ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Trần Thị Thu Duyên

NGHIÊN CỨU ĐỐI LƢU TỰ NHIÊN TRONG MIỀN HAI CHIỀU BĂNG PHƢƠNG
PHÁP SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Trần Thị Thu Duyên

NGHIÊN CỨU ĐỐI LƢU TỰ NHIÊN TRONG MIỀN HAI CHIỀU BẰNG PHƢƠNG
PHÁP SỐ

Chuyên ngành: Cơ chất lỏng
Mã số:

60440108

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

MỤC LỤC
Đặt vấn đề

2

Chƣơng 1. Bài toán đối lƣu tự nhiên trong miền hai chiều đóng kín

4

1.1 Đặt bài toán ..........................................................................................................4
1.2 Hệ phương trình Bussinesq ...................................................................................4
1.3 Mô hình bài toán mô phỏng số..............................................................................8
Chƣơng 2. Phƣơng pháp giải số

14

2.1 Mô tả thuật toán phân rã thời gian kết hợp quét luân hướng ...............................14
2.2 Sơ đồ sai phân Samarski ......................................................................................15
2.3 Phương pháp đa lưới giải phương trình hàm dòng ...............................................15
Chƣơng 3. Kết quả mô phỏng số

17

3.1 Bài toán nhiệt độ biên không đổi ..........................................................................17
3.2 Bài toán biên không truyền nhiệt ( bảo ôn) ..........................................................18
Kết luận

20

Tài liệu tham khảo

vậy đã được tiến hành từ lâu và vẫn còn đang thu hút sự quan tâm của các chuyên gia
bởi nhiều hiện tượng mới lạ đã được phát hiện bằng phương pháp thực nghiệm. Các
nghiên cứu đầu tiên về mô hình dòng chảy đối lưu tự do thuộc về Oberbeck [1] và

2


Bouissinespq [2]. Hoàn thiện và mở rộng mô hình từ phương diện phân tích chi tiết các
giả thiêt vật lý đã được đề cập trong các công trình của Sorokin [3], Spiegel và
Veronis[4], Mihaljan[5], Malkus[6], Gray và Giorgini [7]. Tổng quan về dòng chảy đối
lưu có thể thấy trong cuốn sách của Turner [8].
Do bài toán đối lưu tự nhiên trong miền kín liên quan đến những vấn đề kĩ thuật
như: thông thoáng không gian sống và làm việc, làm mát các thiết bị điện tử, truyền
nhiệt trong các thiết bị thu năng lượng mặt trời… nên gần đây bài toán này vẫn thu hút
được sự quan tâm của các chuyên gia. Nhiều công trình nghiên cứu đã được thực hiện
được bằng phương pháp số trong mấy năm qua như [9÷16].
Trong luận văn này bài toán đối lưu tự do của chất lỏng thực trong miền kín hai
chiều với nguồn nhiệt phân bố rời rạc hoặc liên tục trên đáy được mô phỏng số dựa
trên phương pháp sai phân hữu hạn. Các điều kiện khác nhau cho nhiệt độ được mô
phỏng để kiểm tra các đặc trưng khác biệt của dòng chảy trong từng trường hợp. Mô
phỏng số được thực hiện cho một số giá trị của số Grashof- đại lượng đặc trưng cho
cường độ dòng nhiệt dùng để đót nóng chất lỏng từ dưới lên.

