Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng. Tổ Toán Trường : Thpt Yjut.Trang
1
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU
CĂN Ở ĐẠI SỐ LỚP 1O
I. MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Dạy học theo hướng đổi mới là học sinh làm trung tâm, giáo viên chủ đạo;
các em học sinh tự giác tích cực tìm hiểu và lĩnh hội kiến thức.
Số lượng công thức và dạng toán học trong hệ thống môn Toán ở trường
phổ thông là rất lớn. Vì vậy giáo viên truyền thụ kiến thức cho học sinh phải làm
cho học sinh thấy được dạng toán nào là cơ bản, có những định hướng, nguyên
tắc biến đổi như thế nào để học sinh thấy không có quá nhiều dạng bài tập, giáo
viên có vai trò để học sinh thấy được học sinh cần nắm được đâu là bài toán cơ
bản, khi học sinh gặp một bài tập khó thì bài toán đó cái gốc ban đầu là từ đâu, tư
đó phát triển tư duy sáng tạo của học sinh, đối với dạng toán phương trình vô tỷ,
dạng cơ bản là
( ) ( )f x g x
(1), sau khi đặt điều kiện cho hai vế không âm, bình
phương hai vế của phương trình, sẽ dẫn đến các phương trình bậc nhất, bậc hai
một ẩn, phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đều biến đổi về phương trình dạng (1).
Trong quá trình dạy Toán ở trường Trung học phổ thông nói chung, dạy
toán đại số lớp 10 nói riêng, tôi cố gắng truyền thụ kiến thức Toán một cách đơn
giản nhất cho học sinh, trong đó cố gắng tránh sự áp đặt và truyền thụ máy móc,
hướng dẫn học sinh thuộc và nhớ công thức toán mà giảm tối đa phương pháp học
thuộc lòng. Học sinh không cần nhớ nhiều dạng toán, mà từ dạng toán này ta cần
biết biến đổi về bài toán gốc ban đầu của nó, bài toán cơ bản nào mà ta cần hướng
đến, làm sao để học sinh thấy thú vị khi giải các bài toán dù khó, nhưng khi hiểu
được nguyên tắc cơ bản của nó thì bài toán trở nên đơn giản.
Riêng chương III đại số lớp 10 (ban cơ bản) là một chương rất thuận lợi cho việc
dạy và học theo xu hướng trên. Đã nhiều năm, tôi thực hiện theo cách này. Nay
ghi lại gọi là chút kinh nghiệm, giải bày cùng đồng nghiệp và quí bạn đọc. Đề tài
2. Giải phương trình chứa nhiều căn bậc hai bằng phương pháp nhẩm nghiệm
nguyên, sau đó đưa về phương trình tích.
Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng. Tổ Toán Trường : Thpt Yjut.Trang
3
3. Phương trình chứa ba căn bậc hai, trong đó có một căn bậc hai là tích của hai
căn bậc hai còn lại.
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.
4. PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
a. Nghiên cứu lý thuyết:
Cơ sở để tìm hiểu chương phương trình trong Toán lớp 10 là đại số cao cấp
Tìm hiểu phương pháp dạy học, chuẩn kiến thức kỹ năng môn toán ở
trường phổ thông, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên - Toán lớp 10, Sách giáo viên đại
số 10, Sách giáo khoa Đại số 10
b. Nghiên cứu thực tế:
Thông qua học sinh làm được bài thi trong các kỳ đại học, cao đẳng.
Thăm dò ý kiến học sinh và đồng nghiệp.
Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng. Tổ Toán Trường : Thpt Yjut.Trang
4
II. NỘI DUNG
1. THỰC TRẠNG:
1.1. Thuận lợi:
- Các kiến thức không phức tạp, dễ tiếp thu, kiến thức gắn liền với phương trình
đại số mà học sinh đã được học ở các lớp dưới, ở đây chỉ thông qua các phép biến
đổi tương đương để giải các phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, căn
bậc ba
2. Khó khăn:
Bài tập này để rèn luyện cho học sinh khá, giỏi
vế của phương trình không âm và bình phương hai vế của phương trình sẽ gặp
phương bậc cao, rất khó giải nếu nghiệm của phương trình là nghiệm vô tỉ; sau
đây tôi trình bày một ví dụ thể hiện nhiều cách giải, bằng kinh nghiệm nhỏ tôi
trình bày phương pháp giải phương trình dạng (1) bằng cách đổi biến không hoàn
toàn.
