Sở giáo dục và đào tạo nghệ an
Trờng thpt quỳnh lu 2
bồi dỡng t duy sáng tạo
cho học sinh trung học phổ thông qua việc tìm tòi lời giải
các bài toán phơng trình và bất phơng trình
đề tài SKKN bộ môn toán
Nguyễn đình đức
2
Quúnh lu 2012–
sở giáo dục và đào tạo nghệ an
Trờng thpt quỳnh lu 2
Nguyễn đình đức
bồi dỡng t duy sáng tạo
cho học sinh trung học phổ thông qua việc tìm tòi lời giải
các bài toán phơng trình và bất phơng trình
Quỳnh lu - 2012
Mục lục
Trang
A, đặt vấn đề 1
I. Lý do chọn đề tài 1
1. Lý luận về dạy học giải bài tập toán học 1
a, Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học 1
b, Các chức năng của bài tập toán 2
c, Phân loại bài tập toán 4
d, Dạy học giải bài tập toán học 5
2. Thc trng vic dy hc gii toán ở trờng ph thụng hin nay 7
II. Những vấn đề đợc nêu trong đề tài 7
B, Nội dung 8
I. Chủ đề phơng trình và bất phơng trình ở trờng tHPT.8
1. Giới thiệu hệ thống kiến thức về phơng trình và bất phơng trình 8
2. Các dạng bài tập và phơng pháp giải toán phơng trình và bất phơng

2. Nội dung và tổ chức thực nghiệm 49
a, Tổ chức thực nghiệm 49
b, Nội dung thực nghiệm 50
3. Đánh giá kết quả thực nghiệm 53
a, Đánh giá định tính 53
b, Đánh giá định lợng 54
4. Kết luận chung về thực nghiệm s phạm 55
Kết luận 56
Tài liệu tham khảo 57

7
A, đặt vấn đề
I. Lí do chọn đề tài SKKN
Giáo dục Toán học cho học sinh là một quá trình phức tạp bao gồm
những bộ phận, những vấn đề sau đây:
+ Truyền thụ cho học sinh hệ thống nhất định những kiến thức Toán học.
+ Rèn luyện những kỹ năng và kỹ xảo Toán học.
+ Phát triển t duy Toán học.
Toán học chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc bồi dỡng và phát
huy năng lực sáng tạo cho học sinh. Bên cạnh việc giúp học sinh giải quyết
các bài tập trong sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng đó
thông qua việc xây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ
bản, và thông qua sự hớng dẩn của giáo viên, học sinh huy động kiến thức để
giải quyết hệ thống các bài tập mới đó, đồng thời để các em phát hiện các vấn
đề mới khác, để từ đó các em phát triển năng lực sáng tạo của mình.
1. Lý luận về dạy học giải bài tập toán học
a, Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong [18] thì vai trò của bài tập Toán đợc
thể hiện trên các bình diện sau:
+ Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trờng

ơng pháp dạy học Toán ở trờng phổ thông. Đối với học sinh có thể coi việc
giải bài tập toán là một hình thức chủ yếu của việc học Toán, vì bài tập toán
có những chức năng sau:
- Chức năng dạy học:
Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề về lý
thuyết đã học. Trong nhiều trờng hợp giải toán là một hình thức rất tốt để dẫn
dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới. Có khi bài tập lại là một định lý,
9
mà vì một lí do nào đó không đa vào lý thuyết. Cho nên qua việc giải bài tập
mà học sinh mở rộng đợc tầm hiểu biết của mình.
- Chức năng giáo dục:
Thông qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quan
duy vật biện chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của ngời lao động mới. Qua
những bài toán có nội dung thực tiễn, học sinh nhận thức đúng đắn về tính chất
thực tiễn của Toán học, giáo dục lòng yêu nớc thông qua các bài toán từ cuộc
sống chiến đấu và xây dựng tổ quốc. Đồng thời, học sinh phải thể hiện một số
phẩm chất đạo đức của ngời lao động mới qua hoạt động Toán mà rèn luyện đ-
ợc: đức tính cẩn thận, chính xác, chu đáo, làm việc có kế hoạch, kỹ luật, năng
suất cao, khắc phục khó khăn, dám nghĩ dám làm, trung thực, khiêm tốn, tiết
kiệm, biết đợc đúng sai trong Toán học và trong thực tiễn.
- Chức năng phát triển:
Giải bài tập toán nhằm phát triển năng lực t duy cho học sinh, đặc biệt
là phát triển t duy sáng tạo, hình thành những phẩm chất t duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra:
Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng học
Toán và trình độ phát triển của học sinh cũng nh khả năng vận dụng kiến thức
đã học. Trong việc lựa chọn bài tập toán và hớng dẫn học sinh giải bài tập
toán, giáo viên cần phải chú ý đầy đủ đến tác dụng về nhiều mặt của các bài
tập toán đó.
Thực tiễn s phạm cho thấy, giáo viên thờng cha chú ý đến việc phát huy

