Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

A.ĐẶT VẤN ĐỀ .
Thực hiện chủ đề năm học : “ Tiếp tục đổi mới quản lý và nâng cao chất lượng
giáo dục” và mỗi Thầy cô giáo là một tấm gương sáng tự học và sáng tạo.Do đó
bản thân mỗi Thầy cô giáo cần cố gắng về chuyên môn , nghiệp vụ sư phạm để có
những bài giảng hay, truyền đạt kiến thức, kỹ năng cho đối tượng học sinh mà
mình phụ trách.Muốn làm được điều đó cần đúc rút kinh nghiệp giảng dạy của
mình sau từng mục, từng tiết dạy, bài dạy để ngày càng nâng cao chất lượng giáo
dục.
Nhiệm vụ của ngành giáo dục và đào tạo là : Đào tạo thế hệ trẻ có đủ phẩm chất
năng lực, giáo dục phát triển toàn diện trí,thể,mỹ. Đào tạo nguồn nhân lực có trình
độ tay nghề cao phục vụ đắc lực cho công cuộc xây dựng và bảo vệ Tổ quốc xã hội
chủ nghĩa trong thời kỳ công nghiệp hoá- hiện đại hoá đất nước.
Trong chương trình giáo dục bộ môn toán đóng một vai trò hết sức quan trọng,
góp một phần không nhỏ trong giáo dục và phát triển trí tuệ của học sinh, giúp học
sinh phát triển tư duy sáng tạo,lôgíc, trực quan, thấy được ứng dụng của toán học
trong cuộc sống.Toán học có rất nhiều phân môn, lĩnh vực khác nhau, mỗi lĩnh vực
có một vai trò và tầm quan trọng riêng, có những đặc trưng riêng biệt .Cũng như
các vấn đề khác của toán học thì mảng kiến thức về phương trình ,và bất phương
trình có chứa tham số cũng có vai trò hết sức quan trọng trong việc phát huy tư
duy sáng tạo và lôgíc của học sinh .Người thầy phải cung cấp cho học sinh những
kiến thức phổ thông mà còn phải trang bị cho các em những kỹ năng cơ bản cần
thiết. Để làm tốt điều này mỗi người thầy phải tự học tập nâng cao trình độ chuyên
môn và nghiệp vụ sư phạm, đúc kết những kinh nghiệm giảng dạy,từ đó góp phần
truyền đạt kiến thức cho học sinh một cách hiệu quả nhất, để mỗi tiết học là một
niềm đam mê khám phá tri thức đối với mỗi học sinh.
B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ .
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
Trong nhà trường THPT bộ môn toán đóng vai trò hết sức quan trọng, nếu
như học sinh học tốt bộ môn toán thì có thể học tốt các bộ môn khác.Là một môn

thi đại học – cao đẳng , tôi nhận thấy phần phương trình và bất phương trình có
chứa tham số là học sinh tương đối gặp khó khăn trong cách giải, không biết phải
sử lý tình huống như thế nào trên nền kiến thức cơ bản các em đã biết. Nếu trang bị
cho các em những kỹ năng ,tình huống cơ bản, từ đó giúp mỗi học sinh tự đúc kết
kinh nghiệm riêng cho bản thân mình thì khi có vấn đề mới thì các em sẽ giải quyết
được một các nhanh chóng và cho lời giải tương đối đẹp.
Từ thực trạng và kết quả trên, để việc giải phương trình và bất phương trình
có chứa tham số của học sinh đạt hiệu quả tốt hơn tôi mạnh dạn cải tiến phương
pháp giảng dạy với đề tài :“ Định hướng cách giải phương trình , bất phương
trình có chứa tham số bằng phương pháp sử dụng đạo hàm,THPT”.

