Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011
Phòng giáo dục - đào tạo thanh oai
* * *

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Tên đề tài
Hớng dẫn học sinh tìm
nghiệm nguyên của phơng
trình

Họ tên: Nguyễn Thị Bích Huệ
Giáo viên: Trờng THCS Thanh Cao
Thanh Oai - Hà Nội
Năm học 2010 - 2011
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập Tự do Hạnh phúc
***
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
1
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011
sơ yếu lí lịch
Họ và tên : Nguyễn Thị Bích Huệ
Ngày tháng năm sinh : 25/05/1973
Năm vào ngành :1996
Chức vụ, đơn vị công tác : Giáo viên Trờng THCS Thanh Cao
Thanh Oai - Hà Nội
Trình độ chuyên môn : Đại học toán
Hệ đào tạo : Từ xa
Bộ môn giảng dạy : Toán 9
Khen thởng : Giáo viên giỏi cơ sở .

B.Quá trình thực hiện đề tài 8
4
I. Khảo sát thực tế 8
5
II. Những biện pháp thực hiện 8
6
III.Nội dung chủ yếu của đề tài 9
7
1. Phơng pháp dùng tính chất chia hết 10
8
2. Phơng pháp xét số d của từng vế 18
9
3. Phơng pháp dùng bất đẳng thức 19
10
4. Phơng pháp sử dụng tính chất của số chính phơng 27
11
5. Phơng pháp a v phng trỡnh tng
31
12
6. Phơng pháp chng minh bng phản chứng
33
13
Mt s bi tp t luyn
36
14
C.Kt qu thc hin cú so sỏnh i chiu
37
15
D.Ti liu tham kho
37

Với mục tiêu giáo dục là "Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí
tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính
năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con ngời Việt Nam xã hội chủ nghĩa,
xây dựng tính cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên
hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc".
+ Phơng pháp dạy học tích cực:
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
4
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011
Giúp học sinh phát huy tính tích cực tự giác chủ động sáng tạo rèn luyện thói
quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác kỹ năng vận dụng kiến thức vào những
tình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn tạo niềm tin, niềm vui hứng
thú trong học tập.
b) Cơ sở thực tiễn:
Toán học là một môn khoa học nói chung nhng lại giữ một vai trò rất chủ đạo
trong nhà trờng cũng nh đối với các ngành khoa học khác. Là một giáo viên giảng
dạy bộ môn toán tôi nhận thấy cần thiết phải cải tiến phơng pháp nhằm nâng cao
chất lợng dạy học. Một trong những vấn đề rất cơ bản của đại số khối THCS là việc
nắm đợc các phơng trình sơ cấp đơn giản và cách giải những phơng trình đó đối với
những đối tợng là học sinh đại trà. Ngoài ra mở rộng các phơng trình khó hơn, phức
tạp hơn đối với đối tợng học sinh khá giỏi.
- Vi rt nhiu nhng chuyờn c cp n khi dy i s cp 2 v phng
trỡnh i s, tụi mnh dn tp trung suy ngh sõu v phng trỡnh vi nghim
nguyờn, cỏc dng ca nú v cỏc phng phỏp gii nú cho i tng l hc sinh cú
nhu cu ham mun c khỏm phỏ loi phng trỡnh ny.
3. PHM VI V THI GIAN THC HIN
- ti ny ca tụi c thc hin trong quỏ trỡnh ging dy v bi dng hc sinh
gii lp 9 cng nh ụn luyn vo lp 10 nm hc 2010-2011
-Thi gian :15tit trong ú cú 2 tit kim tra.
4.PHNG PHP NGHIấN CU

