về một cách tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức
chứa hai biến số
Đỗ Bá Chủ Thái Bình tặng www.mathvn.com
Cú nhiu phng phỏp tỡm giỏ tr ln nht (GTLN) , giỏ tr nh nht (GTNN) ca mt biu thc cú
t mt bin s tr lờn . Bi vit ny chỳng tụi xin trao i v phng phỏp tỡm cc tr ca biu thc hai
bin s nh min giỏ tr , trong ú hai bin b rng buc bi mt iu kin cho trc .
Bi toỏn : Cho cỏc s thc x , y tho món iu kin : G(x ; y) = 0 ( hoc
G(x;
y
)0

hoc
G(x;
y
)0
) .
Tỡm GTLN , GTNN ( nu cú ) ca biu thc P = F(x ; y).
Cỏch gii :
Gi T l min giỏ tr ca P . Khi ú m l mt giỏ tr ca T khi v ch khi h sau cú nghim (x ; y):
(;) 0
(;)
=


=

Gxy
F
xy m
( hoc
(;) 0

x
xyy+ =xy

Tỡm GTLN , GTNN ca biu thc
=++
3
33
F
xyxy
.
Li gii : Gi T
1
l min giỏ tr ca F . Ta cú
1
mT

h sau cú nghim:
(
)
33
33 3
3
33
(1) 1
x
xyy
xyxym

+ =


S
Pm PmS

= + =


+= =


Ta cú :
2
22 2
4( )
440
3
SS
SPS SS S

04
T ú h PT u cú nghim
2
() 2 3
f
SS S m=+= cú nghim
0S 4


. Vỡ hm bc hai f(S) ng
bin trờn
[

Li gii : Gi T
2
l min giỏ tr ca Q . Ta cú
2
mT

h sau cú nghim:

3




22
22
x-xy+y (1)
x+xy-2y=m (2)
Nếu y = 0 thì hệ (1),(2)
⎧
≤
⎪
⇔
⎨
=
⎪
⎩
2
2
3x
x

−
vào (3) được
−+
≤
+−
2
2
(1)
3
2
mt t
tt

Trường hợp này hệ (1),(2) có nghiệm
⎧
+−
⎪
⇔
⎨
−+
≤
⎪
+−
⎩
2
2
2
m( 2) > 0
Ö
(1)

⎣
0
3
() ã Ö ( ; 2) (1; )
0
3
() ã Ö ( 2;1)
m
ft c nghimt
m
m
ft c nghimt
m
( I ) ( với
−
+
=
+
−
2
2
1
()
2
tt
ft
tt
,
{
}

t −∞ - 2
−37
2
1
37
2
+
+
∞

f’(t) + + 0 - - 0 +
−127
9
+
∞
1 + ∞
f(t) 1 −∞
−
∞
12

7
9
+
Từ bảng biến thiên ta có
( I )
⎡

0
122 3
012
9
0
127 0
127 3
9
m
m
m
m
m
m
7

Kết hợp các trường hợp trên ta được :
−− ≤ ≤−+127 127m
.
Do đó
⎡⎤
=−− −+
⎣⎦
3
127;127T . Vậy minQ = 127−− , maxQ = 127−+
( Bài này các bạn có thể tham khảo hướng dẫn giải đề số 4 - THTT tháng 6/2007 )
Bài toán 3 : Cho hai số thực x, y thoả mãn :
22
916683(18)
x

⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
+++=+
+++=+
⎪⎪
⎩
⎩
2
22
22
33 4 1 (5)
(3 4 ) 2(3 4 ) 3 0
111
111
()() (6)
()()
222
222
xy
xy xy
xym
xym

Dễ thấy : nếu
1
2
m
thì hệ vô nghiệm
≤−

Rm=+
. Trường hợp này hệ (5),(6) có nghiệm
⇔
(C) và (H) có điểm chung
⇔

1
11
(; )
10 2 100
dId R m m≤⇔ ≤ +⇔≥−
49
( thoả mãn m >
1
2
−
) .
Do đó
3
49
;
100
T
⎡⎞
=− +∞
⎟
⎢
⎣⎠
. Vậy
=−

cos 2 cos 2
x y xy xy
xym
++ ++ +
⎧
+−≥
⎪
⎨
+=
⎪
⎩

Hệ(*) ⇔
cos cos 2 cos cos cos cos
22 22
22
3
1cos cos
(2 ) (22 2)2 42 0 2 2 22
2
22
2
cos cos cos cos
cos cos
++ +
⎧
⎧
⎧
≤+≤
−+ +≤ ≤ ≤

