Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

A.ĐẶT VẤN ĐỀ .
Thực hiện chủ đề năm học : “ Tiếp tục đổi mới quản lý và nâng cao chất
lượng giáo dục” và mỗi Thầy cô giáo là một tấm gương sáng tự học và
sáng tạo.Do đó bản thân mỗi Thầy cô giáo cần cố gắng về chuyên môn ,
nghiệp vụ sư phạm để có những bài giảng hay, truyền đạt kiến thức, kỹ
năng cho đối tượng học sinh mà mình phụ trách.Muốn làm được điều đó
cần đúc rút kinh nghiệp giảng dạy của mình sau từng mục, từng tiết dạy,
bài dạy để ngày càng nâng cao chất lượng giáo dục.
Nhiệm vụ của ngành giáo dục và đào tạo là : Đào tạo thế hệ trẻ có đủ
phẩm chất năng lực, giáo dục phát triển toàn diện trí,thể,mỹ. Đào tạo
nguồn nhân lực có trình độ tay nghề cao phục vụ đắc lực cho công cuộc
xây dựng và bảo vệ Tổ quốc xã hội chủ nghĩa trong thời kỳ công nghiệp
hoá- hiện đại hoá đất nước.
Trong chương trình giáo dục bộ môn toán đóng một vai trò hết sức
quan trọng, góp một phần không nhỏ trong giáo dục và phát triển trí tuệ
của học sinh, giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo,lôgíc, trực quan,
thấy được ứng dụng của toán học trong cuộc sống.Toán học có rất nhiều
phân môn, lĩnh vực khác nhau, mỗi lĩnh vực có một vai trò và tầm quan
trọng riêng, có những đặc trưng riêng biệt .Cũng như các vấn đề khác
của toán học thì mảng kiến thức về phương trình ,và bất phương trình có
chứa tham số cũng có vai trò hết sức quan trọng trong việc phát huy tư
duy sáng tạo và lôgíc của học sinh .Người thầy phải cung cấp cho học
sinh những kiến thức phổ thông mà còn phải trang bị cho các em những
kỹ năng cơ bản cần thiết. Để làm tốt điều này mỗi người thầy phải tự học
tập nâng cao trình độ chuyên môn và nghiệp vụ sư phạm, đúc kết những
kinh nghiệm giảng dạy,từ đó góp phần truyền đạt kiến thức cho học sinh
một cách hiệu quả nhất, để mỗi tiết học là một niềm đam mê khám phá
tri thức đối với mỗi học sinh.
B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ .

đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát bài toán và tìm
ra bài toán xuất phát, chưa biết được bài toán trong các đề thi do đâu mà
có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn cho
các em.
II. KẾT QUẢ CỦA THỰC TRẠNG :
Trong quá trình giảng dạy học sinh khá giỏi ,ôn thi học sinh giỏi,
ôn luyện thi đại học – cao đẳng , tôi nhận thấy phần phương trình và bất
phương trình có chứa tham số là học sinh tương đối gặp khó khăn trong
cách giải, không biết phải sử lý tình huống như thế nào trên nền kiến
thức cơ bản các em đã biết. Nếu trang bị cho các em những kỹ năng ,tình
huống cơ bản, từ đó giúp mỗi học sinh tự đúc kết kinh nghiệm riêng cho
bản thân mình thì khi có vấn đề mới thì các em sẽ giải quyết được một
các nhanh chóng và cho lời giải tương đối đẹp.

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 2
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Từ thực trạng và kết quả trên, để việc giải phương trình và bất
phương trình có chứa tham số của học sinh đạt hiệu quả tốt hơn tôi
mạnh dạn cải tiến phương pháp giảng dạy với đề tài :“ Định hướng
cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng
phương pháp sử dụng đạo hàm,THPT”.

III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
Để giúp học sinh khá giỏi giải tốt các giải phương trình và bất
phương trình có chứa tham số thường gặp trong các kỳ thi đại học- cao
đẳng và thi học sinh giỏi, tôi đã đúc kết thành những dạng toán cơ bản
như sau:

1.Dạng 1 Các bài toán về phương trình .

≤ ≤
.
Ví du1: Tìm m để phương trình
2
2x x m− =
(1) có nghiệm
[ ]
0;1x∈
.
Giải.
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị y= f(x)=
2
2x x−
và y=m
Xét hàm số f(x)= x
2
-2x, hàm số này xác định và liên tục trên
[ ]
0;1
y
/
=2x-2.

