Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u
h t tCHUYÊN
p://w
wHỌC
. t aTỌA
i l ĐỘ
i eKHÔNG
u p r GIAN
o.co
ĐỀ w
HÌNH
h t t p : / / w wGV:wPhạm
. t Thành
a i l Luân
ieupro.co
Toànw
bộ công
thức

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
Mục Lục :

1- TÓM TẮT LÝ THUYẾT – DẠNG TOÁN CHƯƠNG 3 HH LỚP 12

CHUYÊN ĐỀ 8.1: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
CHUYÊN ĐỀ 8.2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

CHUYÊN ĐỀ 8.3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

CHUYÊN ĐỀ 8.4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
CHUYÊN ĐỀ 8.5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

CHUYÊN ĐỀ 8.6: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201
www.facebook.com/tailieupro

 u p r o . c
lie
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
TÓM TẮT LÝ THUYẾT – DẠNG TOÁN CHƯƠNG 3 HH LỚP 12
I. TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VECTƠ
TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM

1. M ( xM ; yM ; zM )  OM  xM i  yM j  zM k

TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ
1. a  (a1; a2 ; a3 )  a  a1 i  a2 j  a3 k

2. Cho A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB)

2. Các tính chất:

Cho hai vecto a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) ta có:



AB  ( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A )


AB, AC 

2

b) Diện tích h b hành ABCD: SABCD   AB, AD 


c) Thể tích tứ diện ABCD: VABCD 

 ka  (ka1; ka2 ; ka3 )

z

 a.b  a1b1  a2b2  a3b3

 x  x y  yB z A  z B 
M A B ; A
;

2
2 
 2
4. G là trọng tâm của ABC thì:

a) Diện tích tam giác ABC:

 a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )

1
AB, AC  . AD

i  (1;0;0)

x

2

 a  b  a.b  0  a1b1  a2b2  a3b3  0
a1.b1  a2 .b2  a3 .b3
 cos(a, b) 
a12  a22  a32 . b12  b22  b32

(với a  0 , b  0 )
3. Tích có hướng của 2 vectơ:
a
a  b   a, b    2
 b2
Độ dài tích có hướng :
a
 a, b    2
 
 b2


2

a3 a3
;
b3 b3

a1 a1 a2 

 
5. Điều kiện 3 vectơ đồng phẳng:

a, b, c đồng phẳng   a, b  .c  0
 

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
1. Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng: Cho 2mp
(  1 ): A1 x  B1 y  C1 z  D1  0

6. A, B, C thẳng hàng AB, AC cùng phương.
KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm Mo(xo;yo;zo) đến mặt phẳng
(  ): Ax + By + Cz + D = 0:

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201
www.facebook.com/tailieupro

2


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
(  2 ): A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 A2 ; B2 ; C2  0

Axo  Byo  Czo  D

d ( M o ,( )) 

A2  B 2  C 2

A B C
 (  1 ) cắt (  2 )  1 ; 1 ; 1 có một cặp khác nhau
A2 B2 C2
 (  1 ) // (  2 )



A1 B1 C1 D1








d2 qua M2 và có VTCP a2
  a , a   0  d1 cắt d2
d1//d2    1 2 
  a1 , a2   0


 M1  d 2

  a1 , a2  .M 1M 2  0
  a1 , a2   0


d1  d2  
 M1  d 2
d1 chéo d2  a1 , a2  .M1M 2  0
d1  d 2
 a1.a2  0

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

a) Cách 1:
 x  x0  a1t

Cho d:  y  y0  a2t và (  ): Ax  By  Cz  D  0
z  z  a t
0

d d1 , d 2 
 a1 , a2 


4. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song:

d d1 , d 2  d M , d 2 (lấy M  d1 )

5. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song:

d (1 ), ( 2 )  d M , ( 2 ) (lấy M  (1 ) )

6. Khoảng cách giữa đt và mp song song:

d d , ( )  d M , ( ) (lấy M  d )
GÓC

1. Góc giữa 2 mặt phẳng:

Cho (1 ) có VTPT n1 , ( 2 ) có VTPT n2 , ta có :

cos  

n1.n2

n1 . n2

2. Góc giữa 2 đường thẳng:

Cho d1 có VTCP a1 , d2 có VTCP a2 , ta có :

