SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU TIẾN
s¸ng kiÕn kinh nghiÖmĐỀ TÀI: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
Người thực hiện: Trần Mạnh Hân
Tổ chuyên môn : Toán - Tin
nhìn khá mới mẻ. Nội dung chính của phương pháp là nhìn một bài toán đại số theo quan
điểm hình học, khi giải quyết bài toán này đỏi hỏi chúng ta phải tọa độ hóa bài toán đại
số. Như vậy, việc chọn hệ trục tọa độ như thế nào là rất quan trọng. Việc chọn hệ trục tọa
độ hợp lý sẽ giúp cho việc giải quyết bài toán là nhanh gọn, trong sáng.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng một hệ thống bài tập theo độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho học sinh
cách ứng dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài liệu liên
quan khác,…
- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT Nguyễn
Hữu Tiến.
- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử với
lớp đối chứng.
4. Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm
- Mục lục
- Mở đầu
- Nội dung
- Thực nghiệm sư phạm
- Tài liệu tham khảo
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 2
PHẦN 2: NỘI DUNG
I. CƠ Sở LÍ THUYếT
1. Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong mặt phẳng
a) Định nghĩa:
. Bộ hai số
( ; )
x y
được hoàn toàn xác định bởi
điểm
M
và được gọi là toạ độ của điểm
M
, ký hiệu
( ; )
M x y
.
- Cho
a
trong mặt phẳng
Oxy
. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm
M
sao cho
OM a
. Gọi
( ; )
x y
1 1 2 2
1 2
1 1 2 2
( ; )
( ; )
. .
a b a b a b
ka ka ka
a b a b a b
d) Các công thức về độ dài, góc, khoảng cách:
Cho hai véctơ
1 2 1 2
( ; ), ( ; )
a a a b b b
và gọi
là góc tạo bởi hai véctơ đó.
i) Độ dài véctơ:
.
e) Phương trình đường thẳng
- Phương trình của đường thẳng
d
đi qua điểm
0 0
( ; )
M x y
và nhận véctơ
( ; )
n a b
làm véctơ
pháp tuyến là:
0 0
( ) ( ) 0
a x x b y y
.
- Khoảng cách từ điểm
0 0
2 2 2
( ) ( )
x a y b R
.2. Một số bất đẳng trong hình học
a) Bất đẳng thức véctơ
i)
a b a b a b
- Dấu “=” bên trái xảy ra khi
,
a b
ngược hướng hoặc
0
a
hoặc
0
b
a b
ngược hướng hoặc
0
a
hoặc
0
b
.
- Dấu “=” bên phải xảy ra khi
,
a b
cùng hướng hoặc
0
a
hoặc
0
b
) ngắn nhất khi
H
là hình chiếu vuông góc của
M
trên đường thẳng
.
d
II. BÀI TậP
Phương pháp:
+ Biến đổi hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về dạng tọa độ để xác định véctơ, các
điểm, các đường có tọa độ từ điều kiện và biểu thức ban đầu.
+ Chuyển bài toán từ dạng đại số về dạng hình học tọa độ, giải bài toán bằng phương
pháp hình học từ đó suy ra kết quả dạng đại số.
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2 2
( ) 1 3 1
f x x x x x
với
x
.
Giải:
Viết lại hàm số dưới dạng:
2 2
2 2
1 3 3 1
Oxy
.
Cách 1:
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 4
Chọn
1 3 3 1
; ; ;
2 2 2 2
u x v x
3
( 0)
3 1
k
u kv k
x
.
Vậy
min ( ) 2
f x
khi
3 1
2
2
1 3
2 2
AC x
Nên ta có:
( )
f x AC BC
.
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
2 2
3 1 1 3
2
2 2 2 2
AC BC AB
- Về cách chọn điểm hoặc chọn vectơ trong bài 1:
+ Cách 1: Việc chọn vectơ
,
u v
cần phải khéo léo để sao cho
u v
là một hằng số đồng
thời dấu “=” phải xảy ra.
+ Cách 2: Câu hỏi đặt ra là tại sao lại chọn cặp điểm
1 3 3 1
; , ;
2 2 2 2
A B
B
nằm cùng
phía so với trục
Ox
. Khi đó để tìm giá trị nhỏ nhất của
AC BC
bài toán sẽ dài hơn
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 5
bằng cách chọn điểm
'
B
đối xứng với
B
qua
Ox
, tức là
3 1
' ;
2 2
B
.
