Header Page 1 of 133.

ĐINH THẾ THO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
---------------------------------------

Đinh Thế Tho
CHUYÊN NGÀNH TOÁN ỨNG DỤNG

VỀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ
ÁP DỤNG VÀO MỘT MÔ HÌNH KINH TẾ THN TRƯỜNG ĐIỆN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

KHOÁ 1
Footer Page 1 of 133.

Hà Nội – Năm 2015


Header Page 2 of 133.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
---------------------------------------

Đinh Thế Tho

VỀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới GS. TSKH Lê
Dũng Mưu, người thầy đã tận tình hướng dẫn và đóng góp cho tôi nhiều
ý kiến về nội dung của luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô đã giảng dạy và giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình tôi học tập tại trường Đại học Thăng Long.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới những người thân yêu trong gia
đình, bạn bè, đã luôn cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi để tôi có thể hoàn
thành được luận văn này.
Bước đầu nghiên cứu khoa học nên bản luận văn thạc sĩ của tôi chắc
chắn còn rất nhiều thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý
kiến của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để bản luận văn được hoàn
thiện hơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Học viên

Đinh Thế Tho

Footer Page 4 of 133.

Thang Long University Libraty


Header Page 5 of 133.

Danh mục các kí hiệu viết tắt
H : Không gian Hilbert thực;
. | . : Tích vô hướng;
. : Chuẩn trên không gian Hilbert;
NC : Nón chuẩn tắc của C ;

Chương 1.BÀI TOÁN CÂN BẰNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.Một số khái niệm và các kết quả cơ bản. . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3. Toán tử chiếu lên một tập lồi đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng . . . . . . . . . . . 7
1.2.1. Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3. Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4. Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác . . . . . . . . 10
1.3.Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng. . . . . . . . . . . . 11
Chương 2.HAI THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG
GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ ÁP DỤNG . . . . . . . .

16

2.1.Thuật toán và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1. Thuật toán 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2. Thuật toán 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3. Sự hội tụ của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.Áp dụng vào mô hình cân bằng thị trường điện . . . . .

23

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1

Footer Page 8 of 133.

Thang Long University Libraty


Header Page 9 of 133.

Chương 1

BÀI TOÁN CÂN BẰNG
Trong chương này ta nhắc lại những khái niệm cơ bản, tính chất đặc
trưng của tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert−H thực qua đó
giới thiệu về bài toán cân bằng và các trường hợp riêng của nó cùng một
số điều kiện về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng.
Nội dung của chương này được lấy từ [1], [2], [3], [4] .
1.1.
1.1.1.

Một số khái niệm và các kết quả cơ bản
Tập lồi

Định nghĩa 1.1.1. Một tập C ⊆ H được gọi là lồi nếu
∀x, y ∈ C, 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ C.

Định lý 1.1.1. Tập lồi là đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với
một số thực. Tức là nếu C và D là hai tập lồi trong H thì các tập sau
cũng là tập lồi.
(i) C ∩ D = {x : x ∈ C, x ∈ D}.

(iii) Lồi mạnh trên C với hệ số γ > 0 nếu
2

f [λx + (1 − λ) y] < λf (x) + (1 − λ) f (y) − γλ (1 − λ) x − y ,
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ;

(iv) Tựa lồi trên C nếu ∀α ∈ R tập mức dưới
Lα (f ) = {x ∈ C, f (x) ≤ α} .

Định lý 1.1.2. Cho f là hàm lồi trên tập lồi C và g là hàm lồi trên tập
lồi D. Khi đó các hàm số sau là hàm lồi trên tập lồi C ∩ D.
(i) αf + βg, ∀α, β ≥ 0;
(ii) max {f, g} (x) = max {f (x) , g (x)} .
Định lý 1.1.3. Cho f : C → R ∪ {+∞} là một hàm lồi, khả vi trên tập
lồi C . Khi đó với mọi x, y thuộc C ta có:
f (x) − f (y) ≤ ∇f (x) , y − x ;

Nếu f lồi chặt, khả vi trên tập lồi C , thì với mọi x, y thuộc C ta có:
f (x) − f (y) < ∇f (x) , y − x ;

Nếu f lồi mạnh với hệ số α > 0 , khả vi trên tập lồi C , thì với mọi x, y
thuộc C ta có:
2

f (x) − f (y) ≤ ∇f (x) , y − x − α x − y .
3

Footer Page 10 of 133.

