MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Dạy Toán là dạy hoạt động Toán học (A. A. stôliar), trong đó hoạt động
chủ yếu là hoạt động giải Toán. Bài tập Toán mang nhiều chức năng: chức
năng giáo dục, chức năng giáo dưỡng, chức năng phát triển tư duy và chức
năng kiểm tra đánh giá.
Dạy học giải bài tập Toán được xem là một trong những tình huống điển
hình trong dạy học môn Toán. Khối lượng bài tập Toán ở trường phổ thông là
vô cùng nhiều và hết sức phong phú, đa dạng. Có những lớp bài toán có thuật
giải nhưng phần lớn là những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải.
Đứng trước những bài toán đó, giáo viên gợi ý và hướng dẫn học sinh như thế
nào để giúp họ giải quyết được bài toán – là một vấn đề hết sức quan trọng.
Tuy nhiên, đây cũng là vấn đề rất khó khăn bởi vì đề ra được những gợi ý hợp
lý, đúng lúc, đúng chỗ còn là nghệ thuật sư phạm của chính người giáo viên.
Trong chương trình Toán phổ thông có rất nhiều bài toán phương trình,
bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số.
Không những bài toán được đặt ra dưới dạng giải và biện luận, mà còn rất
nhiều dạng khác nữa, chẳng hạn như: tìm điều kiện tham số để phương trình,
bất phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước; tìm điều kiện để
hai phương trình tương đương với nhau; v.v
Thực tiễn sư phạm cho thấy, khi đứng trước những phương trình và bất
phương trình chứa tham số, học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn và lúng
túng, đồng thời cũng nhiều khi mắc phải những sai lầm. Rất nhiều giáo viên
có kinh nghiệm đã đúc kết rằng: “Những bài toán có tham số luôn không dễ
đối với học sinh và bản thân học sinh sau nhiều lần mắc phải sai lầm thì
thường có tâm lý e ngại, thậm chí sợ sệt dạng Toán này”. Giáo viên nhiều
1
người có tâm lý lảng tránh phương trình và bất phương trình chứa tham số
trong quá trình dạy, bởi vì nó đòi hỏi những lập luận tương đối phức tạp đối
với học sinh.
Dạy Toán là dạy kiến thức, kỹ năng, tư duy và tính cách (Nguyễn Cảnh

quyết các vấn đề liên quan tới phương trình, bất phương trình chứa tham số.
Vì những lí do trên đây chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn
là: “Rèn luyện cho học sinh khá, giỏi kỹ năng giải quyết các vấn đề liên
quan đến phương trình và bất phương trình có chứa tham số trong dạy học
Toán ở Trung học phổ thông”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích của luận văn là nghiên cứu việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng
giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình, hệ bất phương trình có chứa tham số trong dạy học Đại số và
Giải tích ở bậc THPT.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
3.1. Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là như thế nào?
3.2. Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải
quyết những vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình chứa tham
số?
3.3. Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình và
bất phương trình chứa tham số, học sinh thường gặp những khó khăn và sai
lầm nào?
3
3.4. Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học
sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương
trình có chứa tham số?
3.5. Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào?
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trong quá trình nghiên cứu, luận văn sử dụng những phương pháp sau:
Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu đề xuất và thực hiện những biện pháp, những hướng dẫn sư phạm
thích hợp thì sẽ rèn luyện được cho học sinh THPT kỹ năng giải quyết các

