1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THỊ THANH THUỶ
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI CUỐI CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học
(Bộ môn Toán học)
Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. BÙI VĂN NGHỊ


1. BĐT
Bất đẳng thức
2. CM
Chứng minh
3. GT
Giả thiết
4. GTLN
Giá trị lớn nhất
5. GTNN
Giá trị nhỏ nhất
6. GV
Giáo viên
7. HS
Học sinh
8. KL
Kết luận
9. mp
Mặt phẳng
10. THPT
Trung học phổ thông
11. TXĐ
Tập xác định
1.1.1. Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán
4
1.1.2. Điều kiện để có kĩ năng
4
1.1.3. Các mức độ của kĩ năng giải toán
5
1.2. Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh
5
1.2.1. Mục tiêu dạy học môn toán
5
1.2.2. Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT
6
1.3. Giải bài tập toán học
6
1.3.1. Vai trò của bài tập toán học
6
1.3.2. Ý nghĩa của việc giải bài toán theo nhiều cách
7
1.4. Những tri thức liên quan đến bài toán tìm GTLN, GTNN của
biểu thức

8
1.4.1. Những phương pháp thông thường tìm GTLN, GTNN của
biểu thức chỉ chứa một biến số

8
1.4.2. Những phương pháp thường dùng trong bài toán tìm GTLN,
GTNN của biểu thức

8

2.1. Dạng tìm GTLN, GTNN của hàm số
14
2.2. Dạng biểu thức chỉ chứa một biến
17
2.3. Dạng biểu thức chứa hai biến
29
2.4. Dạng biểu thức có từ ba biến số trở lên
54
2.5. Dạng biểu thức lượng giác
82
2.6. Dạng hình học
93
2.7. Tóm tt chương 2
95
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
97
3.1. Mục đích, tô
̉
chư
́
c thư
̣
c nghiê
̣
m sư pha
̣
m
97
3.2. Giáo án thc nghiệm sư phạm
97

tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo
vệ Tổ quốc ”. Về phương pháp giáo dục, cần phải “Phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học,
lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”, “bồi dưỡng phương pháp tự học,
rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” [12, chương 1]
Môn Toán là môn học công cụ, giữ một vai trò hết sức quan trọng
trong chương trình THPT. Trong đó các bài toán về tìm giá trị lớn nhất,giá
trị nhỏ nhất là những bài toán yêu cầu cao ở học sinh về tư duy, về kĩ năng.
Song, đối với học sinh thì dạng toán này là một trong những dạng toán khó,
cần phải chú ý và có những biện pháp để rèn luyện kĩ năng giải dạng toán
này, góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề này.
Từ những lí do trên, đề tài được chọn là: “Rèn luyện kĩ năng tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối
cấp THPT”.
2. Lịch sử nghiên cứu
Hiện nay đã có một số công trình nghiên cứu gần gũi với đề tài này,
nhưng chủ yếu nghiên cứu về rèn luyện kĩ năng cho HS trong giải toán Hình
học. Một số trong những đề tài đó là: “Rèn luyện kĩ năng giải bài toán Hình
học không gian bằng phương pháp tọa độ ở trường THPT" - Luận văn thạc sĩ
của Thái Thị Anh Thư, ĐHSP HN, năm 2004; "Rèn luyện kĩ năng giải các

2
bài toán thiết diện của các hình không gian trong chương trình Hình học PT"
- luận văn thạc sĩ của Nguyễn Tiến Trung, ĐHSP HN, năm 2006, "Rèn luyện
kĩ năng giải toán về Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ
song song cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông ", luận văn thạc sĩ của
Nguyễn Thị Định, K3, ĐHGD - ĐHQG HN, năm 2010 v.v
Đề tài này khác những đề tài nói trên về chủ đề cần rèn luyện và đối
tượng học sinh. Đó là chủ đề tìm GTLN, GTNN và đối tượng là HS khá, giỏi

học phổ thông là việc hệ thống hóa được các dạng toán, các kĩ năng tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức và có biện pháp thích hợp rèn
luyện cho học sinh.
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu lí luận về rèn luyện kĩ năng
giải toán, về dạy học giải bài tập toán học.
+ Phương pháp điều tra quan sát: Sử dụng những mẫu phiếu điều tra về tình
hình dạy và học nội dung tìm GTLN, GTNN của một biểu thức, về kĩ năng
tìm GTLN, GTNN của một biểu thức ở lớp cuối cấp THPT.
+ Phương pháp thc nghiệm sư phạm: Soạn và dạy thc nghiệm một số giáo
án về tìm GTLN, GTNN của một biểu thức ở một số lớp chuyên, chọn cuối
cấp THPT, đánh giá kết quả thc nghiệm, đánh giá tính khả thi và hiệu qủa
của đề tài.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của
luận văn gồm 3 chương:
Chương 1. Kĩ năng giải toán
Chương 2. Giải pháp rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN của một
biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT
Chương 3. Thc nghiệm sư phạm 4