- Nếu theo tiêu chí về số lợng các đại lợng thay đổi trong một bài tập
toán, thì ta có thể chia các bài tập tập toán trong chơng trình toán phổ thông
thành hai dạng: dạng toán không chứa tham số và dạng toán có chứa tham số.
- Nếu theo tiêu chí thuật giải thì ta lại có thể chia các bài tập toán
thành hai loại: Loại các bài tập toán đã có quy trình giải và loại các bài tập
11
toán không có quy trình giải (không có quy trình giải theo nghĩa là không đợc
trình bày trong sách giáo khoa hiện hành).
d, Dạy học giải bài tập Toán học
Trong dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ
năng quan trọng, mà việc rèn luyện các thao tác t duy là một thành phần
không thể thiếu trong dạy học giải Toán. Trong tác phẩm [25] của G. Pôlya
ông đã đa ra 4 bớc để đi đến lời giải bài toán.
1) Hiểu rõ bài toán:
Để giải một bài toán, trớc hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải
có hứng thú giải bài toán đó. Vì vậy điều đầu tiên ngời giáo viên cần chú ý
hớng dẫn học sinh giải Toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải Toán
của các em, giúp các em hiểu bài toán phải giải, muốn vậy cần phải: Phân
tích giả thiết và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu là điều
kiện? Điều kiện, dữ kiện này liên quan tới điều gì?. Có thể biểu diễn bài toán
dới một hình thức khác đợc không?. Nh vậy, ngay ở bớc Hiểu rõ đề toán ta
đã thấy đợc vai trò của t duy sáng tạo trong việc định hớng để tìm tòi lời giải.
2) Xây dựng chơng trình giải:
Trong bớc thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của t duy sáng tạo đợc thể hiện
rõ nét hơn qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản
hơn. Biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự đoán thông qua xét các trờng
hợp đặc biệt, xét các bài toán tơng tự hay khái quát hoá hơn vv thông qua
các kỹ năng sau bằng cách đặt các câu hỏi:
- Huy động kiến thức có liên quan:
* Bài toán này có thuật giải hay không?

- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận.
- Xem xét đầy đủ các trờng hợp có thể xảy ra của bài toán.
13
- Tìm cách giải khác của bài toán: Một bài toán thờng có nhiều cách
giải, học sinh thờng có những suy nghĩ khác nhau trớc một bài toán, và kết
quả là có nhiều lời giải độc đáo và sáng tạo. Vì vậy, giáo viên cần lu ý để phát
huy tính sáng tạo của học sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một bài
toán. Tuy nhiên cũng không nên quá thiên về lời giải hay, làm cho học sinh
trung bình và kém chán nản.
2. Thực trạng việc dạy học giải Toán ở trờng phổ trông hiện nay
Thực tế dạy học phần bài tập ở các trờng phổ thông hiện nay có thể đợc
mô tả nh sau: Giáo viên cho học sinh chuẩn bị ở nhà hoặc chuẩn bị ít phút tại
lớp, sau đó gọi một vài học sinh lên bảng chữa, những học sinh khác nhận xét
lời giải, giáo viên sửa hoặc đa ra lời giải mẫu và qua đó củng cố kiến thức cho
học sinh. Một số bài toán sẽ đợc phát triển theo hớng khái quát hóa, đặc biệt
hóa, tơng tự hóa cho đối tợng học sinh khá giỏi.
Việc rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh không đầy đủ, thờng chú ý
đến việc rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp. Giáo viên ít
khi chú ý đến việc dạy Toán bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề đòi
hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngợc hay các
tình huống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất
các giải pháp.
Hầu hết các giáo viên còn sử dụng nhiều phơng pháp thuyết trình và đàm
thoại chứ cha chú ý đến nhu cầu, hứng thú của học sinh trong quá trình học.
II. Những vấn đề đợc nêu trong đề tài
1. Hệ thống hoá mt s phng phỏp tỡm li gii cỏc bi toỏn phng
trỡnh v bt phng trỡnh.
2. Hệ thống hoá các phơng pháp bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh.
3. xut mt s bin phỏp s phạm nhằm bi dng các yu t ca t
duy sỏng to thông qua dạy học giải bài tập toán phơng trình và bất phơng

