PHẦN I. MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Toán học là công cụ giúp học tốt các môn học khác, chính vì vậy nó đóng
một vai trò vô cùng quan trọng trong nhà trường. Bên cạnh đó nó còn có tiềm
năng phát triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ,giúp học sinh hoạt động
có hiệu quả trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất.
Toán học mang sẵn trong đó chẳng những phương pháp quy nạp thực
nghiệm, mà cả phương pháp suy diễn lôgic. Nó tạo cho người học có cơ hội rèn
luyện khả năng suy đoán và tưởng tượng. Toán học còn có tiềm năng phát triển
phẩm chất đạo đức, góp phần hình thành thế giới quan khoa học cho học sinh.
Toán học ra đời từ thực tiễn và lại quay trở về phục vụ thực tiễn. Toán học còn
hình thành và hoàn thiện những nét nhân cách như say mê và có hoài bão trong
học tập, mong muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình cho sự nghiệp
chung của đất nước, ý chí vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp,
trung thực, tự tin, khiêm tốn,…. Biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện để đạt tới
một nhân cách hoàn thiện toàn diện hơn. Mặt khác toán học còn có nhiệm vụ
hình thành cho HS những kỹ năng:
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán để giải các bài tập toán
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học để học tập các môn học khác.
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào đơì sống, kỹ năng đo đạc, tính
toán,sử dụng biểu đồ, sử dụng máy tính….
1
Tuy nhiên cả ba kỹ năng trên đều có quan hệ mật thiết với nhau. Kỹ năng
thứ nhất là cơ sở để rèn luyện hai kỹ năng kia. Chính vì vậy kỹ năng vận dụng
kiến thức để giải bài tập toán là vô cùng quan trọng đối với học sinh. Trong đó
việc trình bày lời giải một bài toán chính là thước đo cho kỹ năng trên. để có
một lời giải tốt thì học sinh cần có kiến thức, các kỹ năng cơ bản và ngược lại có
kiến thức, có các kỹ năng cơ bản thì học sinh sẽ trình bày tốt lời giải một bài
toán
Đại số là một ngành lớn của toán học. Đối tượng nghiên cứu của nó là
các phép tính ví dụ như cộng, trừ, nhân, chia, cụ thể hơn là mối quan hệ giữa các

III. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
- Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là như thế nào?
- Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết
những vấn đề liên quan.
- Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan, học sinh thường gặp những
khó khăn và sai lầm nào?
- Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh
kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan?
- Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào?
IV. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:
- Các dạng toán về và phương pháp giảng dạy toán để giúp nâng cao hứng thú
và kết quả học tập của học sinh.
- Học sinh lớp trường THCS XXX
V. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương
pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
3
Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo,
phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…). Bước đầu mạnh
dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quả
thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và
đi đến kết luận.
Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của
học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của
học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.
4
PHẦN II. NỘI DUNG
Ta đã biết các bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất có 1 vị trí xứng đáng
trong chương trình học và dạy toán ở các trường THCS. Các bài toán này rất

Nghĩa là để tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của 1 biểu thức A ta cần chứng
minh rằng A≥k hoặc A≤k (với k = cmst)
∀
giá trị của biểu thức và chỉ ra trường
hợp xảy ra dấu đẳng thức.
Để sử dụng phương pháp này ngoài những bất đẳng thức cơ bản đã học
tôi muốn đề cập đến 1 bất đẳng thức rất hay sử dụng là bất đẳng thức Côsi:
Nếu a
1
, a
2
,…a
n
là các số không âm, ta có:
5
1,
n
n
anaa
n
aaa21
21
≥
++
(1)
2, Dấu "=" trong (1) xảy ra
⇔

thức bằng phương pháp bất đẳng thức.
Ví dụ 1: "Với giá trị nào của x để biểu thức
A = x
2
- 2x + 5 có giá trị nhỏ nhất ?"
Đây là biểu thức chưa biết x, giá trị của A tuỳ thuộc vào giá trị của biểu
thức x. A có giá trị thay đổi nhưng nó tồn tại 1 giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ
nhất ấy là bao nhiêu? ứng với giá trị nào của x? Để trả lời ta phải tìm cách để
chứng minh rằng A
≥
k (k là hằng số) khi đó A
min
= k ứng với giá trị của x làm
cho A = k. Muốn chứng minh được ta phải tách biểu thức A thành nhóm thích
hợp.
Lời giải:
Ta có A = x
2
- 2x + 5 = x
2
- 2x + 1 + 4
⇔
A = (x -1)
2
+ 4
6
Mà (x-1)
2