CHNG 1
K NNG GII TON
1.1. Quan nim v k nng, k nng gii toỏn
1.1.1. Quan nim v k nng, k nng gii toỏn
Tựy theo cỏc phng din nhỡn nhn khỏc nhau v k nng: xột v tõm
lớ, hnh vi, hay xột theo nng lc vn dng, hnh ng, hay xột theo phng

1.1.3. Cỏc mc ca k nng gii toỏn
Kĩ năng giải bài tập toán học cú th chia thnh ba mức độ khác nhau:
- Biết làm: vận dụng c lí thuyết để giải những bài tập cơ bản, hình thành
các thao tác cơ bản nh-: viết các đại l-ợng theo ngôn ngữ toán học, viết
chính xác công thức, kí hiệu, tính giá trị dựa vào công thức; nắm đ-ợc quy
trình giải một dng toán nào đó t-ơng tự nh- bi mẫu.
- Thành thạo: giải nhanh, ngắn gọn, chính xác bi toỏn theo cách giải ó bit,
trong nhng hon cnh mi, iu kin mi tng t nh- bài ó bit; giải
c những bài tập tổng hợp, phức tạp, đa dạng.
- Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: -a ra đ-ợc những cách giải ngắn gọn, cỏch
chuyn húa vn khộo lộo, cỏch gii quyt vn độc đáo.
1.2. Nhim v rốn luyn k nng gii toỏn cho hc sinh
1.2.1. Mc tiờu dy hc mụn toỏn
Mc tiờu dy hc mụn Toỏn nm trong mc tiờu giỏo dc núi chung
"Mc tiờu giỏo dc ph thụng l giỳp hc sinh phỏt trin ton din v
o c, trớ tu, th cht, thm m v cỏc k nng c bn, phỏt trin nng lc
cỏ nhõn, tớnh nng ng v sỏng to, hỡnh thnh nhõn cỏch con ngi Vit
Nam XHCN, xõy dng t cỏch v trỏch nhim cụng dõn; chun b cho hc
sinh tip tc hc lờn hoc i vo cuc sng lao ng, tham gia xõy dng v
bo v T quc" (Theo [12]).
Mc tiờu dy hc mụn Toỏn l:

6
- Trang b cho HS nhng tri thc, k nng, phng phỏp toỏn hc ph thụng,
c bn, thit thc.
- Gúp phn phỏt trin nng lc trớ tu, bi dng phm cht trớ tu cho HS.
- Gúp phn hỡnh thnh v phỏt trin cỏc phm cht, phong cỏch lao ng
khoa hc, bit hp tỏc lao ng, cú ý chớ v thúi quen t hc thng xuyờn.
- To c s HS tip tc hc C, H, TCCN, hc ngh hoc i vo cuc
sng lao ng.

biết sử dụng những câu hỏi này nh- công cụ kích thích sự tìm tòi, phát hiện
để thực hiện từng b-ớc của ph-ơng pháp chung giải toán.
1.3.2.í ngha ca vic gii bi toỏn theo nhiu cỏch
Việc đi sâu vào tìm hiểu nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán có
vai trò to lớn trong việc rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, rèn luyện trí thông
minh, óc sáng tạo cho học sinh. Có thể thấy rõ điều đó trong các tác dụng sau:
- Những cách giải khác nhau của một bài toán góp phần hình thành và củng
cố cho học sinh về tính chất của các phép tính số học, về quan hệ giữa các
phép tính số học.
- Trong quá trình tìm ra những cách giải khác nhau, học sinh có dịp suy nghĩ
đến những khía cạnh khác nhau của bài toán, từ đó sẽ hiểu sâu hơn về các mối
quan hệ trong bài toán đó, nắm vững và củng cố các kiến thức có liên quan.
- Việc tìm ra nhiều cách giải khác nhau sẽ giúp học sinh có dịp so sánh các
cách giải đó, chọn ra đ-ợc cách hay hơn và tích luỹ đ-ợc nhiều kinh nghiệm
để giải toán.
- Việc tìm ra nhiều cách giải cũng góp phần rèn luyện đức tính kiên trì, tiết
kiệm, vì từ nhiều cách giải ấy học sinh có thể chọn ra đ-ợc con đ-ờng ngắn
nhất để đi tới đích, không vội bằng lòng với việc tìm ra con đ-ờng đầu tiên.
- Quá trình tìm tòi những cách giải khác nhau của bài toán cũng là quá trình rèn
luyện trí thông minh, óc sáng tạo và khả năng suy nghĩ linh hoạt cho học sinh.

