Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Dạy Toán là dạy hoạt động Toán học (A. A. stôliar), trong đó hoạt động
chủ yếu là hoạt động giải Toán. Bài tập Toán mang nhiều chức năng: chức
năng giáo dục, chức năng giáo dỡng, chức năng phát triển t duy và chức năng
kiểm tra đánh giá.
Dạy học giải bài tập Toán đợc xem là một trong những tình huống điển
hình trong dạy học môn Toán. Khối lợng bài tập Toán ở trờng phổ thông là vô
cùng nhiều và hết sức phong phú, đa dạng. Có những lớp bài toán có thuật giải
nhng phần lớn là những bài toán cha có hoặc không có thuật giải. Đứng trớc
những bài toán đó, giáo viên gợi ý và hớng dẫn học sinh nh thế nào để giúp họ
giải quyết đợc bài toán là một vấn đề hết sức quan trọng. Tuy nhiên, đây
cũng là vấn đề rất khó khăn bởi vì đề ra đợc những gợi ý hợp lý, đúng lúc,
đúng chỗ còn là nghệ thuật s phạm của chính ngời giáo viên.
Trong chơng trình Toán phổ thông có rất nhiều bài toán phơng trình, bất
phơng trình, hệ phơng trình và hệ bất phơng trình chứa tham số. Không những
bài toán đợc đặt ra dới dạng giải và biện luận, mà còn rất nhiều dạng khác
nữa, chẳng hạn nh: tìm điều kiện tham số để phơng trình, bất phơng trình có
nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trớc; tìm điều kiện để hai phơng trình tơng đ-
ơng với nhau; v.v
Thực tiễn s phạm cho thấy, khi đứng trớc những phơng trình và bất phơng
trình chứa tham số, học sinh thờng gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng, đồng
thời cũng nhiều khi mắc phải những sai lầm. Rất nhiều giáo viên có kinh
nghiệm đã đúc kết rằng: Những bài toán có tham số luôn không dễ đối với
học sinh và bản thân học sinh sau nhiều lần mắc phải sai lầm thì thờng có
tâm lý e ngại, thậm chí sợ sệt dạng Toán này. Giáo viên nhiều ngời có tâm lý
lảng tránh phơng trình và bất phơng trình chứa tham số trong quá trình dạy,
bởi vì nó đòi hỏi những lập luận tơng đối phức tạp đối với học sinh.
Dạy Toán là dạy kiến thức, kỹ năng, t duy và tính cách (Nguyễn Cảnh
Toàn); trong đó dạy kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu
không có kỹ năng thì sẽ không phát triển đợc t duy và cũng không đáp ứng đ-

đến phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số trong dạy học Toán ở
Trung học phổ thông.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng
giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng
2
trình, hệ bất phơng trình có chứa tham số trong dạy học Đại số và Giải tích ở
bậc THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
3.1. Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là nh thế nào?
3.2. Những tình huống điển hình nào thờng gặp trong quá trình giải quyết
những vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình chứa tham số?
3.3. Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình và
bất phơng trình chứa tham số, học sinh thờng gặp những khó khăn và sai lầm
nào?
3.4. Những biện pháp s phạm nào đợc sử dụng để rèn luyện cho học sinh
kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình có
chứa tham số?
3.5. Kết quả của thực nghiệm s phạm là nh thế nào?
4. Phơng pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu, luận văn sử dụng những phơng pháp sau:
Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm s phạm.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất và thực hiện những biện pháp, những hớng dẫn s phạm thích
hợp thì sẽ rèn luyện đợc cho học sinh THPT kỹ năng giải quyết các vấn đề liên
quan đến phơng trình và bất phơng trình chứa tham số, góp phần nâng cao
hiệu quả dạy học Toán ở trờng phổ thông.
6. Đóng góp của luận văn
Nêu lên sự khác biệt giữa nội dung phơng trình, bất phơng trình của hai

