SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KỸ THUẬT GIẢM BIẾN TRONG
BÀI TOÁN TÌM GTNN – GTLN
CỦA MỘT BIỂU THỨC

Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) của một
biểu thức nhiều biến là một bài toán bất đẳng thức và đây là một trong những
dạng toán khó ở chương trình phổ thông. Trong đề thi tuyển sinh Đại học, Cao
đẳng hàng năm, nội dung này thường xuất hiện ở dạng câu khó nhất. Trong Sách
giáo khoa Giải tích 12 thì chỉ trình bày cách tìm GTNN, GTLN của hàm số (tức
biểu thức một biến số
). Vì vậy, một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một
biểu thức chứa một biến trở nên đơn giản. Tuy nhiên thực tế, hầu hết học sinh là
không giải quyết được cho bài toán từ hai biến trở lên, thậm chí còn có tâm lí

2. L
ý
do ch
ọ
n đề tài

- Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy Toán ở các trường
trung học phổ thông tham khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi Đại học, Cao
đằng.
- Phạm vi nghiên cứu của đề tài này bao gồm:
+ Nhắc lại cách tìm GTNN, GTLN của hàm số thông qua một vài ví dụ.
+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa
hai biến bằng cách thế một biến qua biến còn lại.
+ Hệ th
ống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa
hai biến bằng cách đặt ẩn phụ theo tính đối xứng
txy=+,
22
tx y=+
hoặc
txy= .
+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa
hai biến bằng cách đặt ẩn phụ theo tính đẳng cấp
x
t
y
=

g
hiên cứu
4. M
ụ
c đích n
g
hiên cứu
5. Cấu trúc SKKN

Chương I
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT , GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ

Trong mục này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức về đạo hàm và
một số công thức về đạo hàm.
1.1 Định lí. Giả sử
D
là một khoảng hay hợp các khoảng.
Nếu hai hàm số
(
)
uux=
và
()
vvx=
có đạo hàm trên D thì

()

0vx ¹1.2.Định lý. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
()
0c
¢
=
(c là hàng số)

()
1x
¢
=()
()
1nn
xnxx
-
¢
=Ρ

()
1nn
unuu
-
¢
¢

u
u
u
¢
¢
=

()
x
x
ee
¢
=
()
uu
eeu
¢
¢
=
() ()
1
ln 0
x
xx
¢
=>
()
ln
u
u

2
2
tan 1 tan
x
xx k
p
p
¢
=+ ¹ +

()
()
2
tan 1 tanuu u
¢
¢
=+

()
()
()
2
t1cotco x x x k
p
¢
=- + ¹

()
()
2

.
2. Cho hàm số
2
ax bx c
y
mx n
++
=
+
với
.0am ¹
. Ta có
()
2
2
2
bc
amx anx
mn
mx n
y
++
+
¢
=
.
3. Cho hàm số
2
2
ax bx c

a) Nếu tồn tại một điểm
0
x
DÎ
sao cho
() ( )
0
f
xfx£
với mọi
x
DÎ thì số
(
)
0
M
fx= được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
f
trên D , kí hiệu là
(
)
max
xD
M
fx
Î
=
.
b)
Nếu tồn tại một điểm

a)
()
f
xM£ (hoặc
()
f
xm³ ) với mọi
x
DÎ ;
b) Tồn tại ít nhất một điểm
0
x
DÎ sao cho
()
0
f
xM= (hoặc
()
0
f
xm= ).
2.2 Nhận xét. Người ta đã chứng minh được rằng hàm số liên tục trên một đoạn
thì đạt được giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn đó.
Trong nhiều trường hợp, có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số trên một đoạn mà không cần lập bảng biến thiên của nó.

Quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm
f
trên đoạn ;ab
é

+
0
- ()
f
t 22

2-

22. Tính
()() ()()
12
, , , ,
n
f
xfx fxfa và

f
xx x=+ -

Lời giải. Tập xác định 2; 2D
é
ù
=-
ë
û
,
()
2
1
4
x
fx
x
¢
=-
-
,
()
02fx x
¢
=Û=

Bảng biến thiên

3
1; e
é
ù
ë
û

Lời giải. Ta có
()
2
22
1
2ln . . ln
ln 2 ln
xx x
x
x
x
y
x
x
-
-
¢
==

Từ đó có bảng biến thiên :
x
1

2
e

3
e

y
¢

0
+
0 - y 0

2
4
e3

()
422
22
21 1 1 3
111
xxx
fx
xx
-+++-+
=
++- +

Hướng dẫn. Đặt
22
11tx x=++-
, với
22t££
.

