ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ HẰNG

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TRONG DẠY HỌC
GIẢI BÀI TẬP PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG CHO
HỌC SINH LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

Hà Nội – 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ HẰNG

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TRONG DẠY HỌC
GIẢI BÀI TẬP PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG CHO
HỌC SINH LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 01 11

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TSKH. Vũ Đình Hòa

Hà Nội – 2017

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

GV

Giáo viên

HĐ

Hoạt động

HS

Học sinh

PPDH

Phương pháp dạy học

PT

Phương trình

PTTS

Phương trình tham số

PTTQ

Phương trình tổng quát


1.2. Kỹ năng giải toán .................................................................................... 10
1.2.1. Khái niệm kỹ năng giải toán................................................................ 10
1.2.2. Vai trò của kỹ năng giải toán .............................................................. 11
1.2.3. Phân loại kỹ năng trong môn Toán .................................................... 12
1.2.4. Các mức độ kỹ năng giải toán ............................................................. 14
1.3. Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học “Phƣơng
trình đƣờng thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông. ........................... 15
1.3.1. Việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học “Phƣơng
trình đƣờng thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông ............................ 15
1.3.2. Những khó khăn và sai lầm của học sinh thƣờng gặp khi giải
toán“Phƣơng trình đƣờng thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông .... 20
Kết luận chƣơng 1 .......................................................................................... 24
Chƣơng 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CỦA “PHƢƠNG TRÌNH
ĐƢỜNG THẲNG” – HÌNH HỌC 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO
HƢỚNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN .......................................... 25
2.1. Mục tiêu của “Phƣơng trình đƣờng thẳng” – hình học 10 trung học
phổ thông ........................................................................................................ 25
2.2. Một số kiến thức cơ bản .......................................................................... 26
2.2.1. Vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng .................................................... 26
2.2.2. Vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng .................................................... 27

iii


2.2.3. Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng............................................. 27
2.2.4. Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng .......................................... 28
2.2.5. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng ................................................. 28
2.2.6. Góc giữa hai đƣờng thẳng ................................................................... 29
2.2.7. Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng ............................... 29
2.3. Rèn luyện kỹ năng viết phƣơng trình các loại đƣờng thẳng khi biết

chứng ............................................................................................................. 110

v


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Chúng ta đang sống trong thế kỉ 21, thế kỉ của khoa học, công nghệ và
hội nhập. Tri thức, kỹ năng của con người là nhân tố vô cùng quan trọng trong
sự phát triển xã hội, trong đó giáo dục đóng phần to lớn trong việc trang bị tri
thức cho con người.
Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường trung học
phổ thông, việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học học sinh có vai trò quan
trọng vì: đó là một trong các mục tiêu dạy học ở phổ thông. Việc giải toán là
hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy,
tính sáng tạo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện các mục đích dạy
học toán ở trường phổ thông. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh có tác
dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập
cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức đã học vào tình
huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập
suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu.
Trong quá trình giảng dạy môn toán ở lớp 10, ôn tập cho học sinh lớp 12
và ôn luyện cho học sinh thi vào các trường đại học, cao đẳng. Ở phần
phương pháp tạo độ trong mặt phẳng, tôi thấy nhiều em không làm được
những bài tập hoặc chỉ làm được các bài có tính chất áp dụng công thức đơn
thuần. Những bài có tính chất tổng hợp thì không phân tích được bài toán nên
không tìm được hướng giải, mặc dù đã được biết lý thuyết. Trong khi đó bài
toán về tọa độ trong mặt phẳng đặc biệt là “Phương trình đường thẳng” lại là
một vấn đề quan trọng trong chương trình học và luôn có mặt trong các đề thi
Đại Học – Cao Đẳng, học sinh giỏi hằng năm nên cần có hướng ôn tập tốt

dụng lý luận về phương pháp giảng dạy vào rèn luyện kỹ năng giải toán cho
học sinh thông qua dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung
học phổ thông nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường trung
học phổ thông.

