Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

-----------------------

NGUY N THU HÀ

S T N T I NGHI M C A
BÀI TOÁN QUAN H BI N PHÂN

Chuyên ngành: TOÁN GI I TÍCH
Mã s :
60. 46. 01. 02

LU N VĂN TH C S

KHOA H C

NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C:
PGS. TS. T

Hà N i - Năm 2015

DUY PHƯ NG


M cl c
M đu


.....
.......
. . 12
.....
.......
. . 12
.....
.......
. . 15
v đi m b t đ ng c a
.....
.......
. . 16

tôpô . . . . . . . . . .
tôpô . . . . . . .
........
1.1.5 Không gian véctơ đ nh chu n . . .
1.2 Ánh x đa tr . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Đ nh nghĩa ánh x đa tr . . . . . .
1.2.2 Tính liên t c c a ánh x đa tr . .
1.2.3 M t s đ nh lý v s tương giao và
ánh x đa tr . . . . . . . . . . . .

2 Bài toán quan h bi n phân
2.1 Phát bi u bài toán và m t s ví d . . . . . . . . . . .
2.2 S t n t i nghi m c a bài toán quan h bi n phân . .
2.2.1 Đ nh lý cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Tiêu chu n d a trên s tương giao c a các t p
2.2.3 Tiêu chu n d a trên đ nh lý đi m b t đ ng . .

.
.
.
.
.
.

32
32
33
34
34
35
35
36

h bi n phân không có
.
.
.
.
.
.
i

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.


.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.


1


4 Bài toán quan h bi n phân không có tính ch t KKM
4.1 Quan h KKM t ng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Bài toán quan h bi n phân không có tính ch t KKM . . . . . .
4.3
ng d ng vào m t s bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Bài toán bao hàm th c bi n phân . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 B t đ ng th c Ky Fan minimax t ng quát v i hàm C t a lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 B t đ ng th c véctơ minimax Ky Fan véctơ t ng quát v i
C - P - t a lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



M đu
Đ đưa ra m t ch ng minh đơn gi n hơn ch ng minh ban đ u r t ph c t p c a đ
nh lý đi m b t đ ng Brower (1912), ba nhà toán h c Balan là Knaster, Kuratowski,
Mazurkiewicz đã ch ng minh m t k t qu quan tr ng v giao khác r ng c a h u h n
các t p đóng trong không gian h u h n chi u (1929), k t qu này sau g i là b đ
KKM. Năm 1961, Ky Fan m r ng b đ này ra không gian vô h n chi u, k t qu này
đư c g i là Nguyên lý ánh x KKM. Vào năm 2008, GS. Đinh Th L c đã s d ng
quan h KKM vào m t bài toán m i, bài toán "Quan h bi n phân", nh m nghiên c
u m t bài toán t ng quát hơn theo nghĩa m t s l p bài toán quen thu c như bài
toán t i ưu tuy n tính, bài toán t i ưu phi tuy n, bài toán cân b ng, bài toán t a cân
b ng, bài toán bao hàm th c bi n phân, bài toán bao hàm th c t a bi n phân, bài
toán b t đ ng th c bi n phân có th bi n đ i đư c v bài toán này.
Bài toán quan h bi n phân đư c phát bi u như sau:
Cho A, B, Y là các t p khác r ng, S1 : A
A, S2 : A
B, T : A ⋅ B
các ánh x đa tr v i giá tr khác r ng và R(a, b, y) là quan h gi a các ph n t
a ∈ A, b ∈ B, y ∈ Y. Hãy tìm m t đi m a ∈ A sao cho

Y là

(1) ¯ là đi m b t đ ng c a ánh x S1, t c là ¯ ∈ S1(¯);
a

a

(2) Quan h R(¯ b, y) đúng v i m i b ∈ S2(¯) và y ∈ T (¯ b).
a,



L i c m ơn
Lu n văn này đư c hoàn thành t i Trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên - Đ i h c Qu
c gia Hà N i. Nhân d p này tôi xin bày t lòng bi t ơn sâu s c t i PGS. TS. T Duy
Phư ng - Vi n Toán h c, Vi n Khoa h c và Công ngh Vi t Nam, ngư i th y đã t n
tình hư ng d n tôi hoàn thành công vi c nghiên c u này này.
Tôi xin g i t i quý th y cô Khoa Toán - Cơ - Tin h c, Trư ng Đ i h c Khoa h c T
nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà N i, cũng như các th y cô đã tham gia gi ng d y khóa
cao h c 2012 - 2014, l i c m ơn sâu s c nh t.
Xin đư c c m ơn gia đình, đ ng nghi p, b n bè đã đ ng viên r t nhi u giúp tôi
hoàn thành lu n văn này.
Hà N i, tháng 9 năm 2015
Tác gi lu n văn
Nguy n Thu Hà

