Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
P H Ò N G G D & Đ T D I Ễ N C H Â U
TRƯỜNG THCS CAO XUÂN HUY
……………………
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
ĐỀ TÀI:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM HIỂU THÊM VỀ TÍNH CHẤT
TRỰC TÂM TAM GIÁC THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN
Người viết: Phan Thị Hương
Giáo viên trường THCS Cao Xuân Huy
Năm học:2008-2009

Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
1
_F
_E
_D
_H
_A
_C
_B
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
Đề tài:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM HIỂU THÊM VỀ TÍNH CHẤT
TRỰC TÂM TAM GIÁC THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN
Hướng dẫn học sinh tìm hiểu thêm về tính chất
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
2
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
trực tâm tam giác thông qua một số bài toán
A.NHẬN THỨC CŨ-GIẢI PHÁP CŨ:

D
H
A
C
B
F
E
D
H
A
C
B
F
E
D
H
A
C
B
2
1
1
1
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
.*.NỘI DUNG:
1/.Xét trực tâm tam giác trong 3 trường hợp:
-Tam giác vuông: -Tam giác nhọn: -Tam giác tù:

H
O
F
E
D
H
A
C
B
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
-Giáo viên gợi ý:- Chỉ cần chứng minh DH là phân giác
của góc EDF, việc chứng minh EH; FH là các phân giác
của tam giác DEF hoàn toàn tương tự.
-Dựa vào các tứ giác nội tiếp tìm được ở bài toán 1 em hãy chứng minh: D
1
= D
2
(Chứng minh D
1
= D
2
vì cùng bằng một góc thứ 3: B
1
hoặc C
1
do có các tứ giác
nội tiếp ở bài toán 2)
Như vậy qua bài toán này học sinh thấy được tính chất đặc biệt của trực tâm H:
vừa là trực tâm tam giác ABC vừa là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Bài toán 3:

3
. Chẳng hạn chứng minh
BC là trung trực của HH
1
:ta sẽ chứng minh CD vừa là
đường cao vừa là phân giác của
∆
CHH
1
như sau:

Ta có: C
1
= A
1
(vì tứ giác CDEA là tứ giác nội tiếp)

C
2
= A
1
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung BH
1
)⇒
C
1
= C

F
E
D
A
C
B
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
xứng với H qua BC, AC, AB. Chứng ninh: H
1
, H
2
, H
3
thuộc đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC
-Khi đó ta sẽ chứng minh
C1: Chứng minh ngược lại với chứng minh trên:
do H và H
1
đối xứng với nhau qua BC
nên tam giác CHH
1
cân C
1
= C
2
; mà C
1
= A
1

C = 180
0
⇒
tứ giác ABH
1
C nội tiếp. Hay H
1
thuộc
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Chứng minh tương tự thì H
2
, H
3
cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài toán4:
Cho tam giác nhọn ABC.Tìm điểm M thuộc miền
Trong của tam giác sao cho:
MA.BC+MB.AC+MC.AB đạt giá trị bé nhất.
Hướng dẫn giải:
Vẽ BE
⊥
AM; CF
⊥
AM; tia AM cắt BC tại D
Ta có: MA.BC = MA.(BD+DC)
= MA.BD + MA.DC

≥
MA.BE + MA.CF


O
F
E
D
H
A
C
B
1
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
⇒
MA.BC + MB.AC + MC.AB
≥
4(S
ABM
+ S
ACM
+ S
MCB
)=4S
ABC
(không đổi)
Dấu bằng xẩy ra khi MA
⊥
BC; MB
⊥
AC; MC
⊥
AB.
⇔

∆
DEF lớn nhất.
Hướng dẫn chứng minh:
a) Chứng minh: bán kính đường tròn ngoại tiếp
∆
BHC
bằng bán kinh đường tròn ngoại tiếp
∆
BH
1
C
(
∆
BHC=
∆
BH
1
C vì H và H
1
đối xứng qua BC).
Mà
∆
BH
1
C nội tiếp đường tròn tâm O

⇒
Bán kính đường tròn ngoại tiếp
∆
BHC bằng bán kính

2

⇒
ED || H
1
H
2
(Vì hai góc đồng vị bằng nhau)
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
7
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
Chứng minh tương tự
⇒
EF || H
2
H
3
; FD || H
3
H
4
c)Ta có: C
1
= C
2
(chứng minh ở bài toán 2)
⇒
cung BH
3
= cung BH

⊥
FD
Chứng minh tương tự
⇒
AO
⊥
EF; CO
⊥
ED.
(ở câu c ta đã sử dụng kết quả của câu b để chứng minh. Tuy nhiên nếu bài toán
chỉ ra mình câu này ta có thể chứng minh theo cách khác bằng cách kẻ tiếp tuyến
tại A của đường tròn(O) và chứng minh tiếp tuyến đó song song với EF;…)
d) Hướng dẫn học sinh:
*Tìm quỹ tích điểm H:
-Khi A chuyển động trên cung lớn BC thì H
1
sẽ chuyển động trên đường nào?
(H
1
chuyển động trên cung nhỏ BC)
-Ở bài toán 3: H đối xứng với H
1
qua BC, vậy H sẽ chuyển động trên đường nào?
(H chuyển động trên cung đối xứng với cung nhỏ BC qua BC:
cung chứa góc 180
0
- A dựng trên đoạn thẳng BC,cùng phía với A so với BC)
* Xác định vị trí điểm H để diện tích tam giác BHC đạt giá trị lớn nhất:
Do H chuyển động trên cung chứa góc 180
0