Trớc khi thực hiện đề tài
Số lợng Tỉ lệ %
Giỏi 1 3,3%
Khá 3 10%
TB 10 33,3%
Dới TB 16 53,4%
Với bảng số liệu trên việc giải các phơng trình nghim nguyờn đối với học
sinh là vấn đề khó khăn, số học sinh đạt điểm khá, giỏi đạt tỉ lệ rất thấp, tỉ lệ học
sinh đạt điểm dới trung bình rất cao.
3. Bin phỏp thc hin:
Qua kinh nghim ging dy v c s giỳp ng viờn ca ng nghip,
thụng qua mt s t liu tham kho tụi mun im li mt s c s lý thuyt v
gii quyt mt s bi tp nhm giỳp cỏc em tỡm thy s b ớch v t kt qu khi
hc chuyờn ny.
Cỏc phng phỏp gii phng trỡnh vi nghim nguyờn:
1.Phng phỏp dựng tớnh cht chia ht.
-Phỏt hin tớnh chia ht ca n
-a v phng trỡnh c s
-Tỏch ra cỏc giỏ tr nguyờn
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
7
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011
2.Phng phỏp xột s d ca tng v.
3.Phng phỏp dựng bt ng thc
-Sp xp th t cỏc n s
-Xột tng khong giỏ tr ca n
-Ch ra nghim nguyờn
-S dng iu kin
0


, z
0
, vn c biu th bi x, y, z, Vi cỏc bi toỏn m cỏc bin i u
tng ng, ta khụng cn bc 2.
B. CC PHNG PHP GII PHNG TRèNH NGHIM NGUYấN
1. Phng phỏp dựng tớnh cht chia ht:
*. Phỏt hin tớnh cht chia ht ca n:
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
8
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2010 - 2011
Ví dụ 1: Tìm (x, y) nguyên thỏa mãn:
3x + 17y = 159 (1)
Giải: Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1).
Do 159
M
3 và 3x
M
3 => 17y
M
3 vì (17,3) = 1 => y
M
3
Đặt y = 3t (t
∈
Z ) Thay vào phương trình (1) ta có:
3x + 17.3t = 159

⇔
x + 17 t = 53


4x – 7k = 15
=>
7 15 1
2 4
4 4
k k
x k
+ +
= = + −
.
Đặt
1
4
k
t
+
=
=> x = 7t +2 và y = 12t – 3
Vậy phương trình có nghiệm
7 2
12 3
x t
y
= +


= −

(t
∈

(k
∈
Z).
*. Đưa về phương trình ước số:
Dùng các phép biến đổi đại số đưa phương trình về dạng f
1
(x
1
,y
1
,…)f
2
(x
2
,y
2
,
…)…f
n
(x
n
,y
n
,…)=a
1
.a
2
….a
n
. Với a

Ví dụ 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
xy – x – y = 2 (2)
Giải: Biến đổi phương trình (2) tương đương

⇔
x(y – 1) – y = 2

⇔
x(y – 1) – (y – 1) =3

⇔
(y – 1)(x – 1) = 3
Ta có x, y
∈
Z nên x - 1 và y – 1
∈
Z và là ước của 3.
Do vai trò của x, y trong phương trình như nhau nên ta giả sử x
≥
y
=>x -1
≥
y – 1.Ta có
1 3
1 1
x
y
− =




= −

Vậy nghiệm nguyên của phương trình: (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0)
Ví dụ 5: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:
xy – 4x = 35 – 5y
Giải: xy – 4x = 35 – 5y

⇔
(y – 4)(x + 5) = 15
Vì x, y
∈
N nên x + 5
≥
5; x + 5 là ước của 15 do đó ta có:
5 5
4 3
x
y
+ =


− =

hoặc
5 15
4 1
x
y
+ =

x
2
– 25 = y(y + 6)
Giải: x
2
– 25 = y(y + 6)
⇔
x
2
– (y + 3)
2
= 16
( 3)( 3) 16x y x y
+ + − + =
Vì 16>0 nên
3x y
+ +
> 0 =>
3x y
− +
> 0
Mà
3x y
+ +
+
3x y
− +
=
2 x
chẵn

