1
NÉTĐẸPHÀMSỐTIỀMẨNTRONGBÀITỐN
PHƯƠNGTRÌNH,HỆPHƯƠNGTRÌNH
BẤTĐẲNGT HỨC–BÀITỐNTÌMGIÁTRỊLỚNNHẤT,
GIÁTRỊ NHỎNHẤT CỦAMỘTBI ỂUTHỨC
HuỳnhDuyThủy
“Chứngminhbấtđẳng thức…”
“Tìmgiátrị nhỏnhất,giátrịlớnnhấtcủabiểu thức…”
Nhữngcụmtừấyhàmchứamộtmảngkiếnthứctrọngtâm,“hócbúa”
trongchươngtrìnhtốnhọcởphổthơng,màphầnnhiềuthísinhrất“ngại”
khi“vachạm”.Cònnữađócũnglà phầnkiếnthức ln“thờisự”,“cuốn
hút”,“quyếnrủ”ngườihọcnhấtlàvớiđốitượngkhá,giỏi.
“… ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ,
mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn
giản …”.
Tácgiảcủabàiviếtnàyrấtmonggópmộtchút“suynghĩ”trongviệc
tìmra“con đường”đếnvớinhững“dòngsuốinhỏkia”.
Bài viết được trình bày theo hướng giải quyết những câu hỏi “kinh
điển”.
- Bắt đầu từ đâu?
-Khaithác,khámphá,pháthiện và kiến tạo vấn đề ra sao?
- Giải pháp nào là khả thi? ……
Từ đó hình thành ý tưởng giúp tìm ra giải pháp xử lý có “đường
lối”.
Điểmmấuchốttrongphươngphápvậndụngtínhchấtcủahàmsố,là
xâydựngđượchàmsố“tươngthích”vớibàitốn.
Ởnhữngbàitốnphứctạpviệcchọnbiếnsố,hìnhthànhhàmsốcầnở
ngườigiải“chiềusâu”,“độrộng”vềkiếnthức,có“nhãnquan”,cảmnhận
tinhtế,cótốchấttưduy,cókỹthuậtbiếnđổi,hơnthếnữacònphảicótrải
nghiệmquacảmộtqtrình.
Tácgiảcốgắngsángtácnhữnglờigiảikhácvớinhữnglờigiảicósẵn

+ + + + + +
(1)
“Suy nghó” tìm giải pháp:
- Ta hiểurằng cácsốthực a, b, cđóngvaitròlàthamsốbiếnthiên.
Trongcáctham sốa,b,c ta chọn trựctiếpmộtthamsốlàbiếnsốvà
cốđịnhcácthamsốcònlại.
-Vaitròcủacácsốthực a, b, clànhưnhaukhơngmấttính tổng quát,
tachọnalàbiếnsố.
- Nhưvậytahìnhthành đượchàmsốfbiếnsốa.
y = f(a) với
[ ]
0;1a Ỵ
* Lời giải:
Xét hàm số
( ) (1 )(1 )(1 )
1 1 1
a b c
f a a b c
b c c a a b
= + + + - - -
+ + + + + +
trêntập[0,1]
Bàitốn chứngminhbấtđẳngthức
BàitốntìmGTLNvàGTNNcủabiểuthức
3
f(
2 2
1
) (1 )(1 )
1 ( 1) ( 1)

=
1
1
1
b c
b c
+ +
=
+ +
*Trnghp2: f(a)<
[ ]
0, 01a " ẻ
Suyrahmsf(a)nghchbintrờnon[01]
Doú: ( ) (0) (1 )(1 )
1 1
b c
f a f b c
c b
Ê = + + - -
+ +
=
( 1) ( 1) (1 )(1 )( 1)( 1)
( 1)( 1)
b b c c b c c b
c b
+ + + + - - + +
+ +
2 2
1 1
1