Bài toán 1: Giải phương trình sau:
2
4 3 5x x x
(1)
Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng. Tổ Toán Trường : Thpt Yjut.Trang
5
Giải:
Phương pháp 1:
Phương trình (1)
2
2
2
4 3 0
5 4 3
x x
x x x
x x x x
2 7
2 7
1
4
5 29
2
x
x
x
x
x
5 29
1;
2
là nghiệm của phương trình
Phương pháp 2:
Sử dụng máy tính ta sẽ tìm được một nghiệm nguyên
1x
. Khi đó ta thực hiện như sau:
2
4 3 ( 1) 5 2x x x x
Phương trình (1) được viết như sau:
5 2 1 5x x x
(1)
Đk:
5x
(1)
1
1 5
5 2
x
Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng. Tổ Toán Trường : Thpt Yjut.Trang
6
Phương trình (2) có dạng:
2
1
10
2
t
t
3 2
2 10 21 0t t t
3
1 29
2
t
t
2
2 5
y
y x
Ta có hệ phương trình:
2
2
0
2 5
2 5
y
x y
y x
2
x y
y x
x y
y x
y
2 3
t
t x
2
0
3 2
t
t x
Phương trình (1) có dạng:
2 2
3 2 0t t x x
2
1
t x
t x
5 29
2
x
Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng. Tổ Toán Trường : Thpt Yjut.Trang
8
Nhận xét thông qua các phương pháp giải của bài toán 1 như sau:Phương pháp 1:
Dạng cơ bản quen thuộc đối với học sinh, học sinh theo phương pháp 1, tuy nhiên
sau khi bình phương hai vế của phương trình sẽ dẫn đến phương trình bậc cao, nếu
nghiệm vô tỷ, rất khó khăn khi giải. Phương pháp 2: Sau khi sử dụng máy tính
tìm được nghiệm nguyên ta có thể giải bài toán 1 trên bằng cách đưa về phương
trình tích, phương pháp 2 là một cách khá hay, tôi sẽ trình bày ở dạng toán 2.
Phương pháp 3: Sau khi đặt ẩn phụ một cách thích hợp ta chuyển bài toán phương
trình chứa căn bậc thành hệ phương trình đối xứng loại hai, tuy nhiên việc chuyển
về hệ phương trình đối xứng loại 2 nhiều bài toán đưa về hệ khá phức tạp. Phương
pháp 4: Giải bằng “phương pháp đổi biến không hoàn toàn”, ở phương pháp này
sau khi đặt ẩn phụ ta được một phương trình theo ẩn phụ, tuy nhiên data phải là
một hằng đẳng thức, ở đây học sinh phải khéo léo để tách, sau đó giải theo ẩn
chính và gặp phương trình cơ bản có phương pháp giải đưa về phương trình bậc
nhất, phương trình bậc hai một ẩn. Sau đây tôi trình bày một số bài toán mà khi
giải theo phương pháp 4 đổi biến không hoàn toàn sẽ giải ngắn gọn và dễ dàng mà
chưa cần đến kiến thức lớp 12.
Bài toán 2: Giải phương trình sau
2
7 4 1x x x
t
t x
2
0
1 6
t
t x
Phương trình (1) có dạng:
2 2
4 6t x x t x
2 2
5 6 0t t x x
2
3
t x
t x
Với
3t x
ta có:
2
3
5 2 0
x
x x
Vậy:
3 21 5 17
;
2 2
S
là tập nghiệm của phương trình.
Bài toán 3: Giải phương sau:
Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng. Tổ Toán Trường : Thpt Yjut.Trang
10
2
2 3 1 5 8x x x
(1)
Giải:
(1)
2
12 4 5 8x x x
Đặt
12 4t x
2
0
12 4
t
4
t x
t x
Với
3t x
ta có:
12 4 3x x
2
3
6 5 0
x
x x
3
1
5
x
x
x
1;5S
Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng. Tổ Toán Trường : Thpt Yjut.Trang
11
Bằng cách đặt ẩn phụ để đưa về phương trình ẩn mới giải đơn giản hơn, tương tự
biến đổi trên tôi trình bày thêm một số bài toán như sau
Bài toán 4: Giải phương trình sau:
2 2
3 1 ( 3) 1x x x x
(1)
Giải:
Đặt:
2
1t x
2 2
0
1
t
t x
Phương trình (1) có dạng:
2
3 3 0t x t x
3
t x
3
x
t
2
0
3 7
t
t x
(*) Để phương trình (1) giải bằng phương pháp trên ta tách:
7 = 4+ 3
Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng. Tổ Toán Trường : Thpt Yjut.Trang
12
(*)
2
0
3 4 3
t
t x
ta có:
7
1
3
x
x
2
1
3 5 4 0
x
x x
1
5 73
6
5 73
6
x
x
x
4
3
7 69
6
7 69
6
x
x
x
0
4 3
t
t x
2
0
2 8 6
t
t x
Phương trình (1) có dạng:
2 2
4 3 2 2 3x t x t x
2 2
2 4 3 2 3 0t x t x x
3
2
Với
3
2
t x
ta có:
3
4 3
2
x x
2
3
2
4 4 3 0
x
x x
Vậy: Tập nghiệm của phương trình là :
3
2 7 ;
2
S
Bài toán 7: Giải phương trình:
2 2
4 1 1 2 2 1x x x x
Giải:
Đặt
2
1t x
2 2
0
2 2 2
t
t x
Với
2 1t x
ta có :
2
1 2 1x x
2
1
2
3 4 0
x
x x
1
2
0
4
3
x
x
S
Bài toán 8: Giải phương trình:
Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng. Tổ Toán Trường : Thpt Yjut.Trang
15
3
3
1 2 2 1x x
Giải:
Đặt
3
2 1t x
3
2 1t x
Phương trình có dạng:
3 3
2 2 0t t x x
2 2
2 0(2)
t x
t xt x
S
Bài toán 9: Giải phương trình:
2
8 6 2x x x
(1)
Giải:
Cách 1: Đặt:
3 8y x
2
3
3 8
y
y x
Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng. Tổ Toán Trường : Thpt Yjut.Trang
t
t x
2
0
2 6
t
t x
Phương trình có dạng:
2 2
5 6 0t t x x
2
3
t x
t x
Với
2t x
ta có:
8 2x x
2
2
5 3 0
x
x x
2
5 37
2
x
x
Phương trình (1) có dạng:
3 3
8 2 0t t x x
2 2
2 2 4 1 0t x t xt x
2 2
2
2 4 1 0 (2)
t x
t xt x
Với
2t x
ta có :
2 1 2x x
2
0
Bài toán 11: Giải phương trình:
3 2 2
3
4 5 6 7 9 4x x x x x
(1)
Giải:
Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng. Tổ Toán Trường : Thpt Yjut.Trang
18
Phương trình (1)
3
2 2
3
1 1 7 9 4 7 9 4x x x x x x
Đặt:
2
3
7 9 4t x x
3 2
7 9 4t x x
Khi đó phương trình (1) có dạng:
3
3
1 ( 1) 0t t x x
2 2
Vậy: Tập nghiệm phương trình là:
1 5
5;
2
S
Dạng 2: Dạng nhiều căn bậc hai:
( ) ( ) ( ) (1)f x g x h x
Phương pháp giải:
Đặt điều kiện cho các căn có nghĩa:
0
0
0
f x
g x
h x
31
8
2
128 960 0
x
x
x x
So sánh với điều kiện: Vậy x = 8 là nghiệm của phương trình
Bài toán 2: Giải phương trình
2
2 1 3 4x x x
(1)
Giải:
Phương pháp 1:
Đk:
1
4
2
x
Phương trình (1)
x
2
1
2 1
1 0
2 1 1
3 2
x
x
x
x
là nghiệm phương trình:
3 5 3( 2) 1x x
2 2
12 4 3 5 3 6x x x
2 2
2 2
2 3 0
5 3 12 2
x x
x
x x
2 2
2
2 2
3 0(2)
5 3 12 2
x
x x
x x
3 1
5 3 1 0
3 1 4 1 6
x x
x x
Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng. Tổ Toán Trường : Thpt Yjut.Trang
22
5
3 1
3 1 0(2)
3 1 4 1 6
x
x
x x
1 1
5 (2 3) 0
4 1 6 1
x x
x x
5
1 1
(2 3) 0
4 1 6 1
x
x
x x
Ta có:
3 1 ( 1) 5 4 ( 2) 3( )x x x x x x
2
1 1
3 0
1 3 1 2 5 4
x x
x x x x
2
0
1 1
3 0(2)
1 3 1 2 5 4
x x
x x x x
Phương trình (1)
2
2
1
3
2 1
x x
x
2 2
3 1
3 2 1x x x
2 2
3 2 1 3x x x
2 2
2 3 16 12x x x
2
2 2 2
4 ( 3) 16 12x x x
Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng. Tổ Toán Trường : Thpt Yjut.Trang
24
1
2
4 1 1 9 4 2 3x x x
4 9
3 0
4 1 1 9 4 2
x
x x
0
4 9
3 0
4 1 1 9 4 2
x
x x
Ta có:
4 9 1
3 0
x
2
1
1 0
1 1
x
x
x
Ta có:
1
1 0 1
1 1
x x
x
1 3
x x
x x
(1)
Giải:
Cách 1: Đk:
1 3x
Đặt:
1 3 ; 2;2 2t x x t
2 2
2 3 2 4x x t
Copyright: Tài liệu đại học ©