8
1.4. Những tri thức liên quan đến bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
1.4.1. Những phương pháp thông thường tìm GTLN, GTNN của biểu thức
chỉ chứa một biến số
+ Da vào bất đẳng thức
+ Da vào khảo sát hàm số
+ Tìm tập giá trị
Giả sử cần tìm GTLN, GTNN của biểu thức

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
A
thuộc đoạn
BCAB AC BC
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hoặc
B
thuộc đoạn
AC

hoặc
C
thuộc đoạn
AB
.
BĐT lượng giác:

sin 1; cos 1 .
  
  

*
: sin sin ; s s
nn
n co co
   
    


i n n
x i n x x x x x x
n
      
.
Dấu
""
xảy ra
; 1; ,
ij
x x i j n i j    

BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski :
Cho
2n
số thc
; ( 1; )
ii
a x i n
,ta có:

 
  
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2

n n n n
a x a x a x a a a x x x         
.

a a a
x x x
  



  


Trong chương trình phổ thông:
- Ta chỉ được sử dụng BĐT Cô-si và BĐT Bu-nhia-côp-ski (đối với
2n 
hoặc
3n 
).
- Khi cần dùng BĐT Trê-bư-sep (đối với
2n
hoặc
3n
) , ta phải
chứng minh lại trước khi dùng.
1.4.3.3. Một số hệ quả của BĐT Cô-si

 
2
1 2 1 2
1 1 1
0 1, ;

i

n
n
n
x i n
x x x
x x x
      
  


Dấu
""
xảy ra
; 1; ,
ij
x x i j n i j    

1.4.3.4. Một số hệ quả của BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski

   
22
2222
dbcadcba 
. Dấu "=" xảy ra
ad bc 
0,,
2

nhau (tìm tập giá trị, khảo sát hàm số), trong đó có cách sử dụng BĐT.
Ngược lại, có những cách chứng minh BĐT không liên quan gì đến bài toán
tìm GTLN, GTNN, như BĐT: 1 +
1
1

3
1
2
1
 n
n
(với n > 2).

- Về yêu cầu: Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức thì bt buộc phải chỉ
ra đẳng thức xảy ra khi nào, còn bài toán chứng minh BĐT không nhất thiết
phải làm điều đó.
Ví dụ: CM:
2
1 0 aa  

và Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
 
2
1a 
.
- Bài toán chứng minh BĐT là bài toán có thể đưa về bài toán so sánh một
biểu thức với một số đã biết (chứng minh
ab
tức là so sánh

- Sử dụng chính xác các kí hiệu
- Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận.
+ Thường ngại tính toán, không thích làm đi làm lại những điều đã biết nếu
không có gì mới.
HS khá giỏi thường suy nghĩ nhanh và hiệu quả, nhưng thường ngại
tính toán cụ thể, không thích lặp đi lặp lại những kiểu làm nhàm chán.
1.6. Định hƣớng cho giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh
1.6.1. Quy trình hình thành kĩ năng
Theo chúng tôi, quy trình hình thành kĩ năng giải toán nói chung, kĩ
năng tìm GTLN, GTNN cho HS gồm ba bước sau:

12
Bc 1: Hng dn HS gii mt s bi toỏn mu trờn lp, cú phõn tớch
phng phỏp suy ngh, tỡm li gii, lu ý cho HS nhng im cn thit.
Bc 2: HS t rốn luyn k nng gii toỏn theo h thng bi toỏn cú ch
nh ca giỏo viờn, giỏo viờn phõn tớch, khc phc nhng khú khn, thiu
sút cho HS.
Bc 3: Rốn luyn k nng gii toỏn mc cao hn, tng hp hn.
1.6.2. Nhng yờu cu i vi giỏo viờn trong vic hỡnh thnh k nng gii
toỏn cho hc sinh
Để hình thành kĩ năng giải bài tập toán học cho HS, giáo viên cần thực
hiện tốt các vấn đề sau:
- Xác định từng kĩ năng cụ thể trong hệ thống kĩ năng giải bài tập toán học
cho HS THPT và mức độ của nó ở mỗi lớp học, cấp học t-ơng ứng.
- Xác định hệ thống bài tập toán học t-ơng ứng chủ yếu để HS luyện tập kĩ
năng giải các bài tập cơ bản, bài tập tổng hợp.
- Xây dựng sơ đồ định h-ớng khái quát, các thut toỏn giải mỗi dng, loại bài
tập
- H-ớng dẫn học sinh hoạt động tìm kiếm lời giải, bài tập mẫu và bài tập
t-ơng tự nhằm giúp HS nắm đ-ợc sơ đồ định h-ớng giải bài tập toán học nói 14
CHƢƠNG 2
GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHO HỌC SINH
Trong chương trình này chúng tôi trình bày việc rèn luyện kĩ năng
tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh theo từng
dạng khác nhau. Trong mỗi dạng sẽ sử dụng một số phương pháp như đã xác
định ở mục 1.4 chương 1.
Chúng tôi trình bày theo cấu trúc như vậy một mặt để thuận lợi cho
việc rèn luyện kĩ năng cho học sinh theo từng bài, mặt khác mỗi dạng có thể
có nhiều phương pháp giải khác nhau. Mỗi phần nhỏ sẽ được trình bày theo
ba bước như đã xác định ở mục 1.6 chương 1.
2.1. Dạng tìm GTLN, GTNN của hàm số
Ví dụ 1. Tìm GTLN, GTNN của
 