Đểtìmđiềukiệnràngbuộcchobiếnsốc,tadựatheotínhchấttrong
tamgiác:tổng2cạnhlớnhơncạnhthứ3.
*Lờigiải:
Khôngmấttínhtổngquát,giảsử
0 a b c a b < £ £ < +
Tacó:(1)
3 2 2 2 3 3 2 2
( ) ( 2 ) ( ) 0c a b c a b ab c a b a b ab Û - + - + - + + - - <
Xéthàmsố
3 2 2 2 3 3 2 2
( ) ( ) ( 2 ) ( )f c c a b c a b ab c a b a b ab = - + - + - + + - - ,
[
)
,c b a b " Î +
2 2
'( ) 3 2( ) ( )f c c a b c a b = - + - -
'( ) 0f c =
2 2
1
2 2
2 2
2
( ) ( ) 3( )
3
3 2( ) ( ) 0
( ) ( ) 3( )
3
a b a b a b
c
c a b c a b

Vì
0 a b < £
nênf(b)=a
2
(a2b)<0
Suyraf(c)<0,
[
)
;c b a b " Î + .
Loại 2: Biến đổi quy về một trong các tham số biến thiên cho
trước.
Đặcđiểm:
Vớimộtlớpcácbàitoán,trongđóbiểuthứcPchứacácthamsốbiến
thiên.
*Cáchxửlý
5
Nếunhưvaitròcácthamsốbiếnthiênlànhưnhau,khôngmấttính
tổngquáttacóthểsắpxếpthứtựvềđộlớncácthamsố.
Dựatheoquanhệgiữacácthamsốtabiếnđổicácthamsốtrongbài
toánquyvềmộttrongcácthamsốđãcho.
Lúcnàytahìnhthànhđượchàmsốmộtbiếnvớibiếnsốlàthamsố,
đã được“quyvề”.
*Bàitoán 3:[IM025]
Cho3sốthựcdươngx,y,zthayđổivàthỏamãnhệthứcx+y+z=1
Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức
P=xy+yz+zx –2xyz
* “Suynghĩ”tìmgiảipháp:
+TanhậnthấyrằngbiểuthứcPchứatổngcáctíchcủacácsốthực
dươngx,y,zcóvaitròbình đẳngnhau.
+TasẽbiếnđổiPvềcùngmộtbiếnsốchẳnghạnlàbiếnsốz.

3
z < £
Tacó:P=xy(1–2z)+z(1–z)
2
(1 2 ) (1 )
2
x y
z z z
+
æ ö
£ - + -
ç ÷
è ø
2
1
(1 2 ) (1 )
2
z
z z z
-
æ ö
= - + -
ç ÷
è ø
6
=
3 2
1 1 1
2 4 4
z z - + +

1 7
( ) ( )
3 27
P f z f £ £ =
Kếtluận:
7
axP
27
m = đạtđượckhi
1
3
x y z = = =
*Bàitoán 4:
a,b,clàđộdài3cạnhcủatamgiáccóchuvibằng3.Tìmgiátrịnhỏ
nhấtcủabiểuthức:
2 2 2
3( ) 4T a b c abc = + + +
*“Suynghĩ”tìmgiảipháp:
Khaithácgiảthiết:a,b,clàđộdài3cạnhcủatamgiácvàchuvi
củatamgiácbằng3.
TabiếnđổibiểuthứcTtheotổng(a+b)vàtích(ab).
Mà(a+b)biểudiễnđượcquacdựavàochuvitamgiác.
Mặt kháctích (ab)đánh giá được qua tổng(a+b)dựa vào bấtđẳng
thứccôsi.
NhưvậybiểuthứcTđượcđánhgiátheobiếnc.
Kếthợptínhchấtvềcáccạnhtrongtamgiácvàchuviđãchotatìm
đượcđiềukiệnràngbuộcchobiếnsốc.
*Lờigiải:
Khôngmấttínhtổngquát,tagiảsử:
0 a b c < £ £