3
1(
2
1, 1 (8)
2
(9)
2
⎧
≤+≤
⎪
⎪
≤≤
⎨
⎪
+
⎪
+=
⎩
uv
uv
m
uv
7)

v
Hệ (*) có nghiệm hệ (7),(8),(9) có nghiệm. ⇔
Dễ thấy , với
m
hệ (7),(8),(9) vô nghiệm .
2≤−


225
1
222
+
⇔≤ ≤⇔−≤≤
m
m
1
2
0
( thoả mãn m > - 2)
(Ở đây đường thẳng CD: , đường thẳng AB:
10uv+−= 223uv
+
−=
và các tam giác OCD , OAB
cân tại O) .
Do đó
4
1
1;
2
⎡
=−
⎢
⎣⎦
T
⎤
⎥

≠
22 22
22
22 2
33
33
(x y)xy x y xy (x y)xy x y xy
(x y)xy x y xy
11
(x y)(x y xy) xy(x y)
m
mm
xy
(xy) (xy)
⎧⎧
+
=+− + =+−
⎧
+=+−
⎪⎪ ⎪
⇔⇔
⎨⎨ ⎨
++− +
+=
==
⎪⎪ ⎪
⎩
⎩⎩
() m
P
⎧
=
−
⎪
⎨
=
⎪
⎩
(VI)
Hệ (V) có nghiệm x 0 , y 0 hệ (VI) có nghiệm ( S ; P ) thoả mãn .
≠ ≠
⇔
2
S4P≥
Do
22 2 2
13
SP x y xy (x y) y 0
24
=+−=− + >
với mọi x
≠
0 , y
≠
0
S
0
P

m( m 1)
=
−
, do đó
3
S
m1
=
−
. Trường hợp này hệ (VI) có nghiệm ( S ; P ) thoả
mãn khi và chỉ khi :
2
S4P≥2
312
()
m1 m(m1)
≥
−−
2
4( m 1)
3 3m4(m1) m4
m( m 1)
−
⇔≥ ⇔ ≥ −⇔ ≤
−

Lời giải : ĐKXĐ :
x1,y≥− ≥−2
Gọi T
6
là tập giá trị của K . Ta có hệ sau có nghiệm:
6
mT∈⇔
3( x 1 y 2 ) m
x3x13y2y
(VII)
xym
xym
⎧
⎧
++ + =
−+=+−
⎪⎪
⇔
⎨⎨
+=
+=
⎪
⎪
⎩
⎩

Đặt
ux=+1
và

22
m1m
t t ( m 3) 0 18t 6mt m 9m 27 0
329
−+ −−=⇔ −+−−=
2
2
(10)
Từ đó , hệ (VII) có nghiệm ( x ; y ) sao cho khi và chỉ khi (10) có hai nghiệm không âm
và điều kiện là :
x1,y≥− ≥−
2
t
t
2
t
9(m 18m 54) 0
m9321
S0 m93
32
m9m27
P0
18
⎧
⎪
′
Δ=− − − ≥
⎪
+
⎪

để hệ có nghiệm , vì vậy không cần chỉ rõ giá trị của biến số để biểu thức đạt GTLN , GTNN . Nếu
dùng các bất đẳng thức để đánh giá thì nhất thiết phải chỉ rõ các giá trị của biến số để tại đó biểu thức
đạt GTLN , GTNN .
Các bạn có thể mở rộng phương pháp này cho biểu thức có nhiều hơn hai biến số .
Cuối cùng mời các bạn vận dụng phương pháp trên để làm các bài tập sau :
Bài 1 : Cho hai số thực x , y thoả mãn :
22
2( ) 7xy xy
+
=++ .
Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức
=
−+ −
3
3
(2) (2Pxx yy)

Bài 2 : Cho hai số thực x , y thoả mãn :
+
++≤(1)(1)xx yy 0
.
Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức
2007 2008 2009
=
++Qxy

Bài 3 : Cho các số thực x, y thoả mãn :
22
4x - 3x
y


Bài 6 : (Đại học khối B năm 2008 ) : Cho hai số thực x , y thay đổi và thoả mãn hệ thức
. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
22
xy+=1
2
2
2(x 6xy)
P
12xy2y
+
=
++

Bài 7 : ( Cao đẳng kinh tế kỹ thuật năm 2008 ) Cho hai số x , y thoả mãn
22
xy2
+
=
.
Tìm GTLN , GTNN của biểu thức
33
P2(x y)3xy=+−
Bài 8 : Cho các số dương x , y thoả mãn : xy + x + y = 3 . Tìm GTLN của biểu thức

2
3x 3y xy
P
y1 x1 x y
=++ −−