KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN 12
1

A.
A.A.
A.

Lý do ch
Lý do chLý do ch
Lý do chọ
ọọ
ọn đ
n đn đ
n đề
ềề
ề

tài
tàitài
tài Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là bài toán luôn có mặt hầu hết
trong các kỳ thi HSG và tuyển sinh Đại Học. Không những thế nó còn là bài toán hay
và khó nhất trong đề thi.

1. Phương pháp đưa v
Phương pháp đưa vPhương pháp đưa v
Phương pháp đưa về
ềề
ề

m
mm
mộ
ộộ
ột bi
t bit bi
t biế
ếế
ến
nn
n

trong các
trong cáctrong các
trong các

bài toán
bài toánbài toán
bài toán

hai bi
hai bihai bi
hai biế
ếế

t

và bi
và bivà bi
và biể
ểể
ểu th
u thu th
u thứ
ứứ
ức c
c cc c
c cầ
ầầ
ần tìm c
n tìm cn tìm c
n tìm cự
ựự
ực tr
c trc tr
c trị
ịị
ị

đ
đđ
để
ểể
ể


đđ
đặ
ặặ
ặt
t t
t ẩ
ẩẩ
ẩn ph
n phn ph
n phụ
ụụ
ụ

h
hh
hợ
ợợ
ợp lý
p lýp lý
p lý,
, ,
,

đưa
đưađưa
đưa

bi
bibi
biể

ểể
ể

kh
khkh
khả
ảả
ảo sát.
o sát.o sát.
o sát.

Thí d
Thí dThí d
Thí d
ụ
ụụ
ụ
1:
1:1:
1:


ܲ=2
ሺ
ݔ
ଷ
+ ݕ
ଷ
ሻ
− 3ݔݕ

ሺCao đ
ሺCao đሺCao đ
ሺCao đ
ẳ
ẳẳ
ẳ
ng kh
ng khng kh
ng kh
ố
ốố
ố
i A, B
i A, B i A, B
i A, B
–
––
–

-
Ta nghĩ tới hằng đẳng thức:
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
=
ሺ
ݔ+ ݕ
ሻ
ଶ
− 2ݔݕ
;
ݔ
ଷ
+ ݕ
ଷ
=
ሺ
ݔ+ݕ
ሻሺ
ݔ
ଶ
−
ݔݕ+ݕ2

-
Khai triển biểu thức P cố gắng làm xuất hiện
x
ଶ

- Từ giả thiết:
ሺ
ݔ+
ݕ
ሻ
ଶ
− 2ݔݕ=2⇒ ݔݕ=
ሺ௫ା௬ሻ
మ
ିଶ
ଶ

www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN 12
2

Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc đưa có thể P về hàm một biến số nếu ta đặt:
ݐ=ݔ + ݕ

Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức:
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ

ሻሺ
ݔ
ଶ
− ݔݕ+ ݕ
ଶ
ሻ
− 3ݔݕ
= 2
ሺ
ݔ+ ݕ
ሻሺ
2 − ݔݕ
ሻ
− 3ݔݕ
Ta có: ݔݕ=
ሺ௫ା௬ሻ
మ
ିଶ
ଶ
, vì thế sau khi đặt ݐ=ݔ+ݕ, thì
ܲ
ሺ
ݐ
ሻ
=2ݐ
ቆ
2 −
ݐ
ଶ
− 2

ݐ
ሻ
=−ݐ
ଷ
−
ଷ
ଶ
ݐ
ଶ
+ 6ݐ+ 3 với −2≤ݐ≤2
Ta có: ܲ
ᇱ
ሺ
ݐ
ሻ
=−3ݐ
ଶ
− 3ݐ+6
Ta có bảng biến thiên

Vậy:
max
ሾ
ି
ଶ;ଶ
ሿ
݂
ሺ
ݐ
ሻ



min
ሾ
ି
ଶ; ଶ
ሿ
݂
ሺ
ݐ
ሻ
=݉݅݊
ሼ
݂
ሺ
−2
ሻ
; ݂
ሺ
2
ሻሽ
=݉݅݊
ሼ
−7; 1
ሽ
= −7 khi ݔ=ݕ=−1


Pሺtሻ ଵଷ
ଶ -
7

1



và x + y = 1. Tìm giá tr
ị

l
ớ
n nh
ấ
t và giá tr
ị

nh
ỏ

nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u
thức:
ܵ=
ሺ
4ݔ
ଶ
+ 3ݕ
ሻሺ
4ݕ
ଶ

2009ሻ
2009ሻ2009ሻ
2009ሻ

Ho
HoHo
Hoạ
ạạ
ạt đ
t đt đ
t độ
ộộ
ộng khám phá:
ng khám phá:ng khám phá:
ng khám phá:-
Từ giả thiết x + y = 1

có thể đưa bài toán đã cho về một ẩn không?

