TRƯỜNG PHỔ THÔNG TRUNG HỌCCHUYÊN VĨNH PHÚC

RÈN LUYỆN TƯ DUY GIẢI TOÁN
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH THÔNG QUA

MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC PHẲNG
VÀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Người thực hiện : Đào chí Thanh
Tổ : Toán Tin
Sô Điện thoại : 0985 852 684
Email : thanhtoan@vinhphuc,edu.vn
Năm 2011- 2012


Đào Chí Thanh - CVP – Rèn luyện tư duy giải toán hinh2học không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ giữa
hình học phẳng và hình học không gian

LỜI CẢM ƠN
Với tình cảm chân thành, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các
đồng chí trong tổ toán – tin đã đọc,góp ý tận tình trong bản sáng kiến kinh nghiệm
này.
Đặc biệt, tôi xin cảm ơn Th.s Hạ Vũ Anh đã đóng góp nhiều ý kiến quí báu
cho bản sáng kiến kinh nghiệm và giúp tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này.
Do thời gian nghiên cứu có hạn, các bài toán chỉ xem xét trong pham vi nhỏ
nên chắc chắn khó tránh khỏi thiếu sót.Tác giả rất mong nhận được sự giúp đỡ, chỉ
dẫn và trân trọng tiếp thu các ý kiến phê bình, đóng góp của các thầy cô giáo và
đồng nghiệp.

Vĩnh yên, tháng 05 năm 2012


3. Vấn đề nghiên cứu
4. Một số bài toán cung cấp cho học sinh kỹ năng giải bài tập HHKG
5. Một số bài luyện tập
6. Đề kiểm tra chất lượng học sinh
7. Kết quả học tập của học sinh
PHẦN III- KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1 . Kết luận
2. Kiến nghị
3. Phụ lục
Tài liệu tham khảo

4
5
6
6
6
6
6
7
8
8
9
9
24
35
36
38
40
40
41

Một trong các môn học cung cấp cho học sinh nhiều kỹ năng, đức tính, phẩm
chất của con người lao động mới là môn hình học không gian. Để học môn này học
sinh cần có trí tưởng , kỹ năng trình bày, vẽ các hình trong không gian và giải nó.
Như mọi người đều bỉết,hình học không gian là môn học có cấu trúc chặt
chẽ,nội dung phong phú hơn so với hình học phẳng.Trong quá trình dạy học ở trường
phổ thông để giải quyết một vấn đề của hình học không gian nhiều giáo viên đã
chuyển vấn đề đó về hình học phẳng hoặc chia kiến thúc của hình không gian thành
những phần đơn giản hơn mà có thể giải nó trong các bài toán phẳng.Đó là một việc
làm đúng đắn,nhờ nó làm cho quá trình nhận thức,rèn luyện năng lực lập luận, sự
sáng tạo,tính linh hoạt khả năng liên tưởng từ hình học phẳng sang hình học không
gian của học sinh.
Trong mối liên hệ giữa hình học phẳng và hình học không gian,với cơ sở là
mặt phẳng là một bộ phận của không gian ta chú trọng tách các bộ phận phẳng ra
khỏi không gian bằng các hình vẽ (các phần được tách ra thường là thiết diện,giao

4


Đào Chí Thanh - CVP – Rèn luyện tư duy giải toán hinh5học không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ giữa
hình học phẳng và hình học không gian

tuyến….) nhằm giúp học sinh liên tưởng đến các bài toán hình học phẳng để từ đó
giải quyết được bài toán ban đầu.
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học môn hình học
không gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan.
Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên củng
gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức. Qua nhiều năm giảng dạy
môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu
kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh
ngày được nâng lên.

môn yêu cầu các em có trí tưởng tượng phong phú.Cách trình bày chặt chẽ, suy luận
logic của một bài hình học làm cho học sinh khó đạt điểm cao trong bài tập hình
không gian.
Ở trường các em học sinh được học sách Hình học cơ bản, các bài tập tương
đối đơn giản so với sách nâng cao nhưng khi làm các bài tập trong đề thi khảo sát
chất lượng thì bài tập có yêu cầu cao hơn nên cũng gây một phần lúng túng cho học
sinh.Nhiều em không biết cách trình bày bài giải,sử dụng các kiến thức hình học đã
học chưa thuần thục,lộn xộn trong bài giải của mình. Cá biệt có một vài em vẽ hình
7


