Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN H C

PH M TH THU PHƯƠNG

LU T S L N Đ I V I MARTINGALE
TRÊN TRƯ NG NG U NHIÊN

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C
Chuyên ngành: Lý thuy t xác su t và th ng kê toán h c
Mã s : 60 46 01 06

Ngư i hư ng d n khoa h c
GS.TSKH. Nguy n Duy Ti n

HÀ N I - 2015


M cl c
L i c m ơn

3

M đu

4

M t s kí hi u

7

9

1.2 Dãy martingale . . . . . .

. ..........

....

..

12

1.2.1 Đ nh nghĩa . . . .

. ..........

....

..

12

1.2.2 Các tính ch t . . .

. ..........

....

..


31

2.1.4 Khái ni m h i t . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

33

2.2 Trư ng martingale . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

40

2.2.1 Đ nh nghĩa . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

40

2.2.2 M t s tính ch t . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

41

3 Lu t s l n
3.1 Lu t y u s l n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1


M đu
Xác su t là m t b ph n c a toán h c nghiên c u các hi n tư ng ng u
nhiên. Lý thuy t xác su t nh m tìm ra nh ng quy lu t trong nh ng hi n tư
ng "tư ng ch ng" như không có quy lu t. M t trong nh ng hi n
tư ng ng u nhiên đang đư c nghiên c u và ngày càng tr thành công c
toán h c quan tr ng trong các lĩnh v c c a xác su t và gi i tích đó là lý
thuy t v martingale.
Martingale b t đ u t trò chơi. đây trò chơi đư c hi u theo nghĩa r ng:
như chơi bài, mua s s , đánh s đ , c phi u hay b v n đ u tư ...
Khi b t đ u cu c chơi, ngư i chơi có v n là M0, thông tin ban đ u mà

ngư i chơi bi t đư c là Φ0. Sau ván chơi th nh t, v n c a ngư i chơi s là bi

n ng u nhiên M1, và thông tin sau ván chơi th nh t s tăng lên:Φ0 ⊂ Φ1. Ti
p t c chơi các ván th hai, v n sau khi chơi ván hai s
là bi n ng u nhiên M2 và thông tin bây gi s tăng lên:F0 ⊂ F1 ⊂ F2.
B ng cách đó, ti n v n s có sau ván th n là bi n ng u nhiên Mn, và
thông tin sau khi chơi ván th n là Fn. Như v y, v n c a ngư i chơi và

thông tin thu th p đư c l p thành dãy {Mn, Fn}. V phương di n toán h c, ta
có th xem Fn là dãy σ − trư ng không gi m, và dãy Mn là bi n ng u nhiên ph
thu c vào Fn − đo đư c.
-Trò chơi đư c xem là không thi t h i ho c công b ng:
V n ván sau = v n ván trư c
E (Mn+1|Φn) = Mn đư c g i là martingale

-Trò chơi đư c xem là thi t h i:

4


G m 2 ph n:
5


Ph n 1:Gi i thi u v martingale g m: khái ni m martingale tr c giao,
các b t đ ng th c cơ b n, các đ nh lý h i t Cairoli v s h i t c a martingale
tr c giao.
Ph n 2: D a trên lý thuy t c a martingale m t ch s và martingale tr c
giao chúng ta s đưa ra khái ni m v trư ng martingale, m i liên h gi a
martingale tr c giao và martingale. Qua đó th a nh n các k t qu v b t đ
ng th c và tính h i t c a martingale đã xây d ng v i martingale tr c giao,
trư ng h u martingale . . . Chương 3. Lu t s l n .
G m 2 ph n:
Ph n 1: Lu t y u s l n
M t s đ nh lý quan trong. Ph n
2: Lu t m nh s l n M t s đ nh lý
quan tr ng.

6


M t s kí hi u

(Ω, Φ, P) : không gian xác su t.
R : trư ng các s th c
N : trư ng các s t nhiên
I : hàm ch tiêu.

Β : t p Borel.
Φ : σ − đ i s tương thích. Γ :σ−đ

α

|n | =

i=1
d
i=1

ni
n

α

ii

Nd := {n = (n1, ..., nd)|ni ∈ N}
Zd := {n = (n1, ..., nd)|ni ∈ Z}

8


Chương 1
Ki n th c chu n b
1.1
1.1.1

Kì v ng có đi u ki n
Đ nh nghĩa

Đ nh nghĩa 1.1.1. Gi s (Ω, Φ, P) là không gian xác su t; X : Ω −→ R, E|X|

Y dP =
A

cdP =

XdP

A

A

Do đó: Y = c = E(c|Γ).
Đ nh lý 1.1.2. N u X ≥ Y (h.c.c.) thì E(X|Γ) ≥ E(Y |Γ) (h.c.c.)
Ch ng minh. Đ t Z = E(X|Γ); T = E(Y |Γ)
Khi đó: Z ∈ Γ; T ∈ Γ và v i ∀A ∈ Γ, ta có
XdP ≥

ZdP =
A

Y dP =

A

A

T dP
A

T đó suy ra:

A

(aX + bY )dP
A

Suy ra, E(aX + bY |Γ) = aE(X|Γ) + bE(Y |Γ).
Đ nh lý 1.1.4. N u X và Γ đ c l p thì E(X|Γ) = EX.

10


Ch ng minh. Đ t Y = EX. Khi đó, Y ∈ Γ
Vì v i ∀B ∈ Β(R) ta có:
Y

−1

=

∅ EX ∈ Β /
Ω EX ∈ Β.

M t khác, v i ∀A ∈ Γ ta có X và IA đ c l p
Do đó
Y dP = EXdP = EX dP = P(A)EX
A

A

A

Đ nh lý 1.1.6. N u X là Γ-đo đư c thì E(X|Γ) = X

(h.c.c.)

Ch ng minh. Theo gi thi t ta có Y, X ∈ Γ. M t khác, ∀A ∈ Γ ta có
Y dP =
A

XdP
A

Do đó:
E(X|Γ) = X.

11


Đ nh lý 1.1.7. N u Γ1 ⊂ Γ2 thì
E(X|Γ1) = E[E(X|Γ1)|Γ2] = E[E(X|Γ2)|Γ1].

Ch ng minh. Đ t Y = E(X|Γ1); Z = E(X|Γ2).
Khi đó, E(Y |Γ2) = Y và Y = E(Z|Γ1)
Th t v y, Y = E(X|Γ1) ⇒ Y ∈ Γ1 nên Γ1 ⊂ Γ2
Theo đ nh lý 1.1.6, ta có Y = E(Y |Γ2)
M t khác, ∀A ∈ Γ1 thì A ∈ Γ2 nên ta có
Y dP =
A

XdP =
A

(iii") V i m, n ∈ N; m ≤ n: E(Xn|Φm) ≥ Xm (h.c.c.)
4) hi u martingale n u:
12


(i) (Xn, Φn, n ∈ N) là dãy phù h p.
(ii) E|Xn| < ∞, ∀n ∈ N.

(iii"') V i m, n ∈ N; m < n: E(Xn|Φm) = 0

(h.c.c.)

Chú ý 1.2.1. T đ nh nghĩa kì v ng có đi u ki n, ta có:
Đi u ki n (iii) tương đương v i
X n dP =

XmdP,

∀A ∈ Φm, m ≤ n.

XmdP,

∀A ∈ Φm, m ≤ n.

XmdP,

∀A ∈ Φm, m ≤ n.

A