
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

!"#$%&'()*'+',-'. /
0 12345&67)73'83)9" ":1
Đơn vị '',-'.
;<=>!????????????????????????????????

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG VEC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
"+@!"#$%&'(
AB@CD#!
EF#GHI 
E-IJ$KL!?'I????????????????? 

EAB@MI!???????????????????????????????????????????????????????

Có đính kèm:  !"#$%&'"(
;L )B&4N464O -K ,PMI
 #)")!"#$#*+
"QK!RS/TERS/U?

1? THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
/? ,C!"#$%&'(
R? "$IQK=!/VESVE/WXS
V? "KY!"K
T? )*Z!'[T\/]<.A')^"
U? )J!S_/VUVV/SSN&FO`N"aOb)'4)!SWVWSXX_UX
_? cd! eEKG!&=WSfKG?K
g? &D! IC

II?'qYGwCLp!|S dng phương php vctơ
v ta đ đ gii mt s! bi ton v$ phương tr&nh, hệ phương tr&nh v b)t phương
tr&nh|
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
a.Tìm hiểu việc giải một số bài toán thông qua một bài cơ bản của học sinh
F#+LIJ+LP$jxK
ILt#K$K=>I}=zJl?
,m#l@=IIM=IKM}IKzwM
Q@$[p#M}IIIKo}=z
Gss~~?
b. Tìm hiểu những phương pháp các giáo viên đã vận dụng
F#+K#[m#lIIC+<P
YIKow@I#$ww@}=
!"#$%&'()*'+',-'. V

xKIqIli?'#$CPkK
Ik#t#•zup#MkMQ?
'pM,=y)J&r}IQKI
rDm#ML
l#>o=',-'I
rDGKYIMkkzm=@I
GJ}*BIwIIqlD
J?'@l=>=IKIl=DKI$Kk?
lt#Ir
DMkMQ?
F#@lJ$p#QKL$€$l#K$}=
P$LKJJpd#=IMl!“s dng vec tơ v ta đ đ gii phương tr&nh,
hệ phương tr&nh, b)t phương tr&nh v b)t đẳng thức”?"jKs=[=#
CKMlDM(hY$l#KqkshMlt#M
IrDk

E'[D=GPPC=†#$>M#
l}=? ICt#=I€s~IKMuMkMQ$
=[DP=MIIP*o<#ƒ*
@Io?
!"#$%&'()*'+',-'. U

A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Kiến thức cơ bản:
a.Tính chất vectơ
&‡
/ R / R
 ˆ N b O  ˆ N b O
r r
N%
∈
aO
/ / R R
/ / R R
 ‰  ˆ N ‰  b ‰  O
 E  ˆ N E  b E  O
M ˆ NMbMO
r r
r r
r r r
b.Tích vô hướng của hai vec tơ!
&‡
/ R / R
 ˆ N b O  ˆ N b O
r r


uuur
e. Bất đẳng thức vec tơ:
!"#$%&'()*'+',-'. _

ŠTính chất 1!
R
R
 ˆ  S≥
r r
4#rD‹d$ŒMZM
 ˆ S
r r
• Tính chất 2!R

r


r
k!

 ‰   ‰ ≥
r r r r

 E   E ≥
r r r r
)rDd$MZM

r



Bài 1 : Giải phương trình:

R R R
d E Rd‰ R ‰ d E/Sd‰ VT ˆ Ed ‰ TdE T ‰ T R
(1)
Giải :
N/O
( ) ( )
R R
R
/ / U W T T T RL L L L⇔ − + + − + = − + − +
!"#$%&'()*'+',-'. g

]‡KurJML.u
 ˆ NdE/b/O b  ˆ NUE dbVO b  ‰  ˆ NTbTO
r r r r

Theo BĐT vec tơ
 ‰   ‰ ≥
r r r r
ta có:
( ) ( )
R R
R R
dE/ ‰/ ‰ UE d ‰ W T ‰ T ˆ T R
≥

