Header Page 1 of 145.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG


HOÀNG THỊ DIỆU HIỀN

PHƢƠNG PHÁP GIẢI VÀ
SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN
TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2016

Footer Page 1 of 145.


Header Page 2 of 145.
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. PHẠM QUÝ MƢỜI

Phản biện 1: TS. Nguyễn Duy Thái Sơn
Phản biện 2: PGS. TS. Huỳnh Thế Phùng

Luận văn đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp

ỷ ổ t ợ ừ
số t ụ tr tỹ r ởt số
t q
t ợ ừ số ồ s
P t rt t rt t t t
tr t t ự ữỡ
s ụ ữ ữỡ s t t
ợ ừ số ởt ổ t
P t tỹ t trỏ q trồ ừ ợ
số tr t ợ ố ữủ t s s ỡ

Footer Page 3 of 145.




Header Page 4 of 145.
ữỡ s t t ợ ừ
số tổ qt ồ t

Pì PP

ế
t s ừ

ử ử ự
ự ữỡ t t ợ
ừ số t ự ữỡ s t r
t ợ số



✸

Header Page 5 of 145.
t♦→♥ ✈➔ ❝→❝ ✤è✐ t÷ñ♥❣ q✉❛♥ t➙♠ ✤➳♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➻♠ ✈➔ s→♥❣
t↕♦ r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè✳

✻✳ ❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥
◆❣♦➔✐ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❦➳t ❧✉➟♥ ✈➔ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥
✤÷ñ❝ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ✸ ❝❤÷ì♥❣✱ tr♦♥❣ ✤â✿
❈❤÷ì♥❣ ✶ ✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥
❈❤÷ì♥❣ ✷ ✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➻♠ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❤➔♠ sè
❈❤÷ì♥❣ ✸ ✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s→♥❣ t↕♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❤➔♠
sè
❈ò♥❣ ✈î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛ ❚❤➛② ❣✐→♦ ❚❙✳ P❤↕♠ ◗✉þ ▼÷í✐✱ tæ✐
✤➣ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐

✧P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❱⑨ ❙⑩◆● ❚❸❖

❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚➐▼ ●■❰■ ❍❸◆ ❈Õ❆ ❍⑨▼ ❙➮✧ ❝❤♦
❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤↕❝ s➽ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳

Footer Page 5 of 145.


✹

Header Page 6 of 145.
❈❍×❒◆● ✶



I

❆✳ ❈→❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ✭✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❤ú✉ ❤↕♥✮
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ ✭✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❣✐î✐ ❤↕♥ ✈æ ❝ò♥❣✮
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳ ✭✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❣✐î✐ ❤↕♥ ♠ët ❜➯♥✮
❇✳ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❤➔♠ sè

✭❚➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❣✐î✐ ❤↕♥✱ ♥➳✉ tç♥ t↕✐✮
◆➳✉ f ♥❤➟♥ l ✈➔ l ❧➔♠ ❣✐î✐ ❤↕♥ t↕✐ a✱ t❤➻ l = l ✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳

◆➳✉ f : I → R ❝â ❣✐î✐ ❤↕♥ ❤ú✉ ❤↕♥ t↕✐ a ∈ I
t❤➻ f ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳

✭❙û ❞ö♥❣ ❞➣② ✤➸ t❤➸ ❤✐➺♥ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❤➔♠ sè✮
✣➸ f : X → R ❝â ❣✐î✐ ❤↕♥ ❧➔ l t↕✐ a ∈ I ✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ❧➔✿
✈î✐ ♠å✐ ❞➣② (un )n∈N tr♦♥❣ I s❛♦ ❝❤♦ un → a ❦❤✐ n → ∞✱ t❛ ❝â
f (un ) → l ❦❤✐ n → ∞✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳

Footer Page 6 of 145.


✺

Header Page 7 of 145.


R)✳

❈❤♦ f, g : I → R, a ∈ I ∪ {−∞, +∞}✳

f (x) → +∞ khi x → a

❚r♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a : f (x) ≤ g(x)

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳

❑❤✐ ✤â✿

✶✳

●✐↔ sû x→a
lim f (x) = L,

lim [f (x) ± g(x)] = L ± M ❀

x→a

Footer Page 7 of 145.