2


3. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu và đề xuất ra một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải
toán cho học sinh thông qua dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học
10 trung học phổ thông.
3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán.
- Nghiên cứu thực trạng kỹ năng giải toán của học sinh trong khi học
“Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông.
- Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh và phân tích lý
luận khi dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ
thông.
- Qua thực nghiệm sư phạm, kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài để áp
dụng vào giảng dạy.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Phạm vi về thời gian: Trong khoảng thời gian từ tháng 11/2015 đến
11/2016.
- Phạm vi về nội dung: Nghiên cứu những kỹ năng giải toán cần rèn
luyện cho học sinh khi dạy học “Phương trình đường thẳng” – Hình học 10
trung học phổ thông.
5. Mẫu khảo sát
Học sinh lớp 10A3, 10A7 trường THPT Nguyễn Thái Học, tỉnh Vĩnh

trạng về rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong quá trình giảng dạy
“Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông của các giáo
viên.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm tại
trường THPT Nguyễn Thái Học tỉnh Vĩnh Phúc cung cấp bài tập và kiểm tra
kết quả sau thực nghiệm.
- Phương pháp thống kê toán học: Xử lý các số liệu thu được sau khi

4


điều tra.
9. Những đóng góp của luận văn
- Trình bày cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán.
- Thực trạng về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy
học “Phương trình đường thẳng hình học phẳng lớp 10”
- Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi dạy học
“Phương trình đường thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông .
- Kết quả của luận văn có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh
viên ngành Sư phạm Toán và giáo viên Toán ở trường THPT.
10. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương
Chương 1 Cơ sở lý luận của đề tài.
Chương 2 Xây dựng hệ thống bài tập của “Phương trình đường thẳng” –
Hình học 10 trung học phổ thông” theo hướng rèn luyện kỹ năng giải toán.
Chương 3 Thực nghiệm sư phạm.

5



đến kết quả - hiểu những điều kiện để triển khai những cách thức đó.
- Kiến thức là cơ sở của kỹ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các
thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại
trong ý thức với tư cách của hành động.
- Muốn có kỹ năng về hành động nào đó cần phải có:
+) Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều
kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động.
+) Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó.
+) Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đặt ra.
+) Có thể hành động có hiệu quả trong các điều kiện khác nhau.
+) Có thể bắt chước, rèn luyện để hình thành kỹ năng nhưng phải trải
qua thời gian đủ dài.
Tuy nhiên thực tiễn giáo dục cho thấy, học sinh gặp rất nhiều khó khăn
trong việc vận dụng những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được
vào giải quyết các nhiệm vụ cụ thể. Cái khó nằm ở chỗ, học sinh không phát
hiện những dấu hiệu bản chất của đối tượng, từ đó phát hiện ra những mối
liên hệ bản chất giữa tri thức đã có với đối tượng đó. Trong trường hợp này,
tri thức không biến thành công cụ của hoạt động nhận thức, và như vậy khối
kiến thức mà họ có là khối kiến thức khô cứng, không gắn với thực tiễn và
không biến thành cơ sở của kỹ năng.
Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những
thuộc tính khác nhau và những thuộc tính bản chất của sự vật. Như vậy để tri
thức trở thành cơ sở lựa chọn đúng đắn cho các hành động thì cần phải biết
lựa chọn tri thức một cách đúng đắn và hợp lý, nói cách khác, cần lựa chọn tri
thức phản ánh thuộc tính bản chất, phù hợp mục tiêu của hành động.
Trong thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy có rất nhiều học sinh thuộc lý
thuyết nhưng không vận dụng được lý thuyết đó vào bài tập, không biết lựa

7


8


trước học sinh dưới dạng có sẵn, được vật chất hóa dưới dạng sơ đồ, ký hiệu
về các đối tượng, còn thao tác và các mốc định hướng thì được thực hiện
những hình thức, những hành động đối tượng.
Ở giai đoạn thứ 2, các mốc định hướng và các thao tác cho đối tượng
được thay thế bằng các ký hiệu và các hành động ngôn ngữ.
Như vậy người giáo viên đã định hướng cho học sinh: Để chứng minh
các bài toán trước hết phải phân dạng bài tập và tìm nội dung đã được học để
tìm cách giải bài toán qua các giai đoạn cụ thể. Từ đó xây dựng được cho học
sinh các phương pháp giải toán. Tuy nhiên đểphát triển và khắc sâu các bài
toán cho học sinh, giáo viên cần cho học sinh mở rộng bài toán: Tìm cách giải
khác nhau, tổng quát hóa bài toán, khái quát hóa, trừu tượng hóa, tương tự
hóa…
Như vậy, học sinh được hình thành kỹ năng tư duy suy luận logic.
Người ta còn gọi phương pháp dạy học nói trên là phương pháp hình
thành các hành động trí tuệ qua từng giai đoạn. Trên thực tế khi hình thành
những tri thức mới ai cũng phải trải qua các giai đoạn này. Tuy nhiên trong
dạy học thông thường những giai đoạn không được tổ chức một cách có ý
thức. Vì thế học sinh phải tự phát hiện những dấu hiệu cảm tính hay những
dấu hiệu logic mà điều chủ yếu là các em tự lựa chọn những hành động thích
hợp để làm điều đó.
Thực chất của sự hình thành kỹ năng là tạo cho học sinh khả năngnắm
vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tạo các
thông tin chứa đựng trong bài toán.
Khi hình thành kỹ năng cho sinh cần tiến hành:
- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố
phải tìm và mối quan hệ giữa chúng.
- Giúp học sinh hình thành một một mô hình khái quát để giải các bài

