BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
VỀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
VỀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS Nguyễn Quang Huy

Tác giả xin khẳng định kết quả của khóa luận này là trung thực. Đề
tài "Các khái niệm và tính chất chất cơ bản về tính liên tục của
ánh xạ đa trị" là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của
bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, ngày 26 tháng 04 năm 2016
Tác giả khóa luận
Nguyễn Thị Phượng.

ii


Mục lục

Lời cam đoan

ii

Lời mở đầu

1

Các kí hiệu và chữ viết tắt

3

1 Các khái niệm về tính liên tục của ánh xạ đa trị

5



2 Một số tính chất cơ bản của ánh xạ đa trị liên tục
2.1

14
16

Nhắc lại một số tính chất cơ bản của ánh xạ đơn trị liên
tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2

Nguyễn Thị Phượng

Một số tính chất cơ bản của ánh xạ đa trị liên tục . . . .
2.2.1

17

Ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và ánh xạ đa trị
nửa liên tục dưới bảo tồn tính liên thông của một
tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

cứu ánh xạ đa trị - xạ nhận giá trị là các tập con của một tập nào đó. Sự
ra đời của tạp chí quốc tế “Set-Valued Analysic” vào năm 1993 là một
mốc lớn trong quá trình phát triển của hướng nghiên cứu này. Vai trò
của giải tích đa trị trong toán học đã được công nhận rộng rãi.
Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng trong lí thuyết phương trình vi
phân, phương trình đạo hàm riêng, biểu thức biến phân và phương trình
suy rộng, lí thuyết tối ưu, lí thuyết điều khiển, tối ưu đa mục tiêu, khoa
học quản lí và toán kinh tế. Hầu như tất cả các kết quả nghiên cứu về
tính ổn định và độ nhảy nghiệm của bài toán tối ưu phụ thuộc vào tham
số và của các bài toán bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số đều
được viết được bằng ngôn ngữ giải tích đa trị.
Nhiều tính chất đẹp của ánh xạ đơn trị liên tục như bảo tồn tính liên
thông, tính compắc và sự tồn tại điểm bất động đã được khảo sát và mở
rộng cho các ánh xạ đa trị liên tục. Đề tài “Các khái niệm và tính chất
chất cơ bản về tính liên tục của ánh xạ đa trị” nhằm hiểu các khái niệm
về tính liên tục của ánh xạ đa trị, mối quan hệ giữa chúng và các tính
chất cơ bản được mở rộng cho ánh xạ đơn trị liên tục.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các khái niệm về tính liên tục của ánh xạ đa trị, mối quan
hệ giữa chúng và các tính chất cơ bản được mở rộng cho ánh xạ đơn trị
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

liên tục.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các khái niệm về tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới


gph F

đồ thị của F

F −1 : Y ⇒ X

ánh xạ ngược của F

N

tập số nguyên dương

R

tập số thực

Q

tập số hữu tỉ

C

tập số phức

∅

tập rỗng

[0, 1]


BX

hình cầu đơn vị đóng trong không gian X

X∗

không gian đối ngẫu của không gian Banach X

intΩ

phần trong của Ω

Ω

bao đóng của Ω

∂Ω

biên của Ω
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

co Ω

bao lồi của Ω

Ánh xạ đa trị
Cho X, Y là hai tập hợp bất kì. Ánh xạ F : X ⇒ Y từ tập X vào
tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y ( kí hiệu là 2Y ) được gọi là ánh
xạ đa trị từ X vào Y và ta thường kí hiệu
F : X ⇒ Y hoặc F : X → 2Y .
Nếu với mỗi x ∈ X mà F (x) chỉ gồm duy nhất một phần tử thuộc
Y thì F là ánh xạ đơn trị theo nghĩa quen thuộc và kí hiệu là
F : X → Y.
Đồ thị, miền hữu hiệu và miền ảnh của ánh xạ đa trị
Cho ánh xạ đa trị F : X⇒Y. Khi đó, đồ thị (gph), miền hữu hiệu
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

(dom) và miền ảnh (rge) của F được xác định tương ứng bởi:
gph F = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)},
dom F = {x ∈ X : F (x) = ∅},
rge F = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)} .
Ví dụ 1.1.1. Xét phương trình đa thức trên tập số phức C
xn + a1 xn−1 + .... + an−1 x + an = 0
với ai ∈ R.
Quy tắc cho tương ứng mỗi vectơ a = (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Rn với tập nghiệm
F (a) của phương trình trên thì có một ánh xạ đa trị
F : Rn ⇒ C. Ta có
gph F = (a, x) ∈ Rn × C : xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an = 0 ,
dom F = Rn ,
rge F = {x ∈ C : xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an = 0, a ∈ Rn }.

