SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị Trường THPT Nam Hà
Mã số:
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT ỨNG DỤNG NHỎ CỦA ĐỊNH LÝ VIET TRONG BÀI TOÁN
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC
Người thực hiện: Nguyễn Duy Khôi
- Quản lý giáo dục 
- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 
(Ghi rõ tên bộ môn)
- Lĩnh vực khác: 
(Ghi rõ tên lĩnh vực)
Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)
Năm học: 2013 - 2014
BM 01-Bia SKKN
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
––––––––––––––––––
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Nguyễn Duy Khôi
2. Ngày tháng năm sinh: 03/02/1979
3. Nam, nữ: nam
4. Địa chỉ: 173/13 KP3 Phường Tân Phong BH ĐN
5. Điện thoại: 01999420430 (CQ)/ 3950365 (NR); ĐTDĐ:
6. Fax: E-mail:
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Nhiệm vụ được giao: Dạy môn Toán lớp 11C10, 12C3 và chủ nhiệm lớp
12C3; Trưởng ban TTND.
9. Đơn vị công tác: Trường THPT Nam Hà

ẩn…Nội dung chuyên đề này tôi chỉ trình bày trong tiết học tự chọn của lớp 10 và
lớp LTĐH nhằm nâng cao và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 10, 12
qua đó các em thấy thêm một ứng dụng nhỏ của định lý Viet để các em hứng thú
hơn trong việc học môn Toán.
Là giáo viên giảng dạy ở THPT Nam Hà tôi thấy nhìn chung đối tượng học
sinh ở mức Trung bình khá (một số ít là HSG). Do đó, chuyên đề này chỉ được viết
ở mức độ tư duy vừa phải, phân loại bài tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một
cách đơn giản dễ nhớ. Qua đó các em có thêm kỹ năng tìm GTLN – GTNN của
một biểu thức trong đề thi ĐHCĐ.
Nội dung của SKKN này gồm:
I. Lý do chọn đề tài.
II. Nội dung:
1. Cơ sở lý thuyết.
2. Các bài tập có lời giải.
3. Bài tập rèn luyện.
III. Hiệu quả đề tài.
IV. Đề xuất, khuyến nghị khả năng áp dụng.
V. Tài liệu tham khảo.
II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI:
II.1. Cơ sở lý thuyết:
1. Hệ phương trình bậc hai hai ẩn số: là hệ phương trình trong đó có
một hay nhiều phương trình mà bậc cao nhất của chúng là bậc hai.
Dạng tổng quát:





=+++++
=+++++

f (x; y) f (y;x), g(x; y) g(y;x)= =
.
Cách giải:
- Biến đổi để hệ phương trình chứa tổng (x + y) và tích xy.
- Đặt



=
+=
xyP
yxS
Điều kiện: S
2
– 4P
≥
0
- Tính S, P (so với điều kiện ). Với mỗi cặp S, P thoả điều kiện thì ta
có: x, y là nghiệm của pt: X
2
–SX +P =0 (1)
+ Nếu pt (1) có 2 nghiệm phân biệt X
1
; X
2
thì hệ phương trình có hai
nghiệm (X
1
; X
2

thì
S = x
1
+ x
2
=
a
b
−
P = x
1
. x
2
=
a
c
Hệ quả: PT bậc 2: ax
2
+ bx + c = 0 (*)
- Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x
1
= 1, nghiệm kia là x
2
=
a
c
- Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x
1
= - 1; nghiệm kia là x
2

S = x
1
+ x
2
; P = x
1
.x
2
a) S = x
1
+ x
2
(không đổi) và P = x
1
.x
2
thay đổi
( )













2
⇔ x
1
= x
2
=
2
S
(Vì X
2
– S.X + P = 0 có nghiệm kép)
b) x
1
> 0; x
2
> 0 và x
1
x
2
= P (không đổi), và S = x
1
+ x
2
(thay đổi)
Do S
2
- 4P ≥ 0 ⇔
( )( )
0P2SP2S
≥+−

4x (5 2x) 17 2x 5x 2 0
1
x y 4
2
é
= Þ =
ê
+ - = Û - + = Û ê
ê
= Þ =
ê
ë
.
Vậy nghiệm của hệ là:
1
(x; y) (2;1),( ;4)
2
=
.
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau :
a)
2 2
x y xy 5
x y 5
+ + =



+ =


+ =




Đặt
S x y, P xy= + =
(Đk: S
2

³
4P). Khi đó hệ trở thành:
( )
2
2
2
P 5 S
S P 5
S 2 5 S 5
S 2P 5
S 5
(l)
P 5 S
P 5 S
P 10
S 5
S 3
S 2S 15 0
S 3
(n)