/
0 1y x= ⇔ =

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 3
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Bảng biên thiên

Định hướng
-Trước hết cho học sinh đưa bài toán về một bài toán tương đương bằng
cách đặt ẩn phụ .
-Chuyển PT đã cho về dạng
( ) ( )f x g m=
.
Giải
Điều kiện : x > 2.
Đặt
1
2
log ( 2)t x
= −
;
2 4 1x t< < ⇔ > −
.
Phương trình (1) trở thành : (m-1)t
2
- (m-5)t +m-1 = 0(2)
Bài toán quy về tìm m để phương trình (2) có 2 nghiệm thõa mãn
1 2
1t t
> > −
.
PT(2)
⇔

2
2
5 1

xác định và liên tục trên
( )
1;− +∞
.

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 4
Y - 0 1 +

y - 0 +
y 0
-1
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…2
2
5 1
1
lim ( ) lim 1
1 1
1
x x
t t
f t
t t
→+∞ →+∞
− +
= =
− +
;

+∞
( )f t
0 - 0 +
f(t)

7
3
1
-3
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình (3) có 2 nghiệm thõa mãn
1 2
1t t
> > −
thì -3<m<1
Nhận xét: Bài toán này có thể giải bằng phương pháp sử dụng tam
thức bậc 2 theo kiến thức ở lớp 10 nhưng nếu giáo viên định hướng cho
học sinh làm theo cách sử dụng đạo hàm sẽ thấy cách này gọn gàng
hơn , hợp với kiến thức mà học sinh đã học ở lớp 12 hơn, cho lời giải
nhanh chóng và đẹp.
Vì vậy dùng phương pháp đạo hàm của hàm số có lợi thế hơn các
phương pháp khác ,có nó chúng ta sẽ giải quyết được một số các bài
toán có chứa tham số phức tạp hơn trong các trong các đề thi .Chúng ta
sẽ xét một số các bài toán sau đây:
Ví dụ 3 .
Tìm m để phương trình :

2 2 4 2 2
( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − −
(1) có nghiệm .
( Trích đề thi Đại học -Cao đẳng khối B ,

1 2x− ≤
.Vậy
0 2t≤ ≤

4 2
0 2.
2 1 2
t
x t
⇒ ≤ ≤
⇒ − = −
.
Phương trình (1)có dạng : m(t+2) = 2-t
2
+t (2).
Vì
0 2t≤ ≤
Nên ta có t+2 >0 phương trình (2) trở thành :

2
2
2
t t
m
t
− + +
=
+
.
Bài toán quy về tìm điều kiện của tham số m để phương trình :

2
4
( )
( 2)
t t
f t
t
− −
=
+
<0 với
0; 2x
 
∀ ∈
 
ta có bảng biến thiên sau :
x 0
2
/
( )f x
-
( )f x0; 2
0; 2
min ( ) ( 2) 2 1; max ( ) (0) 1f t f f t f
 
 
 

1 2 1
1 0
(1 1)( 1 ) 2
t x x
t x x
t x x

= + −

= + − ≥ ⇒

 ≤ + + − =

Vậy
1 2t≤ ≤
.
Ta có phương trình (1) trở thành
2
( 1) 1, 1; 2m t t t t
 
+ = + + ∈
 
(2)
Do t+1 >0 nên phương trình (2)
⇔
2
1
1
t t
m

t t
t
+ +
+
,
1; 2t
 
∈
 
2
/
2
2
( ) 0,
( 1)
t t
f t
t
+
= > ∀
+
1; 2t
 
∈
 
nên
( )y f t=
đồng biến trên
1; 2t
 

.
Định hướng : Khi gặp bài toán như thế này chúng ta thường đưa về
một bài toán gọn hơn thông qua một bước đặt ẩn phụ và khi đã đặt ẩn
phụ thì cần lưu ý tới điều kiện của ẩn phụ .Sau đó ta chuyển bài toán đã
cho về một bài toán tương đương với nó .
Giải

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 7
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Ở ví dụ này ta có thể chuyển về bài toán tương đương bằng cách đặt :
2 2
2 ( 1) 1 1t x x x t
= + = + − ⇒ ≥ −
.
Bài toán đã cho trở thành :
Tìm m để PT
2
4 3 1 0, 1t mt m t
− + + = ≥ −
(1) có nghiệm .

