GV. Phạm Trọng Thư_THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp. - 1 -

BÀI VIẾT ĐƯỢC ĐĂNG TRÊN ĐẶC SAN SỐ 5 TOÁN HỌC & TUỔI TRẺ
THÁNG 11 NĂM 2012.

Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức chứa nhiều hơn một biến
số là một phần trong cấu trúc đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng, đây là loại toán tương
đối khó có nhiều dạng và nhiều phương pháp giải được học ở chương trình THPT. Trong bài
viết này tác giả trình bày phương pháp đưa biểu thức chứa nhiều hơn một biến số về biểu thức
theo một biến số mới giả sử theo t và sau đó sử dụng công cụ đạo hàm, thiết lập bảng biến thiên
của hàm số
( )
y f t
=
trên tập xác định của nó, từ đó suy ra GTLN và GTNN của biểu thức cần
tìm.

SỬ DỤNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀM
ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA BIỂU THỨC NHIỀU BIẾN

PHẠM TRỌNG THƯ
(GV THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp)

Thí dụ 1. Xét hai số thực không âm
,

x y
thỏa mãn điều kiện
1.
x y

= − +

Đặt
xy t
=
thì
1
0
4
t
≤ ≤
2
1
0
2 4
do
x y
xy
 
+
 
 
≤ ≤ =
 
 
 
 
. Ta được
2
25 4 20

trên
1
0; :
4

 
 
 

t
0

2
25

1
4

( )
f t
′−

0

+

( )

;
1
2
4
x y
x y
xy
+ =


⇔ = =

=

GV. Phạm Trọng Thư_THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp. - 2 -

và GTNN của A bằng
496
25
, đạt được khi và chỉ khi
1
2
25
x y
xy
+ =



−
=


⋅

+

=



Thí dụ 2. Xét ba số thực dương
, ,
.
x y z
Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
2
( )
2
xyz
B x y z
xyz
 
+
= + + ⋅
 
 

xyz
+ +
≥ + + +

2 2 2
1 1 1
2 2 2
x y z
B
x y z
     
⇒ ≥ + + + + +
     
     
     
(1)
Đẳng thức trong (1) xảy ra khi và chỉ khi
.
x y z
= =

Xét hàm số
2
1
( )
2
t
f t
t
= +

( ) 0 1.
f t t
′
= ⇔ =

Bảng biến thiên của hàm số
( )
f t
trên
(0; ) :
+∞

t
0

1

+∞

( )
f t
′−

0

+



Thí dụ 3. Xét hai số thực
,

x y
thỏa mãn điều kiện
1, 1
y
x
≥ ≥
và
3( ) 4 .
x y xy
+ =
Tìm GTLN và
GTNN của biểu thức
3 3
2 2
1 1
3C x y
x y
 
= + + + ⋅
 
 
 

Lời giải.
Đặt
.

( 1)( 1) 0
y
x
− − ≥
3
( ) 1 0 1 0 4
4
y y
a
x x a a
⇔ − + + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≤

Vậy
3 4.
a
≤ ≤

GV. Phạm Trọng Thư_THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp. - 3 -

Ta có
2
3 3 2
1 1 6 9 8 16
( ) 3 ( ) 3
4 3
C x y xy x y a a
x y xy a
 
= + − + + + − = − − +
 

đồng biến trên [3; 4] . Suy ra
113 94
(3) ( ) (4) ( )
12 3
f f a f f a
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⋅

Do đó GTLN của C bằng
94
3
, đạt được khi và chỉ khi
4 3
3 1
x y x
xy y
+ = =
 
⇔
 
= =
 
hoặc
1
3
x
y
=

⋅


3
( ) 4 2.
x y xy
+ + ≥

Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2 2
3( ) 2( ) (3 4) 2012.
D x y x y xy xy= + − + − − +

Lời giải.
Với mọi số x, y ta luôn có
2
( ) 0
x y
− ≥
hay
2
( ) 4 ,
x y xy
+ ≥
nên từ điều kiện
suy ra
3 2 3
( ) ( ) ( ) 4 2
x y x y x y xy
+ + + ≥ + + ≥