III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
Để giúp học sinh khá giỏi giải tốt các giải phương trình và bất phương trình
có chứa tham số thường gặp trong các kỳ thi đại học- cao đẳng và thi học sinh giỏi,
tôi đã đúc kết thành những dạng toán cơ bản như sau:

1.Dạng 1 Các bài toán về phương trình .
Định hướng cho học sinh đưa bài toán về dạng :
( ) ( )f x g m=
Chúng ta thực hiện các bước sau đây :
Bước 1: Xem đó là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
( )y f x=
và
( )y g m=
.Do đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của 2 đồ thị .
Bước 2:Xét hàm số
( )y f x=

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 2
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị y= f(x)=
2
2x x−
và
y=m
Xét hàm số f(x)= x
2
-2x, hàm số này xác định và liên tục trên
[ ]
0;1
y
/
=2x-2.

/
0 1y x= ⇔ =
Bảng biên thiên
Từ bảng biên thiên ta có:
ax ( )
0;1
m f x
 
 
 
= 0;
min ( )
0;1
f x
 
 

y 0
-1
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Đặt
1
2
log ( 2)t x
= −
;
2 4 1x t
< < ⇔ > −
.
Phương trình (1) trở thành : (m-1)t
2
- (m-5)t +m-1 = 0(2)
Bài toán quy về tìm m để phương trình (2) có 2 nghiệm thõa mãn
1 2
1t t> > −
.
PT(2)
⇔

2
2
5 1
1
t t
m
t t

.

2
2
5 1
1
lim ( ) lim 1
1 1
1
x x
t t
f t
t t
→+∞ →+∞
− +
= =
− +
;

2
2 2
4 4
'( )
( 1)
t
f t
t t
−
=
− +

-3<m<1
Nhận xét: Bài toán này có thể giải bằng phương pháp sử dụng tam thức bậc 2
theo kiến thức ở lớp 10 nhưng nếu giáo viên định hướng cho học sinh làm theo
cách sử dụng đạo hàm sẽ thấy cách này gọn gàng hơn , hợp với kiến thức mà
học sinh đã học ở lớp 12 hơn, cho lời giải nhanh chóng và đẹp.
Vì vậy dùng phương pháp đạo hàm của hàm số có lợi thế hơn các phương pháp
khác ,có nó chúng ta sẽ giải quyết được một số các bài toán có chứa tham số phức
tạp hơn trong các trong các đề thi .Chúng ta sẽ xét một số các bài toán sau đây:
Ví dụ 3 .
Tìm m để phương trình :

2 2 4 2 2
( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − −
(1) có nghiệm .

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 4
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

(Trích đề thi Đại học -Cao đẳng khối B ,2004).
Định hướng
Khi nhìn vào bài toán này học sinh sẽ rất hoang mang bởi vì bài toán đã chứa căn
lại còn có chứa cả tham số nên việc giải quyết là rất khó khăn song nếu giáo viên
hướng dẫn cho học sinh đặt ẩn phụ t=
2 2
1 1x x+ − −
v à biết quy về một bài toán
tương đương thì bài toán lại trở nên quen thuộc .
Giải
Điều kiện : -1
≤

0 2t≤ ≤
Nên ta có t+2 >0 phương trình (2) trở thành :

2
2
2
t t
m
t
− + +
=
+
.
Bài toán quy về tìm điều kiện của tham số m để phương trình :

2
2
2
t t
m
t
− + +
=
+
có nghiệm
0 2t≤ ≤
.
Xét hàm số
2
2

x
0
2
/
( )f x
-
( )f x0; 2
0; 2
min ( ) ( 2) 2 1; max ( ) (0) 1f t f f t f
 
 
 
 
= = − = =
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
2
-1
≤
m
≤
1.
Ví dụ 4 Tìm m để phương trình

2 2 4 2
( 1 1) 2 1 2m x x x x x x+ − + = − + + − +
(1) có nghiệm .
Giải . Điều kiện : -1