7
Xéthàmsố:
3 2
3 27
( )
2 2
f c c c = - + với
3
1
2
c £ <
2
'( ) 3 3f c c c = -
'( ) 0f c = 3 ( 1) 0c c Û - =
1c Û =
(Vì
3
1
2
c £ < )
Lậpbảngbiếnthiên,tanhậnđược: ( ) (1) 13T f c f ³ ³ =
Kếtluận:minT=13đạttạia=b=c=1
Loại3:Hìnhthànhbiếns ốmới.
Đặcđiểm:
Vớimộtlớpcácbàitoán,trongđóbiểuthứcPchứacácthamsốbiến
thiêna,b,c.
*Cáchxửlý
Dựatheogiảthiếtbàitoán,tabiếnđổicácthamsốa,b,ctheocùng
mộtbiếnsốmớilàt,trongđótđượcbiểuthịquacácthamsốa,b,cdưới
dạngcácphéptoántổng,hiệu,tíchhoặcthương củaa,b,c.

2
+y
2
).
NghĩalàtađánhgiáđượcPtheo(x
2
+y
2
).
Tứclàtacó
2 2
( )P f x y ³ +
Khiđóđặtt=x
2
+y
2
Dựatheogiảthiếtvàvậndụngbấtđẳngthứccôsitađánhgiáđược
2 2
0 1x y < + £ .
Nhưvậytahìnhthànhđượchàmsốfbiếnsốt,với
(
]
0;1t Î
8
*Lờigiải:
Ápdụngbấtđẳngthứccôsi,tacó:
( )
2 2 2 2
2
2 2

+y
2
,
0 1t < £
Khiđó,tacó:
4
P t
t
³ +
Xéthàmsố:f(t)=
4
t
t
+ , trêntập
(
]
0;1
2
4
'( ) 1 0f t
t
= - < ,
(
]
0;1t " Î
Lậpbảngbiếnthiêntanhậnđược (1) 5P f ³ =
Kếtluận:minP=5đạtđượckhi
2
2
x y = =

- £
ï
î
2 2 2
2 2 2
a ab b b
a ca c c
ì
- + £
ï
Û
í
- + £
ï
î
Từđótanhậnđược:
( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
3P b c b bc c b c b c bc
é ù
£ - + = + -
ë û
Tacó:b+c
3 £
2 3bc b c Û £ + £
9
0
4

2
t
t
=
é
Û
ê
=
ë
Lậpbảngbiếnthiên,tanhậnđược ( ) 12P f t £ £
Kếtluận:P
max
=12đạttại
0
1
2
a
b
c
=
ì
ï
=
í
ï
=
î
vàcáchoánvịcủa(a,b,c).
Loại4:Chọnhàmsốđặctrưng,trườnghợpcácbiếnđã“phânli”
*Vớidạngbàisửdụngphươngpháp“Chọnhàmsốđặctrưng”.

( )
0,1 Î .
Tasắpxếpcácsốhạngcótrongbấtđẳngthức(1),theonguyêntắc
cácthamsố cùngloạiđượcnhómvàomột“cụm”.
NhưvậyđểđánhgiáđượcbiểuthứcP,tacầnđánhgiátừngcụmsố
hạng.
Dựatheodạngcủamỗicụmsốhạngtahìnhthànhđượchàmsốđặc
trưng.
Khảosáthàmđặctrưngtanhậnđượcthôngtinvềbấtđẳngthứccần
chứngminh.
*Lờigiải:
Tacó:(1)
Û
3 2 3 2 3 2 3 2
1
6 6 6 6
8
a a b b c c d d - + - + - + - ³
Xéthàmsố
3 2
5
( ) 6
8
f x x x x = - - ,
( )
0,1x " Î
2
5
'( ) 18 2
8

