Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi
CHƯƠNG II : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM
A. Lí thuyết cần nhớ :
1.Tọa độ của vectơ
Đònh nghóa: Trong kg(Oxyz ) cho vectơ
→
u
tùy ý ,do
→
i
,
→
j
,
→
k
không đồng phẳng nên tồn tại
bộ ba số thực (x ; y ; z) sao
→
u
= x
→
i
+ y
→
j
+ z
→
k
Bộ ba số (x ; y ; z) gọi là tọa độ của vectơ

u
+
→
v
= ( x + x’ ; y + y’; z + z’ )
•
→
u
-
→
v
= ( x – x’ ; y – y’; z – z’ )
• k
→
u
= ( kx ; ky ; kz )
•





=
=
=
⇔=
→→
'
'
'

) , B ( x
B
; y
B
; z
B
) ta có ;
• AB = ( x
B
– x
A
; y
B
– y
A
; z
B
– z
A
)
• AB =
222
)()()(
ABABAB
zzyyxx
−+−+−
•




M
BA
M
1
1
1
)1(,
- 1 -
Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi
• M là trung điểm của đoạn AB ⇔









+
=
+
=
+
=
2
2
2
BA
M

4
1
)(
4
1
)(
4
1
DCBAG
DCBAG
DCBAG
zzzzz
yyyyy
xxxxx

3 .Biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vectơ :
Cho hai vectơ
→
a
= ( x
1
; y
1
; z
1
) ,
→
b
= ( x
2

1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2
= 0
• |
→
a
| =
2
1
2
1
2
1
zyx ++
• cos
ϕ
=
2
2
2
2

2
4 . Tích có hướng của hai vectơ:
a. Đònh nghóa : Cho hai vectơ
→
a
= ( x
1
; y
1
; z
1
) ,
→
b
= ( x
2
; y
2
; z
2
). Tích có hướng của hai vectơ
→
a
và
→
b
là một vectơ kí hiệu là [
→
a
,

xz
xz
zy
zy
b. Các tính chất :
•
→
a
cùng phương với
→
b
⇔ [
→
a
,
→
b
] =
→
0

• [
→
a
,
→
b
]
⊥
→


=
2
1
|[AB, AC ]|
d.Thể tích :
• Thể tích V của hình hộp ABCD. A’B’C’D’ được tính bởi công thức:

V = |[AB, AD ].AA’|
• Thể tích V của tứ diện ABCD được tính bởi công thức :
V =
6
1
|[AB , AC ]AD |
e. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ :
• Ba vectơ
→
a
,
→
b
,
→
c
đồng phẳng ⇔ [
→
a
,
→
b

không đồng phẳng
1. Bài Tập
1/ Cho ba vectơ
→
a
= ( 2;1 ; 0 ),
→
b
= ( 1; -1; 2) ,
→
c
= (2 ; 2; -1 ).
b.Tìm tọa độ của vectơ :
→
u
= 4
→
a
- 2
→
b
+ 3
→
c
.
c.Chứng minh rằng 3 vectơ
→
a
,
→

3/ Cho 3 điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a. Xác đònh điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành .
b. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường chéo.
c.Tính diện tích tam giác ABC, độ dài BC từ đó đường cao tam giác ABC vẽ từ A.
d.Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC .
4/ Cho 4 điểm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a.Chứng minh 4 điểm A, B , C , D không đồng phẳng.Tính thể tích tứ diện ABCD
b.Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD .
c.Tính diện tích tam giác ABC , từ đó suy ra chiều cao của tứ diện vẽ từ D.
d.Tìm tọa độ chân đường cao của tứ diện vẽ từ D .
5/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3),C(-3;5;4)
a.Tìm độ dài các cạnh của tm giác ABC.
b. Tính cosin các góc A,B,C .
c.Tính diện tích tam giác ABC
II . PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
A. Lí thuyết cần nhớ :
1. Đònh nghóa :
• Vectơ
→
n
≠
→
0
được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α ) nếu nó nằm trên đường
thẳng vuông góc với ( α ).
Kí hiệu :
→
n
⊥ ( α )
• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz nếu hai vectơ

0
( x
0
;y
0
; z
0
) có vtpt
→
n
= ( A; B; C ) có phương trình là :
A ( x – x
0
) + B (y – y
0
) + C ( z – z
0
) = 0
3. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng :
Cho hai mặt phẳng : (α) Ax + By + Cz +D = 0 và (α’) A’x + B’y + C’z + D’= 0
Khi đó hai mặt phẳng (α) và (α’) lần lượt có VTPT :
→
n
= (A;B; C),
'
→
n
=(A’;B’;C’)
• (α) và (α’) cắt nhau ⇔
→

