Bất đẳng thức trong các kỳ thi thử năm 2015-2016

.NET

Mục lục

Trang

A, Đề bài BĐT trong đề thi thử THPT QG năm học 2015-2016 trên cả nước………………………...……………..6

THS

B, Lời giải BĐT trong đề thi thử THPT QG năm học 2015-2016 của các sở GD&ĐT……………… …………..38
C, Lời giải BĐT trong đề thi thử THPT QG năm học 2015-2016 của các trường THPT chuyên……………69
D, Lời giải BĐT trong đề thi thử THPT QG năm học 2015-2016 của các trường THPT không chuyên 111
E, Lời giải BĐT trong đề thi thử THPT QG năm học 2015-2016 của các diễn đàn, tạp chí…………………214

Phụ lục

TMA

F, Bài tập tự luyện……………………………………………………………………………………………………………………….243

1, Các kết quả, bổ đề được sử dụng trong tài liệu…………………………………………………………………………..264
2, 4 vấn đề về bất đẳng thức trong các kỳ thi thử…………………………………………………………………………..268

VIE

3, Một phong trào thú vị………………………………………………………………………………………………………………272

5


Chứng minh rằng:

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√

[

1

√

VIE

√
Câu 7: Cho

, . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

TMA

Câu 5: Cho

*

√

THS



. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


Bất đẳng thức trong các kỳ thi thử năm 2015-2016

là các số thực dương thoả mãn điều kiện

√
Câu 12: Cho các số thực
nhất của biểu thức:

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

√

√

thoả mãn điều kiện

. Tìm giá trị lớn

.NET

Câu 11: Cho
biểu thức:

Câu 13: Cho
là các số thực không âm thỏa mãn √
lớn nhất của biểu thức:

. Tìm giá trị

√

√

(

*

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√

là các số thực dương thỏa mãn √

VIE

Câu 17: Cho
của biểu thức:

√

√

√

. Tìm giá trị lớn nhất

√

√
Câu 21: Cho
biểu thức:

là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
(√
là các số thực dương thỏa mãn

Câu 23: Xét

là các số thực dương thỏa mãn

√

)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

(

*(

(

thỏa mãn

*


. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√

√

Câu 29: Cho
là các số thực thỏa mãn √
[
]. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√
Câu 30: Cho

là các số dương thỏa mãn

Câu 31: Cho

là ba số dương thỏa mãn

8

(

*

VIE

Câu 28: Cho các số thực

√

√

√

là ba số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

.√
Câu 33: Cho

/

là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 34: Cho 2 số thực dương

*

.NET

(
thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất và của biểu thức:

√

Câu 36: Cho



Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

VIE

thỏa mãn

Câu 39: Cho ba số thực dương
biểu thức:

√ √

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

In[

Câu 38: Cho các số dương

Câu 40: Cho

√

*

TMA

Câu 37: Cho

THS


√
Câu 43: Cho các số thực dương

thoả mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√
. Tìm giá trị nhỏ nhất

là các số thực dương thay đổi thỏa mãn

Câu 46: Cho các số dương

. Chứng minh rằng:

√

√

Câu 48: Xét các số thực dương

. Chứng minh bất đẳng thức:

TMA

Câu 47: Với các số thực dương

thỏa mãn



là các số thực đôi một phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

VIE

Câu 49: Cho

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

THS

Câu 45: Cho
thức:

thỏa mãn

.NET

Câu 44: Xét các số thực dương
của biểu thức:

√

Tìm giá trị lớn nhất

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

. Tìm giá trị lớn nhất của

√ )

√
Câu 56: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
√

√

√

√
[

] thoả mãn

. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:

√

THS

Câu 57: Cho

√

Câu 59: Giả sử
thức:

Chứng minh rằng:

TMA



thỏa mãn điều kiện
√

√

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
√

√

√
11


Bất đẳng thức trong các kỳ thi thử năm 2015-2016
Câu 64: Cho các số dương
thức:

thỏa mãn điều kiện

√

.
Câu 65: Cho các số thực

/

Tìm giá trị lớn nhất của biểu


√

√

}. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

THS

Câu 67: Cho ba số thực dương

√

.NET

Câu 66: Cho ba số thực dương

√

√

Câu 71: Cho các số dương

Câu 72: Cho các số thực dương

Câu 73: Cho

thỏa mãn


TMA

Câu 69: Cho ba số thực không âm
thỏa mãn
. Tìm nhỏ nhất của biểu thức:

thoả mãn

√

√

)

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:


Bất đẳng thức trong các kỳ thi thử năm 2015-2016
thuộc đoạn [

]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 76: Cho

là các số thực dương thoả mãn
.