-
Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất hiện
ݔ+ ݕ
để sử dụng giả thiết.
Chú ý hằng đẳng thức:

ݕ
ଶ
− 2ݔݕ+ 12

-
Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc đưa có thể S về hàm một biến số nếu ta đặt:
ݐ=ݔݕ

Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức:
0≤ݔݕ≤
ሺ௫ା௬ሻ
మ
ସ

L
LL
Lờ
ờờ
ời gi
i gii gi
i giả
ảả
ải
ii
i
:
::
:
ሻሺ
ݔ
ଶ
− ݔݕ+ ݕ
ଶ
ሻ
+ 34ݔݕ
= 16ݔ
ଶ
ݕ
ଶ
+ 12
ሾሺ
ݔ+ݕ
ሻ
ଶ
− 3ݔݕ
ሿ
+ 34ݔݕ
ሺ
݀݋ ݔ+ ݕ=1
ሻ

= 16ݔ
ଶ
ݕ
ଶ
− 2ݔݕ+12
ሺ
݀݋ ݔ+ ݕ=1

t

0 ଵ
ଵ଺

ଵ
ସ f’ሺtሻ
MÔN TOÁN 12
4

ଶହ
ଶ

ଵଽଵ
ଵ଺

Vậy: min
ቂ଴;
భ
ర
ቃ
݂
ሺ
ݐ
ሻ
=݂
ቀ
ଵ
ଵ଺
ቁ
=

ర
ቃ
݂
ሺ
ݐ
ሻ
=݉ܽݔቄ݂
ሺ
0
ሻ
; ݂
ቀ
ଵ
ସ
ቁ
ቅ=݉ܽݔቄ12;
ଶହ
ଶ
ቅ=
ଶହ
ଶ
khi ݔ=ݕ=
ଵ
ଶ

Thí d
Thí dThí d

u th
ứ
c:

ܣ=3ሺݔ
ସ
+ ݕ
ସ
+ ݔ
ଶ
ݕ
ଶ
ሻ − 2
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
+ 1
với x, y là các số thoả mãn điều kiện: ሺݔ+ ݕሻ
ଷ
+ 4ݔݕ≥2.
ሺĐ
Ho
HoHo
Hoạ
ạạ
ạt đ
t đt đ
t độ
ộộ
ộng khám phá:
ng khám phá:ng khám phá:
ng khám phá:-
Vì giả thiết là biểu thức khá phức tạp nên ta khai thác nó trước cho gọn để dễ sử dụng
hơn. Chú ý hằng đẳng thức:
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
=
ሺ
ݔ+ݕ
ሻ
ଶ
− 2ݔݕ

ݔ

ݕ
ଶ
ሻ
− 2
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
+ 1

=
ଷ
ଶ
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
ଶ
+
ଷ
ଶ
ሺݔ
ସ
+ ݕ
ସ
ሻ − 2

ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
+ 1

ሺdo
ݔ
ସ
+ ݕ
ସ
≥
൫௫
మ
ା௬
మ
൯
మ
ଶ
ሻ
hay
ܣ≥

ଽ
ସ
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ

మ
ଶ

L
LL
Lờ
ờờ
ời gi
i gii gi
i giả
ảả
ải
ii
i
:
::
:

Theo bất đẳng thức hiển nhiên: ሺݔ+ݕሻ
ଶ
≥4ݔݕ, nên từ
ሺ
ݔ+ݕ
ሻ
ଷ
+ 4ݔݕ≥2⇒
ሺ

+
ሺ
ݔ+ݕ
ሻ
ଶ
≥2
⇒ ሾሺx+yሻ-1ሿሾ
ሺ
ݔ+ݕ
ሻ
ଶ
+
ሺ
ݔ+ ݕ
ሻ
+ 2ሿ≥0
⇒ ሺx+yሻ - 1≥0
ሺdo
ሺ
ݔ+ ݕ
ሻ
ଶ
+
ሺ
ݔ+ݕ
ሻ
+ 2= ቂ
ሺ
ݔ+ݕ
ሻ