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto

r r

d /
≥

N/O
R R
N dE/ ‰VO ‰/_ E N dE/ E/O ‰/ ˆ U⇔
]‡KurJML.u)u
 ˆ N dE/ ‰ VbTO   ˆ N dE/ E/b/O  E  ˆ NTbVO
r r r r
!"#$%&'()*'+',-'. X

'rDk!
 E   E ≤
r r r r
R R
N dE/ ‰ VO ‰/_ E N dE/ E/O ‰/ U⇔ ≤
4#jd$MZM

r r
xo
M ! ˆ M? M S
⇔ ∃ >
r r
dE/ ‰V ˆ MN dE/ E/O
N dE/ ‰ VO ˆ TN dE/ E/O
T ˆ M


⇔ ⇔



R R
Nd‰/O ‰ T ‰ NVE dO ‰ T T R⇔ ≥
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto

r r
cùng hướng
M ! ˆ M
⇔ ∃
r r
, k>0
d‰/ˆ MNVE dO M ˆ/
R ˆ RM d ˆ/
 
⇔ ⇔
 
 
Vậy phương trình có nghiệm là x=1
Bài 4: Giải phương trình:
R R
d E Td‰U ‰ d E Td‰/V ˆ T
(1)
Giải:
(1)
R R
NdE RO ‰/ ‰ NR E dO ‰ W ˆ T⇔
]‡KurJML.Đặt
 ˆ NdE Rb/O b  ˆ NR E dbVO
r r


⇔ ⇔
 



Vậy phương trình có nghiệm là x=2
Bài 5: Giải phương trình!
R
dE/ ‰ d ˆ V‰ RNdEVO ‰ RdE RN/O
Giải
)p#M
/L ≥
]‡KurJML.I!
 ˆ NdEVb dE/O ˆ N/b/O
r r

R
 ˆ NdE VO ‰ NdE/O  ˆ R? ˆ dE/ ‰ dE V
⇒
r r urr
#$N/O
?  ? ≥
r r r r
NŠO
;uMIrDk
?  ? ≤
r r r r
NŠŠO
'qNŠONŠŠO=#$!
? ˆ  ?  ⇔

R
 ?  ? R d ‰/ d d‰/ ‰ VE d
≥ ⇔ ≥
r r r r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

r r
cùng phương
M ! ˆ M ⇔ ∃
r r

d ˆ M d‰/
/ˆ M VE d


⇔



Ta thấy x=3 không là nghiệm của hệ phương trình nên
V V
d ˆ M d‰/
d VE d ˆ d‰/ d E Vd ‰ d‰/ˆ S
/
M ˆ
VE d


⇔ ⇔


r r
'.)'
?  ? ≤
r r r r
k!d
R R R
/‰ d ‰ X E d V d ‰/≤
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

r r
cùng hướng
M ! ˆ M
⇔ ∃
r r
, k>0
R
R R
T R
R
d S
d ˆ M d ‰/
d ‰/ d X E d
d E g d ‰/ˆ S
/ˆ M X E d

≥


⇔ ⇔ = ⇔
 

R T R T
]‡KurJML.u!
!"#$%&'()*'+',-'. /V

/ V / V
 ˆ d‰ b  ˆ E db  ‰  ˆ N/b VO
R R R R
   
⇒
 ÷  ÷
   
r r r r
'.)'!
 ‰   ‰ ≥
r r r r
=#$
R R R R
/ V / V
d ‰ d‰/ ‰ d E d‰/ ˆ Nd‰ O ‰ ‰ N E dO ‰
R T R T
≥
R
4#jd$MZM

r r
xo
M ! ˆ M? M S
⇔ ∃ >
r r
/ /

⇒



r
r r
r

R R R
 ˆ d E Rd‰ R  ˆ Td ‰/Rd‰ RU  ‰  ˆ Wd ‰/Rd‰ RW
⇒
r r r r

#$N/O!
!"#$%&'()*'+',-'. /T


 ‰  ˆ  ‰ 
r r r r

/
M ˆ
dE/ˆ MNRd‰ VO
T
 ˆ MNM • SO
/ˆ M?T g
d ˆ
R



$
≥
E
/
V
'qNRO
⇔
Vd‰/‰/R ‰ V$‰/‰/R ˆ X

)u
 ˆ N Vd‰/b /RO   ˆ N V$‰/b /RO   ‰  ˆ N Vd‰/ ‰ V$‰/bR /RO
r r r r
'.)'k!
 ‰   ‰ ≥
r r r r
( )
R
Vd‰/‰/R ‰ V$‰/‰/R Vd‰/ ‰ V$‰/ ‰ TX ˆ X≥
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto

r r
cùng hướng
M ! ˆ M
⇔ ∃
r r
, k>0
!"#$%&'()*'+',-'. /U


Vd‰/ ˆ M V$‰/

V
R
)u
 ˆ N Rd‰ UbTO   ˆ N R$‰ VbTO   ‰  ˆ N Rd‰ U ‰ R$‰ VbXO
r r r r
'.)'k!
 ‰   ‰ ≥
r r r r
( )
R
Rd‰ U ‰/_ ‰ R V /_ Rd‰ U ‰ R$‰ V ‰ _T ˆ/S. + + ≥
)rDd$MZMR‡

r r
xo
M ! ˆ M
⇔ ∃
r r
, k>0

Rd‰ U ˆ M R $‰ V Rd‰ U ˆ R$‰ V
T ˆ M T M ˆ/
 
 
⇔ ⇔
 
 
 
⇔
$ˆd‰/

R R R
R R R
d‰/ ‰ T ‰ $‰/ ‰ T d‰ $‰ R ‰ X ˆ/S
⇔ ≥
)rDd$MZMR‡

r r
xo
M ! ˆ M ⇔ ∃
r r
, k>0
d‰/ˆ $‰/ d ˆ $⇔ ⇔
N/O
⇒
dˆ$ˆR
6P$kuK!NRbRO
Bài 4:Giải hệ phương trình!
R R
R V R
d X E $ ‰ $ X E d ˆ/_ N/O
d ‰/R ˆ $ ‰ R$ NRO





!
)p#M!
R R d R Rb R R $ R R− ≤ ≤ − ≤ ≤
!"#$%&'()*'+',-'. /g

Bài 5:N)pJQKRS/TO
Giải hệ phương trình:
R
V
d /R E $ ‰ $N/R E d O ˆ /R N/O
Nd$ aO
d EXdE/ˆ R $E R NRO


∈



!
)p#M!
/R d /RbR $ /R
− ≤ ≤ ≤ ≤
)u
R
 ˆ Ndb /R E d O b  ˆ N /RE $b $O
r r
k!
 ˆ  ˆ /R
r r
N/O
R R
 ‰  ˆ R?  ˆ  d ˆ /R E $⇔ ⇔ ⇔
r r r r r r
NRO
V R

)p#M!
U d V V d U− ≤ ≤ − ≤ ≤
'Kur3d$u!
(
)
( )
R R
 ˆ d E Vb U E d  ˆ /b/
r r
'k!
 R  R= =
r r
'pk!
? R  ≥ =
r r r r
'.)'k!
?  ≤
r r r r
?  ⇒ =
r r r r
MZM

r


r
xo
R R
d EV ˆ U E d d ˆ ’R⇔ ⇔
6P$K!dˆRdˆER

xo
g
R dE/ ˆ VE d d ˆ
U
⇔ ⇔
6P$K!dˆ
g
U
Bài 3: Giải bất phương trình!
V d‰ V ‰ g E d /S
≤
!
)p#M!
V d g− ≤ ≤
'Kur3d$u!
( )
( )
 ˆ d Vb g E d  ˆ Vb/+
r r
'k!
 /S  /S= =
r r
'k!
?  ≤
r r r r
G#Ls
6P$K!
V d g− ≤ ≤
Bài 4:&T=>@d$“?
&DKj!Nd

‰
R
O
≥
Nd“‰$O
R
rDd$
d ˆ $“
⇔
Bài 5: Chứng minh rằng!
T T R R
d ‰/ E $ ‰/ d E $  d$ a
≤ ∀ ∈
Giải
'KurJ3d$I!