CHƯƠNG II
KỸ THUẬT GIẢM BIẾN TRONG BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ
NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC

Từ kết quả của Chương I chúng ta thấy rằng việc tìm GTNN, GTLN của
hàm số khá đơn giản. Việc chuyển bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu
thức không ít hơn hai biến sang bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số chứa
một biến sẽ giúp chúng ta giả được bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu
thức.
x
=+
-
.
Bài tập tương tự
II.1. Tìm GTNN
,
GTLN của biểu thức bằn
g

p
hươn
g

p
há
p
thế Xột hm s
()
41
54
fx
x
x
=+
-
vi

T bng bin thiờn ta cú
(
)
(
)
5
0;
4
min 1 5
x
fx f
ổử
ữ
ỗ
ữ
ẻ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
==.
Do ú

ự
=+ ẻ-
ở
ỷ
. Ta cú
()
()
2
'323fx x x=+-
.
Ta cú bng bin thiờn T bng bin thiờn ta cú
() ()
4;3
min 1 12
x
fx f
ộự
ẻ-
ởỷ
==-
,
() ( ) ()
4;3
max 3 3 20

x
y > ,
1xy+=
ta cú
1,0 1yxx=- < <
.
Khi ú ta cú
1
1
x
x
P
x
x
-
=+
-
.
Xột hm s
()
1
1
x
x
fx
x
x
-
=+
-


- 0
+

(
)
f
x

+Ơ

+Ơ5

x
4-

3-

1

3
(
)
f
x
Â


()
f
x
Â- 0
+

+Ơ
+ƠBảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra
()
()
0;1
1
min min 2
2
x
Pfxf
Î
æö
÷
ç
===
÷
ç

P
xy=+
.
2/ Cho ,0
x
y ³ thỏa mãn 1xy+=. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
biểu thức
11
x
y
P
yx
=+
++

3/ Cho ,0
x
y > thỏa mãn 1xy+=. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
22
11
Px y
x
y
=+++

4/ Cho 1xy+=. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(
)
()

.
x
yxy
gy f xy
xy M
+++
==
với ẩn y và
x
là tham số, tìm giá trị nhỏ nhất
của
()
g
y là
()
hx . Sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
(
)
hx với 2; 3x
é
ù
Î
ë
û
.
6/ Cho
,xyΡ thỏa mãn
3
x
y£

Bài t
ập
tươn
g
t
ựHướng dẫn. Xét hàm số
() ( )
,0;1
x
fx x x=Î
. Chứng minh
() ()
22
fx fy
x
y
f
æö
+
+
÷
ç
³
÷
ç
÷
÷

x
y
x
yxy£
Trong phần này chúng tôi trình bày một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của
biểu thức chứa hai biến mà giả thiết hoặc biểu thức đó thể hiện tính đối xứng.
Từ đó bằng phép đặt ẩn phụ ta chuyển về bài toán tìm G của hàm số.
Thí dụ 1. Cho
22
x
yxy+=+.
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức
332 2
P
xyxyxy=++ +
Lời giải.
Đặt
txy=+, từ giả thiết
22
x
yxy+=+ ta có
()()
2
2
2
x
yxy xytt=+ -+=-

= và
1y = , ta có min 0
P
= đạt được khi 0t = hay 0
x
y==.
Nhận xét. Bài toán này giả thiết và biểu thức
P
được cho dưới dạng đối xứng
với hai biến. Vì vậy, chúng ta nghĩ đến cách đổi biến
txy=+. Nhưng để giải
bài toán trọn vẹn thì phải tìm điều kiện của biến
t . Sau đây là một số bài toán
với định hướng tương tự.
Thí dụ 2. Cho ,0
x
y > thỏa mãn
22
1xxyy++=.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1
xy
P
xy
=
++

Lời giải. Đặt txy=+. Từ giả thiết ,0
x
y > và

33
max
3
P
-
=
t c khi
()
21
;;
33
xy
ổ
ử
ữ
ỗ
=-
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố
ứ
hoc
()
12
;;
33
xy

2
1xy t t=
p dng bt ng thc
()
2
4
x
yxy+ suy ra
2
3440tt Ê hay
2
2
3
t-ÊÊ
.
Khi ú
2
1
1
tt
P
t