H
C
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
S
BEOD
=
2
1
BO.FD
S
CDOE
=
2
1
CO.DE
Vì trường hợp này O ở trong tam giác ABC nên
S
AEOF
+ S
BEOD
+S
CDOE
= S
ABC
⇒
S
ABC
=
2
1

1
BC.AD. Vì BC không đổi nên S
ABC
lớn nhất
⇔
AD lớn nhất
⇔
A là điểm chính giữa của cung lớn BC.
4/.Một số bài toán có liên quan đến trực tâm tam giác
Bài 1:
Cho tam giác nhọn ABC.Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E
vàF; CE và BF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh:
a, Tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp.
b, AH
⊥
BC
c, EI và FI là các tiếp tuyến của đường tròn
Hướng dẫn chứng minh:
a)-E, F thuộc đường tròn đường kính BC ta suy ra điều gì?
( BEC = BFC = 90
0
)
-Từ đó chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp như thế nào?
(tổng hai góc đối diện bằng 180
0
)
b)-Hãy xét vai trò của CE và BF trong tam giác ABC?
(CE và BF là các đường cao trong tam giác ABC,
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
9

⊥
BC tại
D)
Từ (1) (2) (3) IEH + HEO = 90
0
. Hay IE
⊥
EO. Hay EI là tiếp tuyến của đường
tròn (O) tại E.
C2: Ta có: BEO = EBO (vì
∆
BOE, cân do BO = EO)
IEA = IAE (vì
∆
AIE cân)

⇒
BEO + IEA = EBO + IAE
Mà EBO + IAE =90
0
(vì
∆
ABD vuông, do AH
⊥
BC )
⇒
BEO + IAE = 90
0
⇒
IEO = 90

a)Tam giác AB’H vuông, K là trung điểm của AH
KB’H = KHB’

Mà KHB’ = LHB (đối đỉnh)

Và LHB = BLH
⇒
BLH = KB’H tứ giácKB’LB là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh :I LCB’ là tứ giác nội tiếp ( ILC +LCB = 90
0
;mà IB’A +C’B’B =
90
0
và LCB = C’CB = C’B’B;
⇒
ILC = IB’A)
⇒
KBH = ACI
⇒
CI
⊥
BK
Vậy I là trực tâm tam giác KBC
Bài 3:
Cho tam giác nhọn ABC.Vẽ đường tròn tâm (O) đường kính BC.Vẽ AD là đường
cao của tam giác ABC, các tiếp tuyến AM,AN với đường tròn(O). AB cắt đường
tròn (O) tại E (M,N là các tiếp điểm); MN cắt AD tại E; cắt AO tại I.
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
11
F

b) Từ câu a)
⇒

∆
AEF ~
∆
ADB (c-g-c )
⇒
AFE = ADB. Mà ADB = 90
0

⇒
AFE = 90
0
.
Hay EF
⊥
AB. Mặt khác CF
⊥
AB
⇒
C, E, F thẳng hàng
Xét
∆
ABC: CF và AD là các đường cao cắt nhau tại E
⇒
E là trực tâm của
∆
ABC.
Bài 3:(Bài đảo của bài 2)

⊥
AB)
⇒
I là trung điểm của BC đồng thời cũng là trung
điểm của HM. Hay HM đi qua trung điểm I của BC.
b)Từ câu a) OI là đường trung bình của
∆
AMH
⇒
AH=2OI
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF là đường
tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF
Mà tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
⇒
ta cần tính AH.
Theo câu b)AH = 2OI
⇒
ta cần tính OI.
Xét tam giác vuông BOI ta sẽ tính được OI theo định lý Pitago
(với BO=R; BI=
2
1
BC=
2
1
R
3
)
Bài 5: Cho tam giác ABC với trực tâm H (H
≠

C2:Lấy I
∈
BC (BI = IC )
Kẻ PQ
⊥
HI tại H. Ta chứng minh HP = HQ.
Trên tia BH lấy C’sao cho H là trung điểm của BC’
⇒
HI là đường trung bình của
∆
BCC’
HI || CC’
Mà HI
⊥
PQ

⇒
CC’
⊥
PQ hay HQ
⊥
CC’ (1)
Mà C’H
⊥
CD (2) ( do BH
⊥
AC )
Từ (1) và (2)
⇒
Q là trực tâm

(AB + BC + AC )
Hướng dẫn chứng minh:
a) Qua A kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn;
Để chứng minh B’C’
⊥
OA
ta sẽ chứng minh Ax || B’C’:
Do tứ giác BCC’B’là tứ giác nội tiếp nên AC’B’=ACB
Mà ACB = BAx ( =sđ cung nhỏ AB )