,

t❤➻ g(x) → +∞ khi x → a.

lim g(x) = M (L, M ∈

x→a


lim

●✐↔ sû x→a
lim f (x) = L ∈ R✳ ❑❤✐ ✤â✿

lim |f (x)| = |L|❀

x→a

3

f (x) =

√
3

L❀

✸✳ ◆➳✉ f (x) ≥ 0 t❤➻ L ≥ 0 ✈➔ x→a
lim

f (x) =

√

L✳

✹✳ ◆➳✉ L = 0 ✈➔ g(x) ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a t❤➻
lim f (x).g(x) = 0✳

x→a

x→a

⇒ lim (f (x) + g(x)) = +∞✳
x→a

✷✳ ◆➳✉ x→a
lim f (x) = +∞ ✈➔ ♥➳✉ g ❜à ❝❤➦♥ ❞÷î✐ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛
a ❜ð✐ ♠ët ❤➡♥❣ sè t❤ü❝ sü ❞÷ì♥❣✱ t❤➻✿ lim (f (x).g(x)) = +∞
x→a
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ r✐➯♥❣✿
Footer Page 8 of 145.


✼

Header Page 9 of 145.
lim f (x) = +∞
lim g(x) = +∞

✯

⇒ lim (f (x).g(x)) = +∞✳

x→a

x→a

x→a

lim f ≤ f (a) ≤ lim+ f.

x→a−

x→a

✶✳✹✳ ✣❸■ ▲×Ñ◆● ❱➷ ❈Ò◆● ❇➆ ✭❱❈❇✮ ❱⑨ ✣❸■
▲×Ñ◆● ❱➷ ❈Ò◆● ▲❰◆ ✭❱❈▲✮
✶✳✹✳✶✳ ✣↕✐ ❧÷ñ♥❣ ❱❈❇
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳ ❈❤♦
❍➔♠ sè

α:I →R

α(x) → 0✱ a
x→a

❝â t❤➸ ❧➔

I

❣å✐ ❧➔ ✤↕✐ ❧÷ñ♥❣ ❱❈❇ t↕✐

+∞

❤♦➦❝

❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳ ✣➸ tç♥ t↕✐
❤➔♠ sè


t số ừ

ỵ

s

q

1 , 1

q

= o()

t

a

t

t

a

t

lim

xa


t

m

i
lim i=1
xa n


.
xa

= lim
j

j=1

ú ỵ õ ú ỵ s
ợ
tữỡ ữỡ

ữủ
ệ ế
sỷ
số tr


f

X


x X, |x x0 | < |f (x) f (x0 | < .


f

tử tr t ủ

Footer Page 10 of 145.

X



f


✾

Header Page 11 of 145.
❍➔♠ sè

f

❦❤æ♥❣ ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ ✤✐➸♠

x0

❣å✐ ❧➔ ❣✐→♥ ✤♦↕♥ t↕✐ ✤✐➸♠


✶✵

Header Page 12 of 145.
❈❍×❒◆● ✷

▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ❚➐▼ ●■❰■
❍❸◆ ❈Õ❆ ❍⑨▼ ❙➮
✷✳✶✳ ❚✃◆● ◗❯❆◆ ❱➋ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚➑◆❍ ●■❰■ ❍❸◆
❍⑨▼ ❙➮ ❱⑨ ❈⑩❈ ❉❸◆● ❱➷ ✣➚◆❍
✷✳✷✳ ❈⑩❈ P❍×❒◆● P❍⑩P ❑❍Û ❉❸◆● ❱➷ ✣➚◆❍
0
0

✷✳✷✳✶✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❞ò♥❣ ❝→❝ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝ì ❜↔♥
❱➼ ❞ö ✷✳✶✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

L = lim

❱➼ ❞ö ✷✳✷✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

L = lim

❱➼ ❞ö ✷✳✸✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

x→0

1 − cosax
✳
x2


n
x−1
√
L = lim m
(m, n ∈ N∗ )✳
x→1
x−1

◆❤➟♥ ①➨t✿ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❧♦↕✐ t♦→♥ ♥➔② ❧➔ ♥❤➙♥ ❝↔ tû ✈➔ ♠➝✉

Footer Page 12 of 145.


✶✶

Header Page 13 of 145.
✈î✐ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝õ❛ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❝❤ù❛ ❝➠♥ t❤ù❝ ✤➸
trö❝ ❝→❝ ♥❤➙♥ tû

x − x0

r❛ ❦❤ä✐ ❝→❝ ❝➠♥ t❤ù❝✳

√
❱➼ ❞ö ✷✳✻✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

L = lim

x→0


xm − 1
✳
x→1 xn − 1

P (x) = a1 x + a2 x2 + ... + an xn

✈➔

m

❧➔ sè

♥❣✉②➯♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿
m

lim

x→0

1 + P (x) − 1
a1
= .
x
m

✷✳✸✳
❈⑩❈ P❍×❒◆● P❍⑩P ❑❍Û ❉❸◆● ❱➷ ✣➚◆❍
∞
∞
❱➼ ❞ö ✷✳✶✵✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

x+1
x+2

4−3x
✳


✶✷

Header Page 14 of 145.