 + + =


− + =


*
3 8
3 2
x y
x y
 + + =


− + =


=>
5x
=
⇔
x =
±
5 => y = - 6 và y = 0
*
3 4
3 4
x y
x y
 + + =

Xột cỏc trng hp ta cú x = 1; y = 0 v x = 0; y = -1
Vy nghim ca phng trỡnh l: (1;0), (0;-1).
Vớ d 8: Tỡm tt c cỏc cp s nguyờn khụng õm (x;y) tho món ng thc:
(1+x
2
)(1+y
2
)+4xy+2(x+y)(1+xy)=25
( thi chuyờn h THPT HKHTN-nm2010)
Gii: (1+x
2
)(1+y
2
) +4xy+2(x+y)(1+xy)=25

1+x
2
y
2
+x
2
+y
2
+4xy+2(x+y)+2(x+y)xy=25

(x
2
+2xy+y
2
)+(x


(5-2y)(2x+3) =-7
Do x nguyờn dng

2x+3

5 v l c ca 7 nờn ta cú:
*
2 3 7 2
5 2 1 3
x x
y y
+ = =



= =

Vy nghim nguyờn dng ca phng trỡnh l : (2;3)
Vớ d 10: Tỡm x,y nguyờn dng tho món:6x
2
+ 5xy- 25y
2
- 221= 0
( thi tuyn sinh vo 10 chuyờn toỏn nm 2007/2008-
Tnh H Tõy)
Gii: 6x
2
+ xy - 25y
2


khụng cú nghim nguyờn
*
3 5 13 5 30 6
2 5 17 2 5 17 1
x y x x
x y x y y
= = =



+ = + = =

*
3 5 17 5 30
2 5 13 2 5 13
x y x
x y x y
= =
+ = + =

khụng cú nghim nguyờn
Vy nghim nguyờn dng ca phng trỡnh l : (6;1)
Vớd11:Tỡm cỏc cp s nguyờn(x,y) tho món ng thc : 2y
2
x+x+y+1=x
2

2 2
( )
( 1)(2 1) 0 1
2 1
x
x x
y Z
y y y
y x y
=
= =




+ = =
=


*
2
1 1
0
1
2 1
x
x
y
y x y
=

y
2
-(x
2
-2x+1-1)(x
2
-2x+1+1) = 0

y
2
-[(x-1)
2
-1] [(x-1)
2
+1] = 0

y
2
-[(x-1)
4
-1] = 0

[y-(x-1)
2
] [y+(x-1)
2
] =-1
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
13
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2010 - 2011

2
2 0
( 1) 1
( 1) 1
0
( 1) 1
0
y
x
y
y x
y x
y
y x
x

=



=
=

− − = −

 

⇒ ⇒
 


+ − +
= = = +
− − −
.
Do x
∈
Z nên
3
1y
−
∈
Z, do đó y – 1 là ước của 3.
Lần lượt cho y – 1 bằng -1; 1; -3; 3 được nghiệm nguyên của PT là: (4;2), (2;4),
(0;-2),(-2;0).
Ví dụ 14: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
xy – 5y = x
2

- 6x + 8
Giải: xy – 5y = x
2
– 6x + 8 <=> (x – 5)y = x
2
– 6x + 8 .Do x=5 không là nghiệm
của PT vì nếu x=5 thì 0.y=3 vô lý.
=> x
≠
5 nên
2
6 8 3

Do x

2 thỡ
2
3 3 5
1
2 2
x x
y x
x x
+
= = + +

.
Ta cú:
x 2 1 -1 5 -5
x 3 1 7 -3
y 3 -5 -5 3
Vớ d 16: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: x
3
- x
2
y + 3x - 2y - 5 = 0
( thi HSG toỏn 9 -huyn Thanh Oai nm 2007/2008)
Gii: x
3
-x
2
y +3x -2y -5 =0


x Z y Z Z x x
x

+
+
M
2 2 2 2 2 2
( 5)( 5) 2 25 2 2 27 2 27 2x x x x x x x x
+ + + + + +
M M M M
2
( 2)x
+