- Mở rộng bài toán:
+ Thứ nhất: Liệu các hệ số của các biểu thức có phải là bất kì không? Nếu thay
2
1
x x
bởi biểu thức
2
x x
hay
2
1
x x
thì sao?
Trả lời: Do áp dụng công thức khoảng cách hoặc độ dài của một véctơ nên biểu thức dưới
dấu căn phải luôn dương.
+ Thứ hai: Hệ số của
2
x
trong hai biểu thức của hàm số có nhất thiết phải bằng nhau
không? Nếu không thì sao? Ví dụ:
2 2
, , ,
m n p q
là các giá trị
không đổi). Và với điểm
C
bất kì thay đổi thì khi áp dụng công thức khoảng cách để tính
,
AC BC
ta luôn được hệ số của
2
x
là bằng nhau.
+ Thứ ba: Khi thay bằng hàm số
2 2
( ) 1 3 1
f x x x x x
có thể đạt giá trị
lớn nhất hoặc nhỏ nhất hay không?
Trả lời: Do cách chọn điểm mà hàm số
( )
f x
sẽ đạt được giá trị lớn nhất. Nếu như muốn
tìm giá trị lớn nhất của hàm số này ta sẽ chọn
1 3 3 1
; , ;
2 2 2 2
A B
( ) 2 2 2 2
f x x px p x qx q
, (
,
p q
là hai số cho trước)
Giải:
TH1: Xét
0
p q
Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
xét các điểm
( ; ); ( , )
A x p p B x q q
. Khi đó :
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 6
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
f x x p p x q q OA OB
.
Khi đó
, ,
A O B
theo thứ tự thẳng hàng
p q p p q
x p
x
q x
q p q
.
Do độ dài đoạn
AB
không đổi với mọi vị trí của
,
A B
nên ta có:
2 2
min ( ) ( ) ( )
| |
q p p q
f x f AB p q p q
p q
Bài 3: Cho
, , ,
a b c h
là bốn số dương cho trước và
, ,
x y z
là ba số thực thay đổi sao cho
,
ax by cz k
(
k
là số cho trước). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2 2 2 2 2 2
( , , )
f x y z a h x b h y c h z
(1)
Giải:
Trên hệ trục
Ouv
, lấy được các điểm:
( , ), (( ) ; ), ( ) ;
A ah ax B a b h ax by C a b c h ax by cz
Ta có:
2 2 2 2 2 2
theo
thứ tự thẳng hàng.
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 7
ax ax by ax by cz
ah ah bh ah bh ch
k
x y z
a b c
Như vậy:
2 2 2
; ; ( )
k k k
f k a b c h
a b c a b c a b c
2
x x
Phân tích:
Nếu làm như bài 1 thì ta chỉ tìm được giá trị nhỏ nhất mà không tìm được giá trị lớn nhất.
Với bài này ta sử dụng định lí: “Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó”.
Giải:
Viết lại hàm số dưới dạng:
2 2
( ) 1 ( 1) 1 ( 1)
f x x x
Xét hệ trục tọa độ
Ouv
, trên đó xét điểm cố định
(2;2)
N
và điểm chuyển động
(1;1 )
1 ( 1) , 1 ( 1)
OM x MN x
Suy ra
( ) .
f x OM MN
Nên
( ) 2.
f x ON
+ Vậy
( )
f x
đạt GTNN bằng 2 khi
, ,
O M N
theo thứ tự thẳng hàng hay
M
là giao điểm
của
ON
và
0 1
M M
. Dễ dàng tìm được
(1;1)
M
khi
1
x
;
1
[ ;1]
2
min ( ) 2
x
f x
khi
0.
x
Bình luận:
- Bài này có thể sử dụng phương pháp hàm số nhờ việc giải phương trình
'( ) 0
f x
không khó như bài 1.
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 8
N x y
.
Ta được
2 2 2 2
( 1) ( 1)
OM ON x y x y
Do
OM ON MN
nên
2 2 2 2 2
( 1) ( 1) 2 1
x y x y y
Đẳng thức xảy ra khi
, ,
M O N
theo thứ tự thẳng hàng. Từ đó ta được
0.
x
Do đó
2
2 1 2 ( )
A y y f y
( ) 2 3, 2.
f y y
Dấu bằng xảy ra khi
3
3
y
.
+ Nếu
2
y
, tương tự ta được
2
( ) 2 1 2 2 5 2 3
f y y y
.