ï
ì
ï
= -
ï =
ï
ï
î
ï
ï
ê
é
Û Û Û
=-
í í
ê
ê
ï ï
ì
=
+ - = ï
ê
ï ï
ï
î
ê
=
ï
í
ê

ê
- + = Û
ê
=
ë
.
Vậy nghiệm của hệ là:
x 1 x 2
v
y 2 y 1
ì ì
= =
ï ï
ï ï
í í
ï ï
= =
ï ï
î î
.
b)
( ) ( )
2
3 3
x y 2xy 2
x y 2xy 2
x y x y 3xy 8
x y 8
+ + =


2
ì
-
ï
ï
=
ì
ï
+ =
ï
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
-
- =
ï ï
î
- =
ï
ï
ï
î
3 2 2
2S 3S 6S 16 0 (S 2)(2S 7S 8) 0Þ + - - = Û - + + =
S 2 P 0 (n) Û = Þ =

x,yÞ

x y m

x y 2m 1
+ =



+ = +


có nghiệm.
Giải: Đặt
S x y, P xy= + =
, ta có:
2
2
S m
S m
1
P (m 2m 1)
S 2P 2m 1
2
ì
=
ï
ì
=
ï ï
ï ï
Û

( )
2
2 2
x y 2
x y 2

x y 2xy M
x y M
+ =

+ =

 
⇔
 
+ − =
+ =




Đặt
S x y, P xy= + =
, ta có:
2
S 2
S 2
4 M
P
S 2P M

. Đạt được khi
x y 1= =
.
+ Cách 2: Hs có thể dùng pp Hàm số cho bài toán trên.
Chú ý: Trong bài toán tìm GTLN – GTNN của biểu thức
M f (x; y)
=
là biểu
thức đối xứng , trong đó x, y thỏa mãn
g(x;y) k=
là biểu thức đối xứng thì
ta có thể chuyển bài toán về dạng bài toán tìm điều kiện của M để hệ
f (x; y) M
g(x;y) k
=


=

có nghiệm. Từ đây ta xác định được miền giá trị của M và suy
ra được GTLN hoặc GTNN của M.
Bài 5: Cho hai số thực x, y thỏa
x y 1+ =
. Tìm GTNN của
3 3
M x y= +
Giải : Gọi T là tập giá trị của
3 3
x y+
,

hệ có nghiệm
2
1 M 1
S 4P 0 1 4 0 M
3 4
-
Û - ³ Û - ³ Û ³
.
Vậy GTNN của
1
M
4
=
. Đạt được khi
1
x y
2
= =
.
Bài 6: Cho hai số thực x, y (
x, y 0
≠
) thỏa
2 2 2 2
x y xy 2x y
+ =
.
Tìm GTNN của biểu thức
2 2
1 1

+ =


⇔
 
+ =
 
 
+ − =
 ÷


 

(Do
x, y 0
≠
nên chia hai vế của pt (1) cho
2 2
x y
)
Đặt
1 1 1 1
S , P .
x y x y
= + =
, ta có:
2
S 2
S 2

.
Vậy GTNN của
M 2=
. Đạt được khi
x y 1= =
.
Nhận xét: Thực chất bài 6 tương tự bài 4
Bài 7: Cho các số thực
x 0
≠
;
y 0
≠
thỏa mãn:
2 2
(x y)xy x y xy+ = + −
. Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức :
3 3
1 1
A
x y
= +
. (ĐH Khối A – 2006 ).
Giải: Gọi T là tập giá trị của
3 3
1 1
x y
+
,

1 1
a ;b , a;b 0
x y
= = ≠
. Hệ pt trở thành
2 2
3 3
a b a b ab
a b A

+ = + −


+ =


Đặt
S a b;P ab
= + =
, ta có:
2 2
2 2
S S 3P S A
S(S 3P) A 3P S S
 
= − =
 
⇔
 
− = = −

x y
2
= =
.
Bài 8: Cho hai số thực x, y thỏa
( )
2 2
x y 2 x y 7
+ = + +
.
Tìm GTLN - GTNN của biểu thức
3 3
M x(x 2) y(y 2)= − + −
Giải: Gọi T là tập giá trị của
3 3
x(x 2) y(y 2)− + −
,
T R, M T⊂ ∈
.
Xét hệ phương trình :
( )
2 2
3 3
x y 2 x y 7 (1)
x(x 2) y(y 2) M (2)

+ = + +


− + − =


Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi hệ (II) có nghiệm u
≥
-1 và v
≥
-1
( ) ( )
3
2
3
M 7
M 4
3M
u v 2 1 M 28
u 1 v 1 0