Đào Chí Thanh - CVP – Rèn luyện tư duy giải toán hinh8học không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ giữa
hình học phẳng và hình học không gian

quá xấu, không đáp ứng đươc yêu cầu của một bài giải hình học.Vậy thì nguyên nhân
nào cản trở quá trình học tập của học sinh?
Khi giải các bài toán hình học không gian các giáo viên và học sinh thường
gặp một số khó khăn với nguyên nhân như là :
+) Học sinh cần phải có trí tưởng tượng không gian tốt khi gặp một bài toán
hình không gian.
+) Do đặc thù môn hình không gian có tính trừu tượng cao nên việc tiếp thu, sử
dụng các kiến thức hình không gian là vấn đề khó đối với học sinh
+) Học sinh quen với hình học phẳng nên khi học các khái niệm của hình
không gian hay nhầm lẫn, khó nhìn thấy các kết quả của hình học phẳng được sử
dụng trong hình không gian, chưa biết vận dụng các tính chất của hình học phẳng cho
hình không gian
+) Một số bài toán không gian thì các mối liên hệ của giả thiết và kết luận chưa
rõ ràng làm cho học sinh lúng túng trong việc định hướng cách .
+) Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định đúng đắn động
cơ học tập, chưa có phương pháp học tập cho từng bộ môn, từng phân môn hay từng

và mặt phẳng..v..v
Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý như các mô hình trong không gian,
các phần mềm giảng dạy như Cabir, GSPS,Geogebra….
Dạy học theo các chủ đề, mạch kiến thức mà đã được giáo viên phân chia từ
khối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu các kiến
thức mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất.
Trong quá trình dạy học tôi đề ra một hướng giải quyết là “ Rèn luyện tư duy
giải toán Hình học không gian cho học sinh thông qua mối liên hệ giữa hình học
phẳng và hình học không gian"
3/ Vấn đề nghiên cứu:
Để hình thành kiến thức cho học sinh tôi đã soạn hai tiết minh họa phương pháp này
nhằm đào sâu kiến thức cho học sinh


Đào Chí Thanh - CVP – Rèn luyện tư duy giải toán hinh
10học không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ giữa
hình học phẳng và hình học không gian

Tiết 1: LUYỆN TẬP
A. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
Hiểu,nhớ được các kiến thức đã học trong trường THCS từ đó vận dụng vào để
giải được một số bài tập trong HHKG
2. Kỹ năng
- Dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đường tròn
qua một phép đối xứng trục, đối xứng qua mặt phẳng.
- Rèn kỹ năng vẽ hình trong không gian,
- Biết vận dụng kiến thức về các định lý Talets trong mặt phẳng; tính chất của
hình bình hành.
3. Tư duy và thái độ

- Hiểu yêu cầu đặt
ra và trả lời câu
hỏi.
- Nhận xét câu trả
lời của bạn và bổ
sung nếu cần.

chiếu
Sử dụng máy
chiếu để rút ra
kết quả của bài
tập này.

Đây là bài tập không khó yêu cầu học
sinh (VD: em Công ) trình bày bài giải?
- Yêu cầu học sinh khác nhận xét câu trả
lời của bạn và bổ sung nếu có.
-Nhận xét và chính xác hóa kiến thức
cũ.
- Đánh giá HS và cho điểm (H/s : Công)

- Phát hiện vấn đề Ta có thể mở rộng ra không gian được
nhận thức.
không?
2. Hoạt động 2: Bài mới
Hoạt động của HS

Hoạt động của GV

Ghi bảng

điểm các cạnh AB;BC;CD;DA.Chứng
minh rằng MNPQ là hình bình hành
Ví dụ 2': Trong không gian,cho tứ diện
ABCD,gọi M;N;P;Q;R;S lần lượt là
trung
điểm
các
cạnh
AB;CD;CA;BD;AD;BC
Chứng minh các đoạn thẳng
MN;PQ;RS đồng qui tại một điểm
12


Đào Chí Thanh - CVP – Rèn luyện tư duy giải toán hinh
13học không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ giữa
hình học phẳng và hình học không gian

Dựa vào cách C/m
VD3 ta có tứ giác
MRNS;NPMQ;PRQS
là hình bình hành,
Vậy các đường chéo
đồng qui tại một điểm
Hay các đoạn thẳng
MN;PQ;RS đồng qui
tại một điểm

H/s nêu t/c của Ví dụ 3: Trong mặt phẳng, cho ∆ ABC
trung tuyến trong thì giao 3 trung tuyến đồng qui tại G

gì?

Theo ví dụ 2' ta có các đoạn MN; PQ;
RS đồng qui tại G Ta chứng tỏ AGa qua
G và chia theo tỷ số như trên.
Nối AG cắt BM tại X Kẻ NP // AG cắt
BM tại P Ta chứng minh X là Ga
Trong ∆ NMP có XG // NP qua trung
diểm của MN nên XP = XM; trong ∆
ABX có NP // AX qua trung điểm của
AB nên BP = PX
Hay BP = PX = XM Vậy X là trọng tâm
∆ BCD và ta có NP = ½ AX; GX = ½
NP nên