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u


h t t p : / / w w w . t a i l i e u p rr Io . c o




lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw

2

2

r I

2

r  IA

Vậy ptmc (S): ( x  a) 2  ( y  b)2  ( z  c) 2  r 2

Dạng 2: Mặt cầu (S) có đường kính AB:
Mặt cầu (S) có:
 x  x y  yB z A  z B 
+ Gọi I là trung điểm của AB  Tâm I  A B ; A
;

2
2 
 2
+ Do (S) có đkính AB nên có bkính: r  AB 
2

(Ta có thể tính bán kính r = IA hay r = IB)
Vậy ptmc (S): ( x  a) 2  ( y  b)2  ( z  c) 2  r 2

 xB  xA    yB  yA    zB  z A 
2


Dạng 4: Mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A,B,C,D:
+ Gọi ptmc (S): x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 (đk: a 2  b 2  c 2  d  0 )
+ Do (S) đi qua 4 điểm A,B,C,D nên: (Thay lần lượt tọa độ A,B,C,D vào ptmc (S) có hệ 4 pt, giải hệ tìm
a,b,c,d)
+ Vậy ptmc (S): x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0

III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201
www.facebook.com/tailieupro

4


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u

h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o

M 0  x 0 ; y0 ; z 0 

(VTPT là vectơ vuông góc với mp(P))

P)

 Ptmp (P) có dạng: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

2. Chú ý

3. Các trường hợp đặc biệt:

* Nếu (P) : Ax + By + Cz + D = 0 thì có
véctơ pháp tuyến là n  ( A; B; C ) .

 ( ) / /Ox  ( ) : By  Cz  D  0 D  0  ( )  Ox

* Ptmp theo đoạn chắn: Nếu mp(P) cắt các
trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0),
B(0;b;0), C(0;0;c) thì:
(P):

 ( ) / /Oy  ( ) : Ax  Cz  D  0 D  0  ( )  Oy
 ( ) / /Oz  ( ) : Ax  By  D  0 D  0  ( )  Oz
(Oxy ) : z  0; (Oxz ) : y  0; (Oyz ) : x  0 .

x y z
   1 ( a, b, c  0) .
a b c


2/ (P)  d:  y  y0  a2t (hay d:
)


a1
a2
a3
z  z  a t
0
3

+ VTCP của d là: a d  (a1;a 2 ;a 3 )

+ Do (P) // (Q) nên (P) có VTPT là: n (P)  a d  (a1;a 2 ;a 3 )
3/ (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB
 x  x y  yB z A  z B 
+ Gọi I là trung điểm của AB  I  A B ; A
;
  ( P)
2
2 
 2
+ Do (P)  AB nên (P) có VTPT: n  AB  xB  x A ; yB  y A ; zB  zA

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201
www.facebook.com/tailieupro

d

nP  a d







lieu
P) p r o . c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e P)u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c



t ph :t /t /pw
w
w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
:// w
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
P)


d

d

ad

2/ (P) // AB hay (P) chứa AB thì AB là 1 VTCP của (P)

B

A

AB

3/ (P)  (Q) thì VTPT n  Q  của Q là 1 VTCP của (P)

n Q

P)

Q)

 x  x0  a1t
x  x0 y  y0 z  z0

4/ Chú ý: Nếu (P) chứa d:  y  y0  a2t (hay d:
)


a


D

+ mp(P) tiếp xúc mặt cầu  d(I, (P))  R  D (I và R là tâm và bán kính của mặt cầu (S))

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201
www.facebook.com/tailieupro

6


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u

http://ww
w
.
t

lieupro.c
h t t p : / / w w
 w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. Phương trình tham số: Muốn viết phương trình 2. Phương trình chính tắc: Muốn viết phương
tham số của đt d ta cần tìm 2 yếu tố:
trình chính tắc của đt d ta cần tìm 2 yếu tố:
+ Điểm thuộc d là: M0(x0;y0;z0)

+ Điểm thuộc d là: M0(x0;y0;z0)

+ VTCP của d là: a  (a1;a 2 ;a 3 ) , a  0

+ VTCP của d là: a  (a1;a 2 ;a 3 ) , a1; a2 ; a3  0

(VTCP là vectơ nằm trên d hay song song với d)