.
Ta có phương trình (1) trở thành
2
( 1) 1, 1; 2m t t t t
 
+ = + + ∈
 
(2)
Do t+1 >0 nên phương trình (2)
⇔
2
1
1
t t
m
t
+ +
=
+
với
1; 2t
 
∈
 
Bài toán quy về tìm điều kiện của m để phương trình
2
1
1
t t
m

f t
t
+
= > ∀
+
1; 2t
 
∈
 
nên
( )y f t=
đồng biến trên
1; 2t
 
∈
 
PT (1) có nghiệm
⇔
Phương trình (3) có nghiệm
⇔
1; 2
1; 2
min ( ) max ( )f t m f t
 
 
 
 
≤ ≤
.
(1) ( 2)f m f⇔ ≤ ≤

(1) có nghiệm .

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 6
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…⇔

2
1 (4 3) (2)t m t
+ = −

Ta thấy
3
4
t
=
không là nghiệm phương trình (2) nên chia 2 vế phương trình cho
(4t-3)
0≠
ta có
2
1
4 3
t
m
t
+
=
−

3
1; \
4
 
− +∞
 
 
Đạo hàm
2
2
2(2 3 2)
'( ) ;
(4 3)
'( ) 0
1
2
2
t t
f t
t
f t
t t
− −
=
−
=
⇔ = − ∨ =
.
Bảng biến thiên :
t

1
4
m m
−
≤ ∨ ≥
.
Bài tập tương tự
1.Tìm m để phương trình :
2
2 2 1x mx x+ + = +
có 2 nghiệm phân biệt .
2. Tìm m để phương trình có nghiệm :
2 2 (2 )(2 )x x x x m
− + + − − + =
.
3.Tìm m để phương trình có nghiệm :
6 9 6 9
6
x m
x x x x
+
+ − + − − =
.
4. Tìm m để phương trình 2
2 2
5 4 5x x x x m− + = − +
(1) có 4 nghiệm phân biệt .

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 7
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

kiện của x chuyển thành điều kiện của t .
Ví dụ 1.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
1 4x x m+ − − ≥
(1).
Định hướng : -Đặt điều kiện của ẩn số .
- Chuyển về bài toán tương đương .
-Xác định bài toán thuộc loại nào .
-Bài đó được áp dụng kiến thức nào .
Giải
ĐK : -1
≤
x
≤
4.
Bài toán quy về tìm m để bất phương trình
1 4x x m+ − − ≥
có nghiệm -1
≤
x
≤
4.
Ta có f
/
(x)=
1 1
0
2 1 2 4x x
+ >
+ −
.

Đặt
3 0t x= − ≥
.
Phương trình (1) tương đương với
2
( 3) 1m t t m+ − ≤ +

2
( 2) 1m t t⇔ + ≤ +

2
1
(2)
( 2)
t
m
t
+
⇔ ≤
+
Đặt
2
1
( )
( 2)
t
f t
t
+
=

=
+
/
( ) 0 1 3f t t= ⇔ = − ±
Giới hạn
lim ( ) 0
x
f t
→+∞
=
Bảng biến thiên :
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình có nghiệm
0
3 1
( )
4
t
Max f t m m
≥
+
≥ ⇔ ≤

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 9
t 0 -1+ +
f(t) + 0 -

f(t)
0
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…


9 .3 3 0
x x
m m− − + ≤
(1) có ít nhất một nghiệm .
Giải
Đặt
3 0
x
t = >
.
Bất phương trình (1) tương đương với
2
3 0t mt m− − + ≤

⇔
2
3 ( 1)t m t+ ≤ +

⇔
2
3
1
t
m
t
+
≤
+
(2) ( Do t>0)
Bài toán quy về tìm m để bất phương trình (2) có ít nhất 1 nghiệm t>0.


= ⇔

= −

Bảng biến thiên :
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình (2) có ít nhất một nghiệm khi và
chỉ khi
0
min ( )
t
f t m
>
≤
2m
⇔ ≥
.