hợp và hình thành kĩ năng phát hiện các tiêu chí để phân chia trường hợp
trong bài toán giải và biện luận
2.3. Biện pháp 3: Hình thành khả năng phát hiện sự tương ứng để từ đó
rèn luyện kĩ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán
2.4. Biện pháp 4: Trang bị kiến thức về các phép biến đổi tương đương,
giúp học sinh ý thức được diễn biến của tập nghiệm trong quá trình biến đổi
2.5. Biện pháp 5: Hình thành khả năng phân tích, định hướng phương
pháp giải phương trình, bất phương trình có chứa tham số
2.3. Kết luận Chương 2
Chương 3 Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
5
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. KĨ NĂNG
1.1.1. Khái niệm kĩ năng
Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra những nhiệm vụ nhận thức hay thực
hành nhất định cho con người. Để giải quyết được công việc con người vận
dụng vốn hiểu biết, kinh nghiệm, của mình nhằm tách ra những mặt của hiện
thực là bản chất đối với nhiệm vụ và thực hiện những biến đổi có thể dẫn tới
chỗ giải quyết được nhiệm vụ. Với quá trình đó con người dần hình thành cho
mình cách thức (kĩ năng) để giải quyết các vấn đề đặt ra.
Theo giáo trình Tâm lí học đại cương thì: “Kĩ năng là năng lực sử dụng
các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để
phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công
những nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định” [23, tr. 149].
Theo Từ điển Tiếng Việt thì: “Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến
thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [40, tr. 462].

- 4. sinx.cosx = - 2.sin2x và cos
2
2x = 1 – sin
2
2x
Như vậy hành động biến đổi sẽ nhằm đạt được mục tiêu, phương trình
trở thành:
m.sin
2
2x + 2.sin2x + 2 – 2m = 0”.
Khi hình thành kĩ năng thì yếu tố quan trọng nhất là năng lực nhận ra
kiểu bài toán, phát hiện, nhìn thấy trong các dữ kiện đã có những thuộc tính
những quan hệ là bản chất đối với việc giải bài toán đã cho. Trong khi tiến
7
hành hoạt động, các nhà Tâm lí học đã phát hiện ra một loạt nhân tố thúc đẩy
hay cản trở sự hình thành các kĩ năng. Một trong những nhân tố như vậy là:
Tách ra một cách rõ ràng hay ngược lại che đậy quan hệ bản chất của bài
toán trong các dữ kiện xuất phát. Chẳng hạn, bài toán: “Tìm m để phương
trình sau có nghiệm:

902 2 2
90 90
5
(1 x ) m. 1 x (m ) (1 x) 0
4
− + − + + + =
”.
Phương trình trên thực chất là phương trình đẳng cấp bậc hai:
a. X
2

2
= (1 - x)(1 + x).
(1 – x)
2
= (1 - x)(1 - x).
(1 + x)
2
= (1 + x)(1 + x).
8
Để làm xuất hiện các thuộc tính bản chất của sự vật phù hợp với mục tiêu
hoạt động, các nhà Tâm lí học sư phạm đã đưa ra một số thủ thuật làm dễ
dàng cho sự suy xét, đó là:
+) Những nguyên tắc giải.
+) Tách ra một cách rõ rệt hay nhấn mạnh những cứ liệu và những quan
hệ bản chất đối với bài toán.
+) Phân tích bài toán.
1.1.2. Sự hình thành các kĩ năng
Sự hình thành kĩ năng - đó là sự nắm vững cả một hệ thống phức tạp các
thao tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và tiếp
thu được từ các đối tượng, đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các
hành động.
Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết các
nhiệm vụ đặt ra. Khi tiến hành tư duy sự vật thì chủ thể thường biến đổi, phân
tích đối tượng để tách ra những khía cạnh, những thuộc tính mới. Tất cả
những điều này được ghi lại trong tri thức của chủ thể tư duy và được biểu
hiện bằng các từ. Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích – tổng
hợp, trừu tượng hóa – khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình về
một mặt nào đó của đối tượng có ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán
đã cho. Ở đây mỗi bước, nhờ khám phá ra những khía cạnh mới của đối
tượng, thúc đẩy tư duy tiến lên, đồng thời quyết định bước tiếp theo sau của