ánh xạ đóng hoặc ánh xạ có đồ thị đóng;
ii) Nếu X, Y là các không gian tuyến tính tôpô và nếu gph F là tập lồi
trong không gian tích X × Y thì F được gọi là ánh xạ đa trị lồi;
iii) Nếu F(x) là tập đóng với ∀x ∈ X thì F được gọi là ánh xạ có giá trị
đóng;
iv) Nếu Y là không gian tuyến tính tôpô và nếu F(x) là tập lồi với
∀x ∈ X thì F được gọi là ánh xạ có giá trị lồi.
Một không gian véctơ X trên đó có một tôpô tương hợp với cấu
trúc đại số được gọi là không gian tuyến tính tôpô. Ta nói một tôpô τ
trên X tương hợp với cấu trúc đại số trên X nếu các phép toán đại số
trong X liên tục đối với tôpô đó, tức là
i) x + y là một hàm liên tục của hai biến x, y; nói rõ hơn, mọi lân cận
V của điểm x + y đều có một lân cận Ux của x và một lân cận Uy
của y sao cho x ∈ Ux , y ∈ Uy thì x +y ∈ V.

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

ii) αx là một hàm liên tục của α, x; nói rõ hơn, mọi lân cận V của điểm
αx đều có một số ε > 0 và một lân cận U của x sao cho
| α - α| < ε, với mọi x ∈ U thì α x ∈ V.
Mệnh đề 1.1. Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị, X và Y là các không
gian tuyến tính tôpô
i) Nếu F là ánh xạ đóng thì F là ánh xạ có giá trị đóng.
ii) Nếu F là ánh xạ đa trị lồi thì F là ánh xạ có giá trị lồi.
iii) F là ánh xạ đa trị lồi khi và chỉ khi

khi x = 0
khi x = 0.

Rõ ràng

 [0, 1]
F (x) =
 {0}

khi x = 0
khi x = 0

không là ánh xạ đa trị đóng.
Bao đóng và bao lồi của ánh xạ F : X ⇒ Y , ở đó X, Y là các không
gian tuyến tính tôpô, ký hiệu tương ứng cl F và conv F , được xác đinh
bởi
cl F (x) = y ∈ Y : (x, y) ∈ gph F

với ∀x ∈ X

và
conv F (x) = {y ∈ Y : (x, y) ∈ co (gph F )} với ∀x ∈ X.
Dễ dàng thấy rằng nếu F là ánh xạ trong Ví dụ 1.1.3 thì
cl F (x) = {sin x, cosx} và conv F (x) = [−1, 1] với ∀x ∈ R.
Với F là ánh xạ trong Ví dụ 1.1.4 ta có
cl F (x) = [0, 1] với ∀x ∈ R
và

9



Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới
của ánh xạ đa trị theo nghĩa của Berge và theo
nghĩa của Hausdorff
Ta nhắc lại rằng một họ các tập con τ ⊂ 2X của tập hợp X được

gọi là một tôpô trong X nếu
i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ;
ii) giao của một họ hữu hạn tùy ý các tập thuộc τ là một tập thuộc τ ;
iii) hợp của một họ tùy ý các tập thuộc τ là một tập thuộc τ .
Các tập thuộc τ được gọi là tập mở. Phần bù của một tập mở trong
X được gọi là tập đóng. Tập X được trang bị một τ được gọi là một
không gian tôpô, và được kí hiệu bởi (X, τ ). Với (X, τ ) là một không
gian tôpô và M ⊂ X là một tập con tùy ý thì
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

τM := {U ∩ M : U ∈ τ },
được gọi là một tôpô trên M. Tôpô τM được gọi là tôpô cảm sinh của
của τ trên M. Tập UM := U ∩ M được gọi là vết của U trên M.
Cho f : X → Y là ánh xạ đơn trị từ không gian tôpô X vào không
gian tôpô Y . Ta đã biết rằng f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với
mỗi tập mở V trong Y chứa f (x), tồn tại một lân cận mở U của x trong
X sao cho
f (x) ∈ V với ∀ x ∈ U.
Mục tiếp theo chúng ta tìm hiểu một mở rộng khái niệm về tính

F (x)=




{0} nếu x < 0



[−1, 1] nếu x = 0



 {1} nếu x > 0.

Ta thấy rằng ánh xạ F từ R vào R là nửa liên tục trên ở trong R nhưng
không là nửa liên tục dưới tại x =0. Như vậy F không phải là ánh xạ
liên tục ở trong R.
Ví dụ 1.2.2. Ánh xạ đa trị

 [0, 1] nếu x = 0
F (x)=
 {0} nếu x = 0.
Ta thấy F là nửa liên tục dưới tại x =0 nhưng không là nửa liên tục
trên tại điểm đó. Như vậy F không là ánh xạ liên tục ở trong R.
Ví dụ 1.2.3. Ánh xạ đa trị

 [0,1] nếu x là số hữu tỉ
F (x)=
 [-1,0] nếu x là số vô tỉ

với d(y, F (x))= inf d (y, z) kí hiệu cho khoảng cách từ y đến F (x) . Ta
z∈F (x)

nói F là nửa liên tục trên ở trong X theo nghĩa Hausdorff nếu F nửa
liên tục trên tại mọi điểm thuộc dom F theo nghĩa Hausdorff.
ii) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục dưới theo nghĩa Hausdorff tại
x ∈ dom F nếu với mỗi ε > 0 tồn tại một cận mở U của x sao cho
F (x) ⊂ B(F (x), ε) với ∀ x ∈ U.
Ở đó:
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