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 10
x - -3 -1 0 1 +
y 0 - 1 +
y 3 +
2
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Ví dụ 2 . (Thi HSG tỉnh Thanh Hóa lớp 12 THPT năm học 2012-2013).
Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực
3
1
2 0 (1)

⇔ ≤ ≤
⇔ ≤ ≤
Hệ bất phương trình có nghiệm tương đương với bất phương trình (1) có nghiệm
thõa mãn (*).
Bất PT (1)
⇔
3
2 0x mx− + ≤

⇔
3
2x mx+ ≤
) (2)
Xét x=0 thì bpt (1) không thõa mãn .
Với
0 4x< ≤
Thì bpt (2)
⇔
2
2
m x
x
≥ +
(3)
Bài toán quy về tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình (3) có nghiệm
0 4x< ≤
.
Xét hàm số
2
2


3m⇔ ≥

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 11
-2
3
33
2
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Vậy
3m ≥
thì hệ bất phương trình có nghiệm thực .
Dạng 4 . Tìm điều kiện để bất phương trình dạng
( ) ( )f x g m≥
đúng với
x D∀ ∈
Ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1. Xét hàm số
( )y f x=
• Tìm tập xác định D
• Tìm đạo hàm y
/
,rồi giải phương trình y
/
=0
• Lập bảng biến thiên của hàm số .
Bước 2. Kết luận
• Bất phương trình nghiệm đúng với
x D∀ ∈ ⇔

6 3
4
2 1
3
x x
m
x
+ −
⇔ ≤
(Do
1x ≥
).
Xét hàm số
6 3
4
2 1
( )
x x
f x
x
+ −
=
.
Miền xác định : D=
[
)
1;+∞
6 3
/
5


y +
2
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…⇔

2
3
m ≤
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với
1x ≥
⇔

2
3
m ≤
Ví dụ 2 Tìm m để bất phương trình
2
2
2
2
log
log 1
x
m
x
≥
−

2
( )
2 ( 1)
t
f t
t
−
=
−
/
( ) 0 2f t t= ⇔ =
Giới hạn :
lim ( )
x
f t
→+∞
= +∞

1
lim ( )
x
f t
+
→
= +∞
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có bất phương trình nghiệm đúng với mọi x>0
⇔
min ( ) ( )f t g m≥


Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Giải
Chia cả 2 vế cho
2
2
4
x x−
ta có
2
2(2 )
3
( )
2
x x−
-
2
2
3
2( 1) ( 1) 0
2
x x
m m
−
− + + ≥
Đặt
t =
2
2
3

−
nghiệm đúng với mọi
1t
≥
Xét hàm số
2
2 1
( )
2 1
t t
y f t
t
+ +
= =
−
,
1t
≥
.
2
/
2
2 2 4
( )
(2 1)
t t
f t
t
− −
=

∀ ∈ ⇔

max ( ) ( )
x D
f x g m
∈
≤
.
Chú ý chung :
Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ
( )t h x=
.Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn t , từ điều
kiện của x chuyển thành điều kiện của t .
Ví dụ 1.
Tìm m để bất phương trình sau

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 14
x - 1 2 +
y - 0 +
4 +
y
3
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…2
( 4)(6 ) 2 (1)x x x x m
+ − − + ≤
nghiệm đúng với mọi x
∈

( ) 0
2
f t t
−
= ⇔ =
Bảng biến thiên :
x
0
1
2
−
5
f
/
(x) - 0 +
f(x) 6

Bất phương trình nghiệmđúng với mọi x
∈
[-4,6] khi và chỉ khi

0 5
( ) . 6
t
Max f t m m
≤ ≤
≤ ⇔ ≥
Ví dụ 2.Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x .
4
( 1) 4m x x+ ≥

x
f x
x
−
=
+
/
4
1
( ) 0
3
f x x= ⇔ = ±
Giới hạn
lim 0
x→±∞
=

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 15
-
-24 6
97
4
−
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Bảng biến thiên :
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thì

4
( ) ( ) ( ) 27Maxf x g m Maxf x m m≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤

2
( 2 )
log
4
x m
x
− +
;t≥0 Bất phương trình
2
4 5 0t t⇔ + − ≤
,
5 1t− ≤ ≤
Kết hợp với t≥0 ta có 0 ≤ t ≤ 1
Suy ra 0 ≤ log
4
(x
2
-2x+m) ≤1
⇔
2
2 1
2
2 4
x m
x
x m
x




Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

⇔
2
( 2 ) 1
min
0;2
2
( 2 ) 4
max
0;2
x m
x
x m
x
 
 
 
 
 
 










3cos 5cos3 36sin 15cos 36 24 12 0x x x x m m
− − − + + − >
3.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
2
4 3 2 6 0x x mx− + + − >
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
1. Kết quả nghiên cứu :
Đề tài đã được áp dụng thường xuyên ở các lớp kết quả đạt được tương đối
tốt, học sinh đã giải quyết được rất nhiều bài toán về giải phương trình , bất
phương trình có chứa tham số bằng phương pháp sử dụng đạo hàm, các em đã
thích dần với bài tập loại này , học tập hăng say và tích cực hơn rất nhiều ,tạo cho
các em một niềm tin khi giải toán, góp phần nâng cao kết quả thi đại học và học
sinh giỏi cấp tỉnh bộ môn Toán,hạn chế việc học sinh sợ khi phải giải các phương
trình và bất phương trình có chứa tham số đồng thời tạo được hứng thú cho học
sinh góp phần năng cao chất lượng dạy và học phát huy được tính tích cực của học
sinh, khơi nguồn cho các em sự tìm tòi ,sáng tạo trong quá trình giải một bài toán
có chứa tham số .Đề tài đã được các thành viên trong tổ Toán – Tin góp ý và đánh
giá tốt, đề tài đã được các thầy cô áp dụng rộng rãi với các đối tượng học sinh lớp
mình phụ trách, đem lại hiệu quả rất thiết thực trong giảng dạy bộ môn Toán ở
Trường THPT hiện nay. So với cách làm cũ không chỉ giải các phương trình,bất
phương trình bình thường , không giúp cho các em thấy được dạng quen thuộc,
những kỹ năng cần thiết. Nếu trang bị cho các em những kỹ năng cần thiết thì
nhìnvào bài toán như vậy các em sẽ định hướng được cách giải , giải nhanh và
thành thạo .
Trong năm học 2009 -2010, 2010 -2011, 2011 -2012, 2012-2013 tôi đã thực
nghiệm đề tài của mình ở các lớp ,12 A,12B và12D, 12 E kết quả cụ thể như sau :
Loại
Đối tượng
Loại giỏi
Loại

Tổ nhóm chuyên môn là công việc để trau dồi về chuyên môn, tự học tập lẫn nhau
giúp nhau cùng tiến bộ.
Đề tài đã được các đồng nghiệp góp ý chân thành.Để đề tài thực hiện tốt thì cần
có những buổi sinh hoạt, xêmina về toán học để các em học sinh bày tỏ quan điểm
của mình cũng như tự giúp các em phát hiện ra sai lầm của nhau thông qua các bài
giải
Đề tài chắc chắn không tránh khỏi những thiếu xót và để hoàn thiện hơn nữa tác
giả rất mong được sự bổ sung và góp ý chân thành của các đồng nghiệp./.
Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm không có sự sao chép .

Hậu lộc , ngày 25 tháng 5 năm 2013
Người viết sáng kiến kinh nghiệm LÊ THỊ HẠNH
Tài liệu tham khảo

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 18
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

1. Phương trình và bất phương trình (Phan Huy Khải -Nhà xuất bản GD - Năm
2009).
2. Sách giáo khoa và sách bài tập toánTHPT
3.Đề thi đại học, cao đẳng của Bộ giáo dục
4.Đề thi học sinh giỏi môn toán Tỉnh Thanh hóa
5.Tạp chí Toán học và tuổi trẻ.

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 19