ݔ
ସ
+ ݕ
ସ
+ ݔ
ଶ
ݕ
ଶ
ሻ
−
2
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
+ 1
=
ଷ
ଶ
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
ଶ
+
ଷ

ସ
− 2
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
+ 1
ሺdo ݔ
ସ
+ ݕ
ସ
≥
൫௫
మ
ା௬
మ
൯
మ
ଶ
ሻ
hay ܣ≥
ଽ
ସ
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ

+ ݕ
ଶ

Ta có: ݂
ሺ
ݐ
ሻ
=
ଽ
ସ
ݐ
ଶ
− 2ݐ+ 1 với ݐ≥
ଵ
ଶ

⇒ ݂
ᇱ
ሺ
ݐ
ሻ
=
ଽ
ସ
ݐ− 2
Ta có bảng biến thiên: t


fሺtሻ ଽ
ଵ଺

+
∞Vậy min
௧ஹ
భ
మ
݂
ሺ
ݐ
ሻ
=݂
ቀ
ଵ

Thí dThí d
Thí d
ụ
ụụ
ụ
4:
4:4:
4:

Cho hai s
ố

th
ự
c x, y ሺkhác 0ሻ

thay đ
ổ
i tho
ả

mãn
đi
ề
u ki
ệ
n:

ứ
c:

www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN 12
6

ܣ
=
1
ݔ
ଷ
+
1
ݕ
ଷ

ሺĐ

20062006
2006
ሻ
ሻሻ
ሻ

Ho
HoHo
Hoạ
ạạ
ạt đ
t đt đ
t độ
ộộ
ộng khám phá:
ng khám phá: ng khám phá:
ng khám phá: -
Từ giả thiết
ሺ
ݔ+ݕ
ሻ
ݔݕ=ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
− ݔݕ
có thể đưa bài toán về ít ẩn hơn không?

൰
ଶ
=
൬
1
ݔ
+
1
ݕ
൰
ଶ

-
Do giả thiết là biểu thức mà số mũ trong các hạng tử ở vế trái lớn hơn vế phải nên ta
đặt x = ty thì ta có thể rút được x hoặc y theo t:
ሺ
ݔ+ݕ
ሻ
ݔݕ=ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
− ݔݕ

⟹
đặt x =
ty
⟹ ݕ=
௧
మ

ܣ=
1
ݔ
ଷ
+
1
ݕ
ଷ
=
ݔ
ଷ
+ ݕ
ଷ
ݔ
ଷ
ݕ
ଷ
=
ሺ
ݔ+ ݕ
ሻ
ሺݔ
ଶ
− ݔݕ+ ݕ
ଶ
ሻ
ݔ
ଷ
ݕ
ଷ

ݐݕ
ଷ
=ሺݐ
ଶ
− ݐ+ 1ሻݕ
ଶ

do đó: ݕ=
௧
మ
ି௧ାଵ
௧
మ
ା௧
;ݔ=ݐݕ=
௧
మ
ି௧ାଵ
௧ାଵ

Từ đó
ܣ=
൬
1
ݔ
+
1
ݕ
൰
ଶ

ଶ
+ 3
ሺ
ݐ
ଶ
− ݐ+ 1
ሻ
ଶ

Ta có bảng biến thiên:

t
−
∞ -
1 1
fሺtሻ

14 0

1

Vậy: GTLN của A là: ݂
ଶ
ሺ
1
ሻ
=16 khi ݔ=ݕ=
ଵ
ଶ
.
2.
2.2.
2. Phương pháp kh
Ph

ếế
ến.
n.n.
n. 
Đ
ĐĐ
Đố
ốố
ối v
i vi v
i vớ
ớớ
ới b
i bi b
i bấ
ấấ
ất đ
t đt đ
t đẳ
ẳẳ
ẳng th
ng thng th
ng thứ
ứứ
ức nhi
c nhic nhi
c nhiề

ếế
ến m
n mn m
n mộ
ộộ
ột b
t bt b
t bằ
ằằ
ằng
ng ng
ng
cách
cách cách
cách

ch
chch
chọ
ọọ
ọn m
n mn m
n mộ
ộộ
ột bi
t bit bi
t biế
ếế
ến làm tham s
n làm tham sn làm tham s

lúc này trlúc này tr
lúc này trở
ởở
ở

thành b
thành bthành b
thành bấ
ấấ
ất đ
t đt đ
t đẳ
ẳẳ
ẳng th
ng thng th
ng thứ
ứứ
ức m
c mc m
c mộ
ộộ
ột bi
t bit bi
t biế
ếế
ến.
n.n.
n.