(27) v x
2
+2

2
Xột cỏc trng hp x tho món ta cú nghim nguyờn ca PT l: (-1;-3),(5;5)
Vớ d 17: Tỡm nghim nguyờn ca PT: 5x - 3y = 2xy 11
Gii: 5x-3y=2xy-11


2xy + 3y = 5x + 11
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
15
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011



{
1; 2;2; 5 ; 6; 1;3;2x y

Vy nghim nguyờn ca PT l:(-1;6) ;(-2;-1);(2;3);(-5;2)
Vớ d 18: Tỡm tt c cỏc nghim nguyờn dng ca PT: xy
2
+ 2xy - 243y + x = 0
Gii: xy
2
+2xy-243y +x=0


xy
2
+2xy+x=243y


x(y+1)
2
=243y


x=
2
243
( 1)
y
y
+
do y + 1 >0

*(y+1)
2
=9
2

y+1=9

y=8.Ta cú x=24
Nghim l : (24;8) ,(54;2)
2.Phng phỏp xột s d ca tng v :
* Vn dng tớnh cht chia ht ,tớnh cht ca phộp chia cú d trong tp hp
s nguyờn tỡm nghim.
Vớ d 19:Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: 9x + 2 = y
2
+ y
Gii: 9x + 2 = y
2
+ y

9x + 2 = y(y+1)
Ta thy v trỏi ca phng trỡnh chia cho 3 d 2 nờn y(y +1) chia cho 3 d 2
Ch cú th y = 3k + 1, y + 1 = 3k + 2 ( k nguyờn)
Khi ú 9x + 2 = (3k + 1)(3k + 2)


9x = 9k(k + 1)
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
16
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2010 - 2011


5
-x) +5y +1995z=x
2
+3
⇔
20x
5
-x(x
2
-1)(x
2
+1) +1995z=x
2
+3
⇔
20x
5
-(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)-5(x-1)x(x+1) +1995z=x
2
+3
VT của PT chia hết cho 5 còn VP không chia hết cho 5 ( vì x
2
không có tận cùng là
2 hoặc 7) nên PT vô nghiệm
Ví dụ 21: Tìm nghiệm nguyên của PT: x
3
+ 5x + 2 =y
2
Giải: x
3

là số lẻ, do đó x là số lẻ. x
2
chia cho 4 dư 1 nên
19x
2
chia cho 4 dư 3 => VT chia cho 4 dư 3 còn vế phải chia cho 4 dư 1. Vậy
phương trình không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 23 : Tìm nghiệm nguyên của PT: x
3
-100=225y
Giải: x
3
-100 =225y
Ta có 100
M
5 ; 225y
M
5
⇒
x
3
M
5
⇒
x
M
5 Đặt x=5z ta được 5z
3
-4=9y
(5z

y

zhoc x

y

z thu hp min xỏc nh ca bi toỏn.
Vớ d 24: Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh:
x + y + z = xyz
Gii:
Do vai trũ ca x, y, z bỡnh ng, khụng mt tớnh tng quỏt gi s 0

x

y

z.
Ta cú xyz = x + y + z

3z => xy

3
Nu x = y = z thỡ x
3
=3x => x
2
=3 (vụ lớ vỡ x

Z
+

= + +
=> x = 1 =>
1 1 2
1
y z y
= +
=> y = 1 hoc y = 2.
+ Nu y = 1 =>
1
0
z
=
( loi)
+ Nu y = 2 =>
1 1
2z
=
=> z = 2
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
18
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011
Vy nghim ca phng trỡnh l: (1; 2; 2) v cỏc hoỏn v
Vớ d 26: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh:
5(x + y + z + t) = 2xyzt 10 (16)
Gii: Do x; y; z; t bỡnh ng. Gi s x

y

z


x
y
=


=

hoc
9
5
x
y
=


=

.
Ta cú nghim (35; 3; 1; 1), (9; 5; 1; 1) v cỏc hoỏn v ca chỳng.
-Nu z = 2; 3 phng trỡnh khụng cú nghim.
*Vi t = 2 ta cú: 5(x + y + z) + 20 = 4 xyz