hoàn thành việc nghiên cứu đối tượng thì trong tri thức của chủ thể, tư duy sẽ
ghi lại những thuộc tính bản chất của đối tượng và nó ít nhiều sẽ giúp ích cho
hoạt động sau này. Chính quá trình này sẽ thúc đẩy tư duy tiến lên nhằm
chinh phục đỉnh cao mới và nó làm cho con người luôn không tìm ra giới hạn
của tri thức nhân loại. Chẳng hạn, như S. L. Rubinstein đã chứng minh: Trong
quá trình tư duy nhờ phân tích và tổng hợp, đối tượng tham gia vào những
mối liên hệ ngày càng mới và do đó, thể hiện qua các phẩm chất ngày càng
mới, những phẩm chất này được ghi lại trong những khái niệm mới. Như vậy,
10
từ đối tượng dường như khai thác được nội dung ngày càng mới, nó dường
như mỗi lần quay lại một khác và trong nó lại xuất hiện những thuộc tính mới
[23, tr. 155].
Theo quan điểm này, sự hình thành các kĩ năng xuất hiện trước hết như
những sản phẩm của tri thức ngày càng được đào sâu. Các kĩ năng được hình
thành trên cơ sở lĩnh hội các tri thức về các mặt và các thuộc tính khác nhau
về đối tượng đang được nghiên cứu. Các con đường chính của sự hình thành
các kĩ năng - đó là học sinh phải tự nhìn nhận thấy những mặt khác nhau
trong đối tượng, vận dụng vào đối tượng. Những tri thức khác nhau diễn đạt
mối quan hệ đa dạng giữa đối tượng và tri thức.
Có thể dạy cho học sinh kĩ năng bằng những con đường khác nhau. Một
trong những con đường đó là truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết,
rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài toán về vận dụng tri thức đó. Và bản
thân học sinh tìm tòi cách giải, bằng con đường thử nghiệm và sai lầm (thử
các phương pháp và tìm ra phương pháp tối ưu), qua đó phát hiện ra các mốc
định hướng tương ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ
thuật hoạt động. Đôi khi người ta gọi con đường dạy học này là dạy học nêu
vấn đề. Cũng có thể dạy học kĩ năng bằng con đường: dạy cho học sinh biết
những dấu hiệu mà theo đó có thể đoán nhận được một cách dứt khoát kiểu
bài toán và những thao tác cần thiết để giải bài toán đó. Người ta gọi con
đường này là dạy học angorit hóa hay dạy học trên cơ sở định hướng đầy đủ.

nghiệm phân biệt là x = 2 và x = 3”.
Người ta còn gọi ý đồ dạy học trên là phương pháp hình thành các hành
động trí tuệ qua từng giai đoạn.
Trong thực tế khi hình thành những tri thức mới (có nội dung chứ không
phải khái niệm từ ngữ thuần túy) ai cũng phải trải qua các giai đoạn này. Tuy
nhiên, trong dạy học thông thường những giai đoạn không được tổ chức một
cách có ý thức. Vì thế học sinh phải tự phát hiện những dấu hiệu cảm tính hay
những dấu hiệu lôgic, mà điều chủ yếu là các em phải tự lựa chọn những hành
động thích hợp để làm điều đó. Do vậy không thể tránh khỏi các sai lầm và
12
các tri thức không phải bao giờ cũng được hình thành đầy đủ và đúng đắn. Để
cho các khái niệm được hình thành đầy đủ và đúng đắn, hoạt động tương ứng
của học sinh phải được xây dựng trên một cơ sở định hướng đầy đủ. Nói một
cách khác, giáo viên phải truyền thụ cho học sinh tất cả những dấu hiệu bản
chất của các đối tượng dưới dạng có sẵn và dạy cho họ những thao tác cần
thiết để phát hiện hay tái tạo những dấu hiệu.
Những nguyên tắc kể trên cho phép cải tiến một cách căn bản việc dạy
các khái niệm, đặc biệt tăng nhanh tốc độ lĩnh hội các tri thức, đảm bảo được
tính mềm dẻo và đầy đủ của chúng, vận dụng chúng đúng đắn còn cho phép
hình thành những tri thức trừu tượng phức tạp ở lứa tuổi sớm hơn nhiều.
1.2. VỀ CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở
TRƯỜNG THPT
Phương trình và bất phương trình là một trong những nội dung cơ bản
của chương trình môn Toán ở nhà trường phổ thông. Những vấn đề lí luận
như khái niệm phương trình, bất phương trình; quan hệ tương đương đối với
hai phương trình, bất phương trình; phương pháp giải phương trình, bất
phương trình được đưa dần ở mức độ thích hợp với từng bậc lớp có phần lặp
đi lặp lại và nâng cao dần qua các lớp từ lớp 8 đến lớp 10. Đồng thời học sinh
cũng được dần dần làm việc với từng loại phương trình, bất phương trình
thích ứng với những yếu tố nội dung đã học.

