ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ MINH THUẬN

PHƯƠNG PHÁP GRADIENT
LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2010


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ MINH THUẬN

PHƯƠNG PHÁP GRADIENT
LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36

Người hướng dẫn khoa học:
GS. TS. TRẦN VŨ THIỆU

THÁI NGUYÊN - NĂM 2010


3
7
7
9
11
13
13
14
14
17
17
22
22
35
37
40


ii

3 Mở rộng phương pháp gradient liên hợp
3.1 Phương pháp gradient liên hợp 3-số hạng . . . . . . . . .
3.1.1 Thuật toán tái khởi Beale-Powell . . . . . . . . .
3.1.2 Tính hội tụ toàn cục của phương pháp gradient
liên hợp 3-số hạng với thủ tục tìm theo tia kiểu
Wolfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Phương pháp gradient liên hợp 3-số hạng Beale .
3.2 Phương pháp gradient liên hợp hiệu chỉnh trước chỉ số
điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

nhất nhằm làm tăng hiệu quả và độ tin cậy của thuật toán. Phương pháp
gradient liên hợp là trung gian giữa phương pháp gradient và phương
pháp Newton, nó thay đổi hướng tìm trong phương pháp gradient bằng
cách thêm vào một tỷ lệ dương của hướng dùng ở bước ngay trước đó.
Phương pháp này chỉ cần tới đạo hàm riêng bậc nhất nhưng lại khắc
phục được tính hội tụ chậm của phương pháp gradient.
Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu và trình bày những kết quả cơ bản
đã biết liên quan đến phương pháp gradient liên hợp, các tính chất như
tính liên hợp, tính trực giao, tính hội tụ và một số phương pháp mở rộng
của phương pháp này. Nội dung đề cập trong luận văn được trình bày
một cách chặt chẽ về mặt toán học kèm theo một số ví dụ minh họa.
Luận văn được chia làm 3 chương:


2

Chương 1: nhắc lại một số khái niệm cơ bản của giải tích lồi, như tập
lồi, hàm lồi và hàm toàn phương, hướng giảm và phương pháp gradient,
phương pháp Newton... để phục vụ cho các chương tiếp theo.
Chương 2: trình bày các khái niệm, tính chất của hướng liên hợp,
phương pháp gradient liên hợp giải bài toán cực tiểu hàm toàn phương,
nêu các định lý về tính hội tụ của phương pháp gradient liên hợp và mở
rộng phương pháp này để tìm cực tiểu của một hàm khả vi liên tục bất
kỳ. Cuối chương tác giả nêu ra một số ví dụ áp dụng.
Chương 3: trình bày phương pháp gradient liên hợp 3-số hạng. Đó là
sự cải tiến phương pháp F-R tìm cực tiểu hàm khả vi liên tục bất kỳ bởi
vì nếu dùng hướng giảm nhanh nhất thì mức giảm hàm mục tiêu thường
kém so với mức giảm có thể thu được khi không dùng tái khởi; còn nếu
dùng hướng tái khởi tùy ý thì quan hệ liên hợp đòi hỏi có thể không
còn đúng. Ngoài ra, trong chương này còn chỉ ra nguyên nhân làm cho


Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu và xây
dựng các thuật toán giải các bài toán tối ưu, trước hết ta sẽ nhắc lại các
khái niệm tập lồi và hàm lồi.
Định nghĩa 1.1 (Tập lồi).
Cho hai điểm a, b ∈ Rn , tập tất cả các điểm x = (1 − λ)a + λb với
0 ≤ λ ≤ 1 gọi là đoạn thẳng đóng nối a và b và được kí hiệu là [a, b].
Tập C ∈ Rn được gọi là lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm
bất kỳ thuộc nó. Nói cách khác, nếu (1 − λ)a + λb ∈ C, ∀a, b ∈ C và mọi
0 ≤ λ ≤ 1.
Định nghĩa 1.2 (Hàm lồi).
Hàm f : X → [−∞, +∞] xác định trên tập lồi X ⊆ Rn được gọi là lồi
nếu
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 )
với bất kì x1 , x2 ∈ X và mọi số thực λ ∈ [0, 1].


4

Ta gọi f là hàm lồi chặt trên tập lồi X nếu
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) < λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 )
với bất kì x1 , x2 ∈ X, x1 = x2 và mọi số thực λ ∈ (0, 1).
Hàm f (x) gọi là lõm (hay lõm chặt) trên X nếu −f (x) là lồi (lồi
chặt) trên X.
Định nghĩa 1.3. Cho hàm số f xác định trên tập mở X ⊆ Rn .
Hàm f được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn tại
δ > 0 sao cho |f (x) − f (x0 )| < ε với mọi x ∈ X thỏa mãn x − x0 < δ.
Nói cách khác, hàm f liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi dãy {xn } ⊂ X
hội tụ đến x0 , ta có {f (xn )} → f (x0 ).
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (t.ư., nửa liên tục trên) tại điểm

x∈C

x∈C

Định nghĩa 1.5. Cho A là ma trận vuông cấp n không suy biến. Giá
trị của tích A . A−1 được gọi là chỉ số điều kiện của A và ký hiệu
là cond(A).
Nhận xét 1.1. Chỉ số điều kiện của A luôn lớn hơn hay bằng 1.
Thật vậy, 1 = AA−1 ≤ A . A−1 = cond(A).
Định nghĩa 1.6. Cho dãy {xk } ⊂ Rn hội tụ đến x∗ ∈ Rn . Dãy {xk } gọi
là:
hội tụ đến x∗ với tốc độ tuyến tính nếu
∃γ ∈ [0, 1), ∃k0 sao cho ∀k > k0 : xk+1 − x∗ ≤ γ

xk − x∗ ,

hội tụ đến x∗ với tốc độ trên tuyến tính nếu
∀k : xk+1 − x∗ ≤ ck

xk − x∗

và ck → 0,

hội tụ đến x∗ với tốc độ hội tụ bậc hai nếu
∃γ > 0, ∃k0 sao cho

xk+1 − x∗ ≤ γ

xk − x∗


dt

t=0

ϕ(t) − ϕ(0)
f (x0 + td) − f (x0 )
= lim
= lim+
= f (x0 , d).
t→0
t→0
t
t

Như vậy, đạo hàm theo hướng của f tại x0 phản ánh tốc độ biến
thiên của f tại x0 theo hướng đó. Hơn nữa, theo bất đẳng thức CauchyBunjakowski-Schwarz trong tất cả các hướng d ∈ Rn có d = 1, ta
có
| ∇f (x0 ), d | ≤ ∇f (x0 )
d = ∇f (x0 )
⇒−

∇f (x0 ) ≤ ∇f (x0 ), d ≤ ∇f (x0 )

.

Do đó, đạo hàm theo hướng của f tại x0 đã cho là lớn nhất khi hướng
∇f (x0 )
∇f (x0 )
d=
và nhỏ nhất khi d = −

read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....