−
≥



⇔ + ≥ − ⇔ ≤ ≤


+ + ≥



Vậy MaxM =
3

a b 3(a b) 3 0
3
A 9A 27
a b A 3
ab P
18

+ = =


+ − + − =
 
⇔
 
− −
+ = +
 

= =


.
Suy ra hệ đã cho có nghiệm
2
S 0
P 0
S 4P

≥



⇔ ≤ ∪ ≥



− +
≤ ≤


9 3 21 27 9 17
A
2 4
+ +
⇔ ≤ ≤
.
Vậy
9 3 21
MinA
2
+
=
và
27 9 17
MaxA
4
+
=
.
Bài 10: Cho a ≠ 0; Giả sử x
1

=
2
a
1
−
⇒
( )
P2P2Sxx
2
24
2
4
1
−−=+
4
4
2
M 4 2 2 4a
a
= + + ≥ +
M 2 2 4
= +
⇔ a
8
= 2 ⇔
8
2a
±=
⇒ Min
M 4 2 2

n
1n
xxS
+=
Thì a . S
n + 2
+ b . S
n + 1
+ c . S
n
= 0
Do x
1
, x
2
là nghiệm (*) ⇒





=++
=++
0cbxax
0cbxax
2
2
2
1
2




=++
=++
++
++
0cxbxax
0cxbxax
n
2
1n
2
2n
2
n
1
1n
1
2n
1
⇒
( ) ( ) ( )
0xxcxxbxx.a
n
2
n
1
1n
2

2
2
12
=−+=+=
S
3
= - bS
2
- cS
1
= 16 + 4 = 20
S
4
= - bS
3
- cS
2
= 56
S
5
= - bS
4
- cS
3
= 152
S
6
= - bS
5
- cS

n
= a
n
+ b
n
Áp dụng công thức Bài 11: A . S
n + 1
+ B . S
n + 1
+ C. S
n
= 0
Theo đầu bài ta có:S
n
= a
2000
+ b
2000
S
n + 1
= a
2001
+ b
2001
S
n +2
= a
2002
+ b
2002


+ =



x y y x 30
2)
x x y y 35

+ =


+ =


2 2
2 2
1 1
x y 5
x y
3)
1 1
x y 9
x y

+ + + =





có nghiệm.
Bài 3: Cho hai số thực x, y >0 thỏa
2 2
xy x y 3
+ + =
.
Tìm GTNN của biểu thức
4 4
M x y
= +
Bài 4: Cho hai số thực x, y >0 thỏa
x y 1
+ =
.
Tìm GTNN của biểu thức
2 2
1 1
M 4xy
xy
x y
= + +
+
Bài 5: Cho hai số thực x, y thỏa
( )
( )
3 3
3 3 3
x x 1 y y 1 xy
− + − =
.

Nhận biết và biết
vận dụng ,chưa
giải được hoàn
chỉnh
Nhận biết và
biết vận dụng ,
giải được bài
hoàn chỉnh
Số lượng 0 5 10 25
Tỉ lệ ( %) 0.0 12.5 25.0 62.5
BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
Phương pháp giải trên không phải tối ưu, đôi khi áp dụng làm cho bài toán
toán trở nên phức tạp, trình bày bài giải dài. Do đó, một bài toán có thể có rất nhiều
cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn gọn là một việc không dễ. Đây
chỉ là một chuyên đề nhỏ trong bài toán tìm GTLN – GTNN trong rất nhiều
chuyên đề. Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức
cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán
từ đó học sinh có thể vân dụng linh hoạt các kiến thưc cơ bản, phân tích tìm ra
hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh
không sợ khi đứng trước một bài toán khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây hứng thú
say mê môn toán, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu.
IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG:
Đề nghị áp dụng trong chương trình tự chọn lớp 10; Bồi dưỡng HSG 10 và
12.
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
- Sgk chương trình chuẩn và nâng cao Lớp 10.
- Sách Tham khảo Phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức của tác
giả Nguyễn Tất Thu .
- Tham khảo một số tài liệu trên mạng internet.
- Tuyển tập các Đề thi tuyển sinh ĐH.

- Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 
- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình,
nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 
2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 5 ô dưới đây)
- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu
quả cao 
- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả 
- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình,
nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 
3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc
sống: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành

- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 
Xếp loại chung: Xuất sắc  Khá  Đạt  Không xếp loại 
Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết và chịu trách nhiệm không sao chép tài liệu của
người khác hoặc sao chép lại nguyên văn nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của mình.
Tổ trưởng và Thủ trưởng đơn vị xác nhận đã kiểm tra và ghi nhận sáng kiến kinh nghiệm này
đã được tổ chức thực hiện tại đơn vị, được Hội đồng chuyên môn trường xem xét, đánh giá; tác
giả không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nguyên văn nội dung sáng kiến kinh
nghiệm cũ của chính tác giả.
Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của tác giả và người
có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm.
NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)