 Ptts của d:

 Ptct của d:

x  x0 y  y0 z  z0


a1
a2

x  x0 y  y0 z  z0
 x  x0  a1t
* Chú ý: Nếu d:



a1
a2
a3
Cho d:  y  y0  a2t và (P): Ax  By  Cz  D  0
z  z  a t
và (P): Ax  By  Cz  D  0
0
3

+ Tọa độ giao điểm I của d và (P) là nghiệm của
+ Tọa độ giao điểm I của d và (P) là nghiệm của hệ:
hệ
 x  x0 y  y0 z  z0
 x  x0  a1t



a2
a3
y  y  a t
 a1

0
2

 x  x0  a1t

 Ptts của d:  y  y0  a2t (t  )
z  z  a t
0
3


Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201
www.facebook.com/tailieupro

7


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u




P)

 x  x0  a1t
x  x0 y  y0 z  z0

2/ d //  :  y  y0  a2t (hay  :
)


a
a
a
1
2
3
z  z  a t
0
3




d

+ VTCP của  là: a   (a1;a 2 ;a 3 )

+ Do d //  nên d có VTCP là: a d  a   (a1;a 2 ;a 3 )

3/ d qua 2 điểm A, B thì d có VTCP: ad  AB  xB  x A ; yB  y A ; zB  zA

M0

1/ d   thì VTCP a  của  là 1 VTPT của d



a

d

2/ d // (P) hay d nằm trong (P) thì VTPT n  P  của (P) là 1 VTPT của d

n P

d

P) d

3/ d  AB thì AB là 1 VTPT của d

B AB

d A

3/ Bài toán 3: d có điểm thuộc, chưa có 1 VTCP hoặc d có 1 VTCP, chưa có điểm thuộc (bài toán
này thường cho đt d “cắt” đường thẳng  cho trước)

 x  x0  a1t

1/ PP chung: Giả sử d đi qua A và cắt  :  y  y0  a2t tại M

Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u







d B a
lieupro.c
ABr o . c
lieu
p
A
h t t p : / / w w w . t a i l i de u pa r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c

t ph :t /t /pw: /w/ w

z  z  a t
z  z  b t '
1
3

0
3


+ VTCP của đt d1 là : ad1  (a1 ; a2 ; a3 )

2

+ VTCP của đt d1 là : ad2  (b1 ; b2 ; b3 )
+ Gọi A, B là chân đường vuông góc chung của d1, d2
+ Ta có: A  d1  A( x0  a1t ; y0  a2t ; z0  a3t )
B  d 2  B( x1  b1t '; y1  b2t '; z1  b3t ')
+ AB là đường vuông góc chung


 AB  ad1
 AB.ad1  0
 Giải hệ tìm t, t’


AB

a
AB
.

+ Dựa vào dữ kiện đề bài để tìm ẩn t  M(...;...;...)

* Các dữ kiện hay gặp:

1/ AB  ( xB  xA )  ( yB  y A )  ( zB  z A )
2

2/ d (M ,( )) 

2

2

Axo  Byo  Czo  D

A2  B 2  C 2
 a, MM 0 


M0  d
3/ d ( M , d ) 
a

4/ ABC vuông tại A  AB  AC  AB. AC  0

(Cần đưa ptđt d về ptts)

1
AB, AC 


o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u





http
: / / w w w . t a i l i e u p r o . c o


lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
5/ ABC cân tại A  AB  AC

1/ HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC
Dạng 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên mp (P):
+ Lập ptđt d qua A và vuông góc với (P):
 A(x0;y0;z0)  d
 VTCP: a  nP
(Do d  (P))

 x  x0  a1t

 ptts của d:  y  y0  a2t
z  z  a t
0
3

+ Gọi H là hình chiếu của A lên (P), ta có: H  d  ( P )
+ Thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ H.
Dạng 2: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đt d:
+ Lập ptmp (P) qua A và vuông góc với d:
 M0(x0;y0;z0)  (P)
 VTPT: n  ad (Do (P)  d)
 ptmp (P): A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
+ Gọi H là hình chiếu của A lên d, ta có: H  d  ( P )
+ Thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ H.
Dạng 3: Tìm hình chiếu vuông góc d’ của đt d trên mp (P): (d cắt (P))
+ Gọi A  d  ( P ) ,thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ A
+ Lấy điểm M  d, viết ptđt  qua M và  (P)
+ Gọi B    ( P) ,thay ptts  vào pt (P) tìm tọa độ B
+ Viết ptđt d’ đi qua 2 điểm A, B là đt cần tìm.