Luô

bi
bibi
biế
ếế
ến
n n
n mà ta c
mà ta cmà ta c
mà ta cầ
ầầ
ần tì
n tìn tì
n tìm
m m
m GTLN, GTNN dư
GTLN, GTNN dưGTLN, GTNN dư
GTLN, GTNN dướ
ớớ
ới d
i di d
i dạ
ạạ
ạng
ngng
ng

là
làlà
là


ụng đư
ng đưng đư
ng đượ
ợợ
ợc
c c
c
công c
công ccông c
công cụ
ụụ
ụ

hi
hihi
hiệ
ệệ
ệu qu
u quu qu
u quả
ảả
ả

trong
trong trong
trong gi
gigi
giả
ảả
ải

ng quátng quát
ng quát

Gi
GiGi
Giả
ảả
ả

s
ss
sử
ửử
ử

tìm c
tìm ctìm c
tìm cự
ựự
ực tr
c trc tr
c trị
ịị
ị

c
cc

ện T nào đó.
n T nào đó.n T nào đó.
n T nào đó. •
Bư
BưBư
Bướ
ớớ
ớc 1:
c 1:c 1:
c 1:

Xem
Xem Xem
Xem Pሺx, y, zሻ là hàm theo bi
Pሺx, y, zሻ là hàm theo biPሺx, y, zሻ là hàm theo bi
Pሺx, y, zሻ là hàm theo biế
ếế
ến x, còn y, z la h
n x, còn y, z la hn x, còn y, z la h
n x, còn y, z la hằ
ằằ
ằng s
ng sng s
ng số
ốố
ố. Kh
. Kh. Kh


Ta đư
Ta đưTa đư
Ta đượ
ợợ
ợc:
c: c:
c:
ࡼሺ࢞,࢟,ࢠሻ≥ࢍ
ሺ
࢟,ࢠ
ሻ
ሺࢎ࢕ặࢉ ࡼሺ࢞,࢟,ࢠሻ≤ࢍ
ሺ
࢟,ࢠ
ሻ
ሻ
•
Bư
BưBư
Bướ
ớớ
ớc 2:
c 2:c 2:
c 2:

Xem gሺy, zሻ là

i i
i
đi
điđi
điề
ềề
ều ki
u kiu ki
u kiệ
ệệ
ện T. Ta đư
n T. Ta đưn T. Ta đư
n T. Ta đượ
ợợ
ợc
c c
c
ࢍ
ሺ
࢟,ࢠ
ሻ
≥ࢎ
ሺ
ࢠ
ሻ
ሺࢎ࢕ặࢉ ࢍሺ࢟,ࢠሻ≤ࢎ
ሺ
ࢠ
ሻ
ሻ

ến
n n
n hሺ
hሺhሺ
hሺz
zz
zሻ
ሻሻ
ሻ

v
vv
vớ
ớớ
ới đi
i đii đi
i điề
ềề
ều ki
u kiu ki
u kiệ
ệệ
ện T
n T n T
n T tìm
tìmtìm
tìm

min,
min, min,

t luậ
ậậ
ận:
n: n:
n:
ࡼ
ሺ
࢞,࢟,ࢠ
ሻ
≥ࢍ
ሺ
࢟,ࢠ
ሻ
≥ࢎ
ሺ
ࢠ
ሻ
≥࢓
ሺࢎ࢕ặࢉ ࡼሺ࢞,࢟,ࢠሻ≤ࢍ
ሺ
࢟,ࢠ
ሻ
≤ࢎ
ሺ


là 3 s
ố

th
ự
c thu
ộ
c
ሾ
1
;
4
ሿ

và
ݔ
≥
ݕ
,
ݔ
≥
ݖ
. Tìm giá tr
ị

nh
ỏ

nhất của biểu thức:

c kh
ố
ốố
ố
i A
i A i A
i A
–
––
–
2011ሻ
2011ሻ2011ሻ
2011ሻ

Ho
HoHo
Hoạ
ạạ
ạt đ
t đt đ
t độ
ộộ
ộng khám phá:
ng khám phá: ng khám phá:
ng khám phá:
ሻ
=ܲሺݐሻ≥
ଷସ
ଷଷ

L
LL
Lờ
ờờ
ời gi
i gii gi
i giả
ảả
ải
ii
i:
::
:
www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN 12
8

