UBND HUYỆN YÊN LẠC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI GIAO LƯU HSG LỚP 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 -2017
MÔN: TOÁN
( Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao
đề)

Câu 1 (2,0 điểm):
 x2 −1
1   4 1 − x4 
  x +
− 2
Cho biểu thức: M =  4
÷
2
1 + x2 
 x − x + 1 x + 1 

a) Rút gọn M
b) Tìm các giá trị của x để M có giá trị là số nguyên.
Câu 2 (2,0 điểm):
a) Cho hai số thực x, y thoả mãn x3 − 3 xy 2 = 10 và y 3 − 3x 2 y = 30 .
Tính giá trị biểu thức P = x 2 + y 2 .
b) Giải phương trình với ẩn số là x:

a
b
=

UBND HUYỆN YÊN LẠC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HDC ĐỀ THI GIAO LƯU HSG LỚP 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 -2017
MÔN: TOÁN
( Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao
đề)

Câu

Đáp án

Điểm

a) ĐKXĐ : với mọi x ∈R


x2 −1
1 

− 2
4
2
 x − x + 1 x + 1

 4 1− x4 
 x +

1 + x 2 

3−k
≥ 0 ⇔ 0 < k ≤ 3, mà k∈Z nên k∈{1 ;
Ta có kx2 + k = 3 ⇔ x2 =
k

2 ; 3}
+ k = 1 thì x = ± 2 và M = 0 (thỏa mãn)
+ k = 2 thì x = ±

1
2

0,5
0,5

0,25

0,25

và M = -1(thỏa mãn)

0,25

+ k = 3 thì x = 0 và M = -2 (thỏa mãn)
1

Vậy x ∈ { ± 2 ; ±
2
(2Đ)


x 6 + 3 x 4 y 2 + 3x 2 y 4 + y 6 = 1000

⇔ ( x 2 + y 2 ) = 1000 ⇒ x 2 + y 2 = 10
3

a
b
=
1 − bx 1 − ax
1
1
ĐKXĐ: x ≠
và x ≠
b
a

b) Giải phương trình:

(1)

(1) ⇔ a(1 – ax) = b(1 – bx) ⇔ a – a2x = b – b2x
⇔ a2x – b2x = a – b ⇔ (a2 – b2)x = a – b
+ Nếu a2 – b2 ≠ 0 thì phương trình(1) có nghiệm duy nhất
x=

a−b
1
=
2
2


trình (1) có vô số nghiệm x ≠

+ Nếu a = -b ≠ 0 thì phương trình có dạng: 0x = -2b ⇔
phương trình (1) vô nghiệm.
2

3 7

a) Ta có y 3 − x3 = 2 x 2 + 3x + 2 = 2  x + ÷ + > 0 ⇒ x < y


4

(1)

8

2

9  15

( x + 2)3 − y 3 = 4 x 2 + 9 x + 6 =  2 x + ÷ +
>0
4  16


3
(2 Đ)



H
M

I
B

K
N

D

C

4(3 Đ)
O

∆ BDH : ∆ BEC
⇒ BH.BE = BD.BC
và ∆ CDH : ∆ CFB
⇒ CH.CF = CD.CB.

a) Chứng minh:

⇒ BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC 2 (đpcm)
b) Chứng minh: ∆ AEF : ∆ ABC ⇒ ·AEF = ·ABC
·
·
và ∆ CDE : ∆ CAB ⇒ CED
= CBA

.(2)
= OCH
·
·
⇒ HO là phân giác của góc BHC
Từ (1) và (2) ta có: OHC
= OHB
Vậy O là giao điểm của đường trung trực của HC và phân giác của
góc BHC nên O là điểm cố định.
Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định
là O
a)
P = 2 x2 + y 2 +

0,25

0,25
0,25
0,25

28 1
+
x y


 28
 1
=  + 7 x ÷ +  + y ÷+ 2 x 2 + y 2 − 7 x − y
 x
 y

y
y

0,25

Lại có : (x – 2)2 ≥ 0 ; (y – 1)2 ≥ 0 ; x + y ≥ 3
suy ra : P ≥ 28 + 2 + 0 + 0 + 3 – 9 = 24

Dấu ‘‘= ’’ xảy ra khi

 28
 x = 7x

1 = y
y

x = 2
x − 2 = 0 ⇔ 
y = 1
 y −1 = 0

x + y = 3




Vậy Pmin = 24 khi x = 2 và y

=1
b) Giả sử 10 số được xếp theo thứ tự tùy ý là a,b,c,d,e,f,g,h,i,j. Khi