d


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u




h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o


lieupro.c
http://ww
w . t a i l i e u p r o . c

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c

+ Thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ H.
+ Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P)
 H là trung điểm của AA’  A ' 2 xH  xA ; 2 yH  y A ; 2 zH  z A

H

P)

A'

Dạng 2: Tìm điểm đối xứng A’ của điểm A qua đt d:

+ Lập ptmp (P) qua A và vuông góc với d:
 M0(x0;y0;z0)  (P)
 VTPT: n  ad (Do (P)  d)
 ptmp (P): A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
+ Gọi H là hình chiếu của A lên d, ta có: H  d  ( P )
+ Thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ H.
+ Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d
 H là trung điểm của AA’  A ' 2 xH  xA ; 2 yH  y A ; 2 zH  z A

d

A'

P) A H

Dạng 3: Viết ptmp (P’) đối xứng với mp (P): Ax+By+Cz+D=0 qua
điểm A




d (M 0 , d ) 
a

3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

d1 qua M1 và có VTCP a1 ; d2 qua M2 và có VTCP a2
d d1 , d 2 

 a1 , a2  .M 1M 2


 a1 , a2 



4. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song:

d d1 , d 2  d M , d 2 (lấy M  d1 )

5. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song:

d (1 ), ( 2 )  d M , ( 2 ) (lấy M  (1 ) )

6. Khoảng cách giữa đt và mp song song:

d d , ( )  d M , ( ) (lấy M  d )

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e uIp r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i deA ur Hp rB o . c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
VIII. VỊ TRÍ GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU
1/ Bài toán 1: Mặt phẳng cắt mặt cầu

+ Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính r.

+ Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn giao tuyến
(C) (có tâm H và bán kính r’)  d(I, (P))  r

I

+ H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(P).

r

A

+ IH = d(I,(P))

P)
r  IH  d(I,(P)

+ r = IH = d(I,(P))

IX. VỊ TRÍ GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT CẦU

1/ Bài toán 1: Đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt

+ Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính r.
+ Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A và B
 a d , IM 


 d(I, d) 
r
ad
+ H là hình chiếu vuông góc của I lên đt d.
+ H là trung điểm của AB
2

2
 AB 
+ r  AH  IH  
  d(I, d)
 2 
+ Tam giác IAB cân tại I, tam giác IAH vuông tại H
*Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt cầu (S):
 x  x0  a1t


thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u







lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
2/ Bài toán 2: Đường thẳng tiếp xúc mặt cầu

+ Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính r.


/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u







lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c

 0  (0;0;0), i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1)
 a cùng phương b (b  0)

 a.b  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3

 a  kb (k  )
a1  kb1
a
a a

 a2  kb2
 1  2  3 , (b1 , b2 , b3  0)
b1 b2 b3
a  kb
3
 3
 a  b  a1b1  a2b2  a3b3  0
 a 

 a 2  a12  a22  a32
 cos(a, b ) 

a.b

a .b



a12  a22  a22



3
3
3


 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :
 x  x  x  xD y A  yB  yC  yD z A  z B  zC  zC 
G A B C
;
;


4
4
4


Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201
www.facebook.com/tailieupro

14


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập

lieupro.c
lieupro.c
4. Tích có hướng của hai vectơ
a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a  (a1; a2 ; a3 ) , b  (b1; b2 ; b3 ) . Tích có hướng
của hai vectơ a và b, kí hiệu là a, b , được xác định bởi
 a a3 a3 a1 a1 a2 
 a , b    2
;
;
  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1
b
b
b
b
b
b
2
3
3
1
1
2



Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất:
 [a, b]  a;
[a, b]  b
 a, b    b, a 