đa vào phần đọc thêm. Nh vậy chơng trình mới phù hợp với tinh thần giảm tải
của Bộ GD&ĐT đã đề ra.
Đến chơng trình lớp 12, Sách giáo khoa đã đa ra định nghĩa và các ph-
ơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình mũ và logarit, đây cũng là dạng
phơng trình và bất phơng trình cuối cùng đợc trình bày trong chơng trình Toán
trung học phổ thông.
2. Các dạng bài tập và phơng pháp giải toán phơng trình và bất phơng trình
+ Phơng trình, bất phơng trình đa thức và phân thức:
Đối với dạng toán phơng trình đa thức và phân thức, thì các phơng trình
cơ bản đợc trình bày trong chơng trình là phơng trình bậc nhất và phơng
trình bậc hai. Thông thờng, các dạng phơng trình khác, trong quá trình giải
đều đa về các dạng cơ bản trên. Vì vậy Sách giáo khoa đã nêu thuật giải chi
tiết để giải các loại phơng trình đó.
Bên cạnh đó, nhằm mục đích phục vụ cho việc khảo sát hàm số ở lớp
12, nên từ lớp 10, Sách giáo khoa cũng đã đa ra phơng trình bậc ba và phơng
trình bậc bốn.
Phơng trình bậc ba đợc nêu ra trong chơng trình chủ yếu là các phơng
trình đặc biệt, có thể tìm ra một nghiệm nguyên một cách tơng đối dể dàng,
sau đó học thực hiện phép phân tích để đa về phơng trình bậc nhất và bậc hai.
Phơng trình bậc bốn chỉ giới thiệu dạng trùng phơng, bằng cách đặt ẩn
phụ sẽ đa về phơng trình bậc hai.
Đối với các bài tập bất phơng trình đa thức và phân thức, thì kiến thức
về xét dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai lại là kiến thức cơ bản.
Bất phơng trình đa thức và phân thức tổng quát đợc giải bằng cách chuyển tất
cả các hạng tử về một vế, phân tích thành thừa số bậc nhất hoặc bậc hai rồi lập
bảng xét dấu để lấy nghiệm.
Ví dụ 1: Giải bất phơng trình
2 1
1 2 3
x x


2
3

+
1-4x
+ + 0
x+1
0 + + +
2x-3
0 +
Vế trái
+ || 0 + ||
Ta đợc nghiệm -1 < x <
4
1
; x >
2
3
+ Phơng trình, bất phơng trình chứa giá trị tuyệt đối:
Để giải các bất phơng trình chứa giá trị tuyệt đối, cần khắc sâu cho các
em học sinh định nghĩa giá trị tuyệt đối |A| =
, 0
, 0
A n A
A n A



<

( ) 0
f x g x
g x
=




3) |f (x)|<

- < f (x) < ( >0)
|f (x)|>

( )
( )
f x
f x
>


<

( >0)
4) |f (x)| < |g (x)|

f
2
(x) < g
2
(x)


