Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012
A.Phần mở đầu
Trong cuộc đời học sinh của mỗi người, thậm chí cả giáo viên chúng ta
khi tiếp xúc với nội dung bất đẳng thức đều quan tâm đến nguồn gốc xuất phát
của bài toán chứng minh bất đẳng thức. Trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng
học sinh giỏi, bản thân tôi đã gặp những tình huống mà học sinh đưa ra là “ Tại
sao người ta lại nghĩ được bài toán chứng minh bất đẳng thức này “ ; “ Tại sao
để tính giới hạn này người ta thêm bớt lượng này thì không được, nhưng thêm
bớt lượng kia lại giải ra “. Những câu hỏi đó luôn xuất hiện trong tâm trí của tôi
và luôn nhắc nhở tôi phải tìm hiểu nó.
Hình ảnh trực quan về tiếp tuyến của một đường cong là cơ sở để giải
thích những câu hỏi đó của các em học sinh. Cũng từ đó đã nảy sinh ra việc
nghiên cứu một phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn hàm số
mà được gọi là phương pháp tiếp tuyến. Phương pháp này thể hiện được nguồn
gốc xuất phát của bài toán nên tôi chọn đề tài “ Sử dụng phương pháp tiếp tuyến
để chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn của hàm số “ với mục đích cung
cấp một phương pháp giải toán mới cho các em học sinh và quan trọng hơn cả là
giúp các em nhìn thấy được bản chất của sự việc, hiện tượng, thấy được sự sáng
tạo ra những bài toán đẹp từ những kiến thức hết sức cơ bản, từ những hình ảnh
hết sức trực quan.
1
Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012
Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức và tìm
giới hạn của hàm số là một phương pháp rất rõ ràng và dễ áp dụng để giải một
lớp các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn hàm số, một nội dung
mà học sinh luôn gặp trong bất cứ kì thi nào và hầu hết các em học sinh đều gặp
rất nhiều khó khăn trong việc xác định phương pháp giải. Hi vọng phương pháp
này sẽ xoá tan tâm lí “ sợ “ gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giới
hạn hàm số của học sinh. Chính vì vậy mà đề tài này rất cần thiết cho các đối
tượng là các em học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi, các em học sinh đang
chuẩn bị cho kì thi đại học và tất cả các em học sinh muốn tìm hiểu một hướng

α β
∀ ∈
. Đẳng thức xảy ra khi
0
x x=
.Từ đây ta có
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
( )
n n
f x f x f x a x x x nb+ + + ≥ + + + +
hoặc
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
( )
n n
f x f x f x a x x x nb+ + + ≤ + + + +
với
( )
1 2
, , , ;
n
x x x
α β
∀ ∈
và đẳng thức
xảy ra khi
1 2 0

n

α β
∀ ∈
b.Thực trạng vấn đề :
Bất đẳng thức là một vấn đề rất quan trọng và khó đối với học sinh cấp
trung học phổ thông. Học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc xác định
phương pháp giải vì không có một phương pháp và đường đi rõ ràng. Có những
cách giải từ trên trời rơi xuống. Học sinh không thể hiểu được vì sao người ta lại
nghĩ ra được một bài toán như vậy, vì sao lại có một bài giải như vậy. Trong đề
tài này tôi xin trình bày một phương pháp mà nếu học sinh không nắm được cơ
sở lí luận đó thì sẽ không hiểu tại sao lại có một lời giải như vậy, và khi học sinh
nắm được cơ sở lí luận của phương pháp này rồi thì việc sử dụng phương pháp
này thật rõ ràng cụ thể, các em sẽ có thể tự chứng minh được một lớp các bất
đẳng thức và có thể tự sáng tác ra các bài toán chứng minh bất đẳng thức.
c.Các bước tiến hành
Nếu gặp các BĐT thuần nhất hoặc đồng bậc ta nên chuẩn hóa, tùy vào đặc
điểm từng bài mà ta có cách chuẩn hóa phù hợp để đưa bất đẳng thức về dạng
các biến được cô lập dạng
( )
1
( )
n
f x f x
α
+ + ≥
hoặc
( )
1
( )
n
f x f x

( )
0
0h x ≠
,
2,k k≥ ∈¥
, kiểm nghiệm
( ) ( ) 0f x g x x D− ≥ ∀ ∈
hoặc
( ) ( ) 0f x g x x D− ≤ ∀ ∈
.
 Từ đó đưa ra lời giải : ta có
( ) ( ) 0
i i
f x g x− ≥
hoặc
( ) ( ) 0
i i i
f x g x x D− ≤ ∀ ∈
,
, 1,
i
x D i n∀ ∈ =
 Cộng
n
bất đẳng thức theo vế ta được điều phải chứng minh
Các ví dụ làm rõ phương pháp
Ví dụ 1: Cho
, , 0a b c >
. CMR:
( )