≥

2
5
2
+






− xx
=
1
5
1
5
1
5
2
5
22
2
+








−x
=
5
4
5
1
5
2
+






−x
Với
∀
x, x
∈
R thì
0
5
1
2
≥





5
1
b) f (x) =
23
2
−+− xx
=






−− xx
3
1
3
2
7
=
2
6
1
6
1
3
1
3
22
2

−






−− x
Vì
0
6
1
2
≥






−x

∀
x, x
∈
R nên
12
23
12
23

=−⇒ x

6
1
=⇒ x
Kết quả: f(x) đạt giá trị lớn nhất
12
23
−
ứng với giá trị x =
6
1
của biến.
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = (x
2
+ x + 1)
2
Mới thoạt nhìn bài toán học sinh rất dễ nhầm lẫn và có vẻ đơn giản. Ta sẽ
cho rằng A
≥
0
∀
x (vì là bình phương của 1 biểu thức) và do đó A có giá trị nhỏ
nhất bằng 0. Không phải vậy. Nếu để ý kĩ hơn ta sẽ nhận ra ngay A >0
∀
x
Vì x
2
+ x + 1 ≠ 0

2
+ x + 1)
min

=> Giá trị nhỏ nhất của A =
16
9
4
3
2
=







⇔
x = -
2
1
8
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng
16
9
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = (2x - 1)
2
- 3

4
1
2
−






−= t
Mà
2
2
3






−t
≥ 0
∀
≥ 0
=> t
2
- 3t + 2 =
2
2

= -
4
1

⇔

12 −x
=
2
3

⇔

⇔

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -






4
1
9
2x - 1 =
2
3

1 - 2x =

2
+−
+−
xx
xx
b) Tìm giá trị lớn nhất của Q(x) =
4
173
2
2
+
+
x
x
Bài giải
a) Sử dụng phép chia đa thức, ta đưa P(x) về dạng:
P(x) = 2 -
2
1
2
+− xx
Xét
4
3
2
1
2
2
1
2

2
≥






−x

∀
x, x
∈
R nên
4
3
2
2
≥+− xx
,
∀
x, x
∈
R
Và
2
2
+− xx
đạt giá trị lớn nhất khi x =
2

1
=
3
2
b) Ta có Q(x) = 3 +
4
5
2
+x
; Q(x) lớn nhất khi
4
5
2
+x
lớn nhất.
4
5
2
+x
lớn nhất khi x
2
+4 đạt giá trị nhỏ nhất.
10
Vì x
2
+
≥
4,
∀
x, x

phép so sánh hai phân tử.
Giải:
M =
544
3
2
+− xx
=
4)12(
3
4144
3
22
+−
=
++− xxx
Ta thấy (2x - 1)
2
≥ 0
∀
x Dấu "=" xảy ra
⇔
x =
2
1
Nên (2x - 1)
2
+ 4 ≥ 4
∀
x dấu "=" xảy ra

11
bài toán ta phải phân tích để sử dụng một số bất đẳng thức khác đã chứng minh.
Sau đây là ví dụ:
Ví dụ 7:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
z
y
y
zx
x
zy
yx
z
xz
y
y
x
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
x

Xét: B =
yx
z
xz
y
zy
x
+
+
+
+
+
Đặt: x +y = a; y + z = b; x + z = c => a, b, c >0
Theo bất đẳng thức côsi cho 3 số a, b, c:
a + b + c ≥ 3
abc
3
Dấu "-" xảy ra
⇔
a = b = c
≥++
cba
111
3
3
1
abc
Dấu "-" xảy ra
⇔
a = b = c