5


Chương 1

Ki n th c cơ s
Trong chương này, ta s trình bày m t s ki n th c v gi i tích hàm như các khái ni
m không gian metric, không gian tôpô, không gian véctơ tôpô,..và khái ni m ánh x
đa tr , tính liên t c c a ánh x đa tr ,...(theo [1] và [2]) c n thi t cho vi c trình bày
các n i dung chương sau.

1.1
1.1.1


Đ nh nghĩa 1.1.3. (Xem [1], trang 262) Cho X là không gian véctơ, x1, x2, ..., xk ∈
X và các s λ1, λ2, ..., λk th a mãn λj ≥ 0, j = 1, 2..., k và
k

x=
j=1

k

j=1

λj = 1. Khi đó,

λjxj, đư c g i là t h p l i c a các véctơ x1, x2, ..., xk ∈ X.

Đ nh nghĩa 1.1.4. (Xem [1], trang 262) Gi s S ⊂ X. Bao l i c a S, kí hi u
là convS là t p h p các t h p l i c a các đi m c a S.
Đ nh nghĩa 1.1.5. Cho X là không gian véctơ.
1. M t t p C ⊆ X đư c g i là nón n u v i m i λ ≥ 0, m i x ∈ C thì λx ∈ C.
2. M t nón đư c g i là nón l i n u nó đ ng th i là t p l i. Như v y, m t t p C
là nón l i khi và ch khi nó có các tính ch t sau:
(i) λC ∈ C v i m i λ ≥ 0,
(ii) C + C ⊆ C.
1.1.2

Không gian tôpô

Đ nh nghĩa 1.1.6. (Xem [1], trang 372)(Không gian tôpô) Cho t p X = ∅. M t h τ
các t p con c a X đư c g i là m t tôpô trên X n u nó th a mãn các tính
ch t sau:

Đ nh nghĩa 1.1.13. (Xem [1], trang 377) Gi s A là t p con b t kì c a không gian
tôpô (X, τ ). Ta g i bao đóng c a A là giao c a t t c các t p đóng ch a A.
Bao đóng c a A là t p đóng nh nh t ch a A. Nó đư c ký hi u b i A ho c ¯
clA.

Đ nh nghĩa 1.1.14. (Xem [1], trang 383) Cho X là m t không gian tôpô và
M ⊂ X. M là t p compact n u và ch n u m i ph m c a M đ u ch a m t ph con h u h n.
Đ nh nghĩa 1.1.15. (Xem [1], trang 377) Cho X, Y là hai không gian tôpô.
M t ánh x f t X vào Y đư c g i là liên t c t i đi m x0 n u v i m i lân c n
V c a f (x0) t n t i m t lân c n U c a x0 sao cho f (U ) ⊆ V.

Ánh x f đư c g i là liên t c trên X n u nó liên t c t i m i đi m x ∈ X.

8

o


Đ nh nghĩa 1.1.16. (Xem [1], trang 382) Không gian tôpô (X, τ ) đư c g i là
không gian Hausdorff (hay T2 − không gian) n u m i c p đi m x khác y trong
X đ u t n t i m t lân c n U c a x và V c a y sao cho U ∩ V = ∅.
Đ nh nghĩa 1.1.17. T p I khác r ng đư c g i là đ nh hư ng n u trên nó xác
đ nh m t quan h " ≥ " th a mãn các tính ch t sau:
(i)) V i m i α, β, γ ∈ I sao cho: α ≥ β, β ≥ γ thì α ≥ γ;
(ii) N u α ∈ I thì α ≥ α;
(iii) V i m i α, β ∈ I thì t n t i γ ∈ I sao cho: γ ≥ α, gamma ≥ β.
Khi đó ta nói t p I đư c đ nh hư ng b i quan h " ≥ " và kí hi u là (I, ≥) ho c
vi t t t là I.
Đ nh nghĩa 1.1.18. Cho I là t p đ nh hư ng b i quan h " ≥ ". Khi đó ánh
x x xác đ nh trên I và nh n giá tr trong t p X đư c g i là lư i (hay dãy suy