VABCD 

ABCD

1
[ AB, AC ]. AD
6

Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính
góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ
diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các
vectơ cùng phương.
a  b  a.b  0
a vaø b cuøng phöông  a, b  0
a, b , c ñoàng phaúng  a, b .c  0

5. Một vài thao tác sử dụng máy tính bỏ túi (Casio Fx570 Es Plus, Casio Fx570 Vn Plus, Vinacal
570 Es Plus )
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A xA ; y A ; z A , B xB ; yB ; z B , C xC ; yC ; zC , D xD ; yD ; z D
w 8 1 1 (nhập vectơ AB )
q 5 2 2 2 (nhập vectơ AC )
q 5 2 3 1 (nhập vectơ AD )

C q53q54= (tính  AB, AC  )

C q53q54q57q55= (tính [ AB, AC]. AD )

Cqc(Abs) q53q54q57q55= (tính [ AB, AC ]. AD )

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
(tính VABCD 

1
[ AB, AC ]. AD
6

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201
www.facebook.com/tailieupro

16


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên

h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c

http
: / / w  w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t  a  i l i e u p r o . c
lieupro.c
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.

Gọi  là góc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos  bằng
A.

a.b

a.b

.

B.

a.b

Câu 2.

C.

a.b

.



D. b   2; 6; 8  .

Câu 4.

Tích vô hướng của hai vectơ a   2; 2;5  , b   0;1; 2  trong không gian bằng
A. 10.
B. 13.
C. 12.
D. 14.

Câu 5.

Trong không gian cho hai điểm A 1; 2;3 , B 0;1;1 , độ dài đoạn AB bằng
A.

Câu 6.

6.

Câu 9.

8.

C. 10.

D. 12.

B. xi  y j  zk.


a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 .

D.

a2b2  a3b3 ; a3b3  a1b1 ; a1b1  a2b2 .

Cho các vectơ u   u1 ; u2 ; u3  và v   v1 ; v2 ; v3  , u.v  0 khi và chỉ khi
A. u1v1  u2v2  u3v3  1 .

B. u1  v1  u2  v2  u3  v3  0 .

C. u1v1  u2v2  u3v3  0 .

D. u1v2  u2v3  u3v1  1 .

Cho vectơ a  1; 1; 2  , độ dài vectơ a là
A.

6.

B. 2.

C.  6 .

D. 4.

Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M không trùng với gốc tọa
độ, khi đó tọa độ điểm M có dạng
A. M a;0;0 , a  0 . B. M 0; b;0 , b  0 . C. M 0;0; c , c  0 . D. M a;1;1 , a  0 .


u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u
h t t p : / /  w w w . t a i l i e u p r o . c o

h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a  i l  i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a  i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a  i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t  a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
h t t p : / / w w  w  . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c

h t t p : / / w w w
. t a i l i e u p r o . c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul  ip eruop. cr oo .mc







Câu 15. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;0; 3 , B 2; 4; 1 , C 2; 2;0 . Độ dài các cạnh
AB, AC , BC của tam giác ABC lần lượt là

A.

21, 13, 37 .

B. 11, 14, 37 .

C.

21, 14, 37 .

D.

21, 13, 35 .

Câu 16. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;0; 3 , B 2; 4; 1 , C 2; 2;0 . Tọa độ trọng tâm G
của tam giác ABC là
5 2 4
5 2 4
5

A.  ; ;   .
B.  ; ;  .
C. 5; 2; 4 .
D.  ;1; 2  .
3 3 3
3 3 3


Câu 20. Cho 3 điểm M 2;0;0 , N 0; 3;0 , P 0;0;4 . Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của
điểm Q là
A. Q 2; 3; 4

B. Q 2;3; 4

C. Q 3; 4; 2

D. Q 2; 3; 4

Câu 21. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M 1;1;1 , N 2;3; 4 , P 7;7;5 . Để tứ giác MNPQ
là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là
A. Q 6;5; 2 .
B. Q 6;5; 2 .

C. Q 6; 5; 2 .

D. Q 6; 5; 2 .

Câu 22. Cho 3 điểm A 1;2;0 , B 1;0; 1 , C 0; 1;2 . Tam giác ABC là
A. tam giác có ba góc nhọn.
B. tam giác cân đỉnh A .
C. tam giác vuông đỉnh A .
D. tam giác đều.

Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A 1; 2; 2 , B 0;1;3 , C 3; 4;0 . Để tứ giác

ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
A. D 4;5; 1 .

. t a i l i  e u p r o . c o
h t t p : / / w w w
. t a i l i e u p r o . c o

h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o


h t t p : / / w w w .  t a i  l i e u p r o . c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c








h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c

 
 
 

lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc


B. M  0; 5;0 .

D. M  2;0;0 .

C. M  0;5;0 .

Câu 27. Cho điểm M 1; 2; 3 , hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng Oxy là điểm
A. M  1; 2;0 .

B. M  1;0; 3 .

C. M  0; 2; 3 .

D. M  1; 2;3 .

Câu 28. Cho điểm M 2;5;1 , khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng
A.

29 .

B.

5.

C. 2.

D.

26 .

B. M  3; 2; 1 .

C. M  3; 2;1 .

D. M  3; 2;0 .

Câu 32. Cho điểm M 3; 2; 1 , điểm M  a; b; c đối xứng của M qua trục Oy , khi đó a  b  c bằng
A. 6.

B. 4.

C. 0.

D. 2.

Câu 33. Cho u  1;1;1 và v   0;1; m  . Để góc giữa hai vectơ u, v có số đo bằng 450 thì m bằng
A.  3 .

B. 2  3 .

C. 1  3 .

D.

3.

Câu 34. Cho A 1; 2;0 , B 3;3; 2 , C 1; 2; 2 , D 3;3;1 . Thể tích của tứ diện ABCD bằng
A. 5.
B. 4.
C. 3.

D. h 
 AB. AC 



Câu 36. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 1; 2;0 , B 3;3; 2 , C 1; 2; 2 , D 3;3;1 . Độ
dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ABC là

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201
www.facebook.com/tailieupro

19


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u

http://www

t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
A.

9

7 2

.

B.

9
.
7

C.

9
.
2

D.


C. M  ;0;0  .
D. M  0; ;  .
2 2 2
 2 2
2
2


Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B (3; 1; 2) . Điểm M trên trục Oz và cách đều
hai điểm A, B có tọa độ là
3
3 1 3

A. M 0;0; 4 .
B. M 0;0; 4 .
C. M  0;0;  .
D. M  ; ;  .
2
2 2 2

Câu 40. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 2;3), B(0;3;1), C (4; 2; 2) . Cosin của góc BAC là
9
9
9
9
A.
.
B.
.
C. 


45
.
6

C.

6
.
45

D. 

45
.
6

Câu 43. Cho u   2; 1;1 , v   m;3; 1 , w  1; 2;1 . Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên đồng phẳng
A.

3
.
8

3
B.  .
8

C.


6
A. 6 .
B.
.
C.
.
D. .
2
3
2
Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201
www.facebook.com/tailieupro

20


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ilieupro.co
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ia
 l i e  u  p r o . c o m


.
2
Câu 49. Cho 3 vecto a  1; 2;1 ; b   1;1; 2  và c   x;3 x; x  2  . Tìm x để 3 vectơ a, b, c đồng
phẳng
A. 2.

B. 1.

C. 2.


D. 1.



Câu 50. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a   3; 2; 4  , b  5;1;6 , c  3;0; 2 . Tìm vectơ x
sao cho vectơ x đồng thời vuông góc với a, b, c
A. 1;0;0 .

B. 0;0;1 .

C. 0;1;0 .

D. 0;0;0 .

Câu 51. Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm B(1; 2; 3) , C (7; 4; 2) . Nếu E là điểm thỏa mãn đẳng
thức CE  2EB thì tọa độ điểm E là

 8 8
A.  3; ;   .

tọa độ điểm D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC
A. D (0;1;3) .

B. D (0;3;1) .

C. D (0; 3;1) .

D. D(0;3; 1) .

Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A(1;3;5) , B(4;3;2) , C(0;2;1) . Tìm tọa
độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
8 5 8
A. I ( ; ; ) .
3 3 3

5 8 8
B. I ( ; ; ) .
3 3 3

5 8 8
C. I ( ; ; ).
3 3 3

8 8 5
D. I ( ; ; ) .
3 3 3

Câu 55. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a  1;1;0 , b  1;1;0 , c  1;1;1 . Cho hình hộp

OABC.OABC thỏa mãn điều kiện OA  a ,OB  b ,OC '  c . Thể tích của hình hộp nói trên

/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u

h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o






h t t p : / / w w
w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iae i ul ipe ruo
. cr oo .mc
 p





lieupro.c
lieupro.c
A. 2).