8 8
x x x - - ³ - (*),
( )
0,1x " Î
Dựatheokếtquả(*)tacó:
( )
3 2 3 2 3 2 3 2
1 5
6 6 6 6 4
8 8
a a b b c c d d a b c d
æ ö
- + - + - + - ³ - + + + +
ç ÷
è ø
( )
3 3 3 3 2 2 2 2
1
6
8
a b c d a b c d Û + + + ³ + + + +
Đẳngthứcxảyrakhi
1
4
a b c d = = = = .
wCách“nhìn”củabàitoántrên:
• Điểmmấu chốttronggiảiphápxửlítrênnằmởchỗ:“Làmthếnàođể
chọnđượchàmsốtươngthíchvớibàitoán?”
• Đâylàcâuhỏi“dễđặt”nhưngkhôngdễđểtrảlờiđược.
• Dựatrêncơsởnào,tachọnđượchàmsố:

x x Û = Î
12
1
9
x 0 1
0
_
+
f’(x)
f(x)
1
243
-
Tacó:
Suyra:
Bấtđẳngthứcbanđầuvẫnchưađượcchứngminh
• Nhưvậy,đểsửdụngđượcgiảthiếta+b+c+d=1,tacầnchọnmộthàm
sốkhác.Dođó,tachọnhàmsốcódạng:
Sởdĩtachọnviệcthêmbớt1lượng(mx+n)bởivì,tacóthểtậndụng
đượcgiảthiết:a+b+c+d=1
Sauđótachỉcầnchứngminh(m+4n)=
Sởdĩtachọnnhưtrênmàkhôngchọn:
Vớig(x)tồntạicácbậcxkhácbậc1,bởivìnósẽtạoracáctrường
hợpmàtakhócóthểđưavềa+b+c+d=1đểsửdụnggiảthiết.
Saukhisuyxéttrườnghợp,
3 2 3 2 3 2 3 2
4
(6 ) (6 ) (6 ) (6 )
243
a a b b c c d d

1
8
3 2
6 ( )x x g x - ³
1
( )
243
f x
-
³
13
Làkhảthi,tacầntìmhệsốmvàn
Vì đẳngthứcxảyrakhi
màtaxéthàmsốtrênkhoảng(0,1)nêntạigiátrịđểđẳngthứcxảyrathìf(x)
đạtGTNNnghĩalà:
Vậytacầnchứngminh
Dođó,tachọnhàmsố
3 2
5
( ) 6
8
f x x x x = - -
*Bàitoán 8:
Cho3sốthựcx,y,zthayđổivàthỏamãnhệthứcx+y+z=1
Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức
2 2 2
1 1 1P x y z = + + + + +
*“Suynghĩ”tìmgiảipháp:
Theogiảthiếttacó:x,y,z R Î
Tanhậnthấyrằng:mỗisốhạngtrongtổngPđượcchotheomộtbiến

+
3 2
6x x mx n - ³ +
3 2
( ) 6f x x x mx n = - - -
2
'( ) 18 2f x x x m = - -
1
4
a b c d = = = =
2
1 1 1
'( ) 0 18( ) 2( ) 0
4 4 4
f m = Û - - =
5
8
m Û =
1
8
n
-
Þ =
3 2 3 2
5 1 5 1
6 6
8 8 8 8
x x x x x x - ³ - Û - - ³ -
14
TậpxácđịnhD=R

t R " Î
2
3 10 1t t Û + £ + ,
t R " Î
(1)
Sửdụngkếtquả(1),tacó.
2
2
2
3 10 1
3 10 1
3 10 1
x x
y y
z z
ì
+ £ +
ï
ï
+ £ +
í
ï
+ £ +
ï
î
Dođó:
( )
2 2 2
( ) 9 10 1 1 1x y z x y z + + + £ + + + + +
( )