thuộc D gọi là nghiệm của
phương trình f(x) = g(x) nếu “f(x
0
) = g(x
0
)” là mệnh đề đúng”.
Ở định nghĩa phương trình và bất phương trình ở bậc THPT có đưa vào
khái niệm mới là mệnh đề chứa biến, đây là khái niệm không được xây dựng
ở THCS. Bậc THPT khái niệm tập xác định phương trình đã được đưa vào,
điều này là một điểm mới so với bậc THCS. Dễ nhận thấy khái niệm phương
trình ở bậc THPT là sự kế thừa và phát triển khái niệm phương trình ở bậc
THCS. Với sự chính xác, khoa học của khái niệm phương trình ở bậc THPT,
tạo điều kiện thuận lợi cho việc đi sâu nghiên cứu các phép biến đổi phương
trình, hiểu đầy đủ hơn về khái niệm nghiệm của phương trình. Những khái
niệm này ở bậc THCS được hiểu một cách rất trực quan, chẳng hạn như khái
niệm nghiệm của phương trình được hiểu thông qua hoạt động: “Khi x = 6,
hãy tính giá trị mỗi vế phương trình: 2x + 5 = 3(x - 1) + 2” và học sinh sẽ tự
hiểu nôm na: nghiệm của phương trình là số để hai vế phương trình bằng
nhau. Còn ở bậc THPT nhờ khái niệm mệnh đề chứa biến mà khái niệm
nghiệm của phương trình được đưa vào khá lôgic và hợp lí.
14
Chính Sách giáo viên Toán 8, Tập hai, cũng đã viết: “Các tác giả đã
chọn phương án không xây dựng khái niệm phương trình một cách hoàn
chỉnh mà chỉ giới thiệu thuật ngữ phương trình thông qua ví dụ cụ thể. Ngay
cả “tập xác định của phương trình” – cũng chỉ đề cập đến một cách đơn giản
(gọi là điều kiện xác định), ở vào thời điểm thích hợp, đó là khi nói về giải
phương trình có ẩn ở mẫu”.
Việc đưa ra khái niệm phương trình, bất phương trình như trong SGK
Đại số 10, Nâng cao, thuận lợi cho việc chứng minh đầy đủ, chặt chẽ định lí
về phép biến đổi tương đương.

1 1
x 1
x 1 x 1
bằng phương pháp quen
thuộc như sau:
Chuyển các biểu thức chứa ẩn sang một vế:
1 1
x 1
x 1 x 1
+ − =
− −
Thu gọn vế trái ta tìm được: x = 1”.
Việc giải phương trình này dùng phương pháp cũ, vậy mà x = 1 không là
nghiệm thì thật khó chấp nhận, có thể kiến thức được học là sai? Để giải thích
điều này đòi hỏi giáo viên phải dành thời gian để chỉ cho học sinh một cách rõ
ràng, giúp học sinh tránh được trở ngại tâm lý.
Tiếp đến khi trình bày lời giải bài toán phương trình chứa ẩn ở mẫu, học
sinh không nắm bắt được tại sao khi dùng phép biến đổi suy ra (⇒) khi nào
thì dùng phép biến đổi tương đương (⇔). Xem xét khó khăn ở bậc THCS,
mới thấy hết sự hợp lí, lôgic của khái niệm phương trình, bất phương trình
được đưa ra ở SGK Đại số 10, Nâng cao.
Về mặt kĩ năng giải các phương trình cũng có sự khác biệt giữa hai cấp
học THCS và THPT. Cũng là các nội dung xoay quanh việc nghiên cứu cách
giải phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn số, Nhưng mục tiêu ở hai cấp học là không giống
16
nhau. Sách giáo viên Đại số 10, Nâng cao viết: “Các vấn đề phương trình bậc
nhất và bậc hai mà học sinh đã được học ở các lớp dưới nay chỉ nhắc lại rất
sơ lược, thậm chí coi như học sinh đã nắm vững nhằm tập trung cho các vấn
đề mới. Cụ thể, vấn đề mới ở đây là phương pháp giải và biện luận các