2.4. Biện pháp 4: Trang bị kiến thức về các phép biến đổi tơng đơng, giúp
học sinh ý thức đợc diễn biến của tập nghiệm trong quá trình biến đổi
2.5. Biện pháp 5: Hình thành khả năng phân tích, định hớng phơng pháp
giải phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số
2.3. Kết luận Chơng 2
Chơng 3 Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
4
Chơng 1
Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Kĩ năng
1.1.1. Khái niệm kĩ năng
Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra những nhiệm vụ nhận thức hay thực hành
nhất định cho con ngời. Để giải quyết đợc công việc con ngời vận dụng vốn
hiểu biết, kinh nghiệm, của mình nhằm tách ra những mặt của hiện thực là bản
chất đối với nhiệm vụ và thực hiện những biến đổi có thể dẫn tới chỗ giải
quyết đợc nhiệm vụ. Với quá trình đó con ngời dần hình thành cho mình cách
thức (kĩ năng) để giải quyết các vấn đề đặt ra.
Theo giáo trình Tâm lí học đại cơng thì: Kĩ năng là năng lực sử dụng
các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để
phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công
những nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định [23, tr. 149].
Theo Từ điển Tiếng Việt thì: Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến
thức thu nhận đợc trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế [40, tr. 462].
Nói chung, dù phát biểu khái niệm ở bất cứ góc độ nào, các tác giả đều
thống nhất kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, ph-
ơng pháp, ) để giải quyết một nhiệm vụ mới.
Tuy nhiên thực tiễn giáo dục đã chứng tỏ học sinh gặp rất nhiều khó khăn

2x
Nh vậy hành động biến đổi sẽ nhằm đạt đợc mục tiêu, phơng trình trở
thành:
m.sin
2
2x + 2.sin2x + 2 2m = 0.
Khi hình thành kĩ năng thì yếu tố quan trọng nhất là năng lực nhận ra
kiểu bài toán, phát hiện, nhìn thấy trong các dữ kiện đã có những thuộc tính
những quan hệ là bản chất đối với việc giải bài toán đã cho. Trong khi tiến
hành hoạt động, các nhà Tâm lí học đã phát hiện ra một loạt nhân tố thúc đẩy
hay cản trở sự hình thành các kĩ năng. Một trong những nhân tố nh vậy là:
Tách ra một cách rõ ràng hay ngợc lại che đậy quan hệ bản chất của bài
toán trong các dữ kiện xuất phát. Chẳng hạn, bài toán: Tìm m để phơng trình
sau có nghiệm:

902 2 2
90 90
5
(1 x ) m. 1 x (m ) (1 x) 0
4
+ + + + =
.
Phơng trình trên thực chất là phơng trình đẳng cấp bậc hai:
a. X
2
+ b.X.Y + c.Y
2
= 0
Phơng pháp giải là không quá khó, tuy nhiên bằng sự che đậy quan hệ
bản chất bằng những phép khai căn:

= (1 - x)(1 - x).
(1 + x)
2
= (1 + x)(1 + x).
Để làm xuất hiện các thuộc tính bản chất của sự vật phù hợp với mục tiêu
hoạt động, các nhà Tâm lí học s phạm đã đa ra một số thủ thuật làm dễ dàng
cho sự suy xét, đó là:
+) Những nguyên tắc giải.
+) Tách ra một cách rõ rệt hay nhấn mạnh những cứ liệu và những quan
hệ bản chất đối với bài toán.
+) Phân tích bài toán.
1.1.2. Sự hình thành các kĩ năng
Sự hình thành kĩ năng - đó là sự nắm vững cả một hệ thống phức tạp các
thao tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và tiếp thu
đợc từ các đối tợng, đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các hành
động.
Kĩ năng chỉ đợc hình thành thông qua quá trình t duy để giải quyết các
nhiệm vụ đặt ra. Khi tiến hành t duy sự vật thì chủ thể thờng biến đổi, phân
tích đối tợng để tách ra những khía cạnh, những thuộc tính mới. Tất cả những
điều này đợc ghi lại trong tri thức của chủ thể t duy và đợc biểu hiện bằng các
từ. Quá trình t duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích tổng hợp, trừu tợng
hóa khái quát hóa cho tới khi hình thành đợc mô hình về một mặt nào đó
của đối tợng có ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho. ở đây mỗi
bớc, nhờ khám phá ra những khía cạnh mới của đối tợng, thúc đẩy t duy tiến
lên, đồng thời quyết định bớc tiếp theo sau của t duy. Vì các khía cạnh mới
7
của đối tợng đợc phản ánh trong các khái niệm mới, t duy diễn ra nh là một sự
diễn đạt lại bài toán nhiều lần. Chẳng hạn, bài toán:
Cho a, b, c là ba số thực không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng ph-
ơng trình sau luôn có nghiệm:

mới và do đó, thể hiện qua các phẩm chất ngày càng mới, những phẩm chất
này đợc ghi lại trong những khái niệm mới. Nh vậy, từ đối tợng dờng nh khai
thác đợc nội dung ngày càng mới, nó dờng nh mỗi lần quay lại một khác và
trong nó lại xuất hiện những thuộc tính mới [23, tr. 155].
8
Theo quan điểm này, sự hình thành các kĩ năng xuất hiện trớc hết nh
những sản phẩm của tri thức ngày càng đợc đào sâu. Các kĩ năng đợc hình
thành trên cơ sở lĩnh hội các tri thức về các mặt và các thuộc tính khác nhau
về đối tợng đang đợc nghiên cứu. Các con đờng chính của sự hình thành các kĩ
năng - đó là học sinh phải tự nhìn nhận thấy những mặt khác nhau trong đối t-
ợng, vận dụng vào đối tợng. Những tri thức khác nhau diễn đạt mối quan hệ đa
dạng giữa đối tợng và tri thức.
Có thể dạy cho học sinh kĩ năng bằng những con đờng khác nhau. Một
trong những con đờng đó là truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết,
rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài toán về vận dụng tri thức đó. Và bản
thân học sinh tìm tòi cách giải, bằng con đờng thử nghiệm và sai lầm (thử các
phơng pháp và tìm ra phơng pháp tối u), qua đó phát hiện ra các mốc định h-
ớng tơng ứng, những phơng thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt
động. Đôi khi ngời ta gọi con đờng dạy học này là dạy học nêu vấn đề. Cũng
có thể dạy học kĩ năng bằng con đờng: dạy cho học sinh biết những dấu hiệu
mà theo đó có thể đoán nhận đợc một cách dứt khoát kiểu bài toán và những
thao tác cần thiết để giải bài toán đó. Ngời ta gọi con đờng này là dạy học
angorit hóa hay dạy học trên cơ sở định hớng đầy đủ. Cuối cùng, con đờng
thứ ba là nh sau: ngời ta dạy học sinh chính hoạt động tâm lí cần thiết đối với
việc vận dụng tri thức. Trong trờng hợp này nhà giáo dục không những chỉ cho
học sinh tìm hiểu các mốc định hớng để chọn lọc các dấu hiệu và các thao tác
mà còn tổ chức hoạt động cho học sinh trong việc cải biến, sử dụng thông tin
đã thu đợc để giải các bài toán đặt ra. Con đờng này đã đợc các nhà Tâm lí
học Xô viết nghiên cứu, chẳng hạn nh: P. Ja. Galperin, N. F. Talyzyna và
những ngời khác [23, tr. 156]. Họ cho rằng, để dạy đợc những điều nêu trên

các tri thức không phải bao giờ cũng đợc hình thành đầy đủ và đúng đắn. Để
cho các khái niệm đợc hình thành đầy đủ và đúng đắn, hoạt động tơng ứng của
học sinh phải đợc xây dựng trên một cơ sở định hớng đầy đủ. Nói một cách
khác, giáo viên phải truyền thụ cho học sinh tất cả những dấu hiệu bản chất
của các đối tợng dới dạng có sẵn và dạy cho họ những thao tác cần thiết để
phát hiện hay tái tạo những dấu hiệu.
Những nguyên tắc kể trên cho phép cải tiến một cách căn bản việc dạy
các khái niệm, đặc biệt tăng nhanh tốc độ lĩnh hội các tri thức, đảm bảo đợc
tính mềm dẻo và đầy đủ của chúng, vận dụng chúng đúng đắn còn cho phép
hình thành những tri thức trừu tợng phức tạp ở lứa tuổi sớm hơn nhiều.
1.2. Về chủ đề phơng trình và bất phơng trình ở tr-
ờng THPT
Phơng trình và bất phơng trình là một trong những nội dung cơ bản của
chơng trình môn Toán ở nhà trờng phổ thông. Những vấn đề lí luận nh khái
niệm phơng trình, bất phơng trình; quan hệ tơng đơng đối với hai phơng trình,
bất phơng trình; phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình đợc đa dần ở
mức độ thích hợp với từng bậc lớp có phần lặp đi lặp lại và nâng cao dần qua
các lớp từ lớp 8 đến lớp 10. Đồng thời học sinh cũng đợc dần dần làm việc với
10
từng loại phơng trình, bất phơng trình thích ứng với những yếu tố nội dung đã
học.
ở đầu bậc THPT, cụ thể là SGK Đại số 10, Nâng cao, học sinh đợc học về
phơng trình, bất phơng trình với các khái niệm và cũng giới thiệu phơng trình,
bất phơng trình bậc nhất, bậc hai một ẩn cùng cách giải chúng. Nếu là một ng-
ời đọc thờ ơ thì có thể rút ra kết luận: kiến thức này là sự trình bày lại những
gì mà học sinh đã đợc làm quen ở bậc THCS. Thực chất ở đây có sự lặp lại về
hình thức nhng lại có sự khác biệt về nội dung.
Xem xét sự khác nhau về khái niệm phơng trình và bất phơng trình đợc
trình bày ở cấp THCS và cấp THPT. Trong mục này ta nói đến phơng trình còn
bất phơng trình có sự tơng tự.