Hướng dẫn
h/s giải bài
tập hinh học
phẳng
và
chuyển KQ
sang không
gian

AG
BG
CG
DG 3
=
=

AB AC
Đây là kết quả quan trọng các em tự c/m?
Ví dụ 4': Trong không gian,cho hình chóp
SABCD có đáy là hình bình hành.Mặt phẳng
(P) cắt các cạnh SA;SB;SC;SD lần lượt tại
M;N;P;Q thì
SA SC SB SD
+
=
+
SM SP SN SQ

Hãy tìm giao
tuyến của (ACS)
và (BSD)
Tìm giao điểm
của (P) và SO

Ta có I là giao của MP và QN thì I nằm trên
SO.
Trong tam giác SAC ta có:
S∆SMP SM SP S∆SMI SM SI S∆SIP
SI SP
=
.
;
=
.
;
=

SO
2SO SC SA
⇒
=
+
(1)
SI
SP SM

15


Đào Chí Thanh - CVP – Rèn luyện tư duy giải toán hinh
16học không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ giữa
hình học phẳng và hình học không gian

2SO

SB

SD

Tương tự trong ∆ SBD : SI = SN + SQ (2)
từ (1) và (2) ta có đpcm
Hoạt động 5: Củng cố toàn bài
Câu hỏi 1: Em hãy cho biết những nội dung chính đã học trong bài này?
Câu hỏi 2: Em hãy nêu lại một số kết quả liên quan đến trọng tâm tứ diện
Lưu ý HS: Về kiến thức, kỹ năng, tư duy và thái độ như trong phần mục
tiêu bài học đã nêu.
Tiết 2: LUYỆN TẬP

1. Hoạt động 1: Ôn tập kiến thức cũ
Hoạt động
Hoạt động của giáo viên
của học sinh
+) Vẽ hình
VÝ dô 1 : Trong mặt phẳng, cho góc xOy, trên Ox
1
1
1
+) kẻ hình
+
= (d
lấy điểm A, Oy lấy diểm B sao cho
phụ đề c/m kết
OA OB d
quả trên.
là hằng số).Chứng minh rằng AB luôn qua điểm
cố định

Ghi bảng –
trình chiếu
Hướng dẫn
học
sinh
chứng minh
để rút ra kết
quả của bài
tập này.

+) Dựng phân

Hoạt động của HS

Hoạt động của GV

Ghi bảng
trình chiếu

17


Đào Chí Thanh - CVP – Rèn luyện tư duy giải toán hinh
18học không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ giữa
hình học phẳng và hình học không gian

VD1': Trong không gian,cho hai
đưòng thẳng chéo nhau a;b.Trên
đưòng thẳng a lấy hai điểm A,B trên
đưòng thẳng b lấy hai điểm C;D sao
cho B;D nằm cùng phía so với
A;C(A;C cố định ) và

1
1
1
+
=
AB CD k

Chứng minh rằng mặt phẳng đi qua
BD và song song với AC qua một điểm

thoả mãn yêu
cầu bài toán?
Hướng dẫn
H/s Cm H
thỏa mãn ĐK

là hằng số.
18


Đào Chí Thanh - CVP – Rèn luyện tư duy giải toán hinh
19học không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ giữa
hình học phẳng và hình học không gian

H/s nêu công thức Ta gọi khoảng cách từ A đến (xOy) là h
tính diện tích tam thì:
1
1
3
3
giác?
+
=
+
=
VOABM

VOABN

h.S∆OBM


a+b+c
)
2

Trong KG có
công
thức
tương
tự
không?

Ví dụ 3':Trong không gian,cho tứ diện
SABC có SA;SB;SC đôi một vuông
góc.Tính thể tích tứ diện theo AB
=a;AC =b;BC =a

19


o Chớ Thanh - CVP Rốn luyn t duy gii toỏn hinh
20hc khụng gian cho hoc sinh thụng qua mụi liờn h gia
hỡnh hc phng v hỡnh hc khụng gian

Ta cú :
AB 2 = SA2 + SB 2

SA2 + SB 2 = a 2

BC 2 = SB 2 + SC 2 hay SC 2 + SB 2 = b 2

6
1 (a 2 + b 2 c 2 )(a 2 + c 2 b 2 )(b 2 + c 2 a 2 )
VSABC = .
6
8
1
Hay VSABC = . ( p x)( p y )( p z ) vi
6
2
2
a + b + c2
p=
, x = a2 , y = b2 , z = c 2
2

Ghi bng

trỡnh
chiu
Hng
dn h/s
tớnh
SA,SB,S
C

Cụng thc ny gn ging Hờrụng
Vớ d 4: Trong mt phng, cho tam giác đều ABC,
trọng tâm G. M là một điểm trong tam giác. Đờng
thẳng MG cắt các đờng thẳng BC, AC, AB theo thứ
tự ở A, B, C. Chứng minh rằng:

Hóy nhn xột

MB ' MJ MC ' MI
=
;
=
B ' G GH C ' G GH

MK + MJ + MI (1)

Vy :
A'M B'M C 'M 3
+
+
= ( MK + MJ + MI )
A 'G B 'G C 'G h
Li cú : S ABC = S MBC + S AMC + S ABM
1
1
1
1
.h.BC = .MI . AB + .MK .BC + .MJ . AC
2
2
2
2
MK + MI + MJ = h Suy ra:


S dng

tại B';A'
như hình vẽ ta có
nhận xét gì?