3 2
( ) ( ) 2 0


2 2 2 4 4 2 2 2 2
3 3
( ) ( 2 ) 2( 2 ) (3 4) 2012
2 2
x y x y x y x y xy xy xy= + + + + − + + − − +2 2 2 4 4 2 2
3 3
( ) ( ) 2( ) 2012
2 2
x y x y x y= + + + − + +
(2)
Do
2 2 2
4 4
( )
2
x y
x y
+
+ ≥
nên từ (2) suy ra
2 2 2 2 2
9
( ) 2( ) 2012
4
D x y x y≥ + − + +


với
1
2
t
≥
, có
9 1
( ) 2 0
2 2

f t t t
′
= − > ∀ ≥

nên hàm số f(t) đồng biến trên
1
;
2

 


 
+∞
.
Suy ra
1
;
2
1 32185

2 2 2 2
1 1
x y x y y x
+ = − + −

Tìm GTNN của biểu thức
2 2
2 2
1 1
E x y
x y
= + + + ⋅

Lời giải.
GV. Phạm Trọng Thư_THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp. - 4 -

Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 ( ) 2 ( )
x y x y y x x y x y
 
+ = − + − ≤ + − +
 

(
)
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 2 ( )
x y x y x y
⇒ + ≤ + − +

+ =
thì
0 1
t
< ≤

Xét hàm số
4
( )f t t
t
= +
với
0 1
t
< ≤
, có
2
4
( ) 1 0, (0; 1].

f t t
t
′
= − < ∀ ∈

nên hàm số f(t) nghịch biến trong (0; 1], suy ra
(0; 1]
( ) (1) 5.

min

Ta có
,
OM ON MN
+ ≥
suy ra
2 2 2 2 2 2
( 1) ( 1) 4 4 2 1
x y x y y y
− + + + + ≥ + = +

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0.
x
=

Từ đó suy ra
2
2 1 2
F y y
≥ + + −

Xét hàm số
2
( ) 2 1 2 .
f y y y
= + + −

i
Với
2


−∞

1
3

2

( )
f y
′−

0

+

( )
f y

+∞

2 5
2 3
+

( ; ) 0;
3

x y
 
= ⋅
 
 
GV. Phạm Trọng Thư_THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp. - 5 -

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. Xét hai số thực dương
,

x y
thỏa mãn điều kiện
5
4
x y
+ = ⋅
Tìm GTNN của biểu thức
4 1
4
A
x y
= + ⋅

= −

3. Xét ba số thực
, ,

x y z
thỏa mãn điều kiện
2 2
1.
x xy y
+ + =
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
2 2
.
C x xy y
= − +

Đáp số
1
max 3; min
3

C C
= = ⋅

4. Xét hai số thực
,

x y
thỏa mãn điều kiện

x y z
= + + + + + ⋅

Đáp số
15
min
2
E
= ⋅

6. Xét hai số thực dương
,

x y
thay đổi thỏa mãn điều kiện
1.
x y
+ =
Tìm GTNN của biểu thức
3 3
1 1
F
xy
x y
= + ⋅
+

Đáp số
min 4 2 3
F = +

của biểu thức
3 3
1 1
H
x y
= + ⋅

Đáp số
max 16.
H
=

9. Xét ba số thực không âm
, ,
z
x y
thỏa mãn điều kiện
2 2 2
3.
x y z
+ + =
Tìm GTLN của biểu thức
5
I xy yz zx
x y z
= + + + ⋅
+ +

Đáp số
14

,

x y
thỏa mãn điều kiện
2 2
2( ) 1.
x y xy
+ = +
Tìm GTLN và GTNN của biểu
thức
4 4
2 1
x y
K
xy
+
= ⋅
+

Đáp số
1 2
max ; min
4 15

K K
= = ⋅

12. Xét ba số thực dương
, ,