THPT là sự kế thừa và phát triển khái niệm phơng trình ở bậc THCS. Với sự
chính xác, khoa học của khái niệm phơng trình ở bậc THPT, tạo điều kiện
thuận lợi cho việc đi sâu nghiên cứu các phép biến đổi phơng trình, hiểu đầy
đủ hơn về khái niệm nghiệm của phơng trình. Những khái niệm này ở bậc
THCS đợc hiểu một cách rất trực quan, chẳng hạn nh khái niệm nghiệm của
phơng trình đợc hiểu thông qua hoạt động: Khi x = 6, hãy tính giá trị mỗi vế
phơng trình: 2x + 5 = 3(x - 1) + 2 và học sinh sẽ tự hiểu nôm na: nghiệm của
phơng trình là số để hai vế phơng trình bằng nhau. Còn ở bậc THPT nhờ khái
11
niệm mệnh đề chứa biến mà khái niệm nghiệm của phơng trình đợc đa vào
khá lôgic và hợp lí.
Chính Sách giáo viên Toán 8, Tập hai, cũng đã viết: Các tác giả đã chọn
phơng án không xây dựng khái niệm phơng trình một cách hoàn chỉnh mà chỉ
giới thiệu thuật ngữ phơng trình thông qua ví dụ cụ thể. Ngay cả tập xác
định của phơng trình cũng chỉ đề cập đến một cách đơn giản (gọi là điều
kiện xác định), ở vào thời điểm thích hợp, đó là khi nói về giải phơng trình có
ẩn ở mẫu.
Việc đa ra khái niệm phơng trình, bất phơng trình nh trong SGK Đại số
10, Nâng cao, thuận lợi cho việc chứng minh đầy đủ, chặt chẽ định lí về phép
biến đổi tơng đơng.
SGK Đại số 10, Nâng cao, đa ra định lí về phép biến đổi tơng đơng: Cho
phơng trình f(x) = g(x) có tập xác định là D; y = h(x) là một hàm số xác định
trên D (h(x) có thể là một hằng số). Khi đó trên D, phơng trình đã cho tơng đ-
ơng với phơng trình sau:
+) f(x) + h(x) = g(x) + h(x).
+) f(x).h(x) = g(x).h(x) nếu h(x) 0 với mọi x thuộc D.
Phép biến đổi chỉ tơng đơng trên tập xác định phơng trình. Định lí này
hoàn toàn hợp lí với những gì học sinh đợc học ở cấp THCS, SGK Đại số 10,
Nâng cao, đã viết: Hai qui tắc biến đổi phơng trình đã biết ở lớp dới (qui tắc
chuyển vế và qui tắc nhân với một số khác 0) là những phép biến đổi tơng đ-