✷✳✺✳ ❈⑩❈ P❍×❒◆● P❍⑩P ❑❍Û ❈⑩❈ ❉❸◆● ❱➷
✣➚◆❍ ❑❍⑩❈
❱➼ ❞ö ✷✳✶✸✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

√
L = lim [ x2 − x + 3 + x]✳
x→∞

❱➼ ❞ö ✷✳✶✹✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ L

= lim

x→+∞

√
3

x3 + 3x2 −


❆✳ ◗✉② t➢❝ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧
✶✳ ◗✉② t➢❝ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧ ✶ ✭❦❤û ❞↕♥❣ 00 ✮
✷✳ ◗✉② t➢❝ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧ ✷ ✭❦❤û ❞↕♥❣ ∞
✮
∞
❇✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sû ❞ö♥❣ q✉② t➢❝ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧
❈✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö
❱➼ ❞ö ✷✳✶✼✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥
❱➼ ❞ö ✷✳✶✽✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥
❱➼ ❞ö ✷✳✶✾✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥
❱➼ ❞ö ✷✳✷✵✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

Footer Page 14 of 145.

x4
✳
x→0 x2 + 2cosx − 2
xα
L = lim x (a > 1)✳
x→+∞ a
L = lim

1
x
−
✳
x→1 x − 1
ln x
π
L = lim x −

✷✳✻✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t✐➳♣ t✉②➳♥
❆✳ ❚❤ü❝ tr↕♥❣ ✈➜♥ ✤➲
❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ♠➔ ♣❤↔✐ ❦❤û ❞↕♥❣
✈æ ✤à♥❤
m

lim

x→x0

0
✤è✐ ✈î✐ ♥❤ú♥❣ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❞↕♥❣✿
0
f (x) − n g(x)
(m, n, k tü ♥❤✐➯♥, 2 ≤ k ≤ min{m, n})✱
(x − x0 )k

t❛ t❤÷í♥❣ ❞ò♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❤➯♠ ❜ît ♠ët ❧÷ñ♥❣ ♠➔ ❝❤ó♥❣ t❛
✈➝♥ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣å✐ sè ❤↕♥❣ ✈➢♥❣✱ ❦❤✐ ➜② t❛ t❤÷í♥❣ ❣➦♣
✈➜♥ ✤➲ ❧➔ ❦❤û ✤÷ñ❝ ❞↕♥❣ ✈æ ✤à♥❤

0
0

♥❤÷♥❣ ❧↕✐ ❣➦♣ ♣❤↔✐ ❞↕♥❣ ✈æ

∞−∞

♥➳✉ ♥❤÷ sè ❤↕♥❣ ✈➢♥❣ ❧➔ ❤➡♥❣ sè✳ ◆❣✉②➯♥ ♥❤➙♥ ❧➔



Footer Page 15 of 145.

x0 ✳

❚❛ ✤➣ ❜✐➳t t✐➳♣

M0 ∈ (C)

❧➔ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛

❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐
t↕✐


✶✹

Header Page 16 of 145.
❝→t t✉②➳♥
✤ç t❤à

M0 M

(C))✳

❝õ❛ ✤ç t❤à

❞➛♥ tî✐

lim

m

lim

M

❦❤✐

❱➔ ✈➻ ✈➟② ❝â t❤➸ t❤➜② r➡♥❣ ❦❤✐

f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )

x→x0

(C)

(x − x0 )
✭y

= k(x)

✈➔

✤÷ñ❝ ✈✐➳t ❧↕✐ ❧➔✿

y = h(x)

❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐

x0 ✮✳

(x − x0 )k
m
f (x) − t(x) t(x) − n g(x)
+
(x − x0 )k
(x − x0 )k

x→x0

= lim

x→x0

✳

❈✳ ❈→❝ ✈➼ ❞ö ❧➔♠ rã ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
❱➼ ❞ö ✷✳✷✸✳√❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉✿

8x3 + x2 + 6x + 9 −
x3

L = lim

x→0

√
3

9x2 + 27x + 27


❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ✤➳♥ ❝➜♣

n

❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤♦↕♥

I = [α; β] ✈➔ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ n+1 tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (α; β)✳ ◆➳✉ a, b ∈ I

Footer Page 16 of 145.


