ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
==========

NGUYỄN VĂN HIỆP

TỪ BÀI TOÁN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
TỚI BÀI TOÁN DỰNG HÌNH

Chuyên ngành: Phuơng pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Thái Nguyên - 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

http://www.lrc-tnu.edu.vn


1

Mục Lục
Lời cảm ơn
Lời nói đầu......................................................................................................................... 3
Chương 1. Nhìn chung về bài toán giải phương trình. ....................................................... 4
1.1 Bài toán chứng minh đối tượng thỏa mãn điều kiện .................................................. 4
1.2 Bài toán tìm đối tượng thỏa mãn điều kiện ............................................................... 4
1.3 Đẳng thức ............................................................................................................... 5
1.3.1 Định nghĩa .......................................................................................................... 6

Học Thái Nguyên, Viện Toán Học. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thầy,
Cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường THPT Lục Ngạn số 4, Ban
Giám Hiệu Trường THPT Bố Hạ, đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả học cao
học và hoàn thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các anh chị, các bạn học viên cao học, bạn bè, đồng
nghiệp và gia đình, đã giúp đỡ rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Thái nguyên ngày 6 tháng 11 năm 2010
Tác giả
Nguyễn Văn Hiệp

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

http://www.lrc-tnu.edu.vn


3

LỜI NÓI ĐẦU
Bài toán dựng hình là một trong ba bài toán tìm đối tượng thỏa mãn điều kiện cơ bản
của chương trình toán phổ thông: bài toán giải phương trình, bài toán quỹ tích, bài toán
dựng hình. Dạy cho học sinh hiểu được bản chất logic của bài toán dựng hình là một vấn
đề tương đối khó, bởi những lí do sau:
+ Tìm kiếm bằng công cụ hoàn toàn mới (compa và thước kẻ), đối tượng cần tìm
mới và đa dạng (điểm, tam giác, đường tròn ... ).
+ Học sinh phổ thông được học qúa ít về dựng hình (thời lượng quá ít, cụ thể các em
được học khoảng từ 2 đến 3 tiết về bài toán dựng hình).
Làm thế nào để các em học sinh phổ thông có thể hiểu được bản chất logic của bài
toán dựng hình? Làm thế nào để các em học sinh phổ thông có thể giải bài toán dựng hình
một cách đơn giản?

Bài toán chứng minh đối tượng thỏa mãn điều kiện, về hình thức nó được phát biểu
như sau:
Cho đối tượng A( ) chứng minh rằng đối tựơng B().
Về phương diện logic, bài toán chứng minh đối tượng thoả mãn điều kiện chỉ có hai
phương pháp giải, được mô hình hoá như sau.
Phương pháp 1, chứng minh trực tiếp*.
A( )  B().

Phương pháp 2, chứng minh phản chứng.
B()  A( ).

Hai phương pháp giải bài toán chứng minh đối tượng thoả mãn điều kiện khá đơn
giản, tương đối dễ hiểu đối với học sinh.
1.2. Bài toán tìm đối tượng thỏa mãn điều kiện
Bài toán tìm kiếm đối tượng thoả mãn điều kiện được phát biểu như sau:
Tìm tất cả các đối tượng A( ).
Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện chỉ có ba phương pháp giải, được mô hình hoá
như sau.
Phương pháp 1, biến đổi hệ quả và thử lại*.
Bước 1, biến đổi hệ quả*. A( )  A  T.
Bước 2, thử lại*. A  T  A( ).
Phương pháp 2, biến đổi tương đương*. A( )  A  T.
Chú ý.
Về phương diện lôgic, phương pháp biến đổi tương đương cũng chính là phương
pháp biến đổi hệ quả và thử lại. Tuy nhiên, trong lời giải mỗi bài toán tìm kiếm đối tượng
cụ thể, sử dụng phương pháp nào trong hai phương pháp trên là vấn đề không đơn giản đòi
hỏi người giải toán phải có kĩ năng.
Phương pháp 3, đoán nhận và khẳng định*.
Bước 1, đoán nhận*. Bằng một cách nào đó chỉ ra rằng T  A( ) .
Bước 2, khẳng định*. A  T  A( ). A  T  A( ).

3) Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện thứ ba, dựng hình.
Tìm (bằng thước và compa) hình A( ).
1.3. Đẳng thức
1.3.1. Định nghĩa.
Hai biểu thức nối với nhau bởi một dấu bằng được gọi là đẳng thức.
Mỗi một biểu thức nói trong định nghĩa trên được gọi là một vế của đẳng thức.
1.3.2. Ví dụ.
1 = 1 (đẳng thức đúng).
1 = 2 (đẳng thức sai).
2x + 1 = 5 (vì giá trị của x chưa cụ thể nên ta chưa thể nói đẳng thức này là
đúng hay là sai).
3x2 +xy3 = 5zy +z4 (vì giá trị của x, y, z chưa cụ thể nên ta chưa thể nói đẳng
thức này là đúng hay là sai).
Nên chú ý rằng việc kiểm tra tính đúng, sai của một đẳng thức nói chung không đơn
giản.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

http://www.lrc-tnu.edu.vn


6

1.4. Phương trình.
1.4.1. Phương trình và nghiệm của phương trình.
Hai biểu thức có chứa các số chưa biết (gọi là ẩn) nối với nhau bởi một dấu bằng
được gọi là phương trình.
Mỗi biểu thức nói trong định nghĩa trên được gọi là một vế của phương trình.
Những giá trị của ẩn làm cho phương trình trở thành đẳng thức đúng được gọi là
nghiệm của phương trình.



7

 (x 0  2)(x 0  5)  0 là đẳng thức đúng

 x  2  0 lµ ®¼ng thøc ®óng
  0
 x 0  5  0 lµ ®¼ng thøc ®óng
 x 0  2 lµ ®¼ng thøc ®óng
 
 x 0  5 lµ ®¼ng thøc ®óng.

Bước 2, thử lại.
Vì 2  1  1  1  2  3 nên 2 không phải là nghiệm của phương trình.
Vì 5 1  2  5  3 nên 5 là nghiệm của phương trình.
Kết luận.
Phương trình có nghiệm là 5.
Ví dụ 1.2, biến đổi tương đương.
Giải phương trình sau.
x  1   x(x  3).

Lời giải.
Cách 1.
Ta thấy:
x0 là nghiệm của phương trình
 x 0 1  x 0 (x 0  3) là đẳng thức đúng

x 0 1  x 0 (x 0  3)



 x 0  1  2

x  1
 0
 
lµ tuyÓn hai hÖ ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc ®óng
 x 0  2  3



 x 0  2  3

x 0  1
x  1 2
 0

  x 0  2  3 lµ tuyÓn ba ®¼ng thøc ®óng.

 x  2  3
 0

Kết luận.
Phương trình có nghiệm là 1  2.;  2  3;  2  3.
Cách 2.
Trường hợp 1. x 0  1  0.
Ta thấy:
x0 là nghiệm của phương trình
 x 0 1  x 0 (x 0  3) là đẳng thức đúng
 x 2  2x 0  1  0 là đẳng thức đúng

9

x0 là nghiệm của phương trình

 x  2  3
0
 
là tuyển hai đẳng thức đúng
 x 0  2  3

Kết luận.
Kết hợp cả hai trường hơp, ta thấy phương trình có ba nghiệm là 1  2,
2  3,  2  3.

Ví dụ 1.3, đoán nhận và khẳng định.
Giải phương trình sau.
x 4  60 

28
.
x 3

Lời giải.
Bước 1, đoán nhận.
Dễ thấy, 4 và – 4 là nghiệm của phương trình.
Bước 2, khẳng định.
Khi x  4, ta thấy x4  60  4 4  60  4 

28
28

Kết luận.
Phương trình vô nghiệm.
Chú ý.
Vì phương trình vô nghiệm nên trong lời giải trên không có bước đoán nhận mà chỉ
có bước khẳng định.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

http://www.lrc-tnu.edu.vn


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....