⇒
BAx = AC’B’
⇒
Ax || B’C’
Mà Ax
⊥
AO ( do Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O) )
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
14
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
⇒
B’C’
⊥
AO
b) Qua H kẻ HE || AB: HF || AC (E
∈
AC; F
∈
AB )
⇒

HC
BB
HB
AA
HA
Hướng dẫn chứng minh:
S
ABC
=
2
1
AA’.BC =
2
1
BB’.AC =
2
1
CC’.AB
S
HBC
=
2
1
HA’.BC ; S
HAC
=
2
1
HB’.AC; S
HAB

=
'
'
1
'
'
'
'
'
'
==
++
=++
ABC
ABC
ABC
HABHACHBC
S
S
S
SSS
CC
HC
BB
HB
AA
HA
(đpcm)
Bài 9: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ các đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực
tâm của tam giác.

BB
HB
AA
HA
( Bài 8 )
.(1
'
'
'
'
'
'
=++
HC
CC
HB
BB
HA
AA
'
'
'
'
'
'
HC
CC
HB
BB
HA

++
)
Đặt
a
AA
HA
=
'
'
;
b
BB
HB
=
''
'
;
c
CC
HC
=
'
'
.Ta có:
'
'
'
'
'
'

b
b
a
;
2≥+
a
c
c
a
;
2≥+
b
c
c
b
: theo bất đẳng thức Cô-si )
Hay:
9
'
'
'
'
'
'
≥++
HC
CC
HB
BB
HA

'
'
'
'
=++
CC
HC
BB
HB
AA
HA
) ( Đpcm )
Bài 10: ( đường thẳng Euler trong tam giác )
Chứng minh rằng trong một tam giác thì trọng tâm,
trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp là 3 điểm thẳng hàng.
Hướng dẫn chứng minh:
C1:-Chứng minh :
∆
MON ~
∆
AHB (do N
1
= B
1
; M
1
= A
1
)


∆
MOG ( do A
2
= M
2
;

=
HA
OM
GA
GM
)
⇒
G
1
= G
2
⇒
3 điểm G, H, O thẳng hàng. (Đpcm)
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
16
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
C2: Kẻ đường kính BK
⇒
CK
⊥
BC ; AH
⊥
BC

∆
NHQ =
∆
MKO (c.g.c)
⇒
NH=OM
Mà NH=AN
⇒
NA= OM
∆
ANP=
∆
MOG
⇒
GM=AP
mà AP = PQ
⇒
GM = AP = PG hay AG =
3
1
AM
⇒
G là trọng tâm ABC
Bài 11:
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với trực tâm H. Dựng hình bình hành BHCD và
gọi I là giao điểm của 2 đường chéo.
a, Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được.
b, So sánh BAH và OAC, trong đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.
c, AI cắt OH tại G. Chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC.

AI
⇒
G cũng là trọng tâm của
∆
ABC (Đpcm)
C.KẾT QUẢ SAU KHI ÁP DUNG:
-Qua những năm dạy toán lớp 9, tôi đã cho học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
và các bài toán có liên quan đến trực tâm tam giác thông qua các bài toán trên; các
em đã nhận thấy rằng không những trọng tâm, giao điểm 3 trung trực, giaođiểm 3
phân giác của tam giác có tính chất đặc biệt mà trực tâm của tam giác cũng có
những tính chất rất đặc biệt mà SGK chưa nêu thành tính chất cụ thể.
- Việc dạy nội dung trên cho học sinh đã giúp các em hệ thống và nắm được các
bài toán liên quan đến trực tâm tam giác, đây là những bài toán rất hay gặp trong
chương trình hình học lớp9 và cũng rất hay gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp, thi vào
THPT,thi học sinh giỏi.Vì vậy trong các kỳ thi đó, học sinh của tôi đã biết làm
được các bài toán về trực tâm tam giác.
Người thực hiện: Phan Thị Hương-THCS Cao Xuân Huy
18
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu về trực tâm tam giác
-Cách xây dựng hệ thống các bài toán trên đã gây hứng thú cho học sinh trong học
toán, tạo cho học sinh niềm say mê học tập và học sinh thấy rằng nếu chịu khó tìm
hiểu khám phá một vấn đề nào đó thì sẽ tìm được những điều rất thú vị trong toán
học cũng như trong cuộc sống.
D.BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
-Các bài toán trên chỉ xét trường hợp tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đối với mỗi
bài sau khi giải xong GV nên cho học sinh tìm hiểu xem các trường hợp tam giác
có 1 góc tù, hoặc tam giác vuông thì bài toán có còn đúng không.(có những bài
chỉđúng trong trường hợp tam giác có 3 góc nhọn )
-Qua mỗi bài toán nên cho học sinh tìm hiểu xem trực tâm tam giác trong bài đó có
tính chất gì, để học sinh có thể nắm vững được nội dung bài toán đó hơn.