Thang Long University Libraty

x−y
.
min
x∈C
2
Nói cách khác, việc tìm hình chiếu của y trên C có thể đưa về việc tìm
cực tiểu của hàm x − y 2 trên C .
Mệnh đề 1.1.1. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian
Hilbert −H, khi đó:
với mọi y ∈ H và w ∈ C thì w = PC (y) khi và chỉ khi y − w ∈ NC (w)
Chứng minh: Giả sử w = PC (y), lấy x ∈ C và λ ∈ (0, 1). Đặt
xλ = λx + (1 − λ) w.

Do x, w ∈ C và C lồi, nên xλ ∈ C . Hơn nữa do w là hình chiếu của y,
nên
w − y ≤ y − xλ .
4

Footer Page 11 of 133.


Header Page 12 of 133.

hay
w−y
w−y

2

2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
y−w

2

≤ (y − w)T (y − x) ≤ y − w

y−x .

Suy ra y − w ≤ y − x ∀x ∈ C , do đó w = PC (y) .
Mệnh đề 1.1.2. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian
Hilbert −H, khi đó với mọi x ∈ H, hình chiếu PC (x) của x trên C luôn
tồn tại và duy nhất.
Chứng minh: Giả sử x ∈ H, y ∈ C , y = PC (x) ta có dC (x) = y − x ,
suy ra tồn tại dãy (xn )n∈N trong C sao cho
xn − x → dC (x) < +∞.

Vậy dãy (xn )n∈N là bị chặn do đó có một dãy con (xnk ) hội tụ yếu đến
y . Do C đóng nên y ∈ C vậy
y − x = lim xnk − x = lim xn − x = dC (x) .
n

k

Chứng tỏ y là hình chiếu của x trên C .
Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu. Thật vậy nếu tồn tại hai
điểm y và z đều là hình chiếu của x trên C thì
x − y ∈ NC (y) , x − z ∈ NC (z) .

Tức là

và
y − p (y) , p (x) − p (y) ≤ 0.

Cộng hai bất đẳng thức lại ta được
p (y) − p (x) , p (y) − p (x) + x − y ≤ 0.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz suy ra
p (x) − p (y) ≤ x − y .

Để chứng minh tính đồng bức áp dụng mệnh đề 1.3.1. lần lượt với p (x)
và p (y) ta có:
p (x) − x, p (x) − p (y) ≤ 0.
y − p (y) , p (x) − p (y) ≤ 0.

Cộng hai bất đẳng thức ta được
p (x)−p (y)+y−x, p (x)−p (y) = p (x)−p (y) , y−x + p (x) − p (y)

Chuyển vế ta có
p (x) − p (y) , x − y ≥ p (x) − p (y) 2 .

6

Footer Page 13 of 133.

2

≤ 0.


Header Page 14 of 133.

thì bài toán (1.2.2) tương đương với bài toán (1.2.1).
Thật vậy, giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.2). Nên ta có
ϕ (y) ≥ ϕ (x∗ ) , ∀y ∈ C mặt khác theo cách đặt
f (x, y) = ϕ (y) − ϕ (x) , ∀x, y ∈ C.

Do đó
f (x∗, y) = ϕ (y) − ϕ (x∗) ≥ 0, ∀x, y ∈ C.

Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1).
Ngược lại, cho x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1), ta có
f (x∗ , y) ≥ 0,

∀y ∈ C.

Mặt khác theo cách đặt ta có
f (x∗ , y) = ϕ (y) − ϕ (x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ C

Suy ra
ϕ (y) ≥ ϕ (x∗) , ∀y ∈ C.

Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.2).
7

Footer Page 14 of 133.

Thang Long University Libraty


Header Page 15 of 133.


y ∈ C.

w∗ ∈F (x∗ )

Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1).
Ngược lại, giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1) nên ta có
f (x∗ , y) ≥ 0,

∀y ∈ C.

Theo cách đặt ta có
f (x∗ , y) = max

w∗ , y − x∗ ≥ 0,

y ∈ C.

w∗ ∈F (x∗ )

Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.3).
Nếu F là ánh xạ đơn trị thì bài toán bất đẳng thức biến phân có dạng.
Tìm
x∗ ∈ C sao cho
(1.2.4)
f (x∗) , y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ C.
Bằng cách đặt
f (x, y) = F (x) , y − x ,

∀x, y ∈ C.