+) a = 0 và b ≠ 0: Phương trình vô nghiệm.
+) a = 0 và b = 0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc tập hợp số
thực.
17
Tương tự như vậy phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn thì ở THCS chú ý rèn luyện kĩ năng giải với hệ số là hằng số đã cho,
còn ở bậc THPT đi sâu vào phương pháp giải và biện luận phương trình, bất
phương trình có chứa tham số. Hệ thống bài tập sau mỗi bài học cũng thể hiện
sự khác biệt lớn, ở cấp THCS gần như không có sự xuất hiện của tham số, ở
bậc THPT thì phần nhiều là bài toán về phương trình và bất phương trình có
chứa tham số.
Như vậy, chủ đề phương trình, bất phương trình ở hai cấp THCS và
THPT là có sự khác biệt rõ rệt. Mặc dù chủ đề phương trình và bất phương
trình đã từng xuất hiện ở các lớp dưới, nhiều vấn đề về phương trình có vẻ lặp
đi lặp lại, nhưng thực ra nó có một sự biến đổi về chất rất quan trọng đó là: Sự
xuất hiện của phương trình và bất phương trình có chứa tham số. Hay nói
cách khác, là có sự “đồng tâm xoáy trôn ốc” của kiến thức về phương trình,
bất phương trình ở hai cấp. Có điều càng về sau lại có sự xuất hiện dạng
phương trình, bất phương trình phức tạp hơn đó là: phương trình và bất
phương trình siêu việt.
1.3. NHỮNG TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH LIÊN QUAN ĐẾN
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ
Trong chương trình Toán THPT thường hay gặp các bài tập về phương
trình và bất phương trình có chứa tham số, mà muốn giải được các bài toán có
chứa tham số người giải phải nắm được kiến thức một cách có hệ thống, biết
suy luận chính xác, biết phân tích và tổng hợp. Bài toán chứa tham số đòi hỏi
người giải quyết phải vận dụng khả năng tư duy cao độ và do vậy nó là chủ đề
mà học sinh vẫn thường gặp rất nhiều khó khăn. Tuy nhiên, những bài toán về
phương trình và bất phương trình có chứa tham số luôn giúp cho học sinh có
cái nhìn đầy đủ, sâu sắc, toàn diện hơn về một vấn đề và cũng có thể nói dạng

+) Phương trình trùng phương.
19
+) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số.
+) Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất, bậc hai đơn giản có
chứa tham số.
Nội dung giải và biện luận phương trình, bất phương trình chứa một thời
lượng khá lớn trong nội dung phương trình và bất phương trình, điều này
được thể hiện ngay trong bài giảng và bài tập rèn luyện sau mỗi tiết học. Số
lượng bài tập giải và biện luận mà SGK Đại số 10, Nâng cao, đưa ra là tương
đối lớn. Tuy nhiên bài tập giải và biện luận có nhiều mức độ khác nhau nhằm
vào các mục đích: củng cố kiến thức được học, tăng cường khả năng vận
dụng kiến thức và rèn luyện khả năng tư duy cho học sinh.
Bài tập củng cố kiến thức được học, chẳng hạn như:
Ví dụ 1: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
a) (m
2
+ 2)x – 2m = x – 3.
b) (m - 1)x
2
+ 3x – 1 = 0.
Đối với dạng bài tập này, chỉ cần học sinh hiểu kiến thức được học và
tiến hành gần như tương tự thì sẽ giải quyết được.
Ở mức độ khó hơn SGK, đưa ra những bài tập đòi hỏi sự vận dụng linh
hoạt kiến thức đã có, chẳng hạn như:
Ví dụ 2: Giải và biện luận theo tham số m:
a) (2x + m - 4)(2mx – x + m) = 0.
b)
mx 1
m
x 1