Cho hai mặt phẳng cắt nhau : (α) Ax + By + Cz +D = 0
(α’) A’x + B’y + C’z + D’= 0
a.Đònh lí : Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của (α) và (α’) đều có phương trình dạng: λ( Ax + By +
Cz +D) +µ ( A’x + B’y + C’z + D’) = 0 , λ
2
+µ
2
≠ 0 (1).
Ngược lại mỗi phương trình có dạng (1) đều là phương trình của một mặt phẳng qua giao
tuyến của (α) và (α’)
b.Đònh nghóa: Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt (α) và (α’) gọi là chùm
mặt phẳng. Phương trình (1) gọi là phương trình chùm mặt phẳng.
B.Phương pháp chung lập phương trình của mặt phẳng :
• Để lập phương trình của một mặt phẳng ta cần tìm một điểm thuộc mặt phẳng và vtpt của nó
hay tìm cặp vtcp của nó
• Sử dụng phương trình chùm mặt phẳng.
1/ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( α ) trong các trườnghợp sau:
(α) đi qua M (3; 2; -5 ) và vuông góc với trục Oz .
(α) là mặt trung trực của đoản AB với A( 3; -5; 4 ), B( 1 ; 3; -2 ).
(α) qua N( 3; 2;-1 ) và song song với mặt phẳng Oxz .
2/Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:
a. (α) đi qua hai điểm M( 1; -1; 2 ) , N( 3; 1; 4 ) và song song với trục Oz .
b. (α) đi qua ba điểm A(1; 6; 2 ), B( 5; 0; 4), C( 4; 0; 6 ) .
(α) đi qua hai điểm D( 1; 0; 0 ) ,E( 0; 1; -1 ) và vuông góc với mặt phẳng :
(P): x + y – z = 0 .
(α) qua điểm I( 3; -1; -5 ) và vông góc với hai mặt phẳng :
( α
1
): 3x –2y + 2z +5 = 0 , (α
2

012
0542
zyx
zyx
, (d
2
) :





=
+=
−=
tz
ty
tx
2
32
1
.
Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (d
1
) và song song với (d
2
).
Viết phương trình mặt phẳng (α
1
) qua M (1 ;–3; 5 ) và song song với hai

và vuông gócvới mặt
phẳng (Q): 2x – 3y + z + 3 = 0
II. ĐƯỜNG THẲNG
A. Lí thuyết cần nhớ
Vectơ
→
u
≠
→
0
nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng với đưỡng thẳng (d) gọi là vectơ chỉ
phương của đường thẳng (d).
Đường thẳng (d) đi qua điểm M
0
( x
0
; y
0
; z
0
) có vectơ chỉ phương
→
u
= ( a; b; c) có phương trình
tham số là :






0''''
0
DzCyBxA
DCzByAx
(1) trong đó
A
2
+B
2
+C
2
≠ 0, A’
2
+B’
2
+C’
2
≠ 0 , A:B:C ≠ A’:B’:C’.
Chú ý: Nếu đường thẳng có phương trình dạng (1) thì nó có một vectơ chỉ phương

→
u
= (
''
;
''
;
'' BA
BA
AC

• Viết phương trình mặt phẳng ( M,(d
1
))
• Viết phương trình mặt phẳng (M,(d
2
))
• (d) = (M,(d
1
)) ∩ (M,(d
2
)).
3/ Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng (d

) qua M cắt đường thẳng (d
1
) và vuông góc với (d
2
).
Cách giải :
• Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M và (d
1
).
• Viết phương trình mặt phẳng (β ) qua M và (β )⊥ (d
2
).
• (d) = (α) ∩ (β).
4/ Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng (d ) đi qua điểm M cắt đường thẳng (
∆
) và vuông góc
với (

→
u
và cắt hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) cho
trước.
Cách giải :
Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (d
1
) và nhận
→
u
làm một vtcp.
Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (d
2
) và nhận
→
u
làm một vtcp.
(c) = (α)∩ (β).
Chú ý :
• Nếu (
∆
) là đường vuông góc chung của (d
1
) ,(d
2
) thì (




=−+−
=−
0323
02
zyx
zx
và mặt phẳng (α): x –2y + z +5 = 0.
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên (α).
4/ Cho hai đường thẳng: (d
1
)
zy
x
=+=
−
2
3
1
, (d
2
):



=+
=+−+
01

6/ Lập phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả hai đường thẳng : (d
1
):





−=
+−=
=
tz
ty
tx
3
4
, (d
2
):





−=
+−=
−=
tz
ty
tx

zyx
IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.
A. LÍ THUYẾT :
1/ Vò trí tương đối của hai đường thẳng:
- 8 -