=
+
. Xột hm s
()
2
1
1
T bng bin thiờn ta cú
(
)
(
)
2
3
;2
min min 0 1
t
Pftf
ộự
ẻ-
ờỳ
ởỷ
===-
t c khi
()( )
;1;1xy =- hoc
()( )
;1;1xy =- v
()
()
()
2
0

2
()
f
t
Â-

0
+()
f
t
1
3

1-

1
3

4
ft t
¢
=-
,
(
)
0ft
¢
=
3
8
tÛ=
(loại). Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có
() ()
1;2
1
min min 1
4
t
Pftf
éù
Î

22
22
;;xy
+
-
= .
Thí dụ 5. Cho ,xyΡ thỏa mãn ,0
x
y ¹ và
()
22
2xy x y x y x y+ = + +.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
11
P
x
y
=+
.
Lời giải. Đặt txy=+. Từ giả thiết
()
22
2xy x y x y x y+ = + + hay
()() ()
2
22xy x y x y xy x y+=+ - - ++ suy ra
2
2
2
tt

tt
++
==
-+
. Xét hàm số
()
2
2
2
2
tt
ft
tt
+
=
-+
,
()
()
2
2
2
344
2
tt
ft
tt
-++
¢
=


(
)
f
t 1
45
2
t -¥

2-

2
3
-

2

+¥

()
f
t
¢


tt
Pftf
<-
=== t c khi
1xy==.
Thớ d 6. Cho
,0
x
y >
tha món
3xyxy++=
.
Chng minh rng
22
33 3
11 2
xyxy
xy
yxxy
++ Ê++
+++

Li gii. t txy=+. T gi thit ,0
x
y > , 3xyxy++= v ỏp dng bt ng
thc
()
2
4
x

+Ê+--+-
()
(
)
2
260ttt- ++

luụn ỳng vi mi
2t , du bng xy ra khi 2t = hay 1xy==.
Thớ d 7. Cho ,0
x
y > tha món
22
1xy+=. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc

() ()
11
11 11Px y
yx
ổử ổử
ữ
ữ
ỗỗ
=+ + ++ +
ữ
ữ
ỗỗ
ữ
ữ
ữ

2
1
1
x
ytt
Pxyxy
xy t
ộự
++
ộự
ờỳ
=+ + + =
ởỷ
ờỳ
-
ởỷ
. Xột hm s
()
2
1
tt
ft
t
+
=
-
,
()
()
2

Pftf
ự
ẻ
ỳ
ỷ
===+ t c khi
1
2
xy==
.
t

1

2
()
f
t
Â-(
)
f
t
yx xy
x
y
=+
++

2/ Cho ,
x
y không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn 1xy+=. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
22
22 2 2
1
11
xy
P
xyy x
=++
+++

3/ Cho
22
1xy+=
. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức
11
P
xyyx=+++
4/ Cho
22
1xy+=

2xxyy++£
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
22
P
xxyy=- +.
Trong phần này chúng tôi trình bày một số dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá
trị lớn nhất của biểu thức chứa hai biến mà giả thiết hoặc biểu thức đó thể hiện

tính đẳng cấp. Từ đó xét hàm số và tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm
số.
Thí dụ 1. Cho ,0
x
y > thỏa mãn
22
1xy+=. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
()
P
yx y=+.
Lời giải. Đặt
ytx=
. Từ điều kiện
,0
x
y >
suy ra 0t > . Từ giả thiết
22
1xy+=

p
()
2
2
1
tt
ft
t
+
=
+
,
()
()
2
2
2
21
1
tt
ft
t
-++
¢
=
+
,

21
21
22 22
;;xy
+
-
= .
Thí dụ 2. Cho ,0
x
y ³ và thỏa mãn
22
1xy+=. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
2
2
465
221
xxy
P
xy y
+-
=Lời giải.
Nếu
0
x
= thì từ giả thiết
22

2
22 2
46 5
561
22 13 21
xt
tt
P
xt t t t
+-
-+
==
-+
. Xét hàm số
()
2
2
561
321
tt
ft
tt
-+
=
-+
,
()
()
2
2


