NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Chương 1:

CĂN BẬC HAI- CĂN BẬC BA

Bài 1: KHAI CĂN BẬC HAI.
I. Điều kiện xác định của một hàm số hay biểu thức chứa căn bậc hai:
1.Hàm số y  A xác đònh khi A  0
B
xác đònh khi A> 0
2.Hàm số y 
A
1
3.Hàm số y 
xác đònh khi A  0
A
Chú ý: Cho biểu thức y  ax 2  bx  c .
 Nếu ax 2  bx  c  0 có 2 nghiệm x ,x (x  x ) thì y có thể phân
1 2 1
2
tích: y  a(x  x )(x  x ) .
1

2



2  x  0  x  2

b) y  x 2  5x  6
Chú ý: x 2  5x  6  0 có 2 nghiệm là x  2 và x  3
nên x 2  5x  6  (x  2)(x  3)
Vậy điều kiện xác đònh của hàm số là :
x  3
x2  5x  6  0  (x  2)(x  3)  0  
x  2
2x  3
c) y 
2x 2  3x  1
1
Chú ý: Ta có: 2x2  3x  1  2(x  1)(x  ).
2
Vậy điều kiện xác đònh của hàm số là:
1
1
2x2  3x  1  2(x  1)(x  )  0  (x  1)(x  )  0
2
2

Trang 1


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 2


 x0
x0

1  x  3
 3 x  0

x3



  x2  2x3
 x 1  0  
x

1


  x  2

x2  4  0
(x  2)(x  2)  0

II. Các tính chất cơ bản của căn số:
1. Nếu A,B  0 thì AB  A. B.
2. Nếu A  0, B>0 thì
3.

A
A


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 3

III. Khai căn của một biểu thức: Ta đã biết các tính chất cơ bản sau: với A,B  0


A  B  2 AB  ( A  B)2 

A  B  A  B.



A  B  2 AB  ( A  B)2 

A B.

1) Khai căn thức dạng C  2 D : Chúng ta phân tích C  2 D thành dạng bình phương
như sau: C  2 D  A  B  2 A.B . Tức là: phân tích D = A.B là tích của 2 số dương
A và B sao cho tổng của chúng là C, (C = A+B).
Khi đó:

C  2 D  A  B  2 A.B 
Tương tự cho biểu thức
B sao cho C = A+B thì

2

2




A B.

Tóm lại: Khi phân tích được D = A.B (A, B là 2 số dương) sao cho A + B = C thì ta
khai căn được nhanh chóng như sau:
và C  2 D 

C2 D  A  B

A B.

Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức chứa căn sau:
a) A  3  2 2

b) B  5  2 6

c) E  9  6 2
Giải:

d) F  x  4 x  4

a) Trong A  3  2 2 có

D  2  2.1 thỏa 2  1  3  C nên A  3  2 2  2+ 1  2+1.
b) Trong B  5  2 6 có D= 6 = 3.2 thỏa 3  2 = 5 = C nên

B  52 6 

3  2  3  2.



Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

a) E  2  3 

42 3
1

4  2 3 . Trong đó:
2
2

D  3  3.1 thỏa 3  1  4  C nên

Vậy E 

1

42 3 

3 1

2

42 3 

Trang 4

4  2 3 có

Giải:
a) Trong biểu thức A xét:

13  48  13  2 12  12  1  12  1  2 3  1.
(do ta phân tích D = 12 = 12.1 thoả 12 + 1 = 13 = C)
nên A trở thành: A  6  2 5  (2 3  1)  6  2 4  2 3
mà ta lại có: 4  2 3  3  1  3  1 .
(do ta phân tích D = 3 = 3.1 thoả 3 + 1 = 4 = C)
nên A  6  2( 3  1)  4  2 3 

3  1  3  1.

b) B  7  3  13  4 8  10 7  4 3
Vì

7  4 3  7  2 12 

4  3 2 3

(do ta phân tích D = 12 = 4.3 thoả 4 + 3 = 7 = C)
Nên B  7  3  13  4 8  10(2  3)  7  3  13  4 28  10 3
Ta có:

28  10 3  28  2 75 

25  3  5  3

(do ta phân tích D = 75 = 25.3 thoả 25 + 3 = 28 = C)
Nên B  7  3  13  4(5  3)  7  3  7  4 3
Ta lại có:

Vậy C   5  ( 5  1)  1  1 .
2) Trục Căn ở mẫu thức: Một biểu thức chứa căn ở mẫu sẽ làm trở ngại cho việc tính
toán. Ta làm cho biểu thức ở dưới mẫu khơng còn chứa căn nữa gọi là trục căn ở
mẫu thức. Để làm được như vật, ta dùng tính chất nhân chia dạng liên hợp như sau:
A
A B
(1)

.
B
B
(2)

1
A B
A B


.
A  B ( A  B)( A  B) A  B2

1
A B
A B


.
A  B ( A  B)( A  B) A  B2
Ví dụ1: Tính:
(3)



3
3
2 3
5
6 
d) D  

 2


 (3  6) 

 3
 2  3

 5 6

2
4
2
5

6






2

3
2. 3
3. 2 
2. 3 
 
6 2
4
6  4.3  3



3
2 
3 
2
2
3


6
6 2 6 6 2 3  6
3
2

a) A  3 12 






( 3  1)( 3  1) ( 3  2)( 3  2) ( 3  3)( 3  3)
4
 ( 3  1)  ( 3  2)  ( 3  3)  7.
2
 2


3
3
2 3
5
6 
d) D  

 2 


 (3  6) 

 3
 2  3
 5 6
2
4 2 
5  6 




, k  1.
(k  1) k  k k  1
k
k 1
b) Áp dụng câu a) để tính tổng sau:
1
1
1
1
S


 ... 
1. 2  2. 1 2 3  3 2 3 4  4 3
2010 2009  2009 2010
Giải:
a) Xét vế trái:
1
1
1
1
VT 


.
(k  1) k  k k  1
k. k  1 k  k  1
k. k  1 k  k  1







k 1  k
.
k. k  1

1

k. k  1
k. k  1
k
k 1
Vậy ta có điều phải chứng minh.
1
1
1


, k  1.
b) Theo câu a) ta có:
k k  1  (k  1) k
k
k 1

1 1
 
1. 2  2 1 1
2


...................................
1
1
1


(2010)
2010 2009  2009 2010
2009
2 010
1
1
Vậy S = 1 
.
Cộng vế theo vế của (1), (2),(3),...,(2010) có: S  1 
2010
2010
Lấy k  2010 có:

Ví dụ 3: Cho 2 số x, y thỏa mãn: (x  x2  3)(y  y2  3)  3
a) Chứng minh rằng: x = –y.
x3  y3
b) Tính giá trị của biểu thức: S 
?
x 20  y11 +2010
Giải:

a) Ta có: (x  x 2  3)(y  y 2  3)  3



1

 k  1  k , k  1.
k  k 1
b) Áp dụng câu a) để tính tổng sau:
1
1
1
1
S


 ... 
1 2
2 3
3 4
2009  2010
Giải:
1
k 1  k
a) Ta có: VT 

 k 1  k .
k  k  1 ( k  1  k )( k  1  k )
Vậy ta có điều phải chứng minh.
1
 k  1  k , k  1.
b) Theo câu a) ta có:
k  k 1


(2009)

2009  2010

Cộng vế theo vế của (1), (2),(3),...(2009) có : S 

2010  1.

Vậy S = 2010  1 .
III. Rút gọn biểu thức:
1) Rút gọn bằng cách tính trực tiếp: Bằng cách tính tốn tiếp như quy đồng mẫu số, nhân
chia dạng liên hợp để trục căn ở mẫu, khai căn,…Tổng hợp các điều đó thơng qua các ví
dụ sau:
Ví dụ1: Rút gọn biểu thức sau:
 x
2
1  
10  x 
A= 


 :  x  2 

x 2 
x 2
x4 2 x
Giải
 x
2

=

x  2( x  2)  ( x  2)
( x  2)( x  2)

.



x 2

x 2
(x  4)  10  x

6
x 2
1
1
.


6
( x  2)( x  2)
x 2 2 x
1
Vậy A 
.
2 x
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau:
=

(x  2)  x2  4  (x  2)  x 2  4 

 

Do : (a  b)2  (a  b)2  2(a2  b2 ) nên





x  2  10  x 


x 2



Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 9

2

2 (x  2)2  x 2  4 
2
2
  x  4x  4  x  4
B  
4x  8
2(x  2)


 x
1  x  x x  x 
C = 





x  1 
 2 2 x  x  1
 x x  1   (x  x)( x  1)  (x  x )( x  1) 