1
3
x y z = = =
1
'( ) 0
3
f =
15
• Dođó
Loại5:Chọnhàmsốđặctrưng,trườnghợpcácbiếnchưa“phânli”
*Đặcđiểm:
MỗisốhạngtrongbiểuthứcPđượcbiểuthịbởinhiềuhơn1tham
biến.
*Cáchxửlý:
Tabiếnđổitheohướng“phânli”mỗisốhạngtrongPtheocùngmột
thambiếnriêngbiệt.
Tứclàtachuyểnbàitoánvềloạicácbiếnđãphânli.
Vậndụngcáchgiảidạngcácbiếnđãphânli.
*Bàitoán 9:(Darij Grinberg–Oldandnewlnequalityl)
Chocácsốthựcdươnga,b,c.
Chứngminhrằng:
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
9
4
a b c
a b c
b c c a a b
+ + ³

Dotínhđẳngcấp,nêntagiảsửa+b+ c=3suyraa,b,c
( )
0;3 Î .
Khiđóbấtđẳngthứccầnchứngminhtrởthành.
( ) ( ) ( )
2 2 2
3
4
3 3 3
a b c
a b c
+ + ³
- - -
Xéthàmsố
( )
2
1
( )
2
3
x
f x x
x
= -
-
,
( )
0;3x " Î
( )
2

-
(*)
( )
0;3x " Î
Vậndụngbấtđẳngthức(*)tanhậnđược.
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
1 3
2 4
3 3 3
a b c
a b c
a b c
+ + ³ + + -
- - -
( ) ( ) ( )
2 2 2
3
4
3 3 3
a b c
a b c
Û + + ³
- - -
Bất đẳng thức đã được chứng minh dấu đẳng thức xảy ra khi
a=b=c=1.
* Bàitoán10: [USAMO]
Chocácsốthựcdươnga,b,c
Chứngminhrằng:

Khiđóbấtđẳngthứccầnchứngminhđượcviếtthành:
2 2 2
2 2 2
6 9 6 9 6 9
8
3 6 9 3 6 9 3 6 9
a a b b c c
a a b b c c
+ + + + + +
+ + £
- + - + - +
Xéthàmsố
2
2
6 9 4
( )
3 6 9 3
x x
f x x
x x
+ +
= -
- +
,
( )
0;3x " Î
( )
2
2
2

( )
2 2 2
2 2 2
6 9 6 9 6 9 4
4 8
3 6 9 3 6 9 3 6 9 3
a a b b c c
a b c
a a b b c c
+ + + + + +
+ + £ + + + =
- + - + - +
Bấtđẳngđãđượcchứngminh,dấuđẳngthứcxảyrakhia=b=c=1.
Loại6:Chọnhàmđặctrư ng,sửdụnghệthứcphụtrợ.
*Đặcđiểm:
BiểuthứcPtrongbàitoánthường“lạ”vàphứchợp.
*Cáchxửlý:
 Vận dụng các bất đẳng thức trung gian, biến đổi P về biểu thức
“quen”vàđơngiảnhơn.
Vậndụngbấtđẳngthứctrunggiannàochođúnghướngphụthuộc
vào“nhãnquan”sự“nhạybén”,“thóiquen”đãquatrảinghiệmcủangười
giải.
 Khi trình bày, phải chứng minh bất đẳng thức trung gian đã vận
dụng.
Quybàitoánvềdạngcácbiếnđã“phânli”.
18
*Bàitoán 11:
Chocácsốthựcx,y,zthuộcđoạn[0;3]
Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức.
1 1 1

x y
y z
z x
+ + - >
ì
ï
+ + - >
í
ï
+ + - >
î
Sửdụngbấtđẳngthứccôsi,tacó:
[ ] [ ] [ ]
4 2ln(1 ) 4 2ln(1 ) 4 2ln(1 )x y y z z x + + - + + + - + + + -
[ ][ ][ ]
3
3 4 2ln(1 ) 4 2ln(1 ) 4 2ln(1 )x y y z z x ³ + + - + + - + + -
Lạiápdụngbấtđẳng thứccôsi,tacó.
[ ][ ][ ]
3
1
3
4 2ln(1 ) 4 2ln(1 ) 4 2ln(1 )
P
x y y z z x
³
+ + - + + - + + -
Nhânvếtheovế2bấtđẳngthứctrên,tađược.
[ ]
4 2ln(1 ) 4 2ln(1 ) 4 2ln(1 ) . 9x y y z z x P + + - + + + - + + + - ³