quả một hệ thống hành động giải toán để đi đển lời giải của bài toán một cách
khoa học”.
Để thực hiện nhiệm vụ môn Toán trong trường THPT, một trong những

10


yêu cầu đặc biệt về tri thức và kỹ năng cần chú ý là những tri thức phương
pháp, đặc biệt là những phương pháp có tính chất thuật toán và những kỹ
năng tương ứng, chẳng hạn tri thức và kỹ năng giải bài toán bằng cách lập
phương trình, tri thức và kỹ năng chứng minh toán học, kỹ năng hoạt động tư
duy hàm, ….Tuy nhiên tùy theo nội dung toán học mà có những yêu cầu rèn
luyện kỹ năng khác nhau.
Có hai phương pháp cơ bản để cung cấp cho học sinh kỹ năng giảiToán
+ Phương pháp gián tiếp. Cung cấp cho học sinh một số các bàitoán có
cùng cách giải để sau khi giải xong học sinh tự rút ra kỹ năng giải toán. Đây
là phương pháp có hiệu quả nhất nhưng mất nhiều thời gian, khó đánh giá và
không đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào năng lực trình độ của học sinh.
+ Phương pháp trực tiếp. Giáo viên soạn thành những bài giảng vềnhững
kỹ năng một cách hệ thống và đầy đủ. Phương pháp này hiệu quả hơn và dễ
nâng cao độ phức tạp của bài toán cần giải quyết.
1.2.2. Vai trò của kỹ năng giải toán
Trong các mục đích của dạy học môn Toán ở trường phổ thông thì việc
truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn
thực hiện được phải dựa trên mục đích này. Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động
nói chung, kỹ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối
liên hệ giữa học với hành.
Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái
niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành
thạo vào việc giải bài tập. Có thể nói, bài tập toán chính là “mảnh đất” để rèn

tâm cần tập trung suy nghĩ tìm hướng giải. Đây là kỹ năng phát hiện và giải
quyết vấn đề, làquan trọng nhất khi giải bài tạp toán. Cần làm rõ thành phần
mối liên hệ (tường minh hoặc không tường minh) qua các yếu tố (có hoặc
không có) trong bài toán.
- Kỹ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải cho bài toán.
Vấn đề khó khăn nhất của HS khi đứng trước một bài toán, đặc biệt là

12


bài toán hình học là đường lối giải. Nhiều HS không biết bắt đầu từ đâu để đi
đến kết quả của bài toán. Xét về mặt nhận thức thì việc giải một bài toán bao
gồm hai quá trình: thứ nhất là tìm hướng giải, thứ hai là tiến hành giải bài
toán còn gọi là chiến thuật giải bài toán. Hai quá trình này độc lập và hỗ trợ
nhau, có khi tiến hành đồng thời hoặc tách thành hai quá trình riêng biệt. Yêu
cầu xác định hướng giải bài toán phụ thuộc phần lớn vào khâu này. Có nhiều
cách để HS thực hiện biện pháp này: chẳng hạn, giúp HS phân loại, phân
dạng bài tập để xác định phương pháp chung giải các loại, dạng bài tập đó.
Phương pháp chung sẽ được vận dụng để tìm đường lối giải cho từng bài toán
cụ thể.
Huy động tri thức, kinh nghiệm hữu ích có liên quan đến giải bài toán
bao gồm hai dạng. Dạng 1 là những nội dung HS sản sinh ra một cách tích
cực bằng các thao tác tư duy, bằng lao động trí tuệ và thực hành. Dạng 2 là
những ý tưởng chợt lóe sáng tự phát, được hiểu theo nghĩa bừng sáng của quá
trình tư duy sáng tạo.
- Kỹ năng xây dựng và thực hiển kế hoạch cụ thể giải bài toán.
- Kỹ năng kiểm tra đánh giá quá trình giải bài toán
- Kỹ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của
người giải toán.
1.2.3.2. Kỹ năng cụ thể

còn thiếu sót của bản thân về những mặt nào đó mà đề ra phương hướng khác
phục.
Một khi học sinh đã có kỹ năng tự kiểm tra,đánh giá và biết tự điều
chỉnh thì kết quả học tập được nâng lên dàn.
1.2.4. Các mức độ kỹ năng giải toán
Trong toán học có thể chia làm hai nhóm kỹ năng giải toán:
- Kỹ năng giải bài tập toán học cơ bản