= 
 


x 1 x 1
 2 x 

2
2
(x  1)  x( x  1)  x( x  1) 
=


x 1
2 x 

2

x 2
x4 2 x
Giải:
Điều kiện xác đònh : x  0 và x  4.
Đặt y  x  x  y 2 . Thay vào biểu thức A, ta có:

 y
2
1  
10  y2 
A= 


:
y

2


 
2
y  2 
 y 4 2y y2 
 y  2(y  2)  (y  2)   y 2  4  10  y 2 
= 

 : 
2 4
y2
y


Vớ d 2:Rỳt gn biu thc sau:
x x y y

2 y
B
xy : (x y)
, vụựi x,y 0
x y

x y


Gii:
2
a x x a
t
. Thay vo biu thc B, ta cú:
b y y b2
a2 .a b2 .b

2b
B=
ab : (a2 b2 )
ab
ab

a3 b3

1



Vaọy B 1.
Vớ d 3: Cho x, y >0 v x y
2 xy
x y 2 x
y
C =

.
+

x y 2( x y ) x y
y x


Chng minh rng C = 1.
Gii:
a x x a2
t
. Thay vo biu thc C, ta cú:
b y y b2
2ab
a b 2a
b
4ab (a b)2 2a
b
C=

.


+

+



1
2
2
ba ab ba ab ab ab
a b
Vaọy C 1 (ủpcm).
3) Rỳt gn bng caựch khai caờn trc tip: Ta phõn tớch trong cn cú dng bỡnh phng khai cn.
A neỏu A 0
i vi cn bc hai, chỳ ý n tớnh cht: A
-A neỏu A< 0


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Ví dụ 1:Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = a

b
a

b) b) B =

x  4(x  1)  x  4(x  1) 


x  2 x 1  x  2 x 1  x 1 1
.

2
x  1 
x  4x  4



B 

 B

x  2 (x  1).1  x  2 (x  1).1  x  1  1 
.

 x 1 
(x  2)2
x 1 1

x  1  1 (x  2)
.
x2
x 1

B





Ví dụ 2:Rút gọn biểu thức sau:

B=

a b

a2 b4

b2

a2  2ab  b2
Giải:

Điều kiện xác đònh : a  b  0  a  b
B 

ab
a2 b4
a  b a2 b 4

b2 a2  2ab  b2
b2 (a  b)2

Trang 11


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ
2
a  b ab




 4 a4  a2 b2
:
, với a  b  0
2

b

Giải:
2
2
a  a2  b2  a  a2  b2  4 a2 a2  b2
:
b2

a  a2  b2 a  a2  b2


 




4a a2  b2
.
b2
4a


  x 1

x 

 A 2  2x  2 x2

x2  1 x  x2  1
2



2

 A 2  2x  2  2(x  1)  A   2(x  1)
 Vì A  0 nên A 

2(x  1)

Vậy A  2(x  1).
BÀI TẬP

Bài 1: Rút các biểu thức sau :
15  12
1
A=

5 2
2 3
2
2


1
3 2 2 3
2  3 3 2 2 3
32 2

32 2



17  12 2

G

17  12 2

3 5



2 2  3 5

H

2 3

3 5
2 2  3 5

2 3


Bài 3 Ruùt caùc bieåu thöùc sau :
x(16  x ) 3  2 x 2  3 x
A 


, vôùi x  0, x  4
x4
2 x
x 2
 a 2
a  0
a  2 
4 
B  

,
vôù
i
  a 


a  2 
a
 a4
 a 2
2
 a 1
a  0
a 1

2
x

1
x



1 1
 a3  b3
 2 2
b
F
 ab  : a
1
1
 a b




a b

Trang 13


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 14


 

a) Rút gọn P

b) Tìm x sao cho P  1.
Bài 6: (HSG lớp 9, Nam Định 2002-203) Rút gọn biểu thức sau:
3 5
3 5
A=

10  3  5
10  3  5
Bài 7:(HSG, lớp 9 TX Hà Đơng, Hà Tây 2002-2003) Rút gọn biểu thức sau:

A  a  b  c  2 ac  bc  a  b  c  2 ac  bc với a,b,c  0
Bài 8: (HSG, lớp 9 TX Hà Đơng, Hà Tây 2003-2004) Cho biểu thức sau:

x4 x4  x4 x4
8 16
1  2
x x
Rút gọn rồi tìm các giá trò nguyên của x để A có giá trò nguyên.
Bài 9:(HSG, lớp 9 TX Hà Đơng, Hà Tây 2003-2004): Rút gọn các biểu thức sau:
A

a) A  4  7  4  7  2
b) B = 6 + 2 2 3 

2  12  18  128


1 1
1 1
2
2
Bài 14: (Vào lớp 10 chun Tốn Tin ĐHSp Hà nội 2002-2003): Chứng minh rằng số

xo  2  2  3  6  3 2  3
là nghiệm của phương trình: x4  16x 2 + 32 = 0


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 15

Bài 15: (Vào lớp 10 chun PTNK Trần Phú Hải Phòng 2003-2004):
Cho A =

xy
x2y4
, với x  y, y  0.
y2
x 2  2xy  y 2
2003

27
 27 
Rút gọn A. Tính giá trò của A khi x =
và y =  
7
 7 

Cho biểu thức M = 



x  1  2x  x  1 2 x  1
x x 1

1) Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghóa, sau đó rút gọn M.
2) Với giá trò nào của x thì M đạt giá trò nhỏ nhất. Tìm giá trò nhỏ nhất đó của Mù.
Bài 20: (Vào lớp 10 PTNK TpHCM 2007-2008):
Cho biểu thức P(x) =


Cho biểu thức A =





x2  4  2 x  x  1

x2  4  2



x  2 x 1

x(x x  1)
Hãy tìm tất cả các giá trò của x để A  0 ?
Bài 21: (Vào lớp 10 PTNK TpHCM 2007-2008):

15  12
1
A=

5 2
2 3


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

 a 2
a  2 
4 
B = 

  a 
 , với a > 0 và a  4.
a  2 
a
 a 2
Bài 24: (Vào lớp 10 Chuyên Hà Nội Amsterdam 2005-2006)

Cho biểu thức: P =

x x 1 x x 1 x 1


x x x x
x


111

1
1
2 x


2 x 2 x 4x
1
Rút gọn biểu thức A và tìm x để A = .
4
2) Cho biểu thức A =

Bài 28: (Vào lớp 10 Chuyên Lê Quý Đôn Quy Nhơn 2005-2006)

1
1
1
1

với a =
và b 
a 1 b 1
2 3
2 3
Bài 29: (Vào lớp 10 Chuyên Hà Nội Amsterdam 2004-2005)
Tính giá trò của biểu thức: A =

 x 1
x  1  1

a) Cho biết A= 9 + 3 7 và B = 9  3 7. Hãy so sánh A + B và AB.

Trang 16


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

1  5 5
 1
b) Tính giá trò của M = 

:
 3  5 3  5  5 1
Bài 32: (Vào lớp 10 Chuyên Lê Quý Đôn Quy Nhơn 2004-2005)


a 2
a  2  a 1
2
Chứng minh rằng: 



a 1
 a  2 a  1 a 1  a
Bài 33: (Vào lớp 10 Chuyên Lê Hồng Phong tp HCM 2003-2004)

1
3 2 2 3
.

Cho các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức:

1 





1  x2 1  1  y 2  1

Chứng ming rằng: x + y = 0.
Bài 38: (Vào lớp 10 Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2009-2010)
Cho x=

42 3  3



52



3

17 5  38  2

.Tính P = (x2 + x + 1)2009 ?

Trang 17



3

a

3

b
4) a  b  3 a  3 b.

Ví dụ 1: Tính:

a) 3 8  3 23  2;

3

8  3 (2)3  2

b) 3 162  3 48  3 6  3 33.6  3 23.6  3 6  3 3 6  2 3 6  3 6  0
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau:

A = 3 2 5  3 2 5
Dùng đẳng thức: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
ta có: A3 =



3

3


 A3 = 4  + 3 A 3 1
 A3  3A  4  0
 (A  1)(A 2  A  4)  0
 (A  1)(A 2  A  4)  0
Vậy A = 1.
Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 x + 6  3 10  x  4

(* )
Giải:
Để rút gọn vế trái của (*) ta dùng đẳng thức: (a  b)3  a3  b3  3ab(a  b)
3
(*)  3 x + 6  3 10  x  43









 x  6  10  x  33 x + 6.3 10  x 3 x + 6  3 10  x  64
 16  33 x + 6.3 10  x.4  64 (do (* ))

 3 x + 6.3 10  x  4
 (x  6)(10  x)  43

 x2  4x  4  0
x2

Bài 3: Cho 2 số a, b thỏa b >

3

a2
.Chứng minh rằng:
4

4 2
4
(a  b)3 3 ab  a 2 b 2  (a 2  b)3
27
27

a
2
2

ab  a 2 b 2 

5 2 7  3 5 2 7
Bài 5: (Vào lớp 10 Quốc Học Huế 2002-2003)
Bài 4: Tính giá trò của: x =

