Sỏng kin kinh nghim : Mt s phng phỏp tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca mt biu
thc ủi s Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
1 M U hỳng ta bit rng trong chng trỡnh Toỏn hc trng
THCS hin nay, cú nhng bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht hoc
giỏ tr ln nht ca mt biu thc khi hc sinh gp phi thỡ
rt l b ng v lỳng tỳng . Vỡ trong chng trỡnh Toỏn THCS SGK cha
ủ cp nhiu v cỏch gii. Do ủú, nhiu hc sinh cha cú ủc phng
phỏp gii nhng bi toỏn dng nh th ny, m dng toỏn ny chỳng ta
ủu thy cỏc ủ thi hc k, HSG, ủ thi tuyn sinh vo lp 10, .

Vỡ th trong quỏ trỡnh dy hc (dy hc t chn, dy BDHSG,) .
Chỳng ta cn phi trang b cho hc sinh nm ủc mt s phng phỏp
gii thng gp nht trong chng trỡnh Toỏn THCS. t ủú, mi hc
sinh t mỡnh gii ủc cỏc bi toỏn dng ny mt cỏch ch ủng v sỏng
to.

ng trc thc trng trờn, vi tinh thn yờu thớch b mụn, mun
ủc ủúng gúp phn no ủ g ri cho hc sinh. Tụi xin ủa ra mt s
phng phỏp thng gp ủ tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca mt

ủ bin ủi biu thc v
dng:
* A = a + [f(x)]
2
a suy ra minA = a khi f(x) = 0
* B = b - [f(x)]
2
b suy ra maxB = b khi f(x) = 0

2. p dng tớnh cht : | x| + | y | | x + y | ủ tỡm GTNN
Du = xy ra khi x.y 0
3. p dng tớnh cht : | x | - | y | | x y | ủ tỡm GTLN
Du = xy ra khi x y 0 hoc x y 0

4. p dng bt ủng thc:
baba
(a b 0 ) ủ tỡm GTLN.
Du = xy ra khi b(a-b) = 0

b = 0 hoc a = b
5. p dng bt ủng thc:
baba ++
(a , b 0 ) ủ tỡm GTNN
Du = xy ra khi a.b = 0

a = 0 hoc b = 0

6. p dng bt ủng thc CụSi:
+ Vi a 0, b 0 thỡ a + b 2
ab

= = a
n

T ủng thc (1) ta suy ra:
- Nu a.b =k ( khụng ủi) thỡ min (a +b) = 2
k


a = b
- Nu a +b = k (khụng ủi ) thỡ max( a.b) =
4
2
k


a = b
T ủng thc (2) ta suy ra:
- Nu a
1
.a
2
.a
3
. a
n
= k (khụng ủi ) thỡ min(a
1
+ a
2
+ a

.a
3
. a
n
) =
n
n
k






a
1
= a
2
= a
3
= = a
n7. p dng ủiu kin cú nghim ca phng trỡnh bc hai l 0 (

0)


l

n nh

t c

a m

t bi

u
th

c
ủ
i sNgửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
3 NI DUNG

Gii:a) A = (4x
2
+ 4x + 1) + 10 = (2x +1)
2
+ 10 10
Suy ra minA = 10 khi x =
2
1
b) B = (x 1)(x + 6)(x + 2)(x + 3)
= (x
2
+ 5x - 6)(x
2
+ 5x + 6)
= (x
2
+ 5x )
2
36 - 36
Suy ra minB = -36 khi x = 0 hoc x = -5

b) C = (x
2
2x + 1) +(y

2
+ 4y + 1) + 7
= - (x -1)
2
- (2y + 1)
2
+ 7 7
Suy ra maxB = 7 khi x =1 v y =
2
1


Sỏng ki

n kinh nghi

m : M

t s

ph

ng phỏp tỡm giỏ tr

nh

nh

t, giỏ tr


+2x
b) B = 4x x
2

Gii:

a) A = 4 x
2
+2x = 5 (x
2
2x +1) = 5 (x 1)
2
5
Suy ra maxA = 5 khi x = 1
b) B = 4x x
2
= 4 (x
2
4x + 4) = 4 (x -1)
2
4
Suy ra maxB = 4 khi x = 2

2) Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc sau:
a) A = x
2
+ 5y
2
-2xy +4y + 3
b) B = (x