1.1.4

Không gian metric

Đ nh nghĩa 1.1.22. (Xem [1], trang 34) Cho t p X = ∅, ánh x d t tích X ⋅ X
vào t p h p các s th c R đư c g i là m t metric trên X n u các tiên đ sau
đây đư c th a mãn:
1) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, (tiên đ đ ng nh t);
2) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x), (tiên đ đ i x ng);
3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đ tam giác).
T p X v i metric d trang b trên X đư c g i là không gian metric, kí hi u là (X, d)
hay thư ng đư c vi t là X.
S d(x, y) đư c g i là kho ng cách gi a hai ph n t x và y. Các ph
n t c a X đư c g i là các đi m.
Các tiên đ 1), 2), 3) đư c g i là h tiên đ metric.
Đ nh nghĩa 1.1.23. Cho X là không gian metric, m t đi m x ∈ X và A là m t
t p con c a X. Kho ng cách t đi m x đ n t p A đư c xác đ nh b i
d(x, A) = ainf d(x, a). ∈A

Đ nh nghĩa 1.1.24. (Xem [1], trang 47) Trong không gian metric X. M t dãy
{xn} đư c g i là dãy cơ b n (dãy Cauchy) n u
(∀ε > 0) (∃N ) (∀n ≥ N ) (∀m ≥ N ) thì d (xn, xm) < ε.

Nh n xét 1.1.1. M t dãy h i t bao gi cũng là dãy cơ b n, vì n u xn → x thì
theo b t đ ng th c tam giác ta có
d (xn, xm) ≤ d (xn, x) + d (x, xm) → 0 (n, m → ∞).

Nhưng ngư c l i m t dãy cơ b n trong m t không gian b t kỳ không nh t
thi t h i t . Ch ng h n n u xét kho ng (0, 1) là m t không gian metric v i
d(x, y) = |x − y| v i m i x, y ∈ (0, 1) thì dãy


Không gian véctơ đ nh chu n

Đ nh nghĩa 1.1.27. (Xem [1], trang 187)(Không gian véctơ đ nh chu n) M t
không gian đ nh chu n là m t không gian véctơ X, trong đó ng v i m i ph n t x ∈
X, ta có m t s x ,đư c g i là chu n c a nó sao cho các đi u ki n sau
đư c th a mãn:
1) x > 0 n u x = 0, x = 0 n u x = 0;
2) αx = |α| x (tính thu n nh t c a chu n).
3) x + y
x + y (b t đ ng th c tam giác);
Đ nh nghĩa 1.1.28. (Xem [1], trang 189) Không gian Banach là không gian
véctơ đ nh chu n đ y đ . Đi u này nghĩa là m t không gian Banach là không gian
véctơ V trên trư ng s th c v i m t chu n . sao cho m i dãy Cauchy (tương ng v i
metric d (x, y) = x − y ) có gi i h n trong V.
Đ nh nghĩa 1.1.29. (Xem [1], trang 313) Trong không gian Rk tích vô hư ng
c a hai véctơ x = (ξ1, ξ2, ..., ξk) , y = (η1, η2, ..., ηk) đư c xác đ nh b i công th c:
(x, y) = ξ1η1 + ξ2η2 + ... + ξkηk.