( )f x
=
( )
2
2
2 1
, 0;1
3 2 1
x x
x
x x
+ +
∈
− +
. Dấu “=” của BĐT xảy ra khi
a b c= = =
1
3
4
Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
x =
1
3
là :
y =
4
4
3
x +

2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
8
2 (1 ) 2 (1 ) 2 (1 )
a b c
a a b b c c
+ + +
+ + ≤
+ − + − + −
,
, ,a b c
( )
0;1 , 1a b c∈ + + =
Ta có
( )
2
2 2
1
4
4
2 (1 ) 3
a
a
a a
+
 
− + =
 ÷
+ −

( ) ( )
( )
2
2
3 1 4 1
0 0;1
3 2 1
b b
b
b b
− − +
≤ ∀ ∈
− +
( )
2
2 2
1
4
4
2 (1 ) 3
c
c
c c
+
 
− + =
 ÷
+ −
 
( ) ( )

4
≥ −
và
1a b c+ + =
.
5
Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012
CMR:
2 2 2
9
1 1 1 10
a b c
a b c
+ + ≤
+ + +

Phân tích :
Dấu “=” xảy ra khi
1
3
a b c= = =
Xét hàm
( )f x =

2
1
x
x +
, tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
1

Vì vậy ta có lời giải sau :

2
1
a
a +

36 3
50
a +
−
=
( )
( )
2
2
3 1 (4 3)
50 1
a a
a
− − +
+
3
0
4
a≥ ∀ ≥ −

2
1
b

( )
2
2
3 1 (4 3)
50 1
c c
c
− − +
+
3
0
4
c≥ ∀ ≥ −
Cộng ba BĐT ta được :

2 2 2
9
1 1 1 10
a b c
a b c
+ + ≤
+ + +

∀
, ,a b c
3
4
≥ −
và
1a b c+ + =

=
( ) ( )
2
1 2 0x x x x− + ≥ ∀ ∈
( )
0;+∞
Suy ra
2
2a a+
2
2b b+ +
2
2c c+ +
9≥
Suy ra BĐT được chứng minh
Bài tập rèn luyện:
1.Cho các số thực
, ,a b c
>0 thỏa
1a b c
+ + =
.CMR:
9
1 1 1 10
a b c
bc ac ab
+ + ≥
+ + +
HD: Ta có
( )

. Khi đó BĐT có thể được viết lại :
7
Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012
1 1 1 1 1 1
9 4
1 1 1a b c a b c
 
+ + + ≥ + +
 ÷
− − −
 
.Dấu “=”xảy ra khi
a b c= = =
1
3
Dẫn đến việc xét hàm
( )f x
=
2
1 5x
x x
−
− +
, tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có
hoành độ
1
3
là
18 3y x= − +
.Ta xét

∈
 ÷
 
suy ra
( )
( ) 18 3f x x− − +
1
0 0;
2
x
 
≥ ∀ ∈
 ÷
 
.
Từ đó có lời giải bài toán như thế nào ?
3.Cho
, ,a b c
>0.CMR:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
( ) ( ) ( ) 5
b c a a c b b a c
b c a a c b b a c
+ − + − + −
+ + ≥
+ + + + + +
Phân tích : Vì BĐT cần chứng minh là thuần nhất nên ta chỉ cần chứng minh

=
2
1
2 2 1x x− +
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại điểm có hoành độ
1
3
là
54 27
25
x
y
+
=
Ta xét
( )f x
54 27
25
x +
−
=
( )
( )
( )
2
2
3 1 (12 2)
0 0;1
25 2 2 1

a
a a
− +
− ≤ ∀ ∈
− +
2
1
2 2 1b b− +
54 27
25
b +
−
=
( )
( )
( )
2
2
3 1 (12 2)
0 0;1
25 2 2 1
b b
b
b b
− +
− ≤ ∀ ∈
− +
2
1
2 2 1c c− +

2 2 1c c− +
≤
54 27
25
a +
54 27
25
b +
+
54 27
25
c +
+
=
27
5
9
Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012
4.Cho
, ,a b c
>0 . CMR:
( )
2 2 2 2 2 2
1 3 1 1 1
3 3
a b c a b c a b c
a b c
+
 
+ + + + ≥ + + + + +

3
là :
y =
1 2 3 2 2 3
3
3
x
+ +
− +
Ta xét
( )f x
1 2 3 2 2 3
3
3
x
+ +
+ −
=
( ) ( )
( )
2
3 1 1 3
0 0;1
3 3
x
x
x
− +
≥ ∀ ∈
Vì vậy ta có lời giải sau:

3 3
b
b
+
−
1 2 3 2 2 3
3
3
b
+ +
+ −
=
( ) ( )
( )
2
3 1 1 3
0 0;1
3 3
b
b
b
− +
≥ ∀ ∈
1 3 1
3 3
c
c
+
−
1 2 3 2 2 3

− + + + + ≥ − + + + + =
5. Cho
, ,a b c
∈¡
:
6a b c+ + =
.CMR:
4 4 4
a b c+ +
3 3 3
2( )a b c≥ + +
Phân tích:
Dấu “=” của BĐT xảy ra khi
2a b c
= = =
BĐT
⇔
( ) ( ) ( )
4 3 4 3 4 3
2 2 2 0a a b b c c− + − + − ≥
.
Ta xét hàm
4 3
( ) 2f x x x= −
.Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại
điểm có hoành dộ 2 là
8 16y x= −
.
Ta có
( ) (8 16)f x x− −

0 b≥ ∀ ∈¡
4 3
2 8 16c c c− − +
=
( )
( )
2
2
2 2 4c c c− + +
0 c≥ ∀ ∈¡
Cộng ba BĐT lại với nhau ta được :
4 4 4 3 3 3
2( ) 8( ) 48a b c a b c a b c+ + ≥ + + + + + −
6. Cho
, ,a b c
>0. CMR:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
6
5
a b c b a c c a b
a b c b a c c a b
+ + +
+ + ≤

1
2 2
1 1
1 1

1 1 1 1
n
n n
x
x
x x x x
+ + ≤ + +
+ + + +
9.Cho a.b.c.d>0 thỏa
1ab bc c d da
+ + + =
. CMR:
3 3 3 3
1
3
a b c d
b c d c d a d a b a b c
+ + + ≥
+ + + + + + + +

10. Cho
, ,a b c
>0. CMR:
( ) ( ) ( )
( )

13. Cho
, ,a b c
>0,
2 2 2
3a b c+ + =
. CMR:
( )
1 1 1 4
7
3
a b c
a b c
+ + + + + ≥
14. Cho
, ,a b c
>0. CMR:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
375
11
3 3 3
a b c b a c c a b

.
12
Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012
CMR:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
16
25
1 1 1 1
a b c d
a b c d
+ + + ≤
+ + + +
18. Cho
, ,a b c
>0. CMR:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
2 2 2
a b c
a b c b a c c a b
+ + ≤
+ + + + + +
19. Cho n số thực dương thỏa mãn

là các số thực dương sao cho
2 2 2
3a b c+ + =
CMR:
5 2 5 2 5 2
1 1 1
1
3 3 3a a b b c c
+ + ≤
+ − + − + −
22.Cho
, ,a b c
>0 và
3a b c+ + =
.CMR:
2 2 2
1 1 1
3
3 3 3 3 3 3a a b b c c
+ + ≤
− + − + − +
23. Cho
, ,a b c
>0,
4 4 4
3a b c+ + =
. CMR:
1 1 1
1
4 4 4ab bc ca

13
Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012
phát hiện được tính chất và từ đó tạo ra hướng sáng tạo được những bài toán
đẹp và phương pháp giải toán hiệu quả. Phương pháp này đã được áp dụng cho
đối tượng là học sinh lớp 12T2 và đội tuyển học sinh giỏi khối 12 trong chuyên
đề ‘Một số phương pháp giải tích chứng minh bất đẳng thức”. Trong chuyên đề
này các em đã có thể tự giải những lớp bài toán chứng minh bất đẳng thức thuần
nhất hoặc cùng bậc trong các kì thi Olympic Quốc tế và hơn thế nữa các em đã
có sự tập tành nghiên cứu khoa học là tự sáng tác các bài toán chứng minh bất
đẳng thức. Mặc dù không phải bất cứ bài toán chứng minh bất đẳng thức nào
cũng có thể giải bằng phương pháp trên nhưng ít ra nó cũng đã giúp các em có
một phương pháp rõ ràng, dễ thực hiện đối với một lớp các bài toán chứng minh
bất đẳng thức khó và quan trọng hơn cả nó đã giúp các em thấy được xuất xứ
của bài toán chứng minh bất đẳng thức và các em cũng có thể tự sáng tác bài
toán chứng minh bất đẳng thức tạo sự hứng thú học tập và sáng tạo cho các em .
Từ đó tạo một niềm tin trong học tập cho các em, tạo một thái độ học tập là phải
nắm được cái cốt lõi của vấn đề, và chính những điều đó đã giúp các em các em
học sinh giỏi trong đội tuyển 12 đạt kết quả tốt trong kì thi học sinh giỏi tỉnh : 1
giải nhất, 2 giải nhì và 2 giải khuyến khích.
14
Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012
2.Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để tìm giới hạn dạng vô định
0
0
a.Cơ sở lí thuyết :
Giả sử hàm số
( )y f x=
có đạo hàm tại
0
x