=
=




=+
=
2
1
012
0
y
yx
y
yx

Vy minB =2 khi x = y =
2
1
b) B = (x
2
- 2x)(x
2
- 2x + 2)
t t = x
2

x = 1
Vy minB = -1 khi x = 1

b) C = (x 2y)
2
+ 10(x 2y) + (y 1)
2
+ 25 + 2
= (x 2y + 5)
2
+ (y 1)
2
+ 2 2


MinC = 2 khi



=
=




=+
=
3
1
052

1
1
2
=






x

Suy ra maxA =1 khi x =
2
14) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc B =
9)1()1(44
224
++++ xxxxGii:

Ta cú B =
399)12(
22
=+ xx


d) D =
22
2542025 xxx ++

e) E =
964412
222
+++++ xxxxxx

Gii:

a) Ta cú A = | 2x 5 | + | 2x - 1 | = | 2x 5 | + | 1- 2x | | 2x 5 + 1- 2x |
= | -4 | = 4
Suy ra minA = 4 khi (2x 5)(1 2x) 0

2
5
2
1
x

b) B = | x 1| + | x 2 | + | x 3 |
Ta cú | x 1| + | x 3 | = | x 1| + | 3 x | | x 1 + 3 x | = 2
Du = xy ra khi (x 1)(3 x) 0

1
3


x

t bi

u
th

c
ủ
i sNgửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
6

c) C = | x - 1| + | x 2 | + | x 3 | + | x 4 | = | x - 1| + | x 4 | + | x 2 | + | x 3 |

Ta cú: | x - 1| + | x 4 | | x -1 +4 x | 3
Du = xy ra khi (x 1)(4 x) 0

1
4


x


e) Ta cú E =
222
)3()2()1( ++
xxx
= | x 1| + | x 2 | + | x 3 |
Vy minE = 2 khi x =2 ( lm nh cõu b )

Bi tp:
1) Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc
a) A = | x 1 | + | x 2 | + + | x 2006 |
b) B =
4129961
22
+++ xxxxGii:

Chỳ ý 1: y = | x a | + | x b | ( a < b )
Min y = b a khi
bxa

a) Ta cú A = ( | x 1 | + | x 2006 | ) + ( | x 2 | + |x 2005 | ) +
+ ( | x 1002| + | x -1003 | )
Suy ra minA = 2005 + 2003 + + 1 khi
10031002


c
x
a
b


Sỏng ki

n kinh nghi

m : M

t s

ph

ng phỏp tỡm giỏ tr

nh

nh

t, giỏ tr

l

n nh

t c

Chỳ ý 3 :
y = | ax + b | + | ax + c | ( b < c )
Min y = c b khi
a
b
x
a
c

Thớ d
: Tỡm GTNN ca biu thc
D = | 3x + 5 | + | 3x + 7 |
Suy ra min D = 7 - 5 =2 khi
3
5
3
7

x

Bi tp:

1) Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau:
a) A =
222

xxx
f) L =
222
)20072( )22()12( +++
xxx
g) M =
222
)20062( )22()12( ++++++
xxx
h) N =
222
)20072( )22()12( ++++++
xxx
i) O =
222
)74()64()54( +++++
xxx
k) P =
2222
)84()74()64()54( +++++++
xxxx
l) Q =
222
)20064( )19464()19454( ++++++
xxx
m) X =
222
)20074( )19764()19754( ++++++
xxx



c
ủ
i sNgửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
8

C/ Phng phỏp3:

p dng tớnh cht : | x | - | y | | x y | ủ tỡm GTLN
Du = xy ra khi x y 0 hoc x y 0

Thớ d:
Tỡm GTLN ca cỏc biu thc sau:
a) A = | 3x + 5 | - | 3x + 7 | b) B = | 5x + 7| - | 5x 2 |
c) C = | 4x
2
- 1975 | - | -4x
2
+ 2025 |
Gii:


c) Ta cú C = | 4x
2
- 1975 | - | -4x
2
+ 2025 | = | 4x
2
- 1975 | - | 4x
2
- 2025|