3


CHƢƠNG 1. BÀI TOÁN ĐỐI LƢU TỰ NHIÊN TRONG
MIỀN HAI CHIỀU ĐÓNG KÍN
1.1. Mô tả bài toán
Chất lỏng thực chứa trong miền hai chiều kích thước L×L. Dưới tác động của

T 

(2)


 div  V   0
t

(3)

4


Trong đó V là vận tốc, p, T , s là áp suất, nhiệt độ, entropy của chất lỏng,  , ,  , 
lần lượt là tỉ khối, hệ số nhớt trượt, hệ số nhớt thể tích và hệ số truyền nhiệt của chất
lỏng, g là gia tốc trọng trường , còn D là hàm tán xạ có dạng:

2


  v v 2
2
D   1  k   ik divV     divV 
2  xk xi 3


Để khép kín hệ (1)-(3) ta cần đưa thêm vào phương trình trạng thái của môi trường
hai tham số, có dạng tổng quát:
ρ=ρ(T,p)


  
 P '  0 1   T '  P '
 T ' 
 T  p
 p T

  0  

(7)

Trong đó  ,  là hệ số nén đẳng nhiệt và hệ số giãn nở nhiệt của chất lỏng. Từ giả thiết
(6) ta phải có:
P'

1,  T '  1

(8)

5


Giả thiết thêm rằng, ảnh hưởng của biến đổi áp suất đến tỉ khối quá bé so với ảnh
hưởng của nhiệt độ (điều này là đúng đắn đối với chuyển động đối lưu tự do):
P'

T '

(9)

Do đó, phương trình trạng thái có thể viết dưới dạng xấp xỉ sau:

0
T
cp

(13)

Lại một lần nữa ta có đánh giá ảnh hưởng của biến thiên áp suất nhỏ hơn so với biến
thiên nhiệt độ nên ta có:

s  s0 

cp
T

T'

(14)

Thay (14) vào (2) bỏ qua ảnh hưởng không đáng kể của thành phần không tán xạ, ta có
thể coi:
T '
 V T '   T '
t

(15)

6


Với    /  oc p 


(18)

Trong đó k là véc tơ đơn vị theo chiều thẳng đứng hướng lên trên.
Vậy hệ mô tả phương trình chuyển động đối lưu tự do sẽ bao gồm: (12), (15), và (18).
Trong tiếp cận của Bussineq như mô tả ở trên, ta thấy sự giãn nở của tỉ khối do chênh
lệch nhiệt độ chỉ được tính đến duy nhất trong phương trình chuyển động (lực Asimed)
còn phương trình liên tục vẫn ở dạng không nén được. Điều này có vẻ không bình
thường. Tuy nhiên những thực nghiệm cẩn trọng đã chỉ ra rằng giả thiết đó vẫn hợp lí
vì nó mô tả khá chính xác những đặc trưng cơ bản của chuyển động đối lưu tự nhiên.

7


1.3. Mô hình bài toán mô phỏng số
Hệ phương trình dùng để mô phỏng đối lưu tự nhiên bao gồm:
+ Phương trình Boussineq 2 chiều cho chuyển động đối lưu:

 

V
1
 V  V   p  νΔV  gβT k
t
ρ0

(i)

+ Phương trình liên tục:
divV  0.


T
T '
 c c
n
n

(20b)

Các biểu thức (20) mô tả điều kiện liên tục của nhiệt độ và dòng nhiệt trên bề mặt
tiếp xúc. Ngoài ra cũng đặt điều kiện biên cho biên ngoài của thành cứng tương ứng
với điều kiện nó được nung nóng hay làm nguội. Trong các bài toán được đề cập dưới
đây, chúng ta sẽ sử dụng điều kiện ở ngay trên biên của chất lỏng. Hệ phương trình

8


chuyển động đối lưu ở trên có nghiệm tầm thường ứng với trạng thái đồng nhất nhiệt
độ ở mọi nơi và vận tốc bằng không ở mọi thời điểm (không có chuyển động của chất
lỏng). Ngoài trạng thái đó ta còn một trạng thái gọi là trạng thái cân bằng cơ học, được
thiết lập như sau.
Nếu ta coi V=0 ở mọi điểm và kí hiệu nhiệt độ và áp suất ở trạng thái đó là p0 , T0
thì hệ phương trình (15), (18) thu được:
1

0

p0 g  T0 k =0

T0  0

Trong nghiên cứu này chuyển động

B4

đối lưu sẽ được xem xét xuất phát từ cả
hai trạng thái mô tả ở trên do tồn tại
những kích động về nhiệt trong lòng chất