Vậy
2 3
A
với mọi số thực
, .
x y
Khi
3
0,
3
, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2 2 2
( ) 2 2 2 2 ( 3 1) 1 2 ( 3 1) 1
f x x x x x x x
Giải:
Phân tích vế trái:
2 2
2 2
2 2
3 1 3 1
( ) ( 1)
2 2 2 2
f x x x x x x x
Khi đó:
( )
f x MA MB MC
Nên
( )
f x
nhỏ nhất khi
M
nhìn 3 cạnh
, ,
AB BC AC
của
tam giác
ABC
dưới một góc 120
0
. Dễ thấy tam giác
ABC
đều, tâm
O
nên
( )
f x
đạt giá trị nhỏ nhất khi
M O
hay
0
0
.
- Biến điểm
M
thành điểm
N
- Biến điểm
C
thành điểm
M
Khi đó, theo tính chất của phép quay và do góc quay bằng
60
0
ta được :
,
AM MN CM NP
.
Vậy tổng
MA MB MC
nhỏ nhất
tổng
BM MN NP
nhỏ nhất
, , ,
f x y x y x y x y
trong đó
,
x y
là các số thực. (Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 1998)
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 10
Phân tích : Trong hàm số
( ; )
f x y
xuất hiện căn bậc hai, gợi chúng ta nghĩ đến công thức
khoảng cách giữa hai điểm.
Giải:
Xét các điểm
( 1;1); (1; 1); ( 2; 2)
A B C
và điểm
( ; )
M x y
trong hệ trục tọa độ vuông góc
Oxy
. Ta có :
M
nhìn 3 cạnh
, ,
AB BC CA
của tam giác
ABC
dưới một góc 120
0
. Với chú ý
ABC
cân
tại
C
nên
[ ].
M OC
Ta tính
( ; ) :
f x y
Xét ta giác vuông
OMA
có
0
f x y
là
6 2 2
.
Bài 8: Cho
2 2
1.
a b
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
1 1
P a b b a
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, chọn
( ; ), 1 ; 1
u a b v b a
Khi đó ta được
2 2
1; 2 .
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 11
Kết hợp với điều kiện ban đầu
2 2
1
a b
ta được
2
2
a b
Vậy
x y z
Khi đó
1 1 1
;u v w x y z
x y z
Ta có
2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
( ) 81( ) 80( )
x y z x y z x y z
x y z x y z
u v w
cùng hướng và
1
x y z
hay
1
.
3
x y z
Bài 10: Cho các số thực dương
, ,
a b c
thỏa mãn
.
ab bc ca abc
Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức :
2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b b c c a
P
ab bc ca
Khi đó ta có
2 2 2 2 2 2
2 2 2
; ;
a b b c c a
u v w
ab bc ca
1 1 1 2 2 2
;u v w
a b c a b c
a b c
Áp dụng bất đẳng thức
u v w u v w
ta được :
3
P
.
Vì ba véctơ đều khác
0
nên dấu "=" xảy ra khi 3 véctơ
, ,
u v w
cùng hướng và
.
ab bc ca abc
Vậy
min 3
P
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, ta xét các véctơ :
16 8 4 8
( ;2), ( ; ), (4 ;2), ( ; )
5 5 5 5
a x b x c x d x
Ta có :
2 2
2 2
16 8
2 ,
5 5
a x b x
( )
2
f x a b c d
1
4 2 2
2
a c b d
Dấu bằng xảy ra khi
,
a c
cùng hướng và
,
b d
, ( 1,2,3 , )
i i
x y i n
là
2
n
số thực thỏa mãn :
1 1
1
n n
i i
i i
x y
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1
n
i i
i
P x y
.
Giải:
n n
n i i
i i
M x y
mà
1 1
1
n n
i i
i i
x y
nên
n
M
sẽ nằm trên đường thẳng:
Gọi
H
là chân đường vuông góc kẻ từ
O
đến đường
thẳng
1
x y
, thì
2
2
OH
.
Khi đó ta luôn có:
1 1 2 1
,
n n
OM M M M M OH
hay
2
2
P
.
Dấu "=" xảy ra
1 2
, , , ,
n
Vậy
2
min
2
P khi
1
, ( 1,2, , )
2
i i
x y i n
n
.
Bài 13
: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :
2 2
( ; )
f x y x y
trên miền
( ; ) | 2 8 0; 2 0;2 4 0
x y x y x y x y
, với
H
là chân đường cao hạ từ
O
xuống
AC
.
2 2
2.0 0 4
4
( ; )
5
2 1
OH d O AC
.