⇔

2
1 (4 3) (2)t m t+ = −

Ta thấy
3
4


Xét hàm số
2
1
( )
4 3
t
f t
t
+
=
−
trên
[
)
3
1; \
4
 
− +∞
 
 
Đạo hàm
2
2
2(2 3 2)
'( ) ;
(4 3)
'( ) 0
1

1
4
−
+
∞
+
∞

2
7
−
-
∞
1

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 8
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm khi và
chỉ khi
1
1
4
m m
−
≤ ∨ ≥
.
Bài tập tương tự
1.Tìm m để phương trình :
2

/
=0
• Lập bảng biến thiên của hàm số .
Bước 2. Kết luận
• Bất phương trình có nghiệm
x D∈
⇔
max ( ) ( )
x D
f x g m
∈
≥
Chú ý chung :
Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ
( )t h x=
.Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn
t , từ điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t .
Ví dụ 1.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
1 4x x m+ − − ≥
(1).
Định hướng : -Đặt điều kiện của ẩn số .
- Chuyển về bài toán tương đương .
-Xác định bài toán thuộc loại nào .
-Bài đó được áp dụng kiến thức nào .
Giải
ĐK : -1
≤
x
≤
4.

Bất phương trình có nghiêm khi và chỉ khi
1 4
( ) 5
x
Max f x m m
− ≤ ≤
≥ ⇔ ≤
.
Ví dụ 2 .Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
3 1mx x m− − ≤ +
(1)
Giải.
Điều kiện : x
3
≥
.
Đặt
3 0t x= − ≥
.
Phương trình (1) tương đương với
2
( 3) 1m t t m+ − ≤ +

2
( 2) 1m t t⇔ + ≤ +

2
1
(2)
( 2)

t
f t
t
+
=
+
2
/
2 2
2 2
( )
( 2)
t t
f t
t
− − +
=
+
/
( ) 0 1 3f t t= ⇔ = − ±
Giới hạn
lim ( ) 0
x
f t
→+∞
=
Bảng biến thiên :

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 10
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

x D
f x g m
∈
≤
Chú ý chung :
Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ
( )t h x=
.Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn
t , từ điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t .
Ví dụ 1. Tìm m để bất phương trình
9 .3 3 0
x x
m m− − + ≤
(1) có ít nhất một
nghiệm .
Giải
Đặt
3 0
x
t = >
.
Bất phương trình (1) tương đương với
2
3 0t mt m− − + ≤

⇔
2
3 ( 1)t m t+ ≤ +

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 11

/
2
2 3
( )
( 1)
t t
f t
t
+ −
=
+

/
1
( ) 0
3
t
f t
t
=

= ⇔

= −

Bảng biến thiên :
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình (2) có ít nhất một
nghiệm khi và chỉ khi
0
min ( )

( ) ( )
( )
2 2 2 4.2 0
2 4.2 0
2
x x x x
x x
x x
+ − ≤
⇔ − ≤
⇔ ≤ +
0 2.
0 4 (*)
x
x
⇔ ≤ ≤
⇔ ≤ ≤

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 12
x - -3 -1 0 1 +
y 0 - 1 +
y 3 +
2
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Hệ bất phương trình có nghiệm tương đương với bất phương trình (1) có
nghiệm thõa mãn (*).
Bất PT (1)
⇔
3

/
2
2
( ) 2f x x
x
= −

/
( ) 0 1f x x= ⇔ =
.
Bảng biến thiên
x 0 1 4
f
/
(x)
- 0 +
f(x)Bất phương trình có nghiệm
[ ]
0;4
min ( )
x
m f x
∈
⇔ ≥

3m
⇔ ≥

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 13
-2
3
33
2
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ
( )t h x=
.Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn
t , từ điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t .
Ví dụ 1. Tìm m để bất phương trình
3
3
1
3 2x mx
x
−
− + − ≤
thõa mãn với mọi
1x ≥
.
Giải .
Biến đổi bất phương trình về dạng
3
3
1
3 2mx x
x
≤ + −

2 2 4
( ) 0
x x
f x x D
x
− +
= > ∀ ∈
Giới hạn :
lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞
Bảng biến thiên
:
Bất phương trình nghiệm đúng với
1x ≥
⇔
min ( ) ( )f x g m≥

⇔
2
3m≥

⇔

2
3
m ≤
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với

Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Đặt
2
2
logt x=
.
⇔
1t >
.
Bất phương trình tương đương với
1
t
m
t
≥
−
Xét hàm số :
( )f t =
1
t
t −
.
Miền xác định :
(1; )D = +∞
Đạo hàm :
/
3
2
( )

m≥

⇔

2m ≤
Vậy
2m ≤
thõa mãn điều kiện của bài toán .
Ví dụ 3.Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi
1
2
x ≥
2 2 2
2 2 2
9 2( 1)6 ( 1)4 0
x x x x x x
m m
− − −
− − + + ≥
.
Giải
Chia cả 2 vế cho
2
2
4
x x−
ta có
2
2(2 )
3