Đ nh nghĩa 1.1.30. (Xem [1], trang 315) M t không gian véctơ th c X đư c
g i là không gian Hilbert, n u trong nó xác đ nh hàm hai bi n (x, y), g i là tích
vô hư ng c a hai véctơ (x, y), v i các tính ch t sau:
1) (x, y) = (y, x) ;
2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ;
3) (αx, y) = α (x, y) v i m i s th c α;
4) (x, x) > 0 n u x = 0, (x, x) = 0 n u x = 0.
11


1.2

domF = {x ∈ X : F (x) = ∅} ,
và
rgeF = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)} .
Đ nh nghĩa 1.2.3. (Xem [2], trang 11) Cho X và Y là các không gian tôpô và
F :X
Y là ánh x đa tr .
1. F đư c g i là ánh x đóng (ho c ánh x có đ th đóng) n u gphF là t p
đóng trong không gian tôpô tích X ⋅ Y.
2. F đư c g i là ánh x có giá tr đóng n u F (x) là t p đóng v i m i x ∈ domF.
3. F đư c g i là ánh x m (ho c ánh x có đ th m ) n u gphF là t p m
trong không gian tôpô tích X ⋅ Y.
4. F đư c g i là ánh x có giá tr m n u F (x) là t p m v i m i x ∈ domF.
12


Nh n xét 1.2.2. N u ánh x đa tr F có gphF đóng thì F (x) là đóng v i m i
x ∈ domF.

Th t v y, l y m t lư i (xn, yn) ∈ gphF sao cho (xn, yn) h i t t i (¯ ¯). Do x, y
(xn, yn) ∈ gphF nên yn ∈ F (xn). M t khác, gphF là đóng nên (x, y) ∈ gphF, suy

ra ¯ ∈ F (¯). V y v i m i lư i xn → ¯ v i yn ∈ F (xn) thì ¯ ∈ F (¯). V y F (x) là
y

x

x,

y


n u x = 0,

0

n u x = 0.
1,1 − 1
n
n

∈ gphF và 1 → 0,
n

(1.2)
1− 1

n

→1

Đ nh nghĩa 1.2.4. (Xem [2], trang 11) Cho X, Y là các không gian véctơ. Ta
nói ánh x đa tr F : X
Y là:
1. Ánh x đa tr l i n u gphF là t p l i trong không gian tích X ⋅ Y.
2. Ánh x có giá tr l i n u F (x) là t p l i v i m i x ∈ X.
Nh n xét 1.2.3. Gi s X, Y là các t p l i c a không gian tuy n tính.

• Ánh x đa tr F : X

Y là l i n u và ch n u v i m i x1, x2 ∈ X và t ∈ [0, 1]


0} .

Khi y f là hàm l i, khi và ch khi F là ánh x đa tr l i.
Th t v y, do f là hàm l i khi và ch khi
tf (x1) + (1 − t) f (x2)

f (tx1 + (1 − t) x2) .

Suy ra t n t i α > 0 sao cho:
tf (x1) + (1 − t) f (x2) = f (tx1 + (1 − t) x2) + α.

Vì F (x1) = f (x1) + R+ nên t n t i s1, s2 ∈ R+ sao cho F (x1) = f (x1) + s1,
F (x2) = f (x2) + s2. Xét w ∈ tF (x1) + (1 − t) F (x2) , t c là
w = tf (x1) + ts1 + (1 − t)f (x2) + (1 − t)s2
= f (tx1 + (1 − t)x2) + α + ts1 + (1 − t)s2
= f (tx1 + (1 − t)x2) + β,

v i β = α + ts1 + (1 − t)s2 ≥ 0 ∈ F (tx1

+ (1 − t)x2).

V y tF (x1) + (1 − t)F (x2) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2). Hay F là ánh x đa tr l i.
Ví d 1.2.4. Ánh x đa tr F : R

R xác đ nh b i

F (x) = y ∈ R : y ≥ x2 + 2x + 2 ,

là ánh x đa tr l i.
Ví d 1.2.5. Ánh x đa tr F : R

Đ nh nghĩa 1.2.5. (Xem [2], trang 19) Ánh x F là:
(i) N a liên t c trên t i x ∈ domF (kí hi u usc) n u v i m i t p m V ⊂ Y th a
mãn F (x) ⊂ V, t n t i t p m U c a x sao cho F (x) ⊂ V v i m i x ∈ U;
(ii) N a liên t c dư i t i x ∈ domF (kí hi u lsc) n u v i m i t p m V ⊂ Y
th a mãn F (x) ∩ V = ∅, t n t i t p m U c a x sao cho F (x) ∩ V = ∅ v i
m i x ∈ U ∩ domF ;
(iii) Liên t c t i x ∈ domF n u nó v a n a liên t c trên và n a liên t c dư i
t i x.
N u F liên t c t i m i đi m thu c domF, thì F đư c g i là liên t c trên domF
Ví d 1.2.6. Xét ánh x đa tr F : R
F (x) =

R xác đ nh b i
0, 1

2

[0, 1]

n u x = 0,
n u x = 0.