Ta có:
ܲ

ଶ
− ݔݕሻ
ሺ
ݕ + ݖሻ
ଶ
ሺݖ+ ݔሻ
ଶ

Theo giả thiết: ݔ≥ݕ⇒ݔ −ݕ≥0 nếu ܲ≥0⇔ݖ≥
ඥ
ݔݕ ሺdo x, y, z ∈
ሾ
1;4
ሿ
ሻ
t

ඥ
ݔݕmin

Từ bảng biến thiên:
ܲ≥ܲ൫
ඥ
ݔݕ
൯=
௫
ଶ௫ାଷ௬
+
ଶ
√
௬
√
௫ା
√
௬

=
ೣ
೤
ଶ
ೣ
೤
ାଷ
+
ଶ
ଵା

ሺ
ݐ
ሻ
=
ିଶൣସ௧
య
ሺ
௧ିଵ
ሻ
ାଷሺଶ௧
మ
ି௧ାଷሻ൧
ሺଶ௧
మ
ାଷሻ
మ
ሺଵା௧ሻ
మ
<0,∀ ݐ∈
ሾ
1;2
ሿ

Suy ra fሺtሻ giảm trên
ሾ
1;2
ሿ
, do đó ܲ≥ܲ൫
ඥ
ݔݕ

ට
௫
௬
=2
⇒ݔ=4,ݕ=1,ݖ=2


Vậy: ܲ
௠௜௡
=
ଷସ
ଷଷ
݇ℎ݅ ݔ=4,ݕ=1,ݖ=2
Thí d
Thí dThí d
Thí d
ụ
ụụ
ụ
6:
6:6:
6:

Cho hai s

l
ớ
n

nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u
thức:
ܲ
=
ܽ
ܽ
+
ܾ
+
ܾ
ܾ
+
ܿ
+
ܿ
ܿ
+
ܽ

-
Tiếp theo khảo sát hàm hሺbሻ suy ra
ℎሺܾሻ≤
଼
ହ
-
Vậy:
ܲሺܽ,ܾ,ܿሻ≤݃ሺܾ,ܿሻ≤ℎሺܾሻ≤
଼
ହ
L
LL
Lờ
ờờ
ời gi
i gii gi
i giả
ảả
ải
ii
i
:
::

ሻ
ሺܽ
ଶ
− ܾܿሻ
ሺܽ+ ܾሻ
ଶ
ሺܽ+ ܿሻ
ଶ

•
Trường hợp 1:
ܽ≥ܾ≥ܿ và ܽ,ܾ,ܿ ∈ቂ
ଵ
ଷ
;3ቃ
Suy ra: ܾ− ܿ≥0; ܽ
ଶ
− ܾܿ≥0 nên ܲ
ᇱ
ሺ
ܽ
ሻ
≥0. Do đó: Pሺaሻ tăng trên ቂ
ଵ
ଷ
;3ቃ
⇒ܲ
ሺ
ܽ
ሻ

+
3
ሺܿ+ 3ሻ
ଶ
=
ሺ
ܾ− 3
ሻ
ሺ3ܾ− ܿ
ଶ
ሻ
ሺܾ+ ܿሻ
ଶ
ሺܿ +3ሻ
ଶ
≤0
www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN 12
10

Do đó: gሺcሻ giảm trên ቂ
ଵ
ଷ
;3ቃ

ଶ
−
3
ሺܾ+ 3ሻ
ଶ
=
ሺ
1 − ܾ
ሻ
ሺ1 + ܾሻ
ሺ3ܾ+ 1ሻ
ଶ
ሺܾ +3ሻ
ଶ

Ta có bảng biến thiên:
bଵ
ଷ 1

଼
ହ Suy ra ℎ
ሺ
ܾ
ሻ
≤ℎ
ሺ
1
ሻ
=
଼
ହ

Vậy: ܲ
ሺ
ܽ,ܾ,ܿ
ሻ
≤ܲ
ሺ
3,ܾ,ܿ
ሻ

ܲ
ሺ
ܽ,ܾ,ܿ
ሻ
− ܲ
ሺ
ܿ,ܾ,ܽ
ሻ
=
=
ሺ
ܽ− ܾ
ሻሺ
ܾ− ܿ
ሻሺ
ܽ− ܿ
ሻ
ሺ
ܽ+ ܾ
ሻሺ
ܾ+ ܿ
ሻሺ
ܽ+ ܿ
ሻ
≤0
⇒ܲሺܽ,ܾ,ܿሻ≤
8
5

