n k  ln nh
nh nht ca biu thc cho hi
cui cp trung hc ph  Nguyn Th Thanh Thy i hc c
Lu ThS.  y hc (B c)
: 60 14 10
ng dn: 
o v: 2010 Abstract. u h thn v c.
 ln nh
nh nh xut mt gi hiu qu 
i cui cp Trung hc ph c
nghim nhm kim nghi u qu c 

Keywords. ng dy; Ph c; Biu thc; c Content
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Theo Luc Vic ph 
Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ
bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con
người Việt Nam Xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm cộng đồng, chuẩn bị cho

GTLN, GTNN cho HS.
+ Nhim v cu:
- u h thn v c.
- 
-  xut mt giu qu 
i cui cp THPT.
- Thc nghim nhm kim nghi u qu c 
4. Đối tƣợng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu
- y h ng THPT.
- PhN  ng THPT.
-  i cui cp THPT.
5. Mẫu khảo sát
Mt s l
6. Vấn đề nghiên cứu
-  a mt biu thc?
- GiTNN ca mt biu thc cho hi
cui cp THPT?
7. Giả thuyết khoa học
Gii ph quan trng cho vic nng cao k nng gii to t gi tr ln nht, gi tr
nh nht ca biu thc cho hc sinh kh, gii cui cp Trung hc ph thng l vic h thng
gi tr ln nht, gi tr nh nht ca biu thc v 
bi p n cho hc sinh.
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
- n
- 
- c nghim
9. Cấu trúc luận văn
n m u, kt lun, t liu tham kho, ni dung lun vn c tr b
trong 


 hT  HS tip tc h
TCCN, hc ngh hoc sng.
1.2.2. Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT
m vng nhng mch kin thn trong 
 ( ; Kh
Nhn
ng hm ch c l
hoo).
1.3. Giải bài tập toán học
1.3.1. Vai trò của bài tập toán học
B
; N
 ; 
 


1.3.2. Ý nghĩa của việc giải bài toán theo nhiều cách
to


1.4. Những tri thức liên quan đến bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
1.4.1. Những phương pháp thông thường tìm GTLN, GTNN của biểu thức một biến số
Dng thc; D; .
1.4.2. Những phương pháp thường dùng trong bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức
S dng bng thc; kh; hc  l
1.4.3. Những bất đẳng thức thường dùng trong bài toán tìm GTLN, GTNN
Ghng bng thc ch rng.
1.4.4. Mối liên quan giữa bài toán chứng minh BĐT và bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu
thức

1.6.2. Những yêu cầu đối với giáo viên trong việc hình thành kĩ năng giải toán cho học
sinh
  nng gin thc hin t
vn  nh tng k nng c th trong h thng k nng gic cho HS
c  c mi lp hc, cp hc tng nh h th
hc tng ng ch yu  HS luyn tp k nng gip c bp tng h
dng s  nh ht ton gii mi dng, lop; Hng dn hc
sinh hot m li gip mp tng t nhm c s
 nh hng gip c th  dng h
th p sau m  i chng   n tp theo m  u,
thc gi  thng c

CHƢƠNG 2
GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ
NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHO HỌC SINH
              GTLN,
GTNN ca biu thc cho HS theo tng di dng s s dng mt s
PP nh  mc 1.4  y mt mt
 thun li cho vic sinh theo ti d
u PP gii phn nh s nh 
mc 1.6 
2.1. Dạng tìm GTLN, GTNN của hàm số
Ví dụ 1: GTNN ca
 
32
32f x x x   
i tp hp
D

a.

 cp h c
ti
;;ab
m ti hn thun
[ ; ]ab
.
Ví dụ 2: a
2
2
3
2
x
y
xx




Cách 1:  t c; Cách 2: 
2.2. Dạng biểu thức chỉ chứa một biến
Nu biu thc ch cha mt bin s  s d
kh  m  o
 yu s 
kh .
2.2.1. Sử dụng các bất đẳng thức đã biết
2.2.2. Xét biểu thức có liên quan
Ví dụ 3: 
24y x x   
.
Hướng dẫn: 

c hu t ng gp: a +
a
1
, 
2.2.4. Sử dụng điểm thuộc đồ thị hàm số
Ví dụ 5: 
 
2
1
1
xx
Cy
x



 tng kho M ti hai
ng tim c nh nht.
2.2.5. Lượng giác hóa
+ --sep:
2
21x 
cos2t
; 4x
3
– 3x = cos3t
+ 
 
aaxxa ,:
22

( ) 1 . . 2 1 8 8 1f x x x x x x    

 
1;1

Hướng dẫn:
Do
 
1;1x

 
0; :cost t x

  
;
1
( ) sin cos cos2 cos4 sin8
8
f x t t t t t
()gt
.