✶✺

Header Page 17 of 145.
t❤➻ tç♥ t↕✐ ♠ët sè t❤ü❝
♥➳✉

a > b)

c

❣✐ú❛

a

✈➔

b (c ∈ (a; b)

♥➳✉

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ ❞÷ ❞↕♥❣ ▲❛❣r❛♥❣✳
◆➳✉

a=0

t❤➻ ✭✷✳✶✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ▼❛❝❧❛✉r✐♥✳

❚ø ❝æ♥❣ t❤ù❝ ▼❛❝❧❛✉r✐♥✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ✺ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ q✉❛♥ trå♥❣✿

x2
xn
+ ... +
+ o(xn )✳
2!
n!

✶✳

ex = 1 + x +

✷✳

sinx = x −

x2n−1
x3
+ ... + (−1)n−1
+ o(x2n )✳
3!
(2n − 1)!

+ o(xn )✳
2
n

❈✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö
❱➼ ❞ö ✷✳✷✺✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥
❱➼ ❞ö ✷✳✷✻✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

Footer Page 17 of 145.

√
sin(sinx) − x 3 1 − x2
L = lim
✳
x→0
x5
ex − e−x − 2x
L = lim
✳
x→0
x − sinx


✶✻

Header Page 18 of 145.
❈❍×❒◆● ✸

▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ❙⑩◆● ❚❸❖
❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚➐▼ ●■❰■ ❍❸◆ ❈Õ❆

0

✯ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥

s inx
= 1✱ t❛ ❧➜② ❤➔♠ f (u) ✈➔ ❝❤å♥ u0
x→0 x
sinf (u)
f (u) → 0✳ ❑❤✐ ✤â✿ lim
= 1✳
u→u0 f (u)

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✳ ❚ø
s❛♦ ❝❤♦

u → u0

t❤➻

lim

◆❤÷ ✈➟②✱ t❛ ❝â t❤➸ t↕♦ r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉✿

sin(x − 1)
sin(x − 1) 1
1
= lim
.
= ✳
2

1
sin2 x
1
= lim
= lim
= − lim
=− ✳
2
2
x→0
x→0 2x
4x
2 x→1 x2
2
cos x
= −1✳
= lim
π x− π
x→
2
2
sin 3x
3
sin 3x 5x
3
= lim
= lim
.
= ✳
x→0 sin 5x

2
2
2
e2 e2(x −1) − 1
e2x − e2
e2 .e2x −2 − e2
L2 = lim 2
= lim
= lim
x→1 x − 1
x→1
x→1
x2 − 1
x2 − 1
2
2
2(x
−1)
e e
−1
= 2 lim
= 2e2 .
x→1
2(x2 − 1)
2
2
ex − 1
2
ex − 1
2

a2x − 1
=
lim
= ln a✳
L1 = lim
2
2
x→0
3x
3 x→0 2x 2
3
2
a2 ax −x−2 − 1
ax −x − a2
L2 = lim
= lim
x→2
x→2
x−2
x−2
2
a .(x + 1) a(x+1)(x−2) − 1
= lim
= 3a2 ln a.
x→2
(x + 1)(x − 2)

Footer Page 19 of 145.

t❛ ❝â

x2
2x
2sin
2.
1 − cos x
2 = lim
4 = lim 2x = 0✳
L2 = lim
= lim
x→0 sin x
x→0 sin x
x→0 x
x→0
4
4
4
1
3
1
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✻✳ ❚❛ ❝â x4 − x5 ∼ x4 , x4 + x6 ∼ x4 ✱ ♠ët
4
5
4
❝→❝❤ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ t❛ s✉② r❛ ✤÷ñ❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉✿

1 4 3 5
x − x
L = lim 4 4 56 = lim
x→0 x + x
x→0

✳
x→1 x
−1
√
5
1 + 2x + 3x2 − x3 − 1
✳
L3 = lim
x→0
x

L1 = lim

✸✳✷✳✸✳ ❙û ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t✐➳♣ t✉②➳♥
✯ Þ t÷ð♥❣
❙û ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥➔② ✤➸ t↕♦ r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❣✐î✐ ❤↕♥

Footer Page 20 of 145.