50|)20254()19754(|
22
=
xx

Du = xy ra










2
45
2
45

|200719||189019|
55
++
xx

Sỏng ki

n kinh nghi

m : M

t s

ph

ng phỏp tỡm giỏ tr

nh

nh

t, giỏ tr

l

Du = xy ra khi b(a-b) = 0

b = 0 hoc a = b

Thớ d:
Tỡm GTLN ca biu thc
A =
81 + xx
Gii:
Ta cú A =
39)8()1(81 ==++ xxxx

Du = xy ra khi x - 8 = 0

x = 8
Suy ra maxA = 3 khi x = 8
Bi tp:
Tỡm GTLN ca cỏc biu thc sau:
a) B =
200712200612 + xx
b) C =
200730197530
44
+ xxE/ Phng phỏp5:
p dng bt ủng thc: baba ++ (a , b 0 ) ủ tỡm GTNN
Du = xy ra khi a.b = 0


+ yx
Sỏng ki

n kinh nghi

m : M

t s

ph

ng phỏp tỡm giỏ tr

nh

nh

t, giỏ tr

l

n nh

t c

Du = xy ra khi a = b
+ Vi a
1
, a
2
, a
3
, ., a
n
0 thỡ a
1
+ a
2
+ a
3
+ .+ a
n
n
n
n
aaaa

321
( 2)
Du = xy ra khi a
1
= a
2
= a
3

n
) = n
n
k


a
1
= a
2
= a
3
= = a
n

- Nu a
1
+ a
2
+ a
3
+ .+ a
n
= k (khụng ủi ) thỡ max(a
1
.a
2
.a
3
. a

bng bc g(x)
Phng phỏp gii: Ta tỡm GTLN bỡnh phng biờu thc ủú. Sau ủú ỏp
dng BT Cụsi
baab +2 Thớ d:
Tỡm GTLN ca biu thc A = xx 3753 +
Gii:

KX:
3
7
3
5

x
Ta cú A
2
=
)37)(53(2)37()53(
xxxx ++


A
2

4)37()53(2
=


34
+ yx

Sỏng ki

n kinh nghi

m : M

t s

ph

ng phỏp tỡm giỏ tr

nh

nh

t, giỏ tr

l

n nh

t c

a m

t bi

bc
2


Suy ra maxA =
)(2
bc
khi x
n
=
a
bc
2

Dng 2:
Tỡm GTLN ca biu thc cú dng A =
)(
)(
xg
xf
bc f(x) bng bc
g(x).
Phng phỏp gii: Nhõn v chia f(x) vi cựng mt s khỏc 0 , sau ủú ỏp
dng BT Cụsi

2
1
5
3.
3
9
5
9
=
+
=
+



=

x
x
x
x
x
x
x
x

Du = xy ra khi
183
3
9

c) D =
x
x
2006
4910
d) E =
2
2
2006
252
x
x

Hng dn
: a) Nhõn v chia biu thc x 16 cho cựng mt s 4 (
416 =
)
b) Nhõn v chia biu thc 3x 25 cho cựng mt s 5 (
525 =
)
c) Nhõn v chia biu thc 10x 49 cho cựng mt s 7 (
749 =
)
Sỏng ki

n kinh nghi

m : M

t s
Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
12
d) Nhõn v chia biu thc2x
2
25 cho cựng mt s 5 (
525 =
)
e) Nhõn v chia biu thc 2x 5 cho cựng mt s
5
Chỳ ý
: Tỡm GTLN ca biu thc N =
n
n
cx
bax

Suy ra MaxN =
bc
a
2
khi x
n

1994
.21994.2
199419941994.2
2222
+=+++=
++
x
x
x
x
x
x

= 4.1994
Du = xy ra khi
1994
1994
2
== x
x
x

Vy minM = 4.1994 khi x = 1994

Bi tp: 1) Cho x > 0 , tỡm GTNN ca cỏc biu thc
a) A =
3

xxx
x
xxx
x
x

Du = xy ra khi
2
16
3
== x
x
x

Vy minA = 8 khi x = 2

b)Ta cú B =
162.8
256
8
256256
7
8
777
==+++++++=+
x
xxxxxxx
x
xxxxxxx
x

u
th

c
ủ
i sNgửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
13
Du = xy ra khi
2
256
== x
x
x

Vy minB = 16 khi x = 2

c) Ta cú C =
3103
2
5
23

10
2
1
= x

2) Cho a, b, x > 0 . Tỡm GTNN ca biu thc D =
x
bxax ))((
+
+

Gii:

Ta cú D =
2
2
)(2.2
)(
babaabba
x
ab
xba
x
ab
x
x
abxbax
+=++=+++++=
+++


++
x
xx

Gii:

a) Ta cú E =
42.2
1
8
.
2
1
2
1
8
2
1
)1(2
16)1(
)1(2
1612
22
==
+
+

+
+
+

+
5
3
41
41
16)1(
1
8
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x x = - 5 < 0 (loi)
Vy minE = 4 khi x =3

b)Ta cú F =
10
3
25
)3(2
3
25


=
=





=+
=+
=+
+
=+
8
2
53
53
25)3(
3
25
3
2
x
x
x
x
x
x
x


t c

a m

t bi

u
th

c
ủ
i sNgửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
14
4) Cho x > 0. Tỡm GTNN ca biu thc G =
x
x 2000
3
+


5) Cho x > y . Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau
a) H =
yx
yxx

++
22
2,1
bit x.y = 5 b) I =
yx
yx

+
22
bit x.y = 2
Gii:

a) Ta cú H =
8
16
).(2
162,32,3)(
2
=



+=


).(2
422)(
2
=



+=

+=

+
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
xyyx

Du = xy ra khi
2
4
=

= yx
yx
yx

x
x

Gii:

a) Ta cú K =
11.
1
.21
1
=+ x
x
x
xSỏng ki

n kinh nghi

m : M

t s

ph

ng phỏp tỡm giỏ tr

nh


Du = xy ra khi
1
1
==
xx
x

Vy minK = 1 khi x = 1 b)Ta cú
P =
42
1
9
).1(22
1
9
1
1
9
1
1
91
1
8
=
+
+
+

Vy minQ = 4 khi x = 4

7) Cho x > 9 .Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau Q =
3
4

x
x

Gii:Ta cú Q =
3
36
124
3
36
)3(4
3
36)9(4
3
36364
3
4

++=

++=



+

+=++

+=
x
x
x
x
x
x Du = xy ra khi



=
=





=
=


=

1
2
2
1
.
2
2
2
1
2
2
11
==+=
+
=
x
x
x
x
x
x
L Du = xy ra khi
1
2
1
2
==


n nh

t c

a m

t bi

u
th

c
ủ
i sNgửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
16
Do ủú maxL =1 khi x = 1

8) Tỡm giỏ GTLN ca biu thc y
2
)1982(

y Du = xy ra khi
1982
1982
2
== x
x
x

Vy min
1982.4
1
=
y
khi x = 1982
Do ủú max y =
1982
.
4
1
khi x = 1982
Dng 4:
Tỡm GTLN ca biu thc cú dng : A = f(x).g(x) , bc f(x) bng bc
g(x)
Phng phỏp gii: - Bin ủi f(x) + g(x) = k ( k l hng s )

2
2
33
==
+

xxDu = xy ra khi x
3
= 16 x
3


x
3
= 8

x = 2
Vy maxA = 64 khi x = 2
Thớ d 2 :
Tỡm GTLN ca biu thc B = (1 x )(2x 1) vi
1
2
1

x

Gii:

n kinh nghi

m : M

t s

ph

ng phỏp tỡm giỏ tr

nh

nh

t, giỏ tr

l

n nh

t c

a m

t bi

u
th

c


Phng phỏp gii: Bin ủi biu thc ủó cho thnh mt tng ca cỏc biu
thc sao cho tớch ca chỳng l mt hng s
( tỏch mt hng t cha bin thnh tng ca mt hng s vi mt hng t ny
l nghch ủo ca mt hng t khỏc cú trong biu thc ủó cho , cú th sai khỏc mt
hng s )

Thớ d:
Cho 0 < x < 12 . Tỡm GTNN ca biu thc A =
x
x
x 2
2
9
+


Gii:

Ta cú A =
713.21
2
.
2
9
21
2
2
92
2

x
x
x

Vy minA = 7 khi
2
1
=
xBi tp:

1) Cho x > 1 , tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau:
a) B =
1
1