< <

Ví dụ 2: Giải phơng trình
2 2 1 0x x =

Nhận xét:
Đối với dạng toán này, trong chơng trình toán trung học phổ thông, th-
ờng có các định hớng nh sau:
+ Thứ nhất, nếu dùng công cụ là định nghiã giá trị tuyệt đối, ta có bài toán t-
ơng đơng nh sau:
Nếu x 2 phơng trình trở thành x +1 = 0

x = -1 (không thỏa mãn).
Nếu x <2 phơng trình trở thành 3x - 3 = 0

x = 1 (thỏa mãn).
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là x = 1.
+ Thứ hai, nếu dùng các phép biến đổi tơng đơng, ta có:
Phơng trình đã cho tơng đơng
2 2 1x x =
Điều kiện: 2x - 10

x
2
1
Bình phơng hai vế, ta có: (x - 2)
2
= (2x - 1)
2


0
Và cần áp dụng các phép biến đổi tơng đơng cơ bản sau đây:
1)
2 1
2 1
( ) ( ) ( ) ( )
k
k
f x g x f x g x
+
+
= =
2)




=
=
0)(
)()(
)()(
2
2
xg
xgxf
xgxf
k
k



<

<

6)
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x g x
f x g x



< >


<

7)
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
f x

b (b>0)
2) a
f (x)
=a
g (x)


f (x) = g(x)
3) log
a
f (x) = b

f (x) = a
b
4) log
a
f (x) = log
a
g (x)

( ) ( )
( ) 0
f x g x
f x
=


>

5) a >1: a

g (x)



( ) 0
( ) ( )
g x
f x g x
>


>

Ví dụ 3: Giải phơng trình
(2 3) (2 3) 4
x x
+ + =
19
Giải:
Nhận xét: (2-
3
) (2+
3
)=1. Vì vậy bài toán trở nên quen thuộc nếu ta đặt
t =
(2 3)
x
+
, bởi vì khi đó
1



+

+
x
x
x

1 1 ( 1)( 2)
1 ( 1)(1 0 0 2 1, 1.
1 1) 1
x x x
x x x x
x x x
+
+ < >
+ + +
+ Phơng trình, bất phơng trình lợng giác
So với chơng trình cũ, kiến thức trong các sách giáo khoa hiện hành đợc
trình bày theo hớng giảm nhẹ lý thuyết kinh viện, tăng cờng thực hành, coi
trọng vai trò của ghi nhận trực giác, coi trọng rèn luyện khả năng quan sát và
dự đoán.
Trên tinh thần đó, sách giáo khoa hiện hành chỉ giới thiệu khái niệm và
thuật toán giải các phơng trình lợng giác cơ bản; phơng trình bậc nhất và bậc
hai đối với một hàm số lợng giác; phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx;
phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx. Còn các dạng phơng trình
khác và cách giải bất phơng trình lợng giác đợc đa vào bài đọc thêm. Cũng
trên quan điểm giảm tải đối với học sinh, gắn toán học vốn mang tính khô
khan với đời sống hàng ngày, nên các bài tập đa ra không còn nhiều bài khó,

bài tập giải và biện luận có nhiều mức độ khác nhau nhằm vào các mục đích:
củng cố kiến thức đợc học, tăng cờng khả năng vận dụng kiến thức và rèn
luyện khả năng t duy cho học sinh.
21
Bài tập củng cố kiến thức đợc học, chẳng hạn nh:
Ví dụ 5: Giải và biện luận các phơng trình sau theo tham số m:
a) (m
2
+ 2)x - 2m = x - 3.
b) (m - 1)x
2
+ 3x - 1 = 0.
Đối với dạng bài tập này, chỉ cần học sinh hiểu kiến thức đợc học và tiến
hành gần nh tơng tự thì sẽ giải quyết đợc.
ở mức độ khó hơn, Sách giáo khoa đa ra những bài tập đòi hỏi sự vận
dụng linh hoạt kiến thức đã có, chẳng hạn nh:
Ví dụ 6: Giải và biện luận theo tham số m:
a) (2x + m - 4) (2mx - x + m) = 0.
b)
1
1
mx
m
x
+
=

.
Học sinh cha đợc cung cấp phơng pháp chung để giải phơng trình:
(2x + m - 4) (2mx - x + m) = 0