2
5 5 5 20 35
4
yz xz xy xyz z
= + + +
=> z
2


+ + + =
Gii: Do vai trũ bỡnh ng ca x,y,z ,t nờn ta cú th gi s x

y

z

t
* x>1 vỡ nu x=1 thỡ
2 2 2
1 1 1 1
1 y z t
+ + +
>1 mõu thun
*x<3 vỡ nu x

3 thỡ
2 2 2 2
1 1 1 1 4
9x y z t
+ + +
<1 mõu thun
Do ú x = y = z = t = 2 .Vy nghim nguyờn dng ca PT l (2;2;2;2)
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
19
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011
Vớ d 28: Tỡm nghim nguyờn dng ca PT :
3
xy xz yz
z y x

=>z

1 .Vy z=1
Tacú:xy+
3 2 1
y x
xy xy
x y
+ = +
1x y
= =
.
Vy nghim nguyờn dng ca PT l (1,1,1)
Vớ d 29: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh:
1 1 1
3x y
+ =
Gii: Do vai trũ bỡnh ng ca x v y, gi s x

y. Dựng bt ng thc gii
hn khong giỏ tr ca s nh hn ( l y)
Ta cú:
1 1
3y
<
nờn y > 3 (1)
Mt khỏc do x

y




(y-2)(z-2)=5 .Do y,z
Z
+

2 2; 2 2y z
> >
Ta cú nghim (x;y;z) l (1;3;7);(1;7;3)
Vi x

2 .Do y;z cú vai trũ nh nhau ,khụng lm mt tớnh tng quỏt gi s y

z ta
cú:2(y+z)

2(yz-1)=>yz-y-z-1

0 =>(y-1)(z-1)

2 (2)
+ Nu y=1 thỡ pt(1) cú dng2(1+z)=x(z-1)

(x-2)(z-1)=4 .Do x
2 2 0x
Ta cú nghim (x;y;z) l: (3;1;5) ;(4;1;3) ; (6;1;2) v hoỏn v ca y;z l (3;5;1);
(4;3;1) (6;2;1)
+Nu y
1 1z


Z
+
)

y(y+1)(y+n) = (x+i)(x+i+1)(x+i+n) , vi i=1;2;3;;n-1
Vớ d 31: Tỡm nghim nguyờn ca PT: y
3
-x
3
=3x
Gii: y
3
-x
3
=3x

y
3
=x
3
+3x.Vỡ 3x
2
+1>0 vi mi x nờn ta cú :
(x
3
+3x)-(3x
2
+1)<x
3
+3x<x

2
+x+1=(x+
1
2
)
2
+
3
4
>0
5x
2
+11x+7=5(x+
2
11 19
)
10 20
+
>0
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
21
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2010 - 2011
Nên(1+x+x
2
+x
3
)-(1+x+x
2
)<1+x+x
2

=1+x+x
2
+x
3
⇔
x(x+1)=0
⇔
0
1
x
x
=


=−

*x=0=>y=1
*x=-1=>y=0
Vậy nghiệm nguyên của PT là : (0;1), (-1;0)
Ví dụ 33:Tìm nghiệm nguyên của PT: (x+2)
4
-x
4
=y
3
Giải : (x+2)
4
–x
4
= y

+24x
2
+32x+16<(12x
2
+22x+11)+
(8x
3
+24x
2
+32x+16)
⇔
(2x+1)
3
<8x
3
+24x
2
+32x+16<(2x+3)
3
Hay
⇔
(2x+1)
3
<y
3
<(2x+3)
3.
.