Ánh x F là ánh x n a liên t c trên t i x = 0 nhưng không là ánh x n a liên t c
dư i t i x = 0.
Th t v y, l y m t lân c n m V c a F (0) sao cho F (0) ⊂ V , hay [0, 1] ⊂ V.
L y U là lân c n b t kỳ c a 0 , khi y ta có F (x) = [0, 1) ⊂ [0, 1] ⊂ V v i m i 2
x ∈ U, x = 0.
V y F là ánh x n a liên t c trên t i x = 0.
Ti p theo ta ch ng minh F không là ánh x n a liên t c dư i t i x = 0.
L y V = 3, 2 , ta có F (0) = [0, 1] nên F (0) ∩ V = (3, 1] = ∅.

1
5


V y F là hàm n a liên t c dư i t i x = 0.
Ti p theo ta ch ng minh F không là ánh x n a liên t c trên t i x = 0
Th t v y, l y m t lân c n m V = −1, 1 c a F (0). Khi y m i lân c n U 22
c a 0 thì t n t i x ∈ U, x = 0 sao cho F (x) = [0, 1] ⊂ V. Do đó F không ph i là
ánh x n a liên t c trên t i x = 0.
1.2.3

M t s đ nh lý v s tương giao và v đi m b t đ ng c a ánh x đa
tr

Cho X, Y là các không gian véctơ tôpô Hausdorff, A m t t p con khác r ng
trong X.
Đ nh nghĩa 1.2.6. (Ánh x KKM) Ánh x đa tr F : A
A đư c g i là ánh
x KKM n u v i m i t p con h u h n {a1, ..., an} c a A và m i ph n t a thu c
vào bao l i c a {a1, ..., an} có th tìm đư c m t ch s i sao cho a ∈ F (ai).
Dư i đây là m t s đ nh lý quan tr ng c a gi i tích hàm s d ng trong các
Chương sau
Đ nh lý 1.2.1. (Đ nh lý v s tương giao c a các t p compact) Gi s {Ci : i ∈ I} là m t h
các t p compact, khác r ng trong không gian X. N u nó có tính ch t
giao h u h n, t c là

Cj = ∅ v i J là t p h u h n trong I thì
j∈J

Ci = ∅.

Phát bi u bài toán và m t s ví d

Gi s A, B, Y là các t p khác r ng, S1 : A

A, S2 : A
Y

B, T : A ⋅ B

là các ánh x đa tr v i giá tr khác r ng và R(a, b, y) là quan h gi a các ph n
t a ∈ A, b ∈ B, y ∈ Y.
Đ nh nghĩa 2.1.1. Bài toán tìm ¯ ∈ A sao cho a
(1) ¯ là đi m b t đ ng c a ánh x S1, t c là ¯ ∈ S1(¯);
a

a

a

(2) Quan h R(¯ b, y) đúng v i m i b ∈ S2(¯) và y ∈ T (¯ b);
a,

a

a,

đư c g i là bài toán quan h bi n phân, kí hi u là (VR).
Các ánh x đa tr S1, S2, T đư c g i là ánh x ràng bu c.
Quan h R là m t quan h bi n phân.
Đi m ¯ th a mãn đi u ki n (1) và (2) đư c g i là nghi m c a bài toán (VR). a

kí hi u là (VIP), phát bi u như sau:
Tìm ¯ ∈ A sao cho ¯ ∈ S1(a) và F (¯ b, y) ⊆ G(¯ b, y) v i m i b ∈ S2(¯) và

a
y ∈ T (¯ b). a,

a

a,

a,

Đ t:
A = B = Y = X,
S1(a) = X = S2(a), T (a, b) = {b} v i m i a ∈ A, b ∈ B.

Quan h R đư c xác đ nh như sau:
R(a, b, y) đúng n u F (a, b, y) ⊆ G(a, b, y) v i m i b ∈ S2(a) và y ∈ T (a, b).