R
R R
R
 ˆ Nd b/O
 E  ˆ Nd E $ bSO
 ˆ N$ b/O


⇒



r
r r


r
ˆN“b
/
“
O

r
‰

r
‰

r
ˆNd‰$‰“b
/
d
‰
/
$
‰
/
“
O
'.)'!
 ‰  ‰   ‰  ‰ ≥
r r r r r r
k!
( )
2

V
V
/
/_R d$“? EXS ˆ XR
d$“
≥
6P$
2 2 2
2 2 2
1 1 1
x + + y + + z + 82
x y z
³
Bài 7!&DKjl#d$“•S
R R R R R R
d ‰d$‰ $ ‰ d ‰ d“‰“ • $ ‰ $“‰“
Giải
.rDmDKo!
$ V “ V $ “ V V
R R R R R R
Nd‰ O ‰ N $O ‰ Nd‰ O ‰ N “O • N E O ‰ N $‰ “O N/O
R R R R R R R R
]‡VK
V V V
R R R R R R
$ $ “
:Nd‰  “O b.NS $‰ “O b&N E SO
N/O
⇔
:.‰:&•.&




−


)!NE/bVO
U? !
V R V
dNU E $O ‰ $NU E dO ˆ U
d ‰ Vd ‰U$‰ $ ˆ//X





)!NTb/ObNT`WbT/`WO
_? !
R
V
N /O U E $ ‰ $NT RdE d O ˆ U
d ‰ Vd ˆ R $ _
L

− +


+



KLI=',-'.|?
!"#$%&'()*'+',-'. RV

E'M#LM[p$L<>K=>IKICI
o•=',-'(KYP>?YwK
xho=?;=>PGp,
ŽjKo•=@‚G#$CM•Q}
K?
E.CJkiGhPKLI=KL<
@om#kMlt#>†+',-'.E;+#
x=i#xdkp#MkMQ}Z)^"?
E6oY<GKhq@lLIJ$I†+',-'
Lt#p$LKhkKmyMKJ$I
LIJ$$IID#m#P}=
@>KC#I?
E'JKpoMQkJ((pzp#Jl
l#=k?aKh=@kHi}I^ph
kI?
2. Kết quả thực nghiệm
EF#MKC>hGo/SUNVV=OG!oMMLI
=IMlMKIK+oMIzGssK
=>KGJMLlGK?#Mo•IK=IIK
l#kMlt#>=#!
]lGJ
)>h
y nI '# –l#
'o =# 'o =# 'o # 'o =#
/SU
'ZG
S

'qkGK=†=lI#$MQIJP
MIjKsIKkIGo[t#IbIKJMlt#>
PIM?4kp$kMQIJK
J#t#?
'Ci$GK=>=#$Bpd#}LKkkx^
s~=GK=†KIM”#>„‚G#$
=wQw@#$=IJP=#$?
't#IC=Jp$(=…MLIMyYl#=k?;
Ph=@kHi}^,^#$CKLIp
=#}Lh>?'LdiK?
VI.TÀI LIỆU THAM KHẢO
/?8I-?#9:# #" ,-?N#01O"d#)Jt#>
,"?'?="#$%nlKEAC'*,?
R? #9:# #"89:PQ4<#9:P"].{E6€)J;#
V?8I,-?#9:# #"=-!@01"].)Jt#>,"?'m)
'?
T?H.&CR11? =-!@01!"].)Jt#>,",6Q
&?
U? #9:# #"89:PQ4<#9:P"].{E6€)J;#
_?H.&N# ? A.?%S=-!@0)"].)Jt#>'->,^
&w;E- ?')P#'l&
611? PHỤ LỤC
1. Phiếu thăm dò ý kiến của hc sinh v$ việc hc ton
Học sinh:>l#IGVX_b>l##phG!V/X
Câu 1!,DsPKLI}K˜
4"07;TCN# 
aw 'w .+ nLw
gVERV— /SREVR?/— /RVEVX?g— RSE_?V—
!"#$%&'()*'+',-'. RU