+
( ; ) max ; ; max 4; 20;2 20
f x y OA OB OC
khi
M B
hay
a b c d
. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức :
5 2 5 2 5
P a b c d ac bd
Giải:
Nếu gọi
( ; ), ( ; ), (1;2)
M a b N c d P
thì từ điều kiện
2 2 2 2
5
a b c d
ta thấy
, ,
M N P
là
các điểm nằm trên đường tròn tâm
O
bán kính
5
.
Và biểu thức có thể viết thành
2 2 2 2 2 2 2 2
5 5 2 2
2 2
dụng tính chất : "Trong các tam giác nội tiếp đường
tròn, tam giác đều có chu vi và diện tích lớn nhất".
Nên
P
đạt giác trị lớn nhất khi tam giác
MNP
đều
và nội tiếp đường tròn bán kính
5
. Khi đó ta được
chu vi
MNP
bằng
3 15
.
Vậy :
3 30
2
P
.
Dấu “ = ” xảy ra khi
1 2 3 2 3 1 2 3 2 3
; , ;
2 2 2 2
M N
Bài 15: Cho
, , ,
a b c d
là bốn số thực thỏa mãn điều kiện sau :
2 2
2 2
1 2( )
73 14( )
a b a b
c d c d
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức :
2 2
( ) ( )
P a c b d
.
Giải:
Từ điều kiện ta có :
(1;1)
O
bán kính 1 và đường tròn tâm
2
(7;7)
O
bán kính 5.
Và ta cũng có
2 2 2
( ) ( ) .
MN a c b d
Nối
1 2
,
O O
cắt đường tròn bé tại
,
G E
và cắt
đường tròn lớn tại
,
F H
. Khi đó tính được tọa
độ các điểm :
2 2 2 2
1 ;1 ; 1 ;1
2 2 2 2
G E
5 2 5 2
7 ;7
2 2
H
.
Ta có
1 2 1 2
O O O M MN NO
2(6 3 2) 36(3 2 2); 2(6 3 2) 36(3 2 2)
EF GH
Từ đó suy ra:
36(3 2 2) 36(3 2 2)
P
Vậy
min 36(3 2 2)
P
khi
,
M E N F
hay
5 2 2
7 , 1
2 2
a b c d max 36(3 2 2)
P
khi
,
M G N H
1
u x
u v
u v
v x
Tức là, xét trên hệ tọa độ
Ouv
thì
,
u v
.
Đặt
1
4
u x
v x
khi đó hệ (1) có nghiệm khi và chỉ
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
suy ra từ đồ thị hàm số
0
u v
tịnh tiến lên trên
đơn vị.
Hệ (2) có nghiệm nếu đường thẳng
u v
cắt cung
AB
, tức nó nằm giữa hai đường
thẳng
5
u v
và
5
u v
. Từ đó suy ra
5 5
.
Vậy ta có
2
4 0
y x
thì bài toán trở thành :
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
( , )
f x y x y xy
thỏa mãn
2 2
4
0
x y
y
.
Điều kiện này xác định một nửa đường tròn tâm
O
bán kính 2 lấy phía trên trục hoành.
2
4 ( 0)
y x y
khi đó hệ (1) có nghiệm khi hệ
sau có nghiệm:
2 2
4 (2)
0
x y xy
x y
y
Suy ra :
2
x y
x y
y
2 2
1 5 2
4 (**)
0
x y
x y
y
. Ta suy ra:
5
2 1 5 2 2 2 2 2 2.
2
Tương tự, hệ (**) có nghiệm khi
5
2.
2
Kết luận: Hệ (1) có nghiệm khi
5
2 2 2.
2
Vậy:
5
min ( )
2
f x
khi
1 7
2
x
là một giá trị tùy ý của
( ; )
f x y
trên
. Điều này có nghĩa hệ sau có nghiệm:
2 2
2 2
( 6) ( 3) 25,
( 4) 25,
2 4,
0, 0
x y
x y
x y
x y
x y
suy ra tạo độ
điểm
( 5;2 5 4)
A
.
Đường thẳng
x y
qua
A
khi
4 5
.
và
2
x y
là hai vị trí giới hạn mà đường thẳng
x y
cắt miền
D
. Từ đó suy ra:
max ( ; ) 2
f x y
khi
2; 0
x y
và
min ( ; ) 4 5
f x y
khi
5; 2 5 4.
x y
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Xin đưa ra một số bài tập áp dụng phương pháp tọa độ để quý thầy cô và bạn bè đồng
trên
.
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
( ) 1 4
y f x x x
trên miền
| 1 4
x x
.
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
( ) 1 4
y f x x x
trên miền
| 1 4
x x
.