2.3. Dạng biểu thức chứa hai biến
Vi nhng du kic gia hai bic nht, d 
c bin bin kia, quy v mt bin ri kh mt bi
ng h khuy
hng nhi
 yi nh mt bin.
2.3.1. Dựa vào trường hợp xảy ra đẳng thức khi sử dụng BĐT Cô-si
Ví dụ 7: Cho

44444444
4 4

xxx 
;
3
4
44444444
4 4

yyy 

 
34
46
1
P const
  




 
2 2 8 2 12 4 2 1 30 24 2      


12  yx
.
2.3.2. Dựa vào tính đối xứng của hai biến
2.3.2.1. Quy về đánh giá các đơn thức, đa thức đối xứng




ty
tx
2
1
2
1
. Bii
A
v  i vi bin
t
.
2.3.2.2. Đặt ẩn phụ
Ví dụ 9: Cho
1;xy x y
a A:
yx
yx
A



22

Cách 1: 
y 
x
1






yx
yx
yx
yx
(do
1xy 
t
22
t x y
.
2.3.2.3. Đánh giá tổng nghịch đảo
Ví dụ 10: a P:
4 4 2 2
4 4 2 2
2
x y x y x y
P
y x y x y x

     



2.3.3. Dựa vào dấu hiệu ràng buộc của hai biến trong giả thiết
2.3.3.1. Bài toán có giả thiết


. a P.
2.3.3.2. Một số dạng khác
Ví dụ 12: Cho
1
22
 yx
a P:
 
2
2
26
1 2 2
x xy
P
xy y




2.3.4. Khảo sát theo từng biến
Ví dụ 13: Cho
   
0;1 ; 0;2xy
a
   
1 2 4 2P x y x y   

Hươ
́

.
1
( ; ) ( ; )
min min ( ; )
x y D u v D
P g u v


   
0;2 0;1
min min ( ; )
vu
g u v





vi
 
20;10:),(
1
 vuvuD


 
22
( ) 2 ; 0;1f u vu v u u   
; vi tham s
v

 
aaxxa ,:
22

:
t
 















,0,cos
2
;
2
,sin
ttax
ttax


1 x
t













2
;
2
tan

txt

22
2
1
1 1 tan
cos
xt
t
   

ab



     




u thc
xy
yx


1
t
vyux tan,tan 

 
vu
vu
vu



tan
tantan1
tantan






;
x
t
t
sin
1
2
2


;
x
t
t
tan
1
2
2



+ Mun kh 
1
2
x
t
 

2


Ví dụ 14: Cho
0122
22
 yxyx
(1). Ta P:
 
   
221321323
22
 xyyxyxP

Hướng dẫn:
(1)
   
111
22
 yx
 






ty
tx
t

.

   
21
2
21
2
21
MMyyxx 
vi
   
1 1 1 2 2 2
; ; ;M x y M x y 
00
22
;( )
ax by c
dM
ab



vi
 
00
; ;( ): 0M x y ax by c   


 
  
21
2
1
:
:








qyB
pyA
thuc hai na mp

 b tr.
Do
 
ABOBOAxf 
= const. 

 O 

n
AB


; ; ;
, , 0
n
n
x x x D
F x x x








 


 





0, ,

21
21
n
n
xxxF

 
    
 
1 2 1 2
0 1, ; 1 1 1 1
n
n
i n n
x i n x x x x x x       

+
 
12
12
1 1 1
0 1, ;
1 1 1
1
i
n
n
n
n
x i n
x x x
x x x
      
  



y
a
x
. Du "=" xy ra


c
z
b
y
a
x


Ví dụ 16: Cho
; ; 0; 1a b c abc
a P; Q:
ba
c
ca
b
cb
a
P







  




1abc   
.
   chng minh:
 
cbaP 
2
1


 , 



  BT 

 .




:
a
cb
cb
acb
caacbccbabbaQ 
222222
222

Hướng dẫn: P:
     
2 2 2
22
3 1 3
4 4 4
a b ab a b a b a b       

 
baabba 
2
3
22


33P
khi a = b = c = 1.
2.4.1.2. Dạng có ràng buộc hai biến có liên quan đến biểu thức lượng giác
Vi 3 s 
; ; : 1x y z xy yz zx
  n ti m      
tan ; tan ; z tan
222
A B C

P
x y z
  
  
.
Hướng dẫn: Tn t
 
1
tan tan tan
2
P A B C  
.
2.4.1.3.Dạng có ràng buộc hai biến có liên quan đến biểu thức hình học
Ví dụ 19: Cho
 
3,2;0,,  cbacba
a
222
cbaT 

Hướng dẫn:
 
 
cbaMcba ;;2;0,, 
 khi lp phng :

 
20;20;20  zyx
nh:
       
2.4.2. Dạng biểu thức khác (không đối xứng, không xoay vòng)
2.4.2.1.Đánh giá dựa vào các bất đẳng thức thông dụng
Ví dụ 20: Cho
; ; 0abc
a P:
ba
c
ac
b
cb
a
P