0
0
( ) ( )
lim
m n
k
x x
f x g x
x x
→
−
−
(
, ,m n k
tự nhiên,
{ }
2 min ,k m n≤ ≤
), người ta thường có kĩ
thuật xử lí là thêm bớt một lượng mà chúng ta vẫn hay gọi là phương pháp gọi
số hạng vắng, khi ấy ta thường gặp phải vấn đề là khử được dạng vô định
0
0
nhưng lại gặp phải dạng vô định
∞ − ∞
nếu như số hạng vắng là hằng số. Nguyên
nhân là dạng vô định
0
0
mà ta khử sau khi thêm bớt hằng số vắng, không phải là
hai lượng vô cùng bé cùng cấp. Vấn đề đặt ra là số hạng vắng đó tìm như thế

k
x x
f x g x
x x
→
−
−
(
( )y f x=
và
( )y g x=
có đạo hàm tại
0
x
) Khi đó ta thực hiện theo các bước sau :
 Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số
( )y f x=
hoặc
( )y g x=
tại
0
x
, giả
sử được
( )y t x=
 Tính
( )
0
0
( ) ( )

3
3 2 2
3
0
8 6 9 9 27 27
lim
x
x x x x x
x
→
+ + + − + +
Lời giải :
Đặt
( )f x
=
3 2
8 6 9x x x+ + +
,
( )g x
=
3 2
9 27 27x x+ +
. Phương trình tiếp tuyến của
hàm số
( )y f x=
tại điểm có hoành độ 0 là
3y x= +
. Khi đó T=
16
Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012

→ →
 
 
 
+
 
+ +
 
+ + + +
 
 
=
37
27
Ví dụ 2: Tìm giới hạn T=
4
2
2
0
cos 2 2 1 2 4
lim
x
x x x x
x
→
− − + −
Lời giải :
Đặt
( )f x
=

0
cos2 2 1 1 1 2 4
lim
x
x x x x x x
x x
→
 
− − − − − + −
 
+
 
 
=
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
4 3 2 2
2 2
2
3 2 2 3
2
0 0
4 6 (1 1 2 )
2sin
lim lim
( ) (1 )
1 1 ( ) (1 ) ( ) ( )
x x

1 1 ( ) (1 ) ( ) ( )
x x
x
x x
x
x
f x x
x x g x x g x g x
→ →
−
− + +
− −
+ +
+
+ −
 
− + − + − +
 
=
3 5 1
2 4 4
− + = −
Bài tập rèn luyện
17
Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012
1.Tìm giới hạn
3
2
0
1 2 1 3

→
+ + + − +
4. Tìm giới hạn
( )
( )
( )
( )
3
0
2 2
3
lim
1 2 1 1 3 1 3
x
x
x x x x
→
+ + − + +
Phương pháp tiếp tuyến đã giúp học sinh có được một phương pháp rõ
ràng và hiệu quả trong việc tìm giới hạn của một lớp hàm số không phải bằng
cách mò mẫm hoặc giải hệ tìm hàm. Chính vì vậy trong phần giới hạn hàm số,
các em học sinh lớp 11T2 năm học 2010-2011 đã học tập rất tốt trong chương
giới hạn hàm số, đặc biệt là đối với những giới hạn mà phải gọi hàm số vắng thì
các em rất thành thạo trong việc khử các dạng vô định
0
0
này, vì các em rất hiểu
rõ bản chất của hàm số vắng đó là gì.
18
Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012

, và giới hạn có dạng vô định
0
0
,(
, ,m n k
tự nhiên ,
{ }
2 min ,k m n≤ ≤
) và
' '
0 0
( ) ( )f x g x=
Việc vận dụng phương pháp tiếp tuyến trong chứng minh bất đẳng thức
và tìm giới hạn hàm số thật sự là một phương pháp giải toán vô cùng hiệu quả
trong việc giải một lớp các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn
19
Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012
hàm số. Qua việc vận dụng phương pháp này chúng ta có thể rèn luyện được
phương pháp tư duy khoa học, phát triển vấn đề từ những vấn đề cơ bản và cuối
cùng là rèn luyện cách nhìn nhận vấn đề một cách sâu sắc từ gốc rễ, không qua
loa đại khái, hời hợt bên ngoài.
Tài liệu tham khảo
[1] Phan Quốc Khánh, Phép tính vi tích phân, NXBGD 1997
[2]Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam
[3]Tài liệu mạng
20
Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012
21
Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012
MỤC LỤC