✶✾

Header Page 21 of 145.
❝õ❛ ❤➔♠ sè ❞↕♥❣ ✈æ ✤à♥❤

0
0

❝❤ù❛ ❝→❝ ❝➠♥ t❤ù❝ ❦❤æ♥❣ ❝ò♥❣ ❜➟❝✳



x→0

✳

✸✳✷✳✹✳ ❙û ❞ö♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❚❛②❧♦r
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✵✳ ❚ø ❝→❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥✿

ln(1 + x) = x −
sinx = x −

x2 x3
+
+ o(x3 )✱
2
3

x3
+ o(x3 )✳
6

❚❛ ❝â ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉✿

ln(1 + x) − sin x
2x2
x2 x3
x3
x−
+
−x+


❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✶✳ ❚ø ❝→❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥✿

x5
x3
+
+ o(x5 )✱
6
120
x2 x3 x4
x5
ex = 1 + x +
+
+
+
+ o(x5 )✱
2
6
24 120
x2 x3 x4
x5
e−x = 1 − x +
−
+
−
+ o(x5 ✮✳
2
6
24 120
sin x = x −

✈➔ ❝→❝

❦❤❛✐ tr✐➸♥ tr➯♥✱ t❛ s✉② r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉✿

x3
+ o(x3 )
1
sin x − tan x
2
= lim
=− .
L1 = lim
x→0
x→0
5x3
5x3
10
x3
+ o(x3 )
−
sin x − tan x
3
2
L2 = lim
= .
=
lim
2 3
x→0 2 sin x − ex + e−x
x→0

2
= lim
= .
x→0
2 + 3x
2
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✹✳ ❚❛ ❝â

x3 x5 x7
+
−
+ o(x8 ),
3!3
5!
7!
x
2
17 7
tanx = x +
+ x5 +
x + o(x8 ).
3
15
315
s inx = x −

❚❛ s✉② r❛ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥✿

L = lim



x→0

1
(1 + 2x) 2x − e
L = lim
✳
x→0
2x

♥➯♥

1
1
ln(1+2x)
(1 + 2x) 2x − e
e 2x
−e
L = lim
= lim
x→0
x→0
2x
2x
1
ln(1+2x)
2
ln(1 + 2x)
e 2x
+

x→∞
(3x − 1)50
√
5x2 + 2 + 9x4 − 1
√
❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ L = lim
✳
x→−∞
3x − 3 x6 − 5

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✻✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✼✳

L = lim

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✽✳
√ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥✿
√

L = lim

x→∞

4x2 + x + 3 + x2 + 4x + 5
√
✳
2x + x2 + 4

✸✳✹✳ ❙⑩◆● ❚❸❖ ❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❉❸◆● 1

x

= e.

✯ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✾✳ ❚➼♥❤ ❝→❝ ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉✿

1
1
2
L1 = lim (3 − x) 4 − x = e 4 .
x→2

2x2 − x + 3
+x−1
x
L2 = lim
2
x→∞ 2x − x + 3
2x2 − x + 3
2x − 4
x
= lim 1 + 2
x→∞
2x − x + 3
2x2 − x + 3 2x − 4
.
2x − 4
2x − 4
x


◆❣♦➔✐ r❛✱ t❛ ❝ô♥❣ ❝â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧ ✤➸ t↕♦
r❛ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❞↕♥❣ ✈æ ✤à♥❤ ♥➔②✳ ❈❤➥♥❣ ❤↕♥✱
❜➡♥❣ ❝→❝❤ sû ❞ö♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝

[f (x)]g(x) = eg(x). ln f (x) (f (x) > 0)

✈➔ →♣ ❞ö♥❣ q✉② t➢❝ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧✱ t❛ t➼♥❤ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉✿

Footer Page 24 of 145.


✷✸

Header Page 25 of 145.
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✶✳

2
2
lim
. ln(1+x)
x→0
tan x
L1 = lim (1 + x) tan x = e
x→0
2
1
lim
.
x→0

2
L3 = lim (4 + x)
x→−3
2 πx
1
−1 sin 2
lim
lim
.
πx .ln(4+x)
π
2
x→−3
x→−3
4+x
cot
−
2
2
=e
=e
= e π.
=e

x→2

✸✳✺✳ ❙⑩◆● ❚❸❖ ❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❉❸◆● ❱➷ ✣➚◆❍
❑❍⑩❈
1
x

L = lim tan x − π
✳
π
−x
x→
2
2
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✺✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

L = lim [ln(2x + 1).cotx]✳
x→0

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✻✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

L = lim

x→+∞

Footer Page 25 of 145.

(x + 2)

x+5
8x3 − 3x2 + 7

✳