1
2
x ≥
nên
1t
≥
.
Bất phương trình (1)
⇔
2
2 1
2 1
t t
m
t
+ +
≤
−
Bài toán quy về tìm m để bất phương trình
2
2 1
2 1
t t
m
t
+ +
≤
−
nghiệm đúng với
mọi

( ) 0 2f t t= ⇔ =
Bảng biến thiên :
Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình có nghiệm
1
min ( )
t
m f t
≥
≤
3m⇔ ≤
Dạng 5. Tìm điều kiện để bất phương trình dạng
( ) ( )f x g m≤
đúng với
x D∀ ∈
Ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1. Xét hàm số
( )y f x=
• Tìm tập xác định D
• Tìm đạo hàm y
/
,rồi giải phương trình y
/
=0
• Lập bảng biến thiên của hàm số .
Bước 2. Kết luận
• Bất phương trình nghiệm đúng với
x D
∀ ∈ ⇔

max ( ) ( )

-Chuyển về bài toán tương đương.
Giải
Đặt t =
2 2
( 4)(6 ) 24 2 25 (1 )x x x x x
+ − = + − = − −
,
0 5t
≤ ≤
Bất phương trình (1) tương đương với
2
24t t m+ − ≤
.
Bài toán quy về tìm m để bất phương trình
2
24t t m+ − ≤
nghiệm đúng với
0 5t
≤ ≤
.
Xét hàm số
2
( ) 24,0 5f t t t t= + − ≤ ≤
/
( ) 2 1f t t= +
⇔
/
1
( ) 0
2

( 1) 4m x x+ ≥
(1)
Giải .
TXĐ : D=R.
Bất phương trình (1)
⇔
4
4
1
x
m
x
≥
+
.

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 17
-
-24 6
97
4
−
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Xét hàm số
4
4
( )
1
x

( ) ( ) ( ) 27Maxf x g m Maxf x m m≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
Vậy
4
27m ≥
thõa mãn điều kiện của bài toán .
Nhận xét Sử dụng phương pháp này cho kết quả nhanh,lời giải gọn
gàng
Ví dụ 3 .Tìm tất cả các giá trị m để ∀x ∈
[ ]
0;2
đều là nghiệm của bất
phương trình
2
2
log 2x x m− +
+
2
4
4 log ( 2 ) 5x x m− + ≤
Giải
Điều kiện : (x
2
-2x+m)≥1
Bất phương trình
⇔
2
2
log 2x x m− +
+
2

- 0
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

⇔
2
2 1
2
2 4
x m
x
x m
x





− + ≥
− + ≤
⇔
2
2 1
2
2 4
x x m
x x m










− ≥ −
− ≤ −

⇔
1 1
2 4
4 0
m
m
m



− ≤ −
⇔ ≤ ≤
− ≥
Vậy
[ ]
2;4m∈
thõa mãn điều kiện bài toán .
Bài tập tương tự
1. Tìm m để bất phương trình m
2
x +m(x+1) -2(x-1)>0 đúng với -2
≤

với cách làm cũ không chỉ giải các phương trình,bất phương trình bình
thường , không giúp cho các em thấy được dạng quen thuộc, những kỹ
năng cần thiết. Nếu trang bị cho các em những kỹ năng cần thiết thì
nhìnvào bài toán như vậy các em sẽ định hướng được cách giải , giải
nhanh và thành thạo .
Trong năm học 2009 -2010, 2010 -2011, 2011 -2012, 2012-2013 tôi
đã thực nghiệm đề tài của mình ở các lớp ,12 A,12B và12D, 12 E kết
quả cụ thể như sau :
Loại
Đối tượng
Loại
giỏi
Loại
khá
Loại
trung
bình
Loại yếu
Áp dụng thường
xuyên ở lớp 12 A
20 % 50 % 30 % 0 %
Áp dụng thường
xuyên ở lớp 12 B
15 % 50 % 30 % 5 %
Không áp dụng
thường xuyên ở lớp
12 D
0 % 30 % 50 % 20 %
Không áp dụng
thường xuyên ở lớp

2013
Người viết sáng kiến kinh
nghiệm LÊ THỊ HẠNH
Tài liệu tham khảo
1. Phương trình và bất phương trình (Phan Huy Khải -Nhà xuất bản GD
- Năm 2009).
2. Sách giáo khoa và sách bài tập toánTHPT
3.Đề thi đại học, cao đẳng của Bộ giáo dục
4.Đề thi học sinh giỏi môn toán Tỉnh Thanh hóa

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 21
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

5.Tạp chí Toán học và tuổi trẻ.

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 22