√

/.

Câu 81: Cho
biểu thức:

thoả mãn

và

TMA

Câu 80: Cho ba số thực
biểu thức:

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

THS

Câu 79: Cho ba số thực dương , , thỏa mãn

là các số thực dương thoả mãn

(

và

)

√

thỏa mãn điều kiện


Câu 85: Cho 3 số thực dương

√
thoả mãn

√

√

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
13


Bất đẳng thức trong các kỳ thi thử năm 2015-2016
√
Câu 86: Cho các số thực không âm
thức:

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

là các số thực không âm thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

.NET

Câu 87: Giả sử
biểu thức:

thỏa mãn


biết rằng các góc

*

(

phân biệt thỏa mãn

là các số thực thuộc đoạn [

Câu 94: Cho các số thực không âm

thoả mãn điều kiện:
*

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

VIE

Câu 92: Cho 2 số thực dương

Câu 93: Cho
thức:

. Chứng minh rằng:

TMA

Câu 90: Cho



Bất đẳng thức trong các kỳ thi thử năm 2015-2016
Câu 97: Cho
là các số thực dương và
và nhỏ nhất của biểu thức:

[

thỏa mãn

Câu 99: Cho các số thực dương

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

thoả mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.NET

Câu 98: Cho
biểu thức:

. Tìm giá trị lớn nhất

Câu 100: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:
(

*(


√

TMA

Câu 102: Cho
của biểu thức:

THS

Câu 101: Cho
là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:
lớn nhất của biểu thức:

√

. Tìm giá trị lớn nhất

√
√
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

. Chứng minh rằng:
√

Câu 106: Cho các số
biểu thức:



] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

thỏa mãn điều kiện
√

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

.NET

Câu 108: Cho

√

√

√

là các số thực dương thỏa mãn

Câu 112: Cho

là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 113: Cho 3 số thực không âm
nhất của biểu thức:

thỏa mãn

TMA


. Tìm giá trị lớn

. Chứng minh rằng:

Tìm giá trị lớn nhất của

√

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thay đổi thoả mãn

. Tìm giá trị lớn nhất

là ba số thực dương thoả mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :


Bất đẳng thức trong các kỳ thi thử năm 2015-2016
√
Câu 119: Cho

√

√

là 3 số dương thỏa mãn


là các số thực không âm thỏa mãn

TMA

Câu 123: Giả sử

√

. Chứng minh bất đẳng thức:

là độ dài ba cạnh một tam giác. Chứng minh rằng:
(

là hai số thực thoả mãn điều kiện

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

VIE

Câu 125: Cho
thức:

*

Câu 126: Cho
là hai số thực dương thay đổi sao cho log
nhỏ nhất của biểu thức:

log


√
Câu 130: Cho

là ba số dương thoả mãn

Câu 131: Cho các số thực dương

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

thoả mãn

√

√

√

dương, chứng minh rằng:
√

√

Câu 133: Cho các số thực dương
trị nhỏ nhất của biểu thức:

√

thoả mãn

thoả mãn

là các số thực không âm thỏa mãn

18

. Tìm giá

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

TMA

Câu 135: Cho
của biểu thức:

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

THS

Câu 132: Cho 3 số thực

Câu 134: Cho

√

√

.NET

Câu 129: Cho

Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức:

thỏa mãn

Câu 145: Cho các số thực dương

Tìm giá trị lớn nhất

. Tìm giá trị lớn nhất

Tìm giá trị lớn nhất của biểu

√

luôn thoả mãn

. Chứng minh rằng:

VIE

là hai số thực dương Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 147: Cho các số thực

Câu 148: Cho
của:

thỏa mãn

TMA



Bất đẳng thức trong các kỳ thi thử năm 2015-2016
Câu 150: Cho ba số thực dương

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√
Câu 151: Cho

√

là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√

Câu 152: Cho ba số thực dương
biểu thức:

√

√

thoả mãn điều kiện

. Tìm giá trị lớn nhất của

Câu 154: Cho ba số dương

thoả mãn



. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

} Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

min{

VIE

và thỏa mãn

√

Câu 160: Cho

√

√

thoả mãn điều kiện

√

Câu 159: Cho
thức:

√

TMA



*


Bất đẳng thức trong các kỳ thi thử năm 2015-2016

Câu 161: Cho hai số thực

thoả mãn

Câu 162: Cho hai số thực
nhất của biểu thức:

thoả mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

và

. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

thoả mãn

Câu 165: Cho

thoả mãn

thuộc đoạn [

Câu 166: Cho các số thực dương


Câu 163: Cho các số thực
nhất của biểu thức:

*

.NET

(

thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

là ba số thực không âm thỏa mãn

. Tìm giá trị lớn nhất của:

Câu 170: Cho , , là các số thực dương thỏa mãn
nhất của biểu thức:

và

. Tìm giá trị lớn

√
Câu 171: Cho



√

Câu 176: Các

thoả mãn điều kiện

Tìm giá trị lớn nhất của biểu

THS

Câu 175: Các số thực không âm
thức:

Tìm giá trị nhỏ nhất của

là các số thực dương thoả mãn

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 177: Cho các số thực dương
nhất của biểu thức:

*

, thỏa mãn

thoả mãn

VIE

√
√

Câu 181: Cho
thức:
22

là các số thực dương thỏa mãn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu


Bất đẳng thức trong các kỳ thi thử năm 2015-2016
√

√

và không có hai số nào đồng thời bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

√

√
Câu 183: Cho các số thực dương
giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 184: Cho các số thực
nhất của biểu thức:

√


Câu 189: Cho các số thực dương

Câu 190: Cho 3 số thực

Chứng minh:

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

TMA

là các số thực dương thoả mãn

VIE

Câu 188: Cho

THS

Câu 185: Cho

Câu 187: Cho

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ

√

√
. Chứng minh rằng:

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√

. Tìm giá

√
√

√
là các số thực thoả mãn

Câu 195: Cho ba số thực dương

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.NET

Câu 194: Cho

thoả mãn điều kiện

. Chứng minh rằng

√

là ba số dương thoả mãn

Câu 197: Cho các số thực

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


√
Câu 200: Xét

thỏa mãn

TMA

Câu 198: Cho 2 số thực dương

Câu 202: Cho các số thực dương

nhất của biểu thức:

24

Chứng minh rằng:
√

√

√
. Tìm giá trị nhỏ nhất của

√

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
(

Câu 203: Cho


√

và

. Chứng minh rằng:

Câu 206: Cho

là những số dương thoả mãn

Câu 207: Cho
biểu thức:

là những số thực dương thoả mãn √

Câu 208: Cho

là những số thực dương thay đổi thoả mãn

.NET

√

thoả mãn điều kiện

Chứng minh rằng:

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

VIE


thoả mãn điều kiện

Câu 210: Xét các số thực dương
thức:

Câu 212: Cho

Chứng minh bất đẳng thức:

TMA

Câu 209: Cho các số thực
giá trị nhỏ nhất của

Câu 211: Cho

√

√

, là các số dương thoả mãn

Câu 215: Cho
thuộc khoảng
của biểu thức sau:

thoả mãn (

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:


Câu 218: Cho các số thực

. Tìm giá trị lớn

thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√

√

√

Câu 219: Cho các số thực dương

thoả mãn

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

THS

thức:

Câu 220: Cho ba số thực dương

thoả mãn

TMA

trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 225: Cho các số dương

Câu 226: Xét ba số thực dương
26

√

thoả mãn

thoả mãn

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
√

√

√

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


Bất đẳng thức trong các kỳ thi thử năm 2015-2016
√

√
Câu 227: Cho ba số thực dương

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 235: Cho các số thực

√

VIE

√

không âm thoả mãn

Câu 236: Cho các số thực dương
của biểu thức:

Câu 237: Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

TMA

Câu 232: Cho các số

Tìm giá trị lớn nhất của biểu

THS



Bất đẳng thức trong các kỳ thi thử năm 2015-2016
(

*(

Câu 239: Cho ba số thực dương

thoả mãn

. Chứng minh rằng:

. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

là các số thực dương thoả mãn

thỏa mãn điều kiện

Câu 243: Cho các số thực dương

. Chứng minh bất đẳng thức:

*

Câu 244: Cho các số thực

(

*(

thức:

)

(

*

√

√

thoả mãn điều kiện

VIE

Câu 246: Cho ba số thực dương

*(

. Chứng minh bất đẳng thức:

√

biểu thức:

)

√



thoả mãn
√log

Câu 251: Cho tam giác

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√log

√log

không có góc tù. Tìm giá trị lớn nhất của:
cos

√ cos

cos

là ba số thực dương thoả mãn

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√

√

Câu 253: Cho
là các số thực thoả mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



√

√

là các số thực dương thuộc đoạn [

Câu 257: Cho

là ba số thực dương Chứng minh rằng:

Câu 258: Cho

là ba số thực dương thoả mãn

VIE

Câu 256: Cho

√

√

√

√

Câu 259: Cho

là ba số thực thay đổi thuộc [