9 9 3
12 (6ln 2 3) 9 6ln 2 3 2ln 2
P ³ = =
+ - + +
Đẳngthứcxảyrakhi:x=y=z=1
Kếtluận:minP=
3
3 2ln 2 +
đạtđượctạix=y=z=1
*Bàitoán 12:
Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức
T=tanA+tanB+tanC+
2 2 2
1
cot .cot .cot
CA B
vớiA,B,ClàcácgócnhọntrongtamgiácABC.
*“Suynghĩ”tìmgiảipháp:
Ởbàitoánnày,đểlàmxuấthiệnhàmsốđặctrưng,tathựchiện2
côngđoạn:
+Côngđoạn1:
Đánhgiátổng(tanA+tanB+tanC)theotích
A
ot .cot .cot
2 2 2
B C
c
æ ö
ç ÷
è ø

C
c c
=
C
2 2
4sin . os
2sin
osC+cos(AB) 1 osC
C
c
C
c c
= ³
- -
=
C
2 2 2
2
2
2 2
4sin . os 2cos
2cot
2sin sin
C C
C
C C
c
= =
Biếnđổitươngtự, tacó:
C

C
Dođó:
C
A B
2 2 2
tanA+tanB+tanC cot .cot .cot ³
Từđó,tanhậnđược.
CA B
2 2 2
2 2 2
1
T cot .cot .cot
cot .cot .cot
CA B
³ +
Đặtt=
C
A B
2 2 2
cot .cot .cot
=
A B
3
2 2 2 2 2 2
cot +cot cot 3 cot .cot .cot
C C
A B
+ ³
Suyra:
A B


Loại7: Khảosáthàmsốphátsinh.
Đặcđiểm:
VớimộtlớpcácbàitoántrongđóbiểuthứcPchứacácthamsốbiến
thiên.
Nhữngbàitoánthuộcdạngnàyhầuhếtlànhữngbàithuộc“cấpđộ
cao”thôngthườngdùngđểphânloạithísinh.
21
Cáchxửlí.
DựatheođặcđiểmcủabiểuthứcP,taquibàitoánvề1trongnhững
dạngbàiđãtrìnhbàytrong đềtài,từđóhìnhthànhhàmsốfbiếnsốx.
Quátrìnhkhảosáthàmsố f(x)làm“phátsinh”hàmsốtrunggian
g(t).
Talạikhảosáthàmsố“phátsinh”g(t)lúcnàytamớinhậnđầyđủ
thôngtinvềbiểuthứcP.
*Bàitoán 13:
Chox,y,zlàcácsốthựcthuộcđoạn
[ ]
0,1 .
Chứngminhrằng:
( ) ( )
3 3 3 2 2 2
2 3x y z x y y z z x + + - + + £ (1)
“Suynghĩ”tìmgiảipháp.
Cácsốthựcx,y,zđóngvaitròlàthamsốbiến thiên.
Trongcácthamsốx,y,ztachọntrựctiếpmộtthamsốlàbiếnsốvà
cốđịnhcácthamsốcònlại.
Vaitròcủacácsốthựcx,y,zlànhưnhaukhôngmấttínhtổngquát
tachọnxlàbiếnsố.
Khảosáthàmsốf(x),phátsinhhàmsốtrunggiang(y).