Vậy ܯܽݔ ܵ=

Thí dThí d
Thí d
ụ
ụụ
ụ
7:
7:7:
7:Cho ba

s
ố

th
ự
c

dương

ܽ
,
ܾ
,
ܿ


t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:

ܲ
=
2
ܽ
ଶ
+
1
−
2
ܾ
ଶ
+
1
+
3
ܿ
ଶ
+
1

nh
–
––
–
20
2020
20
08
0808
08
ሻ
ሻሻ
ሻ

Ho
HoHo
Hoạ
ạạ
ạt đ
t đt đ
t độ
ộộ
ộng khám phá:
ng khám phá: ng khám phá:
ng khám phá:
+
ଶሺ௔ା௖ሻ
మ
ሺ௔
మ
ାଵሻሺ௖
మ
ାଵሻ
− 2 +
ଷ
௖
మ
ାଵ
ሺ0<ܽ<
ଵ
௖
ሻ
-
Với bài này suy nghĩ khám phá hàm số như thế nào? Ta nhìn biểu thức P là hàm một
biến a, còn c xem như hằng số.

-
Khảo sát hàm biến a là fሺaሻ với
0<ܽ<
ଵ
௖
suy ra
݂
ሺ
ܽ
-
Vậy:
ܵ≤݃
ሺ
ܿ
ሻ
≤݃
ሺ
ܿ
଴
ሻ
=
ଵ଴
ଷ
L
LL
Lờ
ờờ
ời gi
i gii gi
i giả
ảả
ải
ii
i

ଶ
ሺܽ
ଶ
+ 1ሻሺܿ
ଶ
+ 1ሻ
− 2

=
2
ܽ
ଶ
+ 1
+
2ሺܽ+ ܿሻ
ଶ
ሺܽ
ଶ
+ 1ሻሺܿ
ଶ
+ 1ሻ
− 2 +
3
ܿ
ଶ
+ 1

Xét hàm số:
݂
ሺ

ሺ
1 + ݔ
ଶ
ሻ
ଶ
ሺ1 + ܿ
ଶ
ሻ
=0
⇔ ݔ
଴
=−ܿ+
√
ܿ
ଶ
+ 1 ∈
ቀ
0,
ଵ
௖
ቁ

www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN 12

ሻ
fሺ
ݔ
଴
ሻ Khi đó: Từ bảng biến thiên
݂
ሺ
ݔ
ሻ
≤݂
ሺ
ݔ
଴
ሻ
=
ܿ
√
1 + ܿ

ଶ
ሻ
ሺ
1 + ܿ
ଶ
ሻ
ଶ
ሺ3ܿ+
√
1 +ܿ
ଶ
ሻ
=0
⇔ܿ=ܿ
଴
=
ଵ
√
଼
∈
ሺ
0,+∞
ሻ

Bảng biến thiên:
c


g
ሺ
c
ሻ g
ሺ
ܿ
଴
ሻ Từ bảng biến thiên suy ra: ݃ሺܿሻ≤݃ሺܿ
଴
ሻ
⇒ܵ≤݃
ሺ
ܿ
ሻ
≤݃
ሺ
ܿ
଴

Thí d
Thí dThí d
Thí d
ụ
ụụ
ụ
8:
8:8:
8:

Cho ba s
ố

th
ự
c dương
ܽ
,
ܾ
,
ܿ

th
ả
ሺĐ
ሺĐሺĐ
ሺĐ
ề
ềề
ề
thi O
thi Othi O
thi O
lympic 30/4
lympic 30/4 lympic 30/4
lympic 30/4
–
––
–
2004
20042004
2004
ሻ
ሻሻ
ሻ


,ݖ=
ଵ
௖
bài toán chuyển thành bài toán là gì? -
Có thể chuyển bài toán sao cho ít ẩn được không? -
Từ giả thiết:
2ݔ+ 8ݕ+ 21ݖ≤12ݔݕݖ⇒ݖ≥
ଶ௫ା଼௬
ଵଶ௫௬ିଶଵ
ݒà ݔ>
଻
ସ௬

-
Khi đó:
ܵ≥ݔ+ 2ݕ+
ଶ௫ା଼௬
ସ௫௬ି଻
=݂ሺݔሻ
-
Khảo sát hàm fሺxሻ xem y là tham số cố định. Ta được:
ܵ≥݂
ሺ
ݔ

i gii gi
i giả
ảả
ải
ii
i
:
::
:
Đặt:
ݔ=
1
ܽ
,ݕ=
1
ܾ
,ݖ=
1
ܿ
⇒ݔ,ݕ,ݖ>0;2ݔ+ 8ݕ+21ݖ≤12ݔݕݖ ݒà ܵ=ݔ+ 2ݕ+3ݖ
Từ:
2ݔ+8ݕ+ 21ݖ≤12ݔݕݖ⇒ݖ≥
2ݔ+ 8ݕ
12ݔݕ−21
ݒà ݔ>
7
4ݕ