14


- Kỹ năng giải bài tập toán tổng hợp
Trong mỗi nhóm lại có 3 mức độ khác nhau:
- Mức độ biết làm: Nắm được qui trình giải một bài toán cơ bản nào đó
tương tự như bài tập mẫu nhưng chưa nhanh.
- Mức độ thành thạo: Biết giải nhanh, ngắn ngọn, chính xác theo cách
giải như bài tập mẫu nhưng chưa có nhiều biến đổi.
- Mức độ mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn,
độc đáo, khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức kỹ năng, kỹ xảo
không chỉ với các bài toán cơ bản mà với cả bài toán mới.

1.3. Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học
“Phƣơng trình đƣờng thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông.
1.3.1. Việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học “Phƣơng
trình đƣờng thẳng” – Hình học 10 trung học phổ thông
1.3.1.1. Kỹ năng nhận thức
- Kỹ năng nắm vững khái niệm.
Khi dạy học sinh về khái niệm trong bài “phương trình đường thẳng –
hình học phẳng lớp 10” người giáo viên phải đảm bảo được các yêu cầu như
là:


9 1
biết cách tính tọa độ trung điểm M của BC là M ( ; ) và nhận ra véc tơ chỉ
2 2
7 7
phương của đường thẳng AM chính là AM ( ;  ) như vậy phương trình
2 2
tham số của đường thẳng AM sẽ là
7

x

1

t

2

 y  4  7 t.

2

+ Học sinh phải nắm được mỗi quan hệ giữa véc tơ chỉ phương và véc tơ
pháp tuyến của đường thẳng (d ) , (Nếu n (a; b) là véc tơ pháp tuyến của
đường thẳng (d ) thì u (b, a) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d ) .

16


Đồng thời nắm được mối quan hệ giữa phương trình tham số và phương trình

Bao gồm kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán và kĩ năng
toán học hóa tình huống thực tiễn. Đối với việc giải bài tập viết phương trình

17


đường thẳng - hình học lớp 10 thì giáo viên chú ý đến kỹ năng vận dụng tri
thức vào giải toán viết phương trình đường thẳng. Trong hoạt động này giáo
viên nên chú trọng rèn luyện cho học sinh chuyển từ tư duy thuận sang tư duy
nghịch điều đó rất quan trọng để nắm vững và vận dụng kiến thức, một thành
phần của tư duy toán học.
Chẳng hạn: Nếu cho đường thẳng (d ) đi qua điểm M 1;2  có véc tơ
pháp tuyến n (3;4) học sinh dễ dàng viết được phương trình tổng quá của
đường thẳng (d ) là 3x  4 y  11  0 nhưng nếu cho phương trình (d ) là
3x  4 y  11  0 hãy tìm véc tơ chỉ phương, véc tơ pháp tuyến của (d ) hoặc

một điểm mà (d ) đi qua thì học sinh lại cảm thấy lúng túng.
Bên cạnh đó giáo viên cũng cần chú trọng rèn luyện kỹ năng biến đổi
xuôi chiều và ngược chiều song song với nhau, giúp việc hình thành các liên
tưởng ngược diến ra đồng thời với việc hình thành liên tưởng thuận. Ví dụ
như: Viết phương trình đường thẳng (d ) song song với đường thẳng
 : 3x  4 y  12  0 và cách điểm A(2;3) một khoảng bằng k  2 . Khi làm

bài này đa số học sinh sẽ không viết ngay được phương trình
(d ) : 3x  4 y  c  0 mà chỉ biết (d ) có thể chọn được véc tơ pháp tuyến là véc

tơ pháp tuyến của () . Rồi lung túng khi viết phương trình của (d ) .
Bên cạnh đó giáo viên cũng phải rèn luyện toán học hóa tình huống thực
tiễn ví như bài toán “Cho đường (d ) và hai điểm A, B và cùng nằm trên một
mặt phẳng có bờ (d ) . Hãy tìm trên đường thẳng (d ) một điểm M sao cho