+
x
x
b) C =
1
25
4

+
x
x


=
=
==

=
0
2
111)1(
1
1
1
2
x
x
xx
x
x

Vỡ x > 1 nờn x =0 (loi)
Vy minB = 3 khi x =2

b) Ta cú C =
24410024
1
25
).1(424
1
25
)1(4
1

nh

t, giỏ tr

l

n nh

t c

a m

t bi

u
th

c
ủ
i sNgửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
18

5
1
4
25
)1(
1
25
)1(4
2
x
x
x
x
x
x
x

Vỡ x > 1 nờn
2
3

=
x
(loi)
Vy minC = 24 khi
2
7
=x
x
x
12
3 =
v
y
y
16
=

x = 2 v y = 4
Vy minD = 32

x = 2 v y = 4 3) Cho x, y, z
0

tha món ủiu kin: x + y + z = 2007
a) Tỡm GTLN ca biu thc E = xy + yz + zx.
b) Tỡm GTNN ca biu thc F = x
2
+ y
2
+ z
2Gii:

22
xz
xz
+
222
zyxzxyzxy
++++
)(2)(
2
zxyzxyzyxzxyzxy
++++++2
)()(3 zyxzxyzxy
++++2
20073

E
t, giỏ tr

l

n nh

t c

a m

t bi

u
th

c
ủ
i sNgửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
19
Vy maxE = 447561 khi x = y = z = 669


3
2007
3
2007.2
2007 ==
khi
669
3
2007
====
zyx4) Cho x, y, z
0

tha món ủiu kin: x + y + z = a ( a l hng s dng)
a) Tỡm GTLN ca biu thc E = xy + yz + zx.
b) Tỡm GTNN ca biu thc F = x
2
+ y
2
+ z
2

G/ Phng phỏp7:


5x
2
4x + 1 a = 0 (*) cú nghim



5
1
015' = aa

Vy minA =

5
1
phng trỡnh (*) cú nghim kộp x =
5
2Bi tp:
1) Tỡm GTNN ca biu thc B =
1
2
12
2
2
+

+
x

- Nu a = 1 thỡ x =0
Sỏng ki

n kinh nghi

m : M

t s

ph

ng phỏp tỡm giỏ tr

nh

nh

t, giỏ tr

l

n nh

t c

a m

t bi

u

Vy minB =
4
3
khi PT (2) cú nghim kộp x = -1
2) Tỡm GTNN ca biu thc P =
1
1
2
2
+
+
+
x
x
xx

Gii:
KX: x

R
Gi a l mt giỏ tr ca P , phng trỡnh
a
x
x
xx
=
+
+
+
1

1
khi PT (2) cú nghim kộp x = 1
3)Tỡm GTNN, GTLN ca cỏc biu thc sau:
a) Q =
1
34
2
+

x
x
b) K =
3
2
12
2
2
+

+
x
x
xxGii:a) KX: x


14043'
2
+=
aaa

Vy: minQ = -4 khi PT (2) cú nghim kộp x =
2
1


maxQ = -1 khi PT (2) cú nghim kộp x = 2

b) KX: x

R
Sỏng ki

n kinh nghi

m : M

t s

ph

ng phỏp tỡm giỏ tr

nh

nh

a
x
x
xx
=
+

+
3
2
12
2
2
(1) phi cú nghim

PT (1)
0)13()1(2)1(
2
=+++ axaxa
(2)
- Nu a = 1 thỡ PT (2) l -4x = -4 cú nghim x = 1
- Nu a

1 thỡ (2) l phng trỡnh bc hai
242)13)(1()1('
22
++=++= aaaaa

PT (2) cú nghim
21210242'

Do ủú
50)2(390'








yyVy max y = 5 khi PT(1) cú nghim kộp x =1
Nờn cp s cn tỡm l (1;5) 5) Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau:
a) E =
1
2
1
2
2
+
+
++
x
x
xx


nh

nh

t, giỏ tr

l

n nh

t c

a m

t bi

u
th

c
ủ
i sNgửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy

Tran
TranTran
Tran

Ngoùc
Ngoùc Ngoùc
Ngoùc

Duy
DuyDuy
Duy Sỏng ki

n kinh nghi

m : M

t s



Ngửụứi vieỏt:
Tran Ngoùc Duy
GV trửụứng THCS DTNT Ba Tụ
Trang
23
TI LIU THAM KHO 1. Toỏn nõng cao i s 8 ca Nguyn V Thanh NXB Giỏo dc -1997
2. Toỏn nõng cao i s 9 ca Nguyn V Thanh NXB Nng -1996
3. Bi tp nõng cao v mt s chuyờn ủ Toỏn 9 ca Bựi Vn Tuyờn - NXB
Giỏo dc 2005
4. Mt s ủ thi HSG cỏc cp v thi tuyn sinh vo lp 10,