O

lỏng hoặc trên biên của nó.

lx

ly

B1

L

Hình 1
Bây giờ ta đề cập đến việc đưa hệ
phương trình và các điều kiện biên ban đầu của bài toán chuyển động đối lưu về dạng
không thứ nguyên. Ta lấy các đại lượng sau làm các đại lượng đặc trưng: L độ dài đặc
trưng cho kích thước của miền dòng chảy; θ đặc trưng cho sự chênh lệch nhiệt độ, τ
thời gian đặc trưng cho các thay đổi của các yếu tố bên ngoài gây ra chuyển động đối
lưu, và các thông số nhiệt động lực học: v,  , g  . Từ các đại lượng kể trên ta có thể tạo
nên các đại lượng không thứ nguyên như :
Gr 


v
 



t
x
y
x Re  x 2 y 2 

(22)

v
v
v
p 1   2v  2v  Gr
u v   

T


t
x
y
y Re  x 2 y 2  Re2

(23)

T
T

v


x

(26)

Ngoài ra ta cũng đưa hàm số đặc trưng cho rotV gọi là hàm xoáy, mà trong trường hợp
hai chiều chỉ có một thành phần khác không:



u v

y x

(27)

Khi đó hệ (22), (23) sẽ đưa được về dạng sau:


 1   2  2 
Gr T
u
v

 2  2  2
t
x
y Re  x


 B   B   yy ,
1

 B   B   xx

3

2

4

Nếu ta lấy luôn sai phân với bước lưới đều theo hai biến x và y và sử dụng công thức
xấp xỉ đạo hàm cấp hai trên biên [17], ta nhận được công thức tính giá trị của hàm xoáy
trên biên qua các các giá trị hàm dòng lân cận:
B 

1
1
2 1 j  5 2 j  4 3 j  4 j  ;  B  2  2 Nj  5 N 1, j  4 N  2, j  N 3, j 
2 
4
h
h

B 

1
1
2 i1  5 i 2  4 i 3  i 4  ;  B  2  2 i ,N  5 i ,N 1  4 i ,N  2  i ,N 3 

Điều kiện biên (32) thể hiện nhiệt độ trên thành giữ không đổi, nhờ tính chất
truyền nhiệt qua thành cứng một cách tức thời, trong khi (33) lại thể hiện khả năng

12


cách nhiệt tuyệt đối của thành cứng. Trong (33) và (34) ta kí hiệu B là ba cạnh B2 ; B3 ;
B4 và các phần không đót nóng của cạnh đáy nắm giữa các đoạn lk .

Như thế bài toán chuyển động đối lưu tự nhiên của chất lỏng mà ta sẽ sử dụng để
mô phỏng số sẽ bao gồm (24), (28), (29), (30), (32) hoặc (33).

13


TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Oberbeck A. , 1879, Ann. Der Phys. Und Chem. 7, 271
2. Boussinesq J., 1903, Theorie analytique de la chaleur, Vol. 2
3. Dorokin V., 1953, Variational method in the thory of convective motion. Appl. Math.
& Mech. , 17, 1
4. Spiegel E., Veronis G., 1960. On the Boussinesq approximation for a compressible
fluid flow. Astrophys. J., 131, 142
5. Mihalijan J. 1962. Arigorous exposition of the boussinesq approximation applicable to
a thin liquid layer. Astrophys. J. 136, 1126
6. Malkus W., 1964, Boussinesq equations. Woods Hole Oceanographic Inst. Rep. 46-64
7. Gray o., Giorgini A., 1976, The validity of the Buossinesq approximation for liquids
and gases. Int. J. Heat Mass Transfer, 19, 545
8. Turner J., 1973, Buoancy Effect in Fluids, Cambridge Univ. Press
9. Aydin O., Yang W., 2000, Natural convection in enclosures with localized heating