix
xkhi
xkhi

0
∞+∈∀
x

)(
4
8
4
8
lim)(lim
0
2
0
3
0
2
3
00
xf
x
x
x
x
xf
xxxx
=
−
+
=
−

nên f liên tục nửa khoảng [-3;-2].
Tại
,2
0
−=
x
ta có f(-2) = -3.
Vì
)2(453(lim)(lim
22
−≠−=−+=
−−
−→−→
fxxf
xx
nên hàm số f không liên tục tại
x = -2
Vậy hàm số f liên tục trên
);2(
∞+−
và trên [-3;2).
3.Bài tập:
3.1 .Cho hàm số f xác định bởi





≤−
>

2
0
2
00
xf
x
x
x
x
xf
xxxx
=
−+
−
=
−+
−
=
→→
⇒
hàm số liên tục trên khoảng
);2( ∞+
.
Với mọi
),2;(
0
−∞∈x
ta có:
)(202)202(lim)(lim
00

→→→
x
xxx
x
x
xf
xxx

.16)202(lim)(lim
22
−=−==
−−
→→
xxf
xx
Vì
)2()(lim)(lim
22
fxfxf
xx
==
−+
→→
nên f liên tục tại x =2.
Vậy hàm số f liên tục trên R
.
3.2.Cho hàm số




xf
hàm số liên tục trên R
Với x =2 thì ta có f(2) = a
1)3(lim
)2(
)2)(3(
lim
2
65
lim)(lim
22
2
22
−=−=
−
−−
=
−
+−
=
→→→→
x
x
xx
x
xx
xf
xxxx
.
Nếu a = -1 thì f(2) =

xnêua
xnêu
x
xx
xf
tại x = 2.
Giải
a)





=−
≠
−
+−
=
212
2
2
107
)(
2
xnêua
xnêu
x
xx
xf
tại x= 2

2
fxf
x
=⇔
→
122123 =⇔−=−⇔−−=−⇔ aaa
Vậy a = 1 thì f(x) liên tục tại x = 2.

3.3 Xác định a để hàm số liên tục



≤+
>−
=
21
25
)(
2
xNêux
xNêuax
xf
trên R.
Giải:
Ta có:
2
5)( axxf −=

là hàm đa thức có tập xác định là R nên hàm số
2

22
fxfxf
xx
==
−+
→→
2
1
24345
−=⇔=⇔=−⇔
aaa
Vậy a =
1
2
thì f(x) liên tục trên R.
3.4.Chứng tỏ rằng hàm





=
≠
=
00
0
1
sin.
)(
xnêu





=
≠
=
01
0
sin
)(
xnêu
xnêu
x
x
xf
Xét hàm số liên tục của f(x).
Giải:
Tại
0
0
≠x
thì các hàm sinx,x đêu liên tục tại
0
x
do đó
x
xsin
cũng liên tục tại
0

xf
x
Tìm a để hàm số f(x) liên tục trên R.
Giải:
Với mọi x ≠ 0 thì hàm số f(x) liên tục .
Ta có:
1lim
0
=
→
x
x
e
aax
x
=+
→
)(lim
0
f(0) = a
Để f(x) liên tục tại x = 0 thì :
⇔=+=
→→
)0()(limlim
00
faxe
x
x
x
a = 1.

xfxf
xx
≠
→
2.Ví dụ : Tìm điểm gián đoạn của hàm số sau:
.
2
12
)(
−
+
=
x
x
xf
Giải:
Ta có: tại x =2 thì hàm số hàm số f(x) không xác định
Vậy f(x) gián đoạn tại x = 2
3.Bài tập:
3.1.Tìm điểm gián đoạn của hàm số





=−
≠
+−
−
=

)1(2
)(
2
−
=
−−
−
=
+−
−
=
xxx
x
xx
x
xf
⇒
hàm số không xác định tại x = 2
Vậy hàm số gián đoạn tại x = 2;
3.2Chứng minh
x
xx
xf
12
)(
2
++
=
gián đoạn tại x = 0.
Giải:

3
6
lim)(lim
3
2
33
=+=
−
−−
=
+++
→→→
x
x
xx
xf
xxx
Vì
)3()(lim
3
fxf
x
≠
+
→
nên f(x) không liên tục tại x = 3
⇒ f(x) bị gián đoạn tại x = 3
3.4.Chứng minh
x
xf


Chứng minh hàm số f liên tục trên [a;b] . Từ đó suy ra phương trình có ít
nhất 1 nghiệm thuộc (a;b);
Chú ý:
•
Nếu
0)().(
≤
bfaf
thì phương trình có nghiệm thuộc [a;b].
•
Nếu hàm số f liên tục trên
);[
∞+
a
và có
0)(lim).( <
∞−→
xfaf
x
thì phương
trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc
);;( ∞+a
.
•
Nếu hàm số f liên tục trên
];( a
∞−
và
0)(lim).( <

243)(
234
−−−+= xxxxxf

TXĐ: D = R
Vấn đề 4: Chứng minh phương trình có nghiệm
Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R ⇒
f(x) liên tục trên [-1; 3]
Ta lại có: f(0) = 2 ; f(1) = 3
⇒ f(0).f(1) = (- 2) . 3 = - 6 < 0
⇒ f(x) có nghiệm xo ∈ (0; 1).
Vậy phương trình có nghiệm thuộc (-1;3)
b).
624
224
+=+− xxxx
⇔
0643
24
=−+− xxx
Đặt
643)(
24
−+−= xxxxf
TXĐ: D = R
Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R
⇒ f(x) liên tục trên [1; 2]
Ta lại có: f(1) = - 4 ; f(2) = 6
⇒ f(1).f(2) = (- 4) . 6 = - 24 < 0
⇒ f(x) có nghiệm xo ∈ (1; 2).