B. 3).

C. 1); 3).

D. 2), 1)

Câu 57. Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a   1,1, 0  ; b  (1,1, 0); c  1,1,1 . Trong các mệnh đề
sau, mệnh đề nào đúng:
A. cos b, c 

6
.
3

B. a  b  c  0.
D. a.b  1.

A. a, b, c đồng phẳng.

Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD , biết A(1; 0;1) , B (1;1; 2) ,
C ( 1;1; 0) , D (2; 1; 2) . Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD bằng:
A.


C. SI  SA  SB  SC.

B. SI 

1
SA  SB  SC .
3

D. SI  SA  SB  SC  0.

Câu 60. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;0;1), D( 2;1; 1) . Thể
tích của tứ diện ABCD bằng
3
1
A. .
B. 3 .
C. 1 .
D. .
2
2
Câu 61. Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  a, SC  3a, ASB  CSB  600 , CSA  900 . Gọi G là trọng
tâm tam giác ABC . Khi đó khoảng cách SG bằng
a 15
a 5
a 7
A.
.
B.
.
C.

(đvtt) thì có hai
2

điểm S1 , S2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S1S2
A. I 0; 1; 3 .

B. I 1;0;3

C. I 0;1;3 .

D. I 1;0; 3 .

Câu 65. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 1;7), B(4;5; 2) . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng
(Oyz ) tại điểm M . Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào
Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201
www.facebook.com/tailieupro

22


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o

2

B. 2 .

C.

1
.
3

D.

2
.
3

Câu 66. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(2;1; 1), B (3;0;1), C(2; 1;3) và D thuộc
trục Oy . Biết VABCD  5 và có hai điểm D1 0; y1;0 , D2 0; y2 ;0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Khi đó y1  y2 bằng
A. 0.

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Câu 67. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1; 2; 4), B(3;0; 2), C(1;3;7) . Gọi D là
chân đường phân giác trong của góc A . Tính độ dài OD .
A.

3 74
.
2

B.

C. 2 74.

D. 3 74.

Câu 69. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm A(2; 4; 1) , B (1; 4; 1) , C (2; 4;3)
D (2; 2; 1) . Biết M x; y; z , để MA2  MB 2  MC 2  MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x  y  z
bằng
A. 7.

B. 8.

C. 9.

D. 6.

Câu 70. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B (1; 2; 0) , C (1;1; 2) . H là
trực tâm tam giác ABC , khi đó, độ dài đoạn OH bằng
A.

870
.
12

B.

 
4

 3  177 17  177  
3  177 
B. B 
;
;0  , C  0;0;
.

4
2
 
4


 3  177 17  177  
3  177 
C. B 
;
;0  , C  0;0;
.

4
2
 
4


 3  177 17  177  

o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u


h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o


h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
A. 5 10.

B. 6 10.

P  15a  30b  75c
A. 48.

B. 50.

C. 52.

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201
www.facebook.com/tailieupro

D. 46.

24


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u


u
p
ro.c



lieupro.c
lieupro.c
C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 8.1

1
A

2
B

3
A

4
C

5
A

6
D

7


a.b

.

B.

a.b

Câu 2.

C.

a.b

.

D.

a.b

a.b

ab

B.

2
.
5

Trong không gian cho hai điểm A 1; 2;3 , B 0;1;1 , độ dài đoạn AB bằng
A.

Câu 6.

6.

8.

C. 10.

D. 12.

B. xi  y j  zk.

C. x j  yi  zk.

D. xi  y j  zk.

Tích có hướng của hai vectơ a  (a1; a2 ; a3 ) , b  (b1; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí hiệu  a , b  , được
xác định bằng tọa độ
A. a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 .
B. a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 .
C.

Câu 8.

B.

Trong không gian Oxyz , gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, khi đó với M x; y; z thì OM bằng