543

Hươ
́
ng dâ
̃
n: X

3
3
12
ba
c
ac
b
cb
a
P

 
     



























222
222
543
2
1
543
baaccb
baaccb
baaccb
cba

-nhia--ski.
Ví dụ 21: 
ABC
a
 
CBAM cos3coscos2 

Hươ
́
ng dâ



BACC

11
3
M 
. Du "=" xy ra
ABC
i C:
3
1
2
sin 
C
.
2.4.2.2. Lượng giác hóa
Ví dụ 22: Cho 3 s 
; ; : 1x y z xy yz zx
a M:

     
2 2 2
2 2 2
2 1 2 1 3 1
1 1 1
x y z
M
x y z


Q
B
J
y
R
G
B : Vi 3 s c
;;x y z
n t
ABC
 i
din
;;A B C
l
;;abc
sao cho:
;a y z

b z x
;
c x yVí dụ 23: Cho
 
1:0,,  zyxxyzzyx
a P = (x + y)(y + z)

ABC


  
22.  zyyxBCAB

Du
""
xy ra
 






0,,
11
zyx
zyxyzx

Ví dụ 24: Cho
 
22
22
2 2 1 0 (1)
17 6 (2)
a b a b
c d c d

    



22

1
()C
.
       
 dcNdc ;1332
22
2
()C

P MN
,
   
21
, CC

   


21
CC
.
Gi A, B, C, D lt m
21
II
vi
   
21
, CC

z
B
1

y
A
I
2
(C
2
)

3
0
C
-1
B
-1
I
1

(C
1
)
D
x
max P =
2
1
3;

ng dâ
̃
n:
2
22
22
22
2 2 2
1 1 1
cos sin
2 cos sin
1 1 1 4
11
2 sin cos 2 sin 2
y x x
xx
x x x

   


   
   
   
   

Do
 
2
2

ng số ha
̣
ng, nhưng không chu
́
y
́
xem đă
̉
ng
thư
́
c co
́
xa
̉
y ra hay không, dâ
̃
n đến miny = 8.
2.5.2. Đưa về tổng các số không âm, không dương
Ví dụ 26: a
4sin3 cos2 cos6 6y x x x   

Hươ
́
ng dâ
̃
n:
 
 
2





     




Vy
min 2 2
2
y x k


   

2.5.3. Quy về một hàm số lượng giác
Ví dụ 27: a
   
xxxxy 8cos4cos
2
1
4cos2sin12 

Hươ
́
ng dâ
̃
n:

11
sin cos
y
xx
  
  
  
  

0;
2





Hươ
́
ng dâ
̃
n: Sư
̉
du
̣
ng BĐT phu
̣
:
  
 
2

̃
n: Phmt phng (ABC) 
1
c
z
b
y
a
x
;
 

)1;1;1(M

OCOBOAV
OABC

6
1

1

6
abc
1
6
abc V
.

3

THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

3.1. Mục đích, nội dung, tổ chức thực nghiê
̣
m sƣ phạm (TNSP)
 
 
 
- 
 50.
- 
 50.
- 
- : 
3.2. Giáo án thực nghiệm sƣ phạm ()
3.3. Kết quả thực nghiệm sƣ phạm
3.3.1.Đề kiểm tra ( 45 phút ) và kết quả làm bài của HS:

22
0; 0; 3x y xy x y    

44
Q x y


0; 0; 1x y x y   
a P:
22
11
4P xy







 : 
 , 








3.3.2. Kết quả đánh giá của các giáo viên, giáo sinh dự giờ TNSP

, . :
- 


, , 




- .

  
  cho  i vc
i .
3. 













 , 










6 d, 








 , 









 . 





























.
References
1.  Rèn luyện kĩ năng giải toán về nguyên hàm, tích phân cho
hoc sinh kết hợp với sử dụng phần mềm Macromedia flash h S
ph 
2.  Phân phối chương trình môn Toán THPT. 
3.  Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, sách
giáo khoa lớp 10 môn ToánN
4. , Dạy học giải quyết vấn đề trong môn Toán

5.  Một số phương pháp chọn lọc giải các bài

20.  Rèn luyện kĩ năng giải bài toán Hình học không gian bằng
phương pháp tọa độ ở trường THPT h S ph 
21. , Những dạng toán điển hình trong các đề thi tuyến sinh đại
học và cao đẳng. N
22.  Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN và
chứng minh BĐT cho HS lớp 12 THPT h S ph 
23. Polya G. (1975), Giải một bài toán như thế nào (bản dịch),  
N
24. Polya G. (1977), Sáng tạo toán học (bản dịch), N
25. Polya G. (1995), Toán học và những suy luận có lí, N
26. Petrovski A.V. (1982), Tâm lí lứa tuổi và tâm lí sư phạmN
27. S gi khoa, s gi vin c l 10, 11, 12 Trung h ph thng.