32
32f x x x   
trên mỗi tập hợp
D

cho dưới đây:
a.
 
1;4D 
b.









 
       
 
   
 
       
 
   
1;4
1;4
max max 1 , 2 , 4 max 4;6; 14 6 2
min min 1 , 2 , 4 min 4;6; 14 14 4
x
x
f x f f f f
f x f f f f


    
     

b, c, d.
TXĐ:
3
4

 
'fx
+
0  
fx
1;4 1;4 1;4
max 6 2 ,max 6 2 ,max 6 2
x x x
fff
  
     

b.
   


 
1;4
4
1 4 lim 14 min
x
x
f f x f x



     

c.
   


   
1;4
1


Lời giải:
Cách 1: Da vào định nghĩa tập giá trị của hàm số.
Cách 2: TXĐ:

;
lim 1
x
y


lim
x
y


;
 
2
2
2
1
23
' ; ' 0
3
2
x
xx
yy
x

0

()ft1
6
72
1 16
+KL:
   
6
max 2 1 ;min 3
7
y y y y    

3
11
x
y y x
xx

    


 
   
 
 
   
 
 
0;1
0;1
11
max max 0 , 1 , max 3;2 2;10 10
33
1
min min 0 , 1 , min 3;2 2;10 2 2 1
3
x
x
y y y y y
y y y y y



1 3 1
' , ' 0
3
11
x
y y x
xx

   

.
x

01
31

'y

2
2 1

+KL: b.
1
min ,max 10
3
y y y

  



c. Trên

 
 
0;1 , 0;1 0;1
:
1
max 10
3

  


0;1
1
0;1 : 0 2 2 lim min
x
x
y y y



   

Lưu ý: Khi xét GTLN, GTNN của hàm số
()fx
trên một tập
D
ta cần chú ý
xem tập hợp
D
đóng hay không đóng:
- Trường hợp 1:
D
không đóng thì lập bảng biến thiên của hàm số
()fx
trên tập hợp
D
.Da vào bảng biến thiên đó kết luận.
- Trường hợp 2:

(0;1)

Lời giải:
Cách 1:Xét biểu thức phụ
21
22
1
xx
z
xx



(Theo BĐT Cô-si)
Dấu bằng xảy ra
 
21
1
21
0;1
xx
xx
x
x





   

Cách 2: Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski ta có:

   
 
 
22
22
2
2 1 2 1
1 . 1
11
21
1 2 1 3 2 2
1
3 2 2
x x x x
x x x x
xx
xx
y

     


     
     










+KL:
 
 
0;1
min 3 2 2 2 1
x
yy

   

2.2.2. Xét biểu thức có liên quan
Ví dụ 5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
24y x x   
.
Lời giải:
Xét
  
 
2
2 2 2 4 , 2;4y x x x    
.Có
 
0 2;4yx  

Có





  









   


19
KL:
2
min 2 , max 2 2
4
x
y y x
x



0;
1 9 10 9
min min
y t t t t f t
y f t

      


t

05

'( )ft


15
x
yx
x


     





b. Đặt
 
2
1tx
. Tìm điều kiện
t
với


0;3x
, thấy
 
0;4t 

x





 
 
 
2
0;4
0;4
10 9
min min ( );max max ( );
t
t
y t t f t
y f t y f t


   


Xét
( ):ft
TXĐ:

;
 
0;4
 
;
 
0;4
là khoảng đóng

min 15 3
0;3
x
x
yx
x




    




;


 


2
0;3
10
max 9 1
0;3
x
x
yx
x

22
2
2
2
2 3 2 3 2
3 17 17
32
2 4 4
xx
t
y t t t t
    

         



Dấu
""
xảy ra
3
2
t
. KL:
17
min
4
y