=−+−− xxxm
b)
)2(04)2)(3(
2
=+−++ xmm
Giải:
a.)Đặt
52)3()1()(
7
−+−−= xxxmxf
.Phương trình (1) trở thành : f(x) = 0.
Vì f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên f liên tục trên R
Ta có: f(1).f(3) = (-3).(1) < 0
nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi tham số m.
b.) Đặt
.04)2)(3()(
2
=+−++= xmmxg
Phương trình (2) trở thành g(x) = 0.
Vì g(x) là hàm đa thức xác định trên R nên g(x) liên tục trên R.
Ta có : g(2) =4 > 0 ;
0]
4
3
)
2
1
[(2)1(2222)0(
222
<++−=++−=−−−= mmmmmg

x
x
m
mxxf
xx
;01)0(
2
>+=
mf
;02)1( <−=f
;)
3
142
1(lim)(lim
2
2
2
23
+∞=
+
+−−+=
∞+→∞+→
m
x
x
m
mxxf
xx
.
Ta thấy :

Với mọi
,
0
Rx ∈

)(cossin2cos)(lim
0000
0
xfxxbxaxf
xx
=++=
→
nên f(x) liên tục
tại mọi điểm thuộc R.
Ta lại có:
.)
2
3
(;)
2
(;1)(;1)0( bafbafafaf −−=+−=−=+=
ππ
π
Vì
0)
2
3
()
2
()()0( =+++

liên tục trên [-1:1]
Mặc khác ta có : f(-1) =4 ; f(0) = -3; f(1) = 2.
f(-1).f(0) = 4 3 = -12 < 0 ⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc ( -1: 0)
f(0).f(1) = -3.2 = -6 < 0; ⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)
Vậy hàm số f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc (-1;1).
.
1.Phương pháp : Muốn xét dấu f(x) với f(x) là một hàm số liên tục, ta thực hiên
các bước sau:
•
Tìm tập xác định của f(x);
•
Giải phuong trình f(x) = 0;
•
Áp dụng tính chất sau của hàm số liên tục:″ Nếu hàm số f(x) liên tục
trên (a;b) và phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc (a;b) thì f(x)
có dấu không đổi trên (a;b) và dấu của f(x) là dấu của f(c) với c là một
số thuộc (a;b)″.
2.Ví dụ:Xét biểu thức sau:
44)(
23
−−+= xxxxf
;
Giải:
44)(
23
−−+= xxxxf
là hàm đa thức xác định trên R nên f liên tuc trên R.
Ta có : f(x) = 0
⇔
x = 2, x = -1, x = -2.

Bảng xét dấu:
x

∞−

2−

1
−

2

∞+
f(x)

−

0

+

0

−

0

+
3. Bài tập:
3.1 Xét dấu biểu thức sau

222
=⇔



=+−
≤
⇔



+−=−
≤
⇔ x
xx
x
xxxx
x
Trên [0;1] hàm f(x) liên tục và phương trình g(x) = 0 vô nghiệm , lại có
0)
2
1
( <g
với mọi mọi
).1;0[
∈
x
Tương tự như trên ta có g(x) > 0 với mọi
]4;1[
∈






−=+−
≥
⇔−=+−⇔
22
2
)12(92
2
1
1292
xxx
x
xxx
2
0823
2
1
2
=⇔





=−−
≥

Vì f(-3) = 40 > 0, do đó f(x) < 0 với mọi
)2;(
−−∞∈
x
.

Tương tự vì
0)(0
16
35
)
2
3
( <⇒>−=− xff
với mọi
)1;2( −−∈x
.
Vì f(0) = 4 > 0
⇒
f(x) > 0 Với mọi
)1;1(−∈x
.

Vì
0)(0
16
35
)
2
3

0

+

0

−

0

+
3.4 Xét dấu biểu thức sau:
x
xx
xf
−
+−
=
4
23
)(
2
;
Giải:
f(x) xác định khi và chỉ khi 4 – x ≠ 0 ⇔ x ≠ 4.
f(x) = 0 ⇔ x = 1; x = 2.
Trên khoảng
( )
1;∞−
, hàm số f(x) liên tục và phương trình f(x) vô nghiệm nên f(x)

∞+
f(x)
+

0

−

0
+ 
−

3.5 Giải bất phương trình :
94)3(
22
−≤−− xxx