 MK ⊥ ( BCD )( K ∈ ( BCD ))

Hãy tính tổng (2)

ME + MF + MK + MI Hạ GH ⊥ ( BCD)( H ∈ ( BCD))
Ta thấy A’;H;K thẳng hàng
⇒

MA ' MK
=
A ' G GH

Sử dụng
thể tích
để
tìm
tổng (2)

Gọi I, E, F lần lượt là hình chiếu của M xuống các
mặt phẳng ABD, ACD, ABC. Tương tụ như trên ta
có:
MB ' ME MC ' MI MD ' MF
=
=
=
;

+
=4
Vậy
A 'G B 'G C 'G D 'G

Hoạt động 5: Củng cố toàn bài
BTVN: Chứng minh ĐL Mêlelauyt trong mặt phẳng; trong không gian.
4. Một số bài toán cung cấp cho học sinh kỹ năng giải bài tập HHKG
22


Đào Chí Thanh - CVP – Rèn luyện tư duy giải toán hinh
23học không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ giữa
hình học phẳng và hình học không gian

Tôi chủ động đưa ra cho học sinh một số bài toán hình học phẳng và mở rộng kết
quả đó trong không gian
Các bài toán sau đây khai thác một vài mở rộng của một số bài toán phẳng sang bài
toán trong không gian và sự vận dụng phương pháp giải bài toán phẳng để giải bài
toán mở rộng đó.
Bài toán 1 :
Cho tam giác ABC vuông tại A ta có
a) c2 = a.c’; b2 = b’.a (1)
b) ha2 = c’.b’
(2)
A

b

c

Bài toán 1’
Cho hình chóp tam diện vuông SABC đỉnh S.
Đặt SA = a; SB = b; SC = c
hạ OH ⊥ (ABC); OH = h Chứng minh rằng
a)

1
1
1 1
=
+
+ 2
2
2
2
h
a
b
c

2
2
2
2
b) S ABC = S SAB + S SBC + S SAC

c) ∆ ABC nhọn,
a .tanBAC = b2 tanCBA = c2tanBCA = 2SABC .
Bài giải :
a) Hạ SF ⊥ BC thì AH qua F

Đào Chí Thanh - CVP – Rèn luyện tư duy giải toán hinh
24học không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ giữa
hình học phẳng và hình học không gian

1
2
2
2
S SAC
+ S SBC
+ S SAB
= ( a 2 b 2 + c 2b 2 + a 2 c 2 )
4
1
1
2
S BAC
= BC 2 . AF 2 = (b 2 + c 2 ).(a 2 + SF 2 )
4
4
1 2 2
b 2c 2
1
2
= (b + c ).(a + 2 2 ) = ( a 2b 2 + c 2b 2 + a 2c 2 )
4
b +c
4
2
2

AB'
AC' 2

Khi đó: cos α =

dụng (3))
= AM 2 .

1
AM 2

= 1 (Do ∆ AB’C’ vuông tại A, AM là đường cao).

Bài toán 2’: Cho hình chóp tam diện vuông
SABC đỉnh S, M là điểm thuộc miền trong ∆
ABC. SM hợp với các cạnh SA, SB, SC các góc
theo thứ tự α , β , γ .
Chứng minh cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
Giải:
Sử dụng cách giải tương tự cách giải với bài
toán
trong mặt phẳng. Dựng mặt phẳng qua M và
vuông
24


Đào Chí Thanh - CVP – Rèn luyện tư duy giải toán hinh
25học không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ giữa
hình học phẳng và hình học không gian


Bài toán 3: Trong tam giác ABC gọi G là giao điểm 3 đường trung tuyến. Chứng
minh GA + GB + GC = 0 .
Bài giải :
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
BC và AC.
Ta

có:

GM MN 1
=
=
GA AB 2

⇒

1
GM = − GA .
2

Lại có: GB + GC = 2GM
⇒ GA + GB + GC = − 2GM + 2GM
Hay: GA + GB + GC = 0 .
Bài toán 3’: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là giao điểm các đường trọng tuyến của tứ
diện. Chứng minh GA + GB + GC + GD = 0 .
Bài giải:
Gọi E là trung điểm của CD; G1, G2 lần lượt
là
trọng tâm của các tam giác ∆BCD và ∆ADC.
Khi đó: GB + GD + GC = 3GG1 .