B(F (x), ε) ={y ∈ Y : d(y, F (x)) < ε}
với d(y, F (x))= inf d (y, z) kí hiệu cho khoảng cách từ y đến F (x). Ta
z∈F (x)

nói F là nửa liên tục dưới trong X theo nghĩa Hausdorff nếu F nửa liên
tục dưới tại mọi điểm thuộc dom F theo nghĩa Hausdorff.
Ánh xạ F là liên tục theo nghĩa Hausdorff tại x ∈ dom F nếu F đồng
thời vừa liên tục trên vừa liên tục dưới theo nghĩa Hausdorff tại x. F
liên tục tại mọi điểm thuộc dom F thì ta nói F liên tục.
1.2.3

Mối liên hệ giữa tính nửa liên tục trên và tính nửa liên
tục dưới của ánh xạ đa trị theo nghĩa Berge và Hausdorff


x ∈ dom F .
Lấy V ∈ τY sao cho F (x) ∩ V = ∅.
Khi đó ∃y ∈ F (x) và ∃ε > 0 sao cho
B (y, 2ε) ⊂ V

(1.1)

Vì F là ánh xạ nửa liên tục dưới theo nghĩa Hausdorff tại x nên tồn tại
lân cận mở U của x sao cho F (x) ⊂ B (F (x) , ε) với ∀x ∈ U .
Rõ ràng B (F (x) , ε) ∩ B (y, ε) = ∅ với ∀x ∈ U .
Với mỗi ∀x ∈ U , lấy z ∈ B (F (x) , ε) ∩ B (y, ε), khi đó ∃y ∈ F (x) sao
cho
d (z, y) ≤ ε.

(1.2)

Thật vậy, nếu d (z, v) > ε ∀v ∈ F (x) thì
d (z, F (x)) = inf d (z, v) ≥ ε. Suy ra z ∈
/ B (F (x) , ε) vô lí.
v∈F (x)

Ta có : d (y, y) ≤ d (y, z) + d (z, y) < 2ε. Do đó
y ∈ B (y, 2ε) .
Từ (1), (2), (3) suy ra rằng F (x) ∩ V = ∅.
Vì x là chọn tùy ý nên F (x) ∩ V = ∅ với ∀x ∈ U .

15

(1.3)



Nguyễn Thị Phượng

thông X vào không gian tôpô Y. Khi đó Im f = {f (x), x ∈ X}, xét với
tôpô cảm sinh từ tôpô của Y, là không gian liên thông.
Định lý 2.2. Cho f : X → Y là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô
compắc X vào không gian tôpô Y. Khi đó Im f = {f (x), x ∈ X}, xét với
tôpô cảm sinh từ tôpô của Y là không gian compắc.
Định lý 2.3. (Định lí điểm bất động Brouwer)
Cho K ⊂ Rn là tập lồi, compắc, khác rỗng. Khi đó mọi ánh xạ liên tục
f : K → K đều có điểm bất động.

2.2

Một số tính chất cơ bản của ánh xạ đa trị liên
tục

Trong mục này chúng ta trình bày một số tính chất cơ bản của ánh xạ
đa trị liên tục theo nghĩa Berge.
2.2.1

Ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và ánh xạ đa trị nửa liên
tục dưới bảo tồn tính liên thông của một tập hợp

Ta đã biết rằng ánh xa đơn trị liên tục bảo tồn tính liên thông. Kết quả
sau đây chỉ ra rằng tính liên thông cũng được bảo tồn đối với cả ánh xạ
đa trị nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới.
Định lý 2.4. (Warburton, 1983)
Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị giữa các không gian tôpô sao cho với ∀
x ∈ X, F(x) là tập liên thông (có thể rỗng). Khi đó

Thật vậy
i) được suy ra từ phần a) của Nhận xét 1.2.

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

ii) Do UM = M ∩ U = U ∩ rge F = U ∩

F (x)

=∅

x∈X

nên ∃x ∈ X : U ∩ F (x) = ∅.
Nếu F (x) ∩ V = ∅ thì từ (2.1) suy ra F (x) xét với tôpô cảm sinh
từ tôpô của Y không là không gian liên thông (trái giả thiết). Vậy
F (x) ∩ V = ∅.
Do F (x) ⊂ M và do UM ∪ VM = M , ta có F (x) ⊂ U tức là x ∈ X1 .
Vậy ta chứng tỏ rằng X1 = ∅. Tương tự X2 = ∅.
iii) Lấy x ∈ dom F . Do F (x) = ∅ và F (x) ⊂ M , ta có F (x) ∩ UM = ∅
hoặc F (x) ∩ VM = ∅.
Nếu trường hợp thứ nhất xảy ra thì do lí luận đã trình bày ở trên
ta có x ∈ X1 . Nếu trường hợp thứ hai xảy ra thì ta có x ∈ X2 . Vậy
dom F ⊂ X1 ∪ X2 , tức là iii) nghiệm đúng.
iv) Nếu tồn tại x ∈ X1 ∩ X2 thì ta có F (x) = ∅, F (x) ⊂ U , F (x) ⊂ V .