Thu gọn vế trái ta tìm đợc: x = 1.
Việc giải phơng trình này dùng phơng pháp cũ, vậy mà x = 1 không là
nghiệm thì thật khó chấp nhận, có thể kiến thức đợc học là sai? Để giải thích
điều này đòi hỏi giáo viên phải dành thời gian để chỉ cho học sinh một cách rõ
ràng, giúp học sinh tránh đợc trở ngại tâm lý.
Tiếp đến khi trình bày lời giải bài toán phơng trình chứa ẩn ở mẫu, học
sinh không nắm bắt đợc tại sao khi dùng phép biến đổi suy ra () khi nào thì
dùng phép biến đổi tơng đơng (). Xem xét khó khăn ở bậc THCS, mới thấy
hết sự hợp lí, lôgic của khái niệm phơng trình, bất phơng trình đợc đa ra ở
SGK Đại số 10, Nâng cao.
Về mặt kĩ năng giải các phơng trình cũng có sự khác biệt giữa hai cấp
học THCS và THPT. Cũng là các nội dung xoay quanh việc nghiên cứu cách
giải phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình bậc hai một ẩn, hệ phơng trình
bậc nhất hai ẩn số, Nhng mục tiêu ở hai cấp học là không giống nhau. Sách
giáo viên Đại số 10, Nâng cao viết: Các vấn đề phơng trình bậc nhất và bậc
hai mà học sinh đã đợc học ở các lớp dới nay chỉ nhắc lại rất sơ lợc, thậm chí
coi nh học sinh đã nắm vững nhằm tập trung cho các vấn đề mới. Cụ thể, vấn
đề mới ở đây là phơng pháp giải và biện luận các phơng trình có tham số.
Tác giả Nguyễn Bá Kim (chủ biên) viết: Trong khi ở trờng THCS học sinh
làm việc chủ yếu với những phơng trình có hệ số bằng số thì ở lớp 10 đi sâu
vào những phơng trình có tham biến đòi hỏi học sinh phải biện luận trong khi
giải [19, tr. 66]. Nh vậy, phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số trở
thành nội dung chính trong chơng trình Toán ở bậc THPT. Sự khác biệt thể
hiện rõ ràng ngay trong SGK ở hai cấp học. ở đây ta so sánh việc trình bày
nội dung phơng trình bậc nhất một ẩn số ở hai cấp học.
13
SGK Toán 8, Tập hai, đa ra khái niệm phơng trình bậc nhất 1 ẩn, sau đó
đa ra hai qui tắc vận dụng để giải. ở cuối tiết phơng trình bậc nhất 1 ẩn, SGK
đa ra cách giải tổng quát phơng trình:
ax + b = 0 (với a 0), đợc giải nh sau:

thực ra nó có một sự biến đổi về chất rất quan trọng đó là: Sự xuất hiện của
phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số. Hay nói cách khác, là có sự
đồng tâm xoáy trôn ốc của kiến thức về phơng trình, bất phơng trình ở hai
cấp. Có điều càng về sau lại có sự xuất hiện dạng phơng trình, bất phơng trình
phức tạp hơn đó là: phơng trình và bất phơng trình siêu việt.
1.3. Những tình huống điển hình liên quan đến ph-
ơng trình, bất phơng trình có chứa tham số
Trong chơng trình Toán THPT thờng hay gặp các bài tập về phơng trình
và bất phơng trình có chứa tham số, mà muốn giải đợc các bài toán có chứa
14
tham số ngời giải phải nắm đợc kiến thức một cách có hệ thống, biết suy luận
chính xác, biết phân tích và tổng hợp. Bài toán chứa tham số đòi hỏi ngời giải
quyết phải vận dụng khả năng t duy cao độ và do vậy nó là chủ đề mà học
sinh vẫn thờng gặp rất nhiều khó khăn. Tuy nhiên, những bài toán về phơng
trình và bất phơng trình có chứa tham số luôn giúp cho học sinh có cái nhìn
đầy đủ, sâu sắc, toàn diện hơn về một vấn đề và cũng có thể nói dạng toán này
là thớc đo chính xác về mức độ nắm vững kiến thức phơng trình, bất phơng
trình của học sinh. Dạng toán liên quan đến phơng trình và bất phơng trình có
chứa tham số là vô cùng đa dạng và phong phú nên chúng tôi không có ý định
thống kê tất cả, mà chỉ điểm qua những tình huống điển hình cơ bản thờng
gặp trong chơng trình Toán THPT. ở mỗi tình huống điển hình, sẽ nêu lên đặc
điểm của từng dạng và có thể sẽ tiến hành phân tích, tìm lời giải một số ví dụ
cụ thể để ngời đọc nhận thức sâu sắc, cảm nhận tốt hơn về các dạng toán.
Trong Mục này, sẽ phân chia bài toán có chứa tham số thành từng dạng
dựa trên yêu cầu của bài toán.
1.3.1. Giải và biện luận
Giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình có nghĩa là tùy theo các
giá trị của tham số tiến hành giải phơng trình, bất phơng trình đó. Đây là dạng
toán cơ bản trong bài toán có chứa tham số, việc giải và biện luận cũng giống
nh giải một bài toán tổng quát, mà ứng với mỗi giá trị cụ thể của tham số ta có