଴
=
଻
ସ
௬
+
ඥ
ଷଶ୷
మ
ାଵସ
ସ୷
∈
ቀ
଻
ସ௬
,+∞
ቁ

Bảng biến thiên:
x
଻
ସ
௬


fሺ
ݔ
଴
ሻ Khi đó: Từ bảng biến thiên
ܵ≥݂
ሺ
ݔ
ሻ
≥݂
ሺ
ݔ
଴
ሻ
=2ݕ +
9

Đặt: ݐ=
ඥ
32ݕ
ଶ
+ 14
thì phương trình ݃
ᇱ
ሺ
ݕ
ሻ
=0
⇔
ሺ
8ݕ
ଶ
− 9
ሻ
ඥ
32ݕ
ଶ
+ 14 −28
⇔ݐ
ଷ
− 50ݐ−122=0⇔ݐ=8⇔ݕ=
ହ
ସy

+
g
ሺxሻ
ଵହ
ଶ
Từ bảng biến thiên suy ra: ݃ሺݕሻ≥݃
ቀ
ହ
ସ
ቁ

ଶ
ଷ
⇔ܽ=
ଵ
ଷ
, ܾ=
ସ
ହ
,ܿ=
ଷ
ଶ
ݐℎì ܯ݅݊ ܵ=
ଵହ
ଶ

Thí d
Thí dThí d
Thí d
ụ
ụụ
ụ
9
99
9

3Tìm giá tr
ị

nh
ỏ

nh
ấ
t c
ủ
a:

ܶ
=
3
ሺ
ܽ
ଶ
+
ܾ
ଶ
+
ܿ
ଶ
ሻ
+
4

+ 4ܾܽܿ
sao cho ít ẩn hơn?
-
Từ giả thiết:
ܽ+ ܾ+ܿ=3⇒ܽ + ܾ=3− ܿ,݉à ܽ+ ܾ>ܿ ⇒1≤ܿ≤
ଷ
ଶ

-
Khi đó:
ܶ=3ሺ3− ܿሻ
ଶ
+ 3ܿ
ଶ
+ 2ܾܽሺ2ܿ− 3ሻ
-
Tích ab và tổng a + b = 3 – c gợi cho các em nghĩ đến bất đẳng thức nào?

ܾܽ≤
൬
ܽ+ ܾ
2
൰
ଶ
=
൬
3 − ܿ
2
൰
ଶ

Ta đi đến kết luận
ܶ≥݂
ሺ
ܿ
ሻ
≥݂
ሺ
1
ሻ
=13

L
LL
Lờ
ờờ
ời gi
i gii gi
i giả
ảả
ải
ii
i
:
::
:
Do vai trò bình đẳng của a, b, c nên ta có thể giả sử: 0<ܽ≤ܾ≤ܿ
Chu vi bằng 3 nên ܽ+ܾ+ ܿ=3⇒ܽ+ܾ=3− ܿ,݉à ܽ+ ܾ>ܿ ⇒1≤ܿ≤
ଷ
ଶ


Măt khác:
ܾܽ≤
ቀ
௔ା௕
ଶ
ቁ
ଶ
=
ቀ
ଷି௖
ଶ
ቁ
ଶ
⇒ܾܽ
ሺ
2ܿ− 3
ሻ
≥
ቀ
ଷି௖
ଶ
ቁ
ଶ
ሺ
2ܿ−3
ሻ
ሼݒì ܿ<
ଷ
ଶ
⇒2ܿ− 3<0ሽ

=ܿ
ଷ
−
ଷ
ଶ
ܿ
ଶ
+
ଶ଻
ଶ
,ݐݎê݊ ቂ1;
ଷ
ଷ
ቃ
www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN 12
16

⇒݂
ᇱ
ሺ
ܿ
ሻ
=

fሺc
ሻ
13
Khi đó: Từ bảng biến thiên suy ra
݂
ሺ
ܿ
ሻ
≥݂
ሺ
1
ሻ
=13
Suy ra ܶ≥݂
ሺ
ܿ
ሻ
≥݂