0

21++¥

()
f
t
¢+
0
-

(
)
f
t

0

21
2


1

1-

5
3

Từ bảng biến thiên ta có
()
5
,0
3
ft t<"³
và
()
()
1
2
0
min min 1
t
Pftf
³

y > . Chứng minh rằng
()
2
3
22
41
8
4
xy
xx y
£
++

Lời giải. Đặt
x
t
y
=
. Từ giả thiết ,0
x
y > suy ra 0t > . Khi đó bất đẳng thức cần
chứng minh tương đương với
()
3
2
41
8
4
t
tt

+- +- +-
¢
=+ =
++
,
()
2
2
0ft t
¢
=Û=
. Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có
()
()
2
2
0
max 2
t
ft f

+
0
-

(
)
f
t

0

2

0

1/
Cho
,0
x
y >
tha món
1xy yÊ-
. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
23
23
9
x

yx
yx
ổử
ổử
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
=+-+
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ốứ
vi
,0
x
y ạ
.

Trong phn ny chỳng tụi trỡnh by mt s dng bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht, giỏ
tr ln nht ca biu thc cha ba bin bng cỏch t n ph hoc th hai bin

t
P
xz yz xy t
tt
=+=
-
-+
.
Xột hm s
()
2
4
ft
tt
=
-+
,
()
()
()
2
2
42 1t
ft
tt
-
Â
=
-+
,

42
,xy z== =.
t

0

1
21

(
)
f
t
Â- 0
+
(
)
f
t
P
xyzxyyzzx=+++ + +

Lời giải. Đặt t xyz=++. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có
()
()
2
222
3
x
yz x y z++ £ + +
suy ra 33t-££. Khi đó
()()
()()
2
222 2
11
21
22
P xyz xyz x y z t t
éù
=+++ ++ - ++ = +-
êú
ëû

Xét hàm số
()
()
2
1

Î-
êú
ëû
==-=-
đạt được khi
1t =- hay
()( )
;; 1;0;0xyz =- và các hoán vị của nó;
()
(
)
3; 3
max max 3 1 3
t
Pftf
éù
Î-
êú
ëû
===+ đạt được khi 3t = hay
()
(
)
111
333
;; ; ;xyz = .
Thí dụ 3. Cho ,, 0
x
yz³ thỏa mãn 1xyz++=.
Chứng minh rằng

30
4
x
-<
. Khi đó biểu
thức
t

3-

1-

3

(
)
f
t
¢

-
0
+(
)
f
t


ữ
ỗ
ờỳ
=++ + - + =+- + -
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ờỳ
ố
ứ
ởỷ

()
()
()
2
3
332
27 1
1 3 27 18 3 4
44 16
yz
x
xx xxx
ổử
+
ữ
ỗ

9
fx x
Â
==
1
3
x=
. Bng bin thiờn T bng bin thiờn ta cú
() ()
()
1
3
1
3
0;
1
max 0
4
x
fx f f
ộự

x
yz
=++

.
Li gii. Ta cú
()()()
222
222
111
xyz
P
x
xyyzz
=++

. Xột hm s
()
()
2
1
1
ft
tt
=
-
vi
01t<<
,
()

x

0

1
91
3

(
)
f
x
Â

+

0

-

0

(
)
f
x


+

(
)
f
t

+Ơ33
2

+Ơ Từ bảng biến thiên ta có
()
()
2
133
0;1
2
1

é
ù
ë
û
và ,
x
yx z³³. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
23
x
yz
P
x
yyzzx
=++
+++

Lời giải. Trước hết ta chứng minh :
11 2
11
1
ab
ab
+³
++
+
(*), với a và b
dương và
1ab ³ . Thật vậy,
() ( )

x
yz x
y
=++³+
+
++ +
+

Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi :
zx
yz
=
hoặc
1
x
y
=
(1)
Đặt
,1;2
x
tt
y
é
ù
=Î
ë
û
. Khi đó:
2

,
()
()()
()
()
3
2
2
2
2433219
0
231
tt tt
ft
tt
éù
+-+
êú
ëû
¢
=<
++
,

() ()
34
2
33
ft fÞ³=
.

Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
33 22
33 22
49
ab ab
P
ba ba
ổửổử
ữ
ữ
ỗỗ
ữ
ữ
=+-+
ỗỗ
ữ
ữ
ỗỗ
ữ
ữ
ỗỗ
ốứốứ

Li gii. Vi ,ab dng, ta cú:
(
)
()( )
22
22a b ab a b ab++=+ +
(

ab
ab ab
ab ab ba
ổử ổử ổ ử
ữữ
ữ
ỗỗỗ
++ + + + = ++
ữữ
ữ
ỗỗỗ
ữữ
ữ
ữữ
ữ
ỗỗỗ
ốứ ốứ ố ứ
, suy ra:

5
21222
2
ab ab ab
ba ba ba
ổử ổ ử
ữữ
ỗỗ
++ ++ị+
ữữ
ỗỗ

(
)
2
62 3 2 0ft t t
Â
= >, suy ra :
)
()
5
2
;
523
min
24
ft f
ộ
+Ơ
ờ
ở
ổử
ữ
ỗ
==-
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
.

;1;2ab =
Bi 3 ( thi tuyn sinh i hc khi B-2010)
Cho cỏc s thc khụng õm ,,abc thon món 1abc++=. Tỡm giỏ tr nh nht
ca biu thc
()
()
22 22 22 2 2 2
332
M
ab bc ca ab bc ca a b c=++++++++
Li gii. Ta cú:
()()()
2
3212
M
ab bc ca ab bc ca ab bc ca+++ +++- ++ t
tabbcca=++
, ta cú :
()
2
1
0
33
abc
t
++
ÊÊ =


()
()
3
2
20
12
ft
t
ÂÂ
=- Ê
-
, du bng ch xy ra ti
0t =
, suy ra
(
)
f
t
Â
nghch
bin.
Xột trờn on
1
0;
3
ộ
ự
ờ
ỳ

3
ft f t
ộ
ự
ờ
ỳ
="ẻ
ờ
ỳ
ở
ỷ
.
Vỡ th :
()
1
2, 0;
3
Mft t
ộ
ự
ờ
ỳ
"ẻ
ờ
ỳ
ở
ỷ
.
2,1Mabbccaabbcca= = = + + =
v

Li gii. Da vo bt ng thc hin nhiờn :
()
2
4
x
yxy+ nờn
() ()()()
3323
42 42xy xy xy xy xy xy++ ị+++++
()()
32
20xy xyị+++-
()()()
2
120xy xy xy
ộự
ộự
ị+- ++++
ờỳ
ởỷ
ởỷ
(1)
Do
()() ()
2
2
17
20
24
xy xy xy

(3)
Do
()
2
22
44
2
xy
xy
+
+
nờn t (3) suy ra :
()()() ()()
22 2
22 22 22 22 22
33 9
21 21
24 4
Axy xy xy xy xy+++-++=+-++

Vỡ
()
2
22
2
x
y
xy
+
+

()
1
2
19
min
216
t
ft f

ổử
ữ
ỗ
==
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
(4)
T (4) suy ra
9
16
A
. Mt khỏc d thy khi
1
2
xy==
thỡ
9

22 2233
43432516 12 34Sxyyx xyxy xy xy=+ ++= + ++
()
(
)
22 2 2
16 12 34
x
yxyxxyyxy=++-++
()
2
22
16 12 3 34
x
yxyxyxy
ộự
=++-+
ờỳ
ởỷ
22
16 2 12xy xy=-+ (1) (do 1xy+=).
t
x
yt= . Vi 0, 0
x
y, ta cú :
()
2
11
00

4
1
16
0;
191
min
16
ft f
ộự
ờỳ
ởỷ
== v
()
()
1
4
1
4
0;
25
max
2
ft f
ộự
ờỳ
ởỷ
==.
Vy: Giỏ tr nh nht ca
S t c


ờ
-+
=
ù
==
ờù
ợ
ờ
ở

Giỏ tr ln nht ca
S
t c
1
11
1
42
4
xy
txy
xy
ỡ
+=
ù
ù
ù
= ==
ớ
ù
=

12

191
1625
2
Sáng kiến này đã đạt được một số kết quả sau :
+ Nhắc lại cách tìm GTNN, GTLN của hàm số thông qua một vài ví dụ.
+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai
biến bằng cách thế một biến qua biến còn lại.
+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai
biến bằng cách đặ
t ẩn phụ theo tính đối xứng txy=+,
22
tx y=+ hoặc txy= .
+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai

Phần kết lu
ậ
n
2. Bài h
ọ
c kinh n
g
hi
ệ
m
3. Ý n
g
h
ĩ
a của SKKN
1.
K
ết
q
uả đ
ạ
t đ
ư
ợ
c
4. Khả năng ứng dụng và triển khai