+
= −
−
Sau đó biện luận kết quả của phương trình dựa vào kết quả biện luận của
hai phương trình trên.
Như vậy, đối với dạng toán ở Ví dụ 2, đòi hỏi học sinh phải vận dụng
linh hoạt, sáng tạo kiến thức cơ bản đã được học. Nó không còn là bài tập vận
dụng máy móc, đơn thuần như ở Ví dụ 1. Tuy nhiên, chưa dừng lại ở khả
năng vận dụng, có rất nhiều bài toán giải và biện luận đòi hỏi người giải phải
suy nghĩ, phải tư duy.
Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình:
x
4
+ (2a - 1)x
2
+ a
2
– 1 = 0 (1)
Để giải phương trình trên thì cần có bước đặt ẩn phụ, nhằm chuyển
phương trình đã cho về phương trình bậc hai.
Đặt: t = x
2
, điều kiện: t ≥ 0. Phương trình trở thành:
f(t) = t
2
+ (2a - 1)t + a
2
– 1 = 0 (2)
Đây là bước mà học sinh bình thường đều có thể tiến hành, bởi thực chất
phương trình đã cho là phương trình trùng phương, có thể dễ dàng chuyển về

;
x 3= −
và x = 0.
Trường hợp 2: Phương trình (2) có 2 nghiệm t
1
, t
2
thỏa mãn t
1
< 0 < t
2
.
Điều này tương đương với:
22
P = t
1
. t
2
= a
2
– 1 < 0 ⇔ - 1 < a < 1.
Vậy với - 1 < a < 1 thì phương trình (2) có 2 nghiệm:

1
1 2a 4a 5
t
2
− − − +
=
< 0 và

= − >


= − >

⇔ a < - 1.
Vậy với a < -1 thì phương trình (2) có 2 nghiệm:
1
1 2a 4a 5
t
2
− − − +
=
> 0 và
2
1 2a 4a 5
t
2
− + − +
=
> 0
Vậy nghiệm phương trình (1) sẽ là:
1 2a 4a 5
x
2
− + − +
= ±
và
1 2a 4a 5
x

2
− − − +
= ±
.
1.3.2. Tìm điều kiện của tham số để nghiệm phương trình thỏa mãn
tính chất cho trước
Phương trình có chứa tham số thì nghiệm của nó sẽ phụ thuộc vào tham
số, do đó nghiệm của phương trình sẽ xẩy ra nhiều khả năng: vô nghiệm, có
nghiệm (có vô số nghiệm, có hữu hạn nghiệm). Ứng với mỗi giá trị tham số
khi giải sẽ cho kết quả về nghiệm và bài toán rất hay được khai thác là cho kết
luận về nghiệm tìm giá trị tham số thỏa mãn kết luận đó. Bài toán tìm điều
kiện tham số để nghiệm của phương trình thỏa mãn tính chất cho trước có rất
nhiều dạng, trong mục này sẽ liệt kê một số dạng cơ bản như: Tìm điều kiện
của tham số để phương trình có nghiệm; Tìm điều kiện của tham số để
phương trình vô nghiệm; Tìm điều kiện của tham số để phương trình có
nghiệm duy nhất; Tìm điều kiện của tham số để hai phương trình có nghiệm
chung; Tìm điều kiện của tham số để hai phương trình tương đương; Tìm
điều kiện của tham số để phương trình có số nghiệm xác định; Tìm điều kiện
của tham số để nghiệm phương trình có vị trí thỏa mãn yêu cầu bài toán;…
1.3. 2. 1. Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm
Điều kiện để phương trình dạng ax + b = 0 (x là ẩn số) có nghiệm sẽ là:
a ≠ 0 hoặc a = b = 0.
Điều kiện để phương trình dạng ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm là:
+) a = 0 và b ≠ 0.
+) a = 0 và b = c = 0
+) a ≠ 0 và ∆ = b
2
- 4ac ≥ 0.


2
2
x 3y m
y 3x m

+ =


+ =


(I)
Học sinh đã biết phương pháp giải hệ đối xứng này, thực hiện phép trừ 2
vế hai phương trình ta có:
(I) ⇔
2
(y x)[3(x y) 1] 0
y 3x m
− + − =


+ =

2
y x
y 3x m
=

⇔