đi
ề
u ki
ệ
n
sau
:
൜
ݔ
+
ݕ
+
ݖ
=
4
ݔݕݖ=2

Chứng minh rằng:
183 −165
√
5
≤ݔ
ସ
+ ݕ
ସ
+ ݖ
ସ


–
––
–
2004ሻ
2004ሻ2004ሻ
2004ሻ

Ho
HoHo
Hoạ
ạạ
ạt đ
t đt đ
t độ
ộộ
ộng khám phá:
ng khám phá:ng khám phá:
ng khám phá:

-
Biểu thức
ܲ=ݔ
ସ
+ ݕ
ସ
+ ݖ

+ ݖ
ଶ
ݔ
ଶ
ሻ
=ሺ4
ଶ
− 2ሺݔݕ+ݕݖ+ ݖݔሻሻ
ଶ
− 2ሺݔݕ+ݕݖ+ ݖݔሻ
ଶ
− 2ݔݕݖሺݔ+ ݕ+ ݖሻ

-
Với mỗi quan hệ trên, chuyển P theo biến mới như thế nào? Đặt
ݐ=ݔݕ + ݕݖ+ݖݔ
và từ giả thiết
ݔ+ ݕ+ݖ=4;ݔݕݖ=2
ta có
ܲ=2ሺݐ
ଶ
− 32ݐ+
144ሻ

-
Tìm điều kiện theo ẩn mới như thế nào?


ሺ
ݕ +ݖ
ሻ
ଶ
≥4ݕݖ⇔
ሺ
4 − ݔ
ሻ
ଶ
≥
଼
௫
⇔ݔ
ଷ
− 8ݔ
ଶ
+ 16ݔ− 8≥0⇔
ሺ
ݔ−2
ሻሺ
ݔ
ଶ
− 6ݔ+
4≥0
⇔3 − √5≤ݔ≤2

-
Xét hàm số
ݐሺݔሻ=ݔ
ሺ

ᇱ
ሺ
ݔ
ሻ
trên đoạn
ൣ3 −
√
5;2൧
, ta được
5≤ݐ≤
ହ
√
ହିଵ
ଶ

Khảo sát hàm số
ܲ=2ሺݐ
ଶ
− 32ݐ+ 144ሻ
trên
5≤ݐ≤
ହ
√
ହିଵ
ଶ
và suy ra
183 − 165
√
5≤ݔ
ସ

ݔ+ ݕ+ ݖ=1


Tìm GTLN của ܵ=ݔ
ଶ
ݕ+ ݕ
ଶ
ݖ+ݖ
ଶ
ݔ

Đáp s
Đáp sĐáp s
Đáp số
ốố
ố:
::
:
minܵ=
ସ
ଶ଻
ݔẩݕ ݎܽ ݇ℎ݅ ݔ=
ଵ
ଷ
,ݕ=0,ݖ=
ଶ
ଷ

2,ݕ=ݖ=0
minܲ=−2
√
2 ݔẩݕ ݎܽ ݇ℎ݅ ݔ=−
√
2,ݕ=ݖ=0
 Cho ݔ>0,ݕ>0,ݔ>0 và thoả mãn điều kiện ݔ+ ݕ+ ݖ=1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
ܲ=ݔݕ+ݕݖ+ ݖݔ− 2ݔݕݖ

Đáp s
Đáp sĐáp s
Đáp số
ốố
ố:
::
:
minܲ=
଻
ଶ଻
ݔẩݕ ݎܽ ݇ℎ݅ ݔ=ݕ=ݖ=
ଵ
ଷ

 Cho ܽ,ܾ,ܿ ∈
ሾ
1;2

ܾ
ଶ
+
ܾ
ଶ
ܽ
ଶ
ቇ
+
ܽ
ܾ
+
ܾ
ܽ

Đáp s
Đáp sĐáp s
Đáp số
ốố
ố:
::
:
minܶ=−2 ݔẩݕ ݎܽ ݇ℎ݅ ܽ=−ܾ
 Cho ܽ,ܾ,ܿ ∈

Cho ݔ>0,ݕ>0,ݔ>0 và thoả mãn điều kiện ݔ+ ݕ+ ݖ≤
ଷ
ଶ

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
ܲ=ݔ+ ݕ+ ݖ+
1
ݔ
+
1
ݕ
+
1
ݖ Đáp s
Đáp sĐáp s
Đáp số
ốố
ố:
: :
:
minܲ=
ଵହ
ଶ
ݔẩݕ ݎܽ ݇ℎ݅ ݔ=ݕ=ݖ=