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
( ) 3 6 (3 )(6 )
y f x x x x x
trên miền
x a x a
x a
x
Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
2 2 2 2
( ; ) 2 12 37 6 6 18
f x y x y x y x y x y
Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2 2
( ; ) ( 6) 100 ( 1) 4
f x y x x
.
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 20
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 2 2 2
2 2 2 2 ,( )
y x px p x qx q p q
ta có
2 2 2 2 2 2
( ) ( )
a c b d a b c d
.
Bài 16: Chứng minh rằng
,
x y
ta có:
2 2
( )(1 ) 1
2
(1 )(1 )
x y xy
x y
Bài 17: Chứng minh rằng
, , , , ,
a b c x y z
ta có:
2 2 37 6 6 18 5
a b a b a b a b
b)
2 2 2 2
4 2 1 6 18 5
a a a b b b
Bài 20: Chứng minh rằng
, , ,
a b c d
ta
có:
2 2 2 2 2
2 5 2 1 2 1
a a a ab b b bc c
2 2
2 1
c cd d
2
10 26 6 2
d d
ta có:
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 21
a)
2 2 2 2 2 2
4 cos cos sin ( ) 4 sin sin sin ( ) 2
x y x y x y x y
b)
4 4 2 2
cos cos sin sin 2
x y x y
c)
2 2
sin 2 sin sin 2 sin 3
x x x x
Bài 24: Chứng minh rằng
, 0
a b c
ta có:
8.
xy yz zx
Bài 27: Chứng minh rằng
[0;1]
x
ta có:
4 4 4
1 1 2 8
x x x x
.
Bài 28: Cho
n
số thực
1 2
, , ,
n
a a a
nhóm này có lực học khá và tương đương nhau.
3. Nội dung thực nghiệm
Dạy thực nghiệm nội dung: Sử dụng phương pháp tọa độ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
4. Đánh giá kết quả thực nghiệm
a) Đề kiểm tra: Phát phiếu kiểm tra khả năng giải bài tập của học sinh: Thời gian 45’
Bài 1 (3đ): Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
2 2
( ) 4 29 4 5
y f x x x x x
trên
.
Bài 2 (4đ): Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
( ) 1 4
y f x x x
trên miền
| 1 4
x x
.
Bài 3 (3đ): Cho
, , 0
a b c
và
2
:
i
x
là điểm kiểm tra
:
i
n
là tần số của các giá trị
i
x
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 23 :
n
là số học sinh tham gia (
20
n
).
Kết quả thu được:
TN §C
7,05; 5,6
x x
toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cũng như bài toán chứng minh bất đẳng thức. Nếu khéo
léo chọn hệ trục toạ độ phù hợp, vận dụng phương pháp vectơ và toạ độ thì có thể chuyển
thành bài toán đại số hoặc giải tích và tìm ra lời giải ngắn gọn, phần nào làm sáng tỏ vấn
đề của đề tài.
Tuy nhiên, không phải tất cả các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nào cũng có
thể dùng phương pháp tọa độ. Ngoài phương pháp tọa độ nêu trên thì còn rất nhiều kĩ
thuật, phương pháp để giải đối với bài toán này. Tuy nhiên phương pháp này cho thấy
việc sử dụng phương pháp tọa độ trong hình học vào giải quyết các bài toán đại số là rất
mạnh mẽ, làm cho việc trình bày lời giải trở nên gọn gàng, sáng sủa.
Thông quan bản sáng kiến kinh nghiệm này, tôi mong muốn được đóng góp một
phần nhỏ bé công sức trong việc hướng dẫn học sinh ứng dụng và khai thác phương pháp
tọa độ một cách có hiệu quả khi làm toán, rèn luyện tính tích cực, phát triển tư duy sáng
tạo cho học sinh, gây hứng thú cho các em khi học toán.
Qua nội dung đề tài, tôi mong muốn có sự tìm hiểu sâu hơn nữa về bài toán tìm giá
trị lớn nhất, nhỏ nhất và bài toán chứng minh bất đẳng thức cũng như muốn nghiên cứu
mối quan hệ giữa “Hình học” và “Đại số”.
Tuy nhiên, do thời gian có hạn, trình độ bản thân còn hạn chế, nên tôi rất mong
được sự đóng góp bổ sung của Hội đồng khoa học các cấp và của các đồng nghiệp để
sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn chỉnh hơn, đồng thời cũng giúp đỡ tôi tiến bộ
và thành công hơn trong giảng dạy.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Duy Tiên, tháng 4 năm 2014
Người viết
ThS. Trần Mạnh Hân
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
Copyright: Tài liệu đại học ©