= + +
ê
ë
Khảosáthàmsố ( )f x ,tanhậnđược.
[ ]
{ }
0,1
( ) (0), (1)
x
Max f x Max f f
Î
=
Nhậnxét:
( ) ( ) ( )
3 3 2 3 3 2 2
(0) 2 2 2 (1)f y z y z y z y z y z f = + - £ + - + - - =
Nhưvậytacầnphảichứngminh.
22
(1) 3f £
Thậtvậy:Đặt
( ) ( )
3 3 2 2
(1) ( ) 2 2f g y y z y z y z = = + - + - -
=2y
3
–zy
2
–y+2z
3
–z

{ }
0,1
( ) (0), (1)
y
Max g y Max g g
Î
=
Talạicó
( )
3 2 3 2
(0) 2 2 2 2 1 (1)g z z z z z g = - + £ - + + - =
( )( )
1 2 1 3 3z z z = - + + £ ,
[ ]
0,1z " Î
Bấtđẳngthức(1)đãđượcchứngminh.
*Bàitoán 14:
Choa,b,clàcácsốthựcthuộcđoạn
[ ]
0,1 .
Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức.
3 3 3 3 3 3
6 6 6
a b c
P
b c c a a b
= + +
+ + + + + +
“Suynghĩ”tìmgiảipháp
Cácsốthựca,b,cđóngvaitròlàcácthamsốbiếnthiên.

b c c a
= - - +
+ +
+ + + +
23
( )
( )
( )
( )
3 3 3 3
3 3
3 3 3 3
6 6 2 6 6 2
( ) 0
6 6
ca b c bc a c
f c
b c c a
+ - + -
¢¢
= - - £
+ + + +
,
[ ]
0;1c " Î
Suyrahàmsố '( )f c nghịchbiếntrênđoạn
[ ]
0,1 .
Dođó '( ) '(1)f c f ³
( ) ( )

g a
b a a b
= + +
+ + + +
trênđoạn[0;1]
Khảosáthàmsốg(a)trênđoạn[0;1],tanhậnđược.
3
2
( ) (1)
7 8
b
P g a g
b
£ £ = +
+
Talạixéthàmsố
3
2
( )
7 8
b
h b
b
= +
+
trênđoạn[0;1]
Khảosáthàmsố ( )h b tanhậnđược ( )h b đồngbiếntrênđoạn
[ ]
0,1
Suyra

a b c b c a c a b
+ + £
+ + + + + +
*Bàitập3:
Chocácsốthựcdươnga,b,cthỏamãn điềukiện
3a b c + + =
Chứngminh:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
a b c
a b c
+ + ³ + +
*Bàitập4:
Chocácsốthựckhôngâma,b,cthỏamãnđiềukiệna+b+c=1.
Chứngminhrằng:
( ) ( )
3 3 3 5 5 5
10 9 1a b c a b c + + - + + ³
*Bàitập5:
ChotamgiácABCvới3gócởđỉnhđềunhọn.
Chứngminh:tanA+tanB+tanC+6(sinA+sinB+sinC) 12 3 ³
*Bàitập6:
Chocácsốthựca,b,cthỏamãn điềukiệna+b+c=1
Chứngminh:
2 2 2
9
1 1 1 10
a b c
a b c

=
+ +
*Bàitập9:
XétcáctamgiácABCtìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức.
4
cos cos cos
sin .sin .sin
2 2 2
P A B C
A B C
= + + +
*Bàitập10:
Tìmgiátrịlớnnhấtvàgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức:
Trongđó:x,ylàcácsốthựcthỏamãn điềukiện
2 2
1x y xy + - = .
25
khôngđổidấu,
t L " Î
ØThuyếtminhtínhmớicủagiảipháp
Vớigiảiphápđãtrìnhbày,tínhmớicủađềtàithểhiệnrõởcácý
tưởngsau:
1. Chỉrađượccơsởcủavấnđề,từđóxâydựngđượcnguyên
tắcgiúphìnhthànhhàmsốtươngthíchvớibàitoán.
2. KhẳngđịnhđượccăncứđểhìnhthànhtậpL,ứngvớihàm
sốđãchọn.
3. “Lộttả”đượcvaitròvàquanhệcủa3tậphợpD,K,L.
4. TậpLphảithỏamãnhệđiều kiện.
'( )
K L