SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ
TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT
BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Ở LỚP 9
A. Đặt Vấn đề
I. Lời mở đầu:
Môn toán là môn học có vị trí rất quan trọng trong trường phổ thông, là
công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác. Học toán không chỉ
giúp các em phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi, vận dụng những
hiểu biết của mình vào thực tế mà môn Toán còn có khẳ năng phát triển phẩm
chất đạo đức cho học sinh. Bởi vì khi học toán học sinh phải hình thành và dần
hoàn thiện các đức tính như: cần cù, nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý trí vượt khó,
yêu thích, trung thực, tự tin, khiêm tốn Vì vậy trong quá trình dạy học toán đòi
hỏi người dạy phải vận dụng các phương pháp giảng dạy phù hợp với từng bài,
từng phần nhằm phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh, từ đó giúp các em
yêu thích môn học hơn. Chính vì thế mà việc bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho

yêu thích say mê môn toán, không ngừng tìm tòi, khám phá để thấy được “cái
hay”, “ cái đẹp” của môn toán.
B. NộI DUNG
I. các giải pháp thực hiện
Từ thực trạng nêu trên, để giúp học sinh biết cách làm các bài tập về tìm
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tôi đã tiến hành đọc sách, tham khảo tài liệu
để đưa ra một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức đại số.
Để chuẩn bị cho việc “ hướng dẫn học sinh tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của một biểu thức đại số” tôi đã tiến hành kiểm tra lại các kiến thức lý
thuyết đã học có liên quan như: Phân tích đa thức thành nhân tử; các hằng đẳng
thức đáng nhớ; giá trị tuyệt đối; lũy thừa bậc chẵn của một số; chia đa thức cho
đa thức…
Từ đó giúp học sinh vận dụng kiến thức hợp lý vào từng dạng bài tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất .
Trước khi hướng dẫn học sinh tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
một biểu thức đại số tôi phải nghiên cứu định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất. Từ đó giúp học sinh biết được và nắm vững:
Muốn tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta phải chỉ ra:
A
£
m với mọi giá trị của biến (với m là hằng số) và tồn tại giá trị của
biến để A = m. Khi đó m là giá trị lớn nhất của biểu thức A.
Muốn tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B ta phải chỉ ra: B
£
n với mọi
giá trị của biến (với n là hằng số) và tồn tại giá trị của biến để B = n. Khi đó n là
giá trị nhỏ nhất của biểu thức B.
Thông qua các ví dụ, hướng dẫn học sinh một số phương pháp tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số, giúp học sinh có thể nhận dạng

h x
+ b ( với n
Î
N
*
; b là hằng số ).
Khi đó ta có y
£
b. Suy ra Max y = b
Û
h(x) = 0.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A
1
= x
2
– 3x + 1.
GV hướng dẫn học sinh biến đổi:
A
1
=
2
3 5
2 4
x
æ ö
- -
ç ÷
è ø
.

3 3
0
2 2
x x
- = Û =
.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A
2
= -4x
2
+5x -1.
GV hướng dẫn học sinh biến đổi:
A
2
= - (4x
2
-5x +1)
( )
2
2
5 25 21
2 2.2 .
2 4 4
5 21
2
2 4
x x
x
é ù
Vậy Max A
2
=
21

4
Û
5 5
2 0
2 4
x x
- = Û =
.
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A
3
= -5x
2
+4xy –y
2
+ 2x + 1
GV hướng dẫn học sinh biến đổi:
A
3
= - ( 4x
2
– 4xy + y
2

x y
"

Vậy Max A
3
=2
Û

2 0
1
1 0
2
x y
x
x
y
- =
=
ì
ì
Û
í í
- =
=
î
î

1.2. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức:
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ta có thể sử dụng các bất đẳng thức
đã biết: bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức BunhiaCôpxki, bất đẳng thức về giá

3
, …. a
n
và b
1
, b
2
, b
3
, …. b
n
là 2n số tùy ý ta có:
(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
+…. + a
n
b
n
)
2

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a.b
³
0.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C
1
=
y - 2
x - 1
+
x y
.
GV hướng dẫn:
Điều kiện: x
³
1; y
³
2.
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số 1 và x – 1 ta có:
1 + x - 1
1(x - 1)
2
³
x x - 1 1
Hay: x - 1
2 x 2
³ Þ £
( vì x > 0 ).

y - 2 = y y = 4
4
ì ì
+
Û Û
í í
î îVí dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
C
2
= x + y biết:
x + 2 y = 10.

GV hướng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức BunhiaCôpxki cho hai bộ số (1; 2) và (
x; y
) ta
có:
2 2 2 2 2
(1 x 2 y) (1 2 ). ( x ) ( y )
é ù
+ £ + +
ë û

hay: 10
2

5(x + y)

2 2
(x + 5) + (x - 3) .