22
Sau đó biện luận kết quả của phơng trình dựa vào kết quả biện luận của
hai phơng trình trên.
Ví dụ 7: Giải và biện luận phơng trình:
x
4
+ (2a - 1)x
2
+ a
2
-1 = 0 (2)
Để giải phơng trình trên thì cần có bớc đặt ẩn phụ, nhằm chuyển phơng
trình đã cho về phơng trình bậc hai.
Đặt: t = x
2
, điều kiện: t 0. Phơng trình trở thành:
f (t) = t
2
+ (2a - 1)t + a
2
- 1 = 0 (3)
Đây là bớc mà học sinh bình thờng đều có thể tiến hành, bởi thực chất
phơng trình đã cho là phơng trình trùng phơng, có thể dễ dàng chuyển về ph-
ơng trình bậc hai một ẩn số. Vấn đề cần sự t duy, ở đây là sự tơng quan giữa
nghiệm của hai phơng trình (2) và (3).
+ Tìm điều kiện của tham số để nghiệm phơng trình thỏa mãn tính
chất cho trớc
a) Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm
Điều kiện để phơng trình dạng ax + b = 0 (x là ẩn số) có nghiệm sẽ là:
a 0 hoặc a = b = 0.

= m.
Phơng trình trên có thể dễ dàng nhận ra là một phơng trình bậc 4, nếu
giải bằng phơng pháp đa về phơng trình tích là rất khó khăn. Nhờ vào việc
phân tích kỹ đặc điểm bài toán, ta có thể sử dụng phơng pháp đặt ẩn số phụ:
y = m - 3x
2
Với cách đặt ẩn phụ này ta chuyển bài toán về hệ phơng trình đối xứng 2
ẩn số:

2
2
3
3
x y m
y x m

+ =


+ =


(I)
Học sinh đã biết phơng pháp giải hệ đối xứng này, thực hiện phép trừ 2
vế hai phơng trình.
b) Tìm điều kiện của tham số để phơng trình vô nghiệm
Bài toán tìm điều kiện của tham số để phơng trình vô nghiệm, thực chất
là bài toán ngợc của bài toán tìm điều kiện của tham số để phơng trình có
nghiệm. Nếu nh tập hợp các giá trị của tham số để phơng trình có nghiệm là S,
miền giá trị của tham số là D, thì tập hợp các giá trị của tham số để phơng

Đối với phơng trình dạng ax
2
+ bx + c = 0 điều kiện để nó có nghiệm duy
nhất sẽ là:
+) a = 0 và b 0.
+) a 0, = b
2
4ac = 0.
Nên bài toán tìm điều kiện của tham số để những phơng trình có dạng: ax
+ b = 0 và ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm duy nhất thì lời giải là khá rõ ràng, nó
cũng chính là bài tập cơ bản mà học sinh cần phải nắm đợc.
Tuy nhiên, có rất nhiều bài tập yêu cầu tìm điều kiện của tham số để ph-
ơng trình có nghiệm duy nhất có độ khó cao, chẳng hạn nh:
Ví dụ 10: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
x
2
- 2mx + (m + 1)x-m+1 = 0 (4)
Nếu học sinh xét 2 trờng hợp x m và x < m để phá dấu giá trị tuyệt đối
thì sẽ đa lại phức tạp trong tính toán, cũng nh trong suy luận. Tuy nhiên nếu
biết biến đổi chút ít, học sinh chuyển đợc phơng trình (4) về dạng:
(4) (x - m)
2
+ (m + 1)x - m + 1 - m
2
= 0
Đặt X = x - m, (điều kiện: X 0), ta đợc:
X
2

hoặc thỏa mãn hệ thức đối xứng:

3 3
1 2
40x x+ =
;
4 4
1 2
3x x+ =
;
Với dạng toán này nếu đi tìm ra các nghiệm x
1
, x
2
rồi thay vào hệ thức để
tìm ra giá trị tham số sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Bởi khi đó các nghiệm sẽ đợc
tính theo tham số và có chứa căn bậc hai nên khá cồng kềnh, rất phức tạp
trong tính toán. Để đơn giản trong quá trình giải thì phơng pháp giải thông th-
ờng là vận dụng Định lí Viet đối với phơng trình bậc hai, kết hợp với hệ thức
mà đề bài đã cho nhằm tìm ra giá trị tham số.
Ví dụ 1 1 : Tìm m sao cho phơng trình:
x
2
- (m + 2)x + m
2
+ 1 = 0
có nghiệm x
1
, x
2