2
+ 3x 1 = 0.
Đối với dạng bài tập này, chỉ cần học sinh hiểu kiến thức đợc học và tiến
hành gần nh tơng tự thì sẽ giải quyết đợc.
ở mức độ khó hơn SGK, đa ra những bài tập đòi hỏi sự vận dụng linh
hoạt kiến thức đã có, chẳng hạn nh:
Ví dụ 2: Giải và biện luận theo tham số m:
a) (2x + m - 4)(2mx x + m) = 0.
b)
mx 1
m
x 1
+
=

.
Học sinh cha đợc cung cấp phơng pháp chung để giải phơng trình:
(2x + m - 4)(2mx x + m) = 0
Nhng ở đây nếu học sinh suy nghĩ sẽ nhận xét thấy đây là tích của hai ph-
ơng trình dạng ax + b = 0, là phơng trình mà phơng pháp giải và biện luận đã
biết. Để giải biện luận ta tiến hành giải và biện luận từng phơng trình: 2x + m
4 = 0 và 2mx x + m = 0, sau đó nêu kết luận chung của phơng trình dựa
vào kết quả giải và biện luận hai phơng trình trên. Ví dụ 2b) là dạng toán mà
cách giải và biện luận học sinh vẫn cha đợc cung cấp. Đây là phơng trình chứa
ẩn ở mẫu, nằm trong giá trị tuyệt đối. Để giải đợc phơng trình này học sinh
cần có kiến thức về giá trị tuyệt đối, từ đó học sinh dễ dàng nêu ra kết luận ph-
ơng trình nếu m < 0 vô nghiệm. Do đó, chỉ cần xem xét trờng hợp m 0,
trong trờng hợp này ta có thể phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối và đa phơng trình
cần giải và biện luận về việc giải và biện luận hai phơng trình chứa ẩn ở mẫu
đó là:

Để giải phơng trình trên thì cần có bớc đặt ẩn phụ, nhằm chuyển phơng
trình đã cho về phơng trình bậc hai.
Đặt: t = x
2
, điều kiện: t 0. Phơng trình trở thành:
f(t) = t
2
+ (2a - 1)t + a
2
1 = 0 (2)
Đây là bớc mà học sinh bình thờng đều có thể tiến hành, bởi thực chất
phơng trình đã cho là phơng trình trùng phơng, có thể dễ dàng chuyển về ph-
ơng trình bậc hai một ẩn số. Vấn đề cần sự t duy, ở đây là sự tơng quan giữa
nghiệm của hai phơng trình (1) và (2). Mối tơng quan này cần đợc xem xét kĩ
càng nếu không rất dễ mắc phải sai lầm. Có thể phơng trình (2) tồn tại nghiệm
nhng phơng trình (1) lại vô nghiệm, đó là khi phơng trình (2) chỉ có nghiệm
âm. Tất nhiên, là nếu phơng trình (2) vô nghiệm thì phơng trình (1) cũng vô
nghiệm. Câu hỏi đặt ra là: phơng trình (2) nh thế nào phơng trình (1) có
nghiệm? Đây là vấn đề học sinh cần phải t duy, (giáo viên không nên giải
quyết) mà cần phải để học sinh tự suy nghĩ, có nh thế t duy học sinh mới đợc
phát triển.
Học sinh cần nhận thức ra vấn đề phơng trình (1) sẽ có nghiệm nếu ph-
ơng trình (2) có nghiệm dơng hoặc bằng không. Nh vậy bài toán dẫn đến việc
cần phải đi tìm kết quả biện luận nghiệm của phơng trình (2) so với số 0. Để
xem xét kĩ hơn mối tơng quan giữa nghiệm của phơng trình (1) và phơng trình
(2) giáo viên cần làm cho học sinh sáng tỏ vấn đề: nghiệm của phơng trình (2)
phải nh thế nào để phơng trình (1) có nghiệm, vô nghiệm, có 1 nghiệm, có 2
nghiệm, có 3 nghiệm, có 4 nghiệm. Khi học sinh hiểu đợc vấn đề này thì mới
17
có thể tiến hành giải và biện luận bài toán. Xin đa ra lời giải để phần nào minh