3

Chứng minh rằng: 3 70  4901  3 70  4901 = 5
Bài 6: (Vào lớp 10 chuyên Lê Quý Đôn, Quy Nhơn 2004-2005)
Tính 3 20  14 2  3 20  14 2


  . 
x 1
x  1 
  1  x    x  2
Giải:
x x
a) y 
x 1
Điều kiện xác đònh của hàm số là :
x  0
 x  0
 x  0


 x  1.

 x  1  0  x  1 x  1
x0

 x0


x  0
 x 2 > 0
 x 2



b) Điều kiện xác đònh của hàm số là :
 x  1 > 0   x >1  x  4  x  4

b) B  x2  2y2  6x  4y  11  x2  3y2  2x  6y  4

 (x 2  6x  9)  2(y2  2y  1)  (x2  2x  1)  3(y2  2y  1)
 (x  3)2  2(y  1)2  (x  1)2  3(y  1)2
 B  (x  3)2  (x  1)2 (do (y  1)2  0)
Mà theo ví dụ trên thì A  (x  3)2  (x  1)2  4.
 y 1  0
 y  1
Vậy gtnn(B)  4  

.
 1  x  3  1  x  3
c) C  x2  y2  4x  2y  5  x 2  y2  6x  2y  8


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 21

 (x 2  4x  4)  (y2  2y  1)  (x2  6x  9)  (y 2  2y  1)
 (x  2)2  (y  1)2  (x  3)2  (y  1)2
 C  (x  2)2  (x  3)2  x  2  x  3  (2  x)  (x  3)  1
 x-2  0
 x2
 x2


Vậy gtnn(C)  1 khi  x -3  0   x  3  
y  1  0 y  -1 y  1



a b
Giải:

Ví dụ 4: Cho a, b  0, chứng min h rằng :

a b

2

Áp bất đảng thức Cô - si :
nên


Vậy

2

a b

2 ab

a b
2 ab
a b

ab

1
ab

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si :
c (a  c) 1  c a  c 
.
  

b
a
2 b
a 

1

c(a  c)  c(b  c)  ab

Giải:
c (a  c)
bc c
.

. 1
b
a
b a

(1)


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

bc c 1 bc c

2

c(a  c)  c(b  c)

2
2
2
2
  c  b  c 
 a  c  c 






2

 ba

c(a  c)  c(b  c)  ab (đpcm).

Ví dụ 6: Tìm giá trò lớn nhất của hàm số : y  4sin x  3 cos x ?
Giải:

Áp dụng bất đảng thức B.C.S :
(4sin x  3 cos x)2  (42  32 )(sin 2 x  cos2 x)  25
 4 sin x  3cos x  5
Vậy y  4 sin x  3 cos x  4sin x  3 cos x  5 (đpcm).


 ... 
.
n 1
n2
nn

Chứng min h rằng :

1 n
 A  n 1
2

Bài 3:
a) Chứng min h rằng :

n 1  n 1  1
1 
 


2n  1
2 n
n 1 

2 1
3 2
4 3
100  99



2n  1
1
1 
 1
*
 2

Bài 5: a) Chứng min h rằng :
 , k  
(k  1) k
k 1 
 k
b) Chứng min h rằng : P 

b) Chứng min h rằng :

1
2 1
1



1
3 2

 ... 

1
(n  1) n


 k
k  k2
b) Chứng min h rằng :





b) Chứng min h rằng :
1
1
S1 

 ... 
3
3
1 3
3 5



S2 

 

1



2 4


1



2114  2116

3



11
90



2
16

1
2

ab a  b
1
1
1
1


 .... 


Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ

Trang 24

Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN.

I.Các phương trình chứa căn cơ bản: Các phương trình chứa căn thường có các dạng cơ bản sau:

1)

 B 0
A B 
2
A  B

B  0 (hoặc A  0)
2) A  B  
AB

Chọn điều kiện B  0 hoặc A  0 sao cho đơn giản

 A  0,B  0
 A  0,B  0

3) A  B  C  

CAB
A  B  2 AB  C
 AB 


2x  1  0


x 2  6x + 6 = 2x  1   2
2
x  6x + 6 = (2x  1)
1

x

1
2


x

 
  x  1  x  1
2
3x 2 + 2x  5 = 0

5
x  
3

Vậy x =1 là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2: Giải phương trình:

3x + 4  2x  1 = x+3.