+
+
+
+
+ zxzyyx
( )
2
9111
≥








+
+
+
+
+
++⇒
zxzyyx
zyx

2
9
11 ≥
+

Xét:
y
zx
x
zy
z
xy
C
+
+
+
+
+
=
=








++







x
;
x
z
;
z
y
;
y
z
>0
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
2≥+
y
z
z
y
Dấu "=" xảy ra
⇔
x = y
2≥+
x
z
z
x
Dấu "=" xảy ra
⇔
x = z
2≥+
y

13
Ví dụ 8:
1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P(x) = 2x - x
2
với 0<x<2
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q(x) =
,
4
2
x
x +
x>0
Giải
1. ta có 2x - x
2
= x(2-x) với 0 < x <2 => x > 0, 2 - x > 0
Xét tổng x + (2-x) = 2 = không đổi.
Vậy tích x(2-x) lớn nhất khi x = 2 -x => x = 1
Giá trị lớn nhất của P(x) với 0 < x < 2 là:
P(1) = 1 + 1 = 2, ứng dụng với giá trị x = 1.
2. Ta có Q(x) =
x
x 4
2
+
= x +
x
4
x>0
Xét tích x.

2
+ 5x) +6]
= (x
2
+5x)
2
- 36
= (x
2
+5x)
2

≥
0
∀
x, x
∈
R nên rõ ràng là P(x)
≥
-36
P(x) đạt giá trị nhỏ nhất là -36 với x
2
+5x = 0
⇔
x = 0 hoặc x = -5
Cách 2:
Ta xét biểu thức đối của P(x) là - P(x) và được
-P(x) = -(x
2
+ 5x - 6)(x

III. BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
Thông qua 9 ví dụ trên đây ta đã ứng dụng phương pháp bất đẳng thức để
tính giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của 1 biểu thức nào đó. Phương pháp này
không phải bài toán nào dạng này cũng áp dụng được mà còn tuỳ thuộc vào từng
bài cụ thể. Đứng trước bài toán dạng này nên xem xét đề kỹ càng để xác định
hướng đi cho đúng. Đặc biệt loại toán này học sinh rất dễ hay ngộ nhận (ví dụ 2)
cho nên người dạy phải cho học sinh nắm chắc về khái niệm giá trị lớn nhất
(nhỏ nhất) của 1 biểu thức. Phương pháp này gần gũi, dễ hiểu đối với các em ở
bậc THCS song cũng không nhất thiết là bài toán nào cũng áp dụng nó. Ở đối
tượng học sinh của mình, tôi đã cho các em áp dụng phương pháp này để giải
một số bài toán về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và kết quả là các
em nắm bắt được rất tốt và sử dụng thành thạo.
Trong quá trình dạy tôi rút ra đối với phương pháp dùng bất đẳng thức để
tìm giá trị lớn hoặc nhỏ nhất của một biểu thức A, ta nhất thiết phải tiến hàng
theo hai bước:
- Chứng minh 1 bất đẳng thức:
A≤ k (hoặc A≥ k) Với k = Const với mọi giá trị của biến.
- Tìm giá trị của biểu thức sao cho ứng với những giá trị ấy bất đẳng thức
vừa tìm được trở thành đẳng thức (A=k). Nếu sử dụng bất đẳng thức Côsi thì
các giá trị này của biến thường được tìm ra nhờ ở phần 2 trong cách phát biểu
định lý. Còn trong trường hợp chung để phát hiện ra dấu đẳng thức cần có nhận
xét thích hợp.
16
Tuy nhiên yêu cầu phải biết sáng tạo linh hoạt trong việc tìm ra một bất
đẳng thức để chứng minh.
PHẦN III : KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự
hình thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh

viên dạy toán. Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên
trong tỉnh.
2. Với BGH nhà trường
- Hiện nay, nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên có vẻ như
chưa đầy đủ. Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm
sách tham khảo môn Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các
em có thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú,
kết quả học tập môn toán nói riêng, nâng cao kết quả học tập của học sinh nói
chung.
3. Với PHHS
- Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái. Thường xuyên
kiểm tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con
18
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Một số vấn đề phát triển Toán 8 - tập 1, tập 2 của tác giả Vũ Hữu Bình.
2. Toán nâng cao Đại số 8 của tác giả Vũ Thế Hựu.
3. Một số chuyên đề Toán 8 của tác giả Bùi Văn Tuyên.
19