Như v y, (VIP) là (VR).
Ví d 2.1.3. Bài toán cân b ng (Equilibrium Problem)
Cho t p X = ∅, φ là m t hàm th c trên t p X ⋅ X. Bài toán cân b ng, đư c kí
hi u là (EP), phát bi u như sau
Tìm ¯ ∈ X sao cho φ(¯ y) ≥ 0 v i m i y ∈ X.
x

x,

Đ t:
A = B = Y = X,

Quan h R(a, b, y) đư c xác đ nh như sau
R(a, b, y) đúng n u F (a, b) ⊂ −intC, v i m i b ∈ S2(a).

Như v y, (P) là (VR).
Nh n xét: Khi Z = R, F là ánh x đơn tr , ký hi u là ϕ
C = R+ = {x ∈ R : x 0}

Suy ra int C = {x ∈ R : x > 0} hay − int C = {x ∈ R : x < 0} .
Khi đó F (x, y) ⊂ − int C tr thành ϕ (x, y) ⊂ − int C hay ϕ (x, y) > 0.
Do đó b t đ ng th c véctơ Ky Fan là m r ng (t ng quát hóa) c a bài toán
cân b ng.
Ví d 2.1.6. Bài toán cân b ng véctơ t ng quát m nh (Generalized strong
vector equilibrium problem)
Cho X là không gian tôpô, Z là không gian véctơ tôpô và C ⊂ Z là nón l i,
đóng. Gi s t p con K ⊂ X khác r ng và F : K ⋅ K
Z, F (x, y) = ∅, ∀x, y ∈ K.
Bài toán cân b ng véctơ t ng quát m nh, kí hi u là (GSVEP) phát bi u như
sau:
Tìm x ∈ K sao cho F (x, y) ∩ (−C∴ {0Z}) = ∅ v i m i y ∈ K.
19


Đ t A = B = K = Y, S1(a) = K = S2(a), T (a, b) = {b} v i m i a ∈ A, b ∈ B và
quan h R(a, b, y) đư c xác đ nh như sau:
R(a, b, y) đúng n u F (a, y) ∩ (−C∴ {0Z}) = ∅, v i m i y ∈ K.

Như v y, (GSVEP) là (VR).
Ví d 2.1.7. Bài toán t a cân b ng (Quasi-Equilibrium Problem )
Cho X là không gian tôpô, C là m t t p con đóng c a không gian véctơ tôpô Z
v i intC khác r ng, các ánh x đa tr S, G : X

a

a

(2) f(¯ b) ∈ Z∴ − intC(¯) v i m i b ∈ S(¯).
a,

a

a

Đt
A = B = Y = X,
S1(a) = S2(a) = S(a), T (a, b) = {b} v i m i a ∈ A và F (x, b, y) = {f (x, b)} và
G (x, b, y) = Z∴ − int C (x) .

Bài toán (QEP') là (VIP), do đó cũng là (VR).
Bài toán (QEP∗) là m t d ng khác c a bài toán (QEP'),
thay th b i −clC(¯), c th : a
Tìm ¯ ∈ A sao cho a

đây −intC(¯) đư c a


20


(1) ¯ ∈ S(¯);
a


P1(b) = A∴S−1(b), S−1(b) = {a ∈ A : b ∈ S2(a} ,
2

2

P2(b) = a ∈ A : a ∈ S1(a) và R(a, b, y) đúng v i m i y ∈ T (a, b) .

Đ nh lý 2.2.1. a ∈ Sol (V R) khi và ch khi ¯ ∈ a

P (b).
b∈B

Ch ng minh. Đi u ki n c n: Gi s ¯ ∈ A là m t nghi m c a bài toán (VR). a
L y b ∈ B b t kì, khi đó có hai kh năng ho c là b ∈ S2(¯) ho c là b ∈ S2(¯).
a

N u b ∈ S2(¯) thì ¯ ∈ S2
/

a

a/

/

a

(b), suy ra ¯ ∈ A∴S−1(b) hay ¯ ∈ P (b), do đó a ∈ P (b)
2
1


a

a/

a

a/

Mà ¯ ∈ P (b) v i m i b ∈ B nên ¯ ∈ P1(b) hay ¯ ∈ A∴S−1(b) v i m i b ∈ B. Suy ra,
a

a

a

/ 2a

1

2

2a

2