2
1 < 0 - 1 < a < 1.
Vậy với - 1 < a < 1 thì phơng trình (2) có 2 nghiệm:

1
1 2a 4a 5
t
2
+
=
< 0 và
2
1 2a 4a 5
t
2
+ +
=
> 0
Nghiệm t
1
< 0 nên không tồn tại x, phơng trình (1) sẽ có 2 nghiệm:

1 2a 4a 5
x
2
+ +
=
Trờng hợp 3: Phơng trình (2) có 2 nghiệm t
1
, t

=
> 0
Vậy nghiệm phơng trình (1) sẽ là:
1 2a 4a 5
x
2
+ +
=
và
1 2a 4a 5
x
2
+
=
18
Trờng hợp 4: Với những giá trị còn lại của a là: a > 1 thì phơng trình (1)
sẽ vô nghiệm.
Kết luận:
+) Với a > 1: phơng trình vô nghiệm.
+) Với a = 1 phơng trình có nghiệm x = 0.
+) Với - 1 < a < 1 phơng trình có 2 nghiệm:
1 2a 4a 5
x
2
+ +
=
+) Với a = - 1 phơng trình có 3 nghiệm:
3x =
;
3x =

1.3. 2. 1. Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm
Điều kiện để phơng trình dạng ax + b = 0 (x là ẩn số) có nghiệm sẽ là:
a 0 hoặc a = b = 0.
Điều kiện để phơng trình dạng ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm là:
+) a = 0 và b 0.
+) a = 0 và b = c = 0
19
+) a 0 và = b
2
- 4ac 0.
Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
(m - 1)x
2
+ 2x 1 = 0.
Xét 2 trờng hợp:
Trờng hợp 1: Nếu m = 1 thì phơng trình trở thành: 2x 1 = 0 x =
1
2
.
Vậy với m = 1 phơng trình có nghiệm.
Trờng hợp 2: Với m 1, để phơng trình có nghiệm thì:
= 1 + (m - 1) = m 0.
Vậy để phơng trình có nghiệm thì điều kiện của tham số sẽ là: m 0.
Trên đây là dạng toán cơ bản mà việc giải chúng là khá đơn giản nhờ vào
việc vận dụng kiến thức cơ bản trong nội dung chơng trình. Tuy nhiên, trong
thực tế còn nhiều bài toán với mức độ phức tạp cao hơn.
Ví dụ 2: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
x + 3(m 3x

+ =


+ =

2
y x
y 3x m
=



+ =

hoặc
2
1 3x
y
3
y x m


=



+ =

20
2


) 0.
m
1
12

hoặc m
1
4
m
1
12

.
Đây là bài toán tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm và
nó huy động khả năng t duy linh hoạt của học sinh khi nhận ra việc đặt ẩn phụ
y = m 3x
2
, để đa về hệ phơng trình đối xứng, tất nhiên ngoài ra học sinh
còn phải có kĩ năng giải hệ phơng trình đối xứng.
1.3.2.2. Tìm điều kiện của tham số để phơng trình vô nghiệm
Bài toán tìm điều kiện của tham số để phơng trình vô nghiệm, thực chất
là bài toán ngợc của bài toán tìm điều kiện của tham số để phơng trình có
nghiệm. Nếu nh tập hợp các giá trị của tham số để phơng trình có nghiệm là S,
miền giá trị của tham số là D, thì tập hợp các giá trị của tham số để phơng
trình vô nghiệm là D\S.
Phơng trình dạng: ax + b = 0 vô nghiệm khi: a = 0 và b 0.
Phơng trình dạng: ax
2
+ bx + c = 0 vô nghiệm khi:

+) a 0, = b
2
4ac = 0.
Nên bài toán tìm điều kiện của tham số để những phơng trình có dạng: ax
+ b = 0 và ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm duy nhất thì lời giải là khá rõ ràng, nó
cũng chính là bài tập cơ bản mà học sinh cần phải nắm đợc.
Tuy nhiên, có rất nhiều bài tập yêu cầu tìm điều kiện của tham số để ph-
ơng trình có nghiệm duy nhất có độ khó cao, chẳng hạn nh:
Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
x
2
2mx + (m + 1)x m + 1 = 0 (1)
Nếu học sinh xét 2 trờng hợp x m và x < m để phá dấu giá trị tuyệt đối
thì sẽ đa lại phức tạp trong tính toán, cũng nh trong suy luận. Tuy nhiên nếu
biết biến đổi chút ít, học sinh chuyển đợc phơng trình (1) về dạng:
(1) (x - m)
2
+ (m + 1)x m + 1 m
2
= 0
Đặt X = x m, (điều kiện: X 0), đợc:
X
2
+ (m + 1)X + 1 m
2
= 0. (2)
Với mỗi X > 0, phơng trình (1) có 2 nghiệm x = m X.
Với mỗi X = 0, phơng trình (1) có 1 nghiệm x = m.

m 1
m 1
=





m 1 =
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất với m = 1.
Bài toán này có thể giải theo phơng pháp điều kiện cần và đủ, ta dễ dàng
tìm ra điều kiện cần, bởi:
22
Nếu phơng trình có 1 nghiệm là x
0
thì x = 2m x
0
cũng là nghiệm.
Nên để phơng trình có nghiệm duy nhất điều kiện cần là:
x = x
0
x
0
= 2m x
0
x
0
= m
Phơng trình có nghiệm x
0

2 2
1 2 1 2
x 2x 3x x+ =
;
hoặc thỏa mãn hệ thức đối xứng:

3 3
1 2
x x 40+ =
;
4 4
1 2
x x 3+ =
;
Với dạng toán này nếu đi tìm ra các nghiệm x
1
, x
2
rồi thay vào hệ thức để
tìm ra giá trị tham số sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Bởi khi đó các nghiệm sẽ đợc
tính theo tham số và có chứa căn bậc hai nên khá cồng kềnh, rất phức tạp
trong tính toán. Để đơn giản trong quá trình giải thì phơng pháp giải thông th-
ờng là vận dụng Định lí Viet đối với phơng trình bậc hai, kết hợp với hệ thức
mà đề bài đã cho nhằm tìm ra giá trị tham số.
Ví dụ : Tìm m sao cho phơng trình:
x
2
(m + 2)x + m
2
+ 1 = 0

1 2
x x m 2
x .x m 1
+ = +


= +

Kết hợp với điều kiện bài ra ta thu đợc hệ:

+ = +


= +


+ =

1 2
2
1 2
2 2
1 2 1 2
x x m 2 ( 1)
x .x m 1 (2)
x 2x 3x x (3)
Đây là hệ 3 phơng trình 3 ẩn, tuy nhiên mục tiêu ở đây là đi tìm m chứ
không nhất thiết phải tìm ra x
1
, x

2
x (2m 1) =
Với x
2
= 2m + 1, thay vào (1), (2) ta có:

1
2
1
x 2m 1 m 2
x (2m 1) m 1
+ = +


= +

1
2
1
x 3 m
x (2m 1) m 1
=



= +

Suy ra: (3 - m)(2m - 1) = m
2
+ 1 m = 1 hoặc m =

= x
2
hoặc x
1
= 2x
2
Thì lời giải sẽ nhanh gọn hơn, nhng để nhận ra phép biến đổi trên là khá
khó khăn và không đúng với phơng pháp giải tổng quát, bởi nó chỉ là lời giải
cá biệt phù hợp với bài toán này.
1.3.2.5. Tìm điều kiện của tham số để hai phơng trình có nghiệm
chung
Bài toán cơ bản của dạng toán là xem xét hai phơng trình ax
2
+ bx + c = 0
và ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm chung. Hai phơng trình có nghiệm chung khi
và chỉ khi hệ:

2
2
ax bx c 0
a 'x b'x c' 0

+ + =


+ + =



x my 1
=


=

(I)
Để 2 phơng trình có nghiệm chung thì hệ phơng trình phải có nghiệm
thỏa mãn: y = x
2
. Xét:

2
6m (1 2m)
D 6m 2m 1
1 m

= = +


25