GV hướng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức
a b a + b .
+ ³
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a.b
³
0.
Biến đổi: C
3
=
x + 5 x - 3 x + 5 3 - x x + 5 + 3 + x
+ = + ³

Hay: C
3

8
³
.
Vậy: min C
3
= 8
( x + 5 ) ( 3 - x ) 0
Û ³

1
=
2 2
2 2
3(y + 1) 4( 1) 6 3 2 5
y y y
y y
- + + + +
=
.
2
2 5
3
y y
= + +

Lại đặt: a =
1
y
thì D
1
= 5a
2
+ 2a + 3 = 5
2
1 14 14
5 5 5
a
æ ö
+ + ³

x x x x
- + -

=
(
)
(
)
2 2
2 2 3
x x x x
- - -

Đặt x
2
- 2x = t ( lưu ý học sinh điều kiện t
³
-1)
D
2
= t(t -3) = t
2
-3t
=
2
3 9 9
2 4 4
t
æ ö
- - ³ -

hai là: 0
³
D
( hoặc . 0'
³
D
)
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
1
=
2
5 4 1
x x
- +
.
GV hướng dẫn:
Gọi a là một giá trị của P
1
. Biểu thức P
1
nhận giá trị a khi và chỉ khi
phương trình
2
5 4 1
x x
- +
= a có nghiệm.
2
5 4 1 0

x
+
+
.
GV hướng dẫn:
Gọi a là một giá trị của P
2
. Biểu thức P
2
nhận giá trị a khi và chỉ khi
phương trình
2
4 3
1
x
x
+
+
= a có nghiệm.
Û
ax
2
- 4x + a - 3 = 0 (1) có nghiệm.
Nếu a = 0
Û
x = -
3
4

Nếu a

x = -2
I.5 phương pháp đồ thị
GV: Ta có thể dựa vào đồ thị để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của một số
biểu thức
ví dụ 1 :
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = |x+1| + |x-2|
Đặt y = |x+1| + |x-2| => y
ê
ê
ê
ë
é
>-
££
<+-
212
23
12
x Víi
x1 - Víi
-1x víi
x
x

Vẽ đồ thị ta được :
Từ đồ thị ta thấy giá trị nhỏ nhất của Y là 3 =>
Giá trị nhỏ nhất của A là 3
2
£
£

4
2 2
1
( 1)
x
x
+
+

Hướng dẫn: Nhận thấy: A > 0 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
A
.
Ta biến đổi biểu thức
1
A
.
2 4 2 2
4 4 4
1 ( 1) 2 1 2
1 1
A 1 1 1
A 1
x x x x
x x x
+ + +
= = = + ³

2
³
.
min A =
1
2
Û
2
1 0 1
x x
- = Û = ±

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B =
3 5 7 3
x x
- + -
Đk:
5 7
3 3
x
£ £

Hướng dẫn: Ta tìm giá trị Max của B
2
. Ta có:
2
B 2 2 (3 5)(7 3 )
x x
= + - -

³

Hướng dẫn: Nhân và chia biểu thức dưới dấu căn với 4 rồi áp dụng bất
đẳng thức Cosi ta có: ( 16).4 1 ( 16)
16 4
4 2 4 8
16 1
: 2
2 8 16
x x x
x
x x
x
x
- -
æ ö
- = £ + =
ç ÷
è ø
-
£ =

Hay:
1
A
16
£ Þ

= + = + + +

áp dụng bất đẳng thức Cosi cho bốn số ta có
4
3 3
3
16 16
A= 4 . . . 8
16
A =8 x= 2
x x x x x x
x x
min x
x
+ + + ³ =
Û Þ =

2.3. Nhiều khi để tìm cực trị của một biểu thức ta phải chia khoảng:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A =
2
(5 )
x x
-
Đk: x
0
³

Hướng dẫn:
Xét hai trường hợp xảy ra:

ç ÷
è ø
Trường hợp 2: x>5
2
5 0 (5 ) 0
Hay : A < 0
x x x
- < Û - <

Vậy: Max A =
5
500 10
2
9 3
0 5
x
x
x
x
ì
= -
ï
Û Û =
í
ï
£ £
î

2
6 11 3 2 2.
x x x
- + = - + ³

Vậy phương trình (1) có nghiệm:
2
4 2 2
4 2
3 0
6 11 0
x x
x x
x
x x
ì
ì
- + - =
- = -
ï ï
Û Û
í í
- =
- + =
ï
ï
î
î
Û
x = 3.


= 5x
2
-10x + 10= 5(x
2
-2x +1)+5
= 5(x-1)
2
+5
³
5 dấu = sãy ra tại x=1
3 . 2 Điều kiện dể áp dụng bất đẳng thức Ví dụ khi cho biểu thức A = 2x +
x
2
học sinhdễ đánh giá nhầm :
A
³
4 vì : theo bất đẳng thức cosi ta có 2x +
x
2
³
2 4
2
.2 =
x
x
Học sinh sai lầm vì x có thể âm bài toán trên không có giá trị nhỏ nhất lớn nhất

Người thực hiện: Lê xuân thường