Do đó y

y(y-1)=x
4
+x
2
+10 (*)
Ta có x
4
+x
2
<x
4
+x
2
+10<x
4
+x
2
+10+6x
2
+2 (do 6x
2
+2>0 )
Do đó x
2
(x
2
+1)<y(y-1)<(x
2
+3)(x
2

* Chỉ ra nghiệm nguyên:
Ví dụ 35: Tìm các số tự nhiên x sao cho:
2
x
+ 3
x
= 5
x
NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ – Trêng THCS Thanh Cao – Thanh Oai – Hµ Néi
22
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2010 - 2011
Giải: 2
x
+ 3
x
= 5
x

⇔

2 3
1
5 5
x x
   
+ =
 ÷  ÷
   
(1)
Với x = 0 thì vế trái của (1) bằng 2 (loại)

Ví dụ 36: Tìm nghiệm nguyên của PT: x(x+1)(x+2)(x+3)=y
2
Giải: Với y=0 thì x=0;-1;-2;-3
Với y
0≠
thì x
≠
0;-1;-2;-3 mà x(x+1)(x+2)(x+3)=y
2
>0 =>x(x+3)>0
Dođó: x(x+1)(x+2)(x+3)=[x(x+3)][(x+1)(x+2)]=(x
2
+3x)
(x
2
+3x+2)=(x
2
+3x)
2
+2(x
2
+3)
=>(x
2
+3x)
2
<y
2
<(x
2

) +4 chia cho 8 dư 4
Vì (9
k
-1
k
)
M
(9-1) còn 2
x
y
M
8.Vô lý
Vậy nghiệm nguyên của PT là: (0;2); (1;2)
*Sử dụng điều kiện
∆
≥
0 để phương trình bậc 2 có nghiệm:
NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ – Trêng THCS Thanh Cao – Thanh Oai – Hµ Néi
23
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2010 - 2011
Ta viết phương trình f(x, y) = 0 dưới dạng phương trình bậc hai đối với một
ẩn, chẳng hạn là x, khi đó y là tham số. Điều kiện cần để phương trình có nghiệm
là
∆
≥
0 ( để có nghiệm nguyên cần
∆
là số chính phương)
Ví dụ38: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x+y+xy=x

0

⇔
3(y – 1)
2

≤
4
⇔
(y – 1)
2

≤
1. Ta có:
y - 1 -1 0 1
y 0 1 2
Với y = 0 => x = 0 hoặc x = 1
Với y = 1 => x = 0 hoặc x = 2
Với y = 2 => x = 1 hoặc x = 2
Thử lại, các giá trị trên thỏa mãn phương trình (1)
Vậy nghiệm của phương trình là:
(0; 0), (1; 0), (0; 1), (2; 1), (1; 2), (2; 2)
Cách giải khác: Biến đổi phương trình (1) về dạng:
(x – 1)
2
+ (y – 1)
2
+ (x – y)
2
= 2


0


1
1
3
y

.
Vi y = 0 thay vo phng trỡnh ta cú: x
1
= 0; x
2
= 1.
Vi y = 1 thay vo phng trỡnh ta cú: x
3
= 0.
Vy phng trỡnh cú nghim l: (0; 0), (1; 0), (0; 1).
Vớ d 40: Tỡm cỏc s nguyờn dng x,y tho món ng thc : x
2
+y(y
2
+y-3x)=0
( thi chuyờn toỏn nm 2009/2010-Thnh ph H Ni)
Gii : x
2
+y(y
2
+y-3x)=0


vỡ y nguyờn dng nờn y=1. Khi ú PT tr thnh :x
2
-3x+2=0 =>x
1
=1;x
2
=2
Vy nghim nguyờn dng ca PT l: (1;1);(2;1)
Vớ d 41: Tỡm cỏc cp s nguyờn (x,y) tho món: x
2
+2y
2
+2xy+y-2=0
( thi chn HSG toỏn 9 -Huyn Thanh Oai nm 2008/2009)
Gii: x
2
+2y
2
+2xy+y-2=0

x
2
+ 2yx + 2y
2
+ y 2 = 0
iu kin PT cú nghim