Mặt khác theo cách đặt ta có
f (x∗, y) = x∗ − F (x∗ ) , y − x∗ ≥ 0,

∀y ∈ C.

Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1). Ngược lại, giả sử x∗ ∈ C là
nghiệm của bài toán (1.2.1) nên ta có
f (x∗ , y) ≥ 0,

∀y ∈ C.

Mặt khác theo cách đặt ta được
f (x∗, y) = x∗ − F (x∗ ) , y − x∗ ,

∀y ∈ C.

Chọn y = F (x∗) ∈ C ta có
f (x∗, y) = x∗ − F (x∗ ) , F (x∗) − x∗ ≥ 0,

∀y ∈ C.

Suy ra
− x∗ − F (x∗ ) ≥ 0,

∀y ∈ C.

Hay
x∗ − F (x∗ ) ≤ 0,


Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác

1.2.4.

Xét một trò chơi không hợp tác gồm p đối thủ, C ⊆ H là tập lồi khác
rỗng, Ci là tập chiến lược của người chơi thứ i. Hàm chi phí( tổn thất
của người chơi thứ i) là
fi : C1 × C2 × ... × Cp → R.

Với
C = C1 × C2 × ... × Cp ;
x1 ∈ C1 , x2 ∈ C2 , ..., xp ∈ Cp .

Thì chi phí của mỗi đối thủ tương ứng là
f1 (x1, x2 , ..., xp) , f2 (x1, x2 , ..., xp) , ..., fp (x1 , x2, ..., xp) ;
x = (x1 , x2, ..., xp) .

Khi đó bài toán cân bằng Nash được phát biểu như sau. Tìm:
 ∗
x ∈ C sao cho



fi (x∗ ) ≤ fi (x∗ [yi ])
⇔ fi x∗1, ..., x∗i−1, x∗i , x∗i−1, ..., xp ≤ fi x∗1, ..., x∗i−1, yi , x∗i−1, ..., xp



∀yi ∈ Ci , ∀i = 1, 2, ..., p
(1.2.7)


Suy ra
p

fi x∗1 , ..., x∗i−1, yi , x∗i−1, ..., x∗p − fi x∗1, ..., x∗i−1, x∗i , x∗i−1, ..., x∗p

≥ 0.

i=1

Theo cách đặt ta được
f (x∗ , y) ≥ 0,

∀y ∈ C.

Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1). Ngược lại, giả sử x∗ ∈ C là
nghiệm của bài toán (1.2.1) nên ta có
f (x∗ , y) ≥ 0,

∀y ∈ C.

Theo cách đặt ta được
 p

fi x∗1 , ..., x∗i−1, yi , x∗i−1 , ..., xp − fi x∗1 , ..., x∗i−1, x∗i , x∗i−1 , ..., xp
 i=1
∀xi, yi ∈ Ci , ∀i = 1, 2, ..., p.

≥ 0,


Thang Long University Libraty


Header Page 19 of 133.

(P3 ) f thỏa mãn điều kiện bức trên C tức là tồn tại tập compact D sao
cho
C ∩ D = ∅, ∀x ∈ C\D, ∃y ∈ C; f (x, y) < 0.

Định lý 1.3.1. (Ky Fan)
Giả sử C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert −H và
f : C × C → R ∪ {+∞} là song hàm cân bằng xác định trên C . Nếu f
thỏa mãn (P1 ) và f (x, .) tựa lồi trên C với mọi x thuộc C . Khi đó nếu
C là tập compact hoặc điều kiện bức (P3 ) được thỏa mãn thì bài toán
(1.2.1) có nghiệm.
Từ định lí này ta suy ra hệ quả sau.
Hệ quả 1.3.1. Cho f : C × C → R ∪ {+∞} là song hàm cân bằng ,
f (., y) là nửa liên tục trên với mọi y ∈ C và f (x, .) là lồi, nửa liên tục
dưới với mọi x ∈ C . Giả sử điều kiện bức sau đây thỏa mãn. Tồn tại tập
compact B sao cho
C ∩ B = ∅,

∀x ∈ C\B,

∃y ∈ C :

f (x, y) < 0.

Khi đó bài toán (1.2.1) có nghiệm.
Để xét tính duy nhất nghiệm và các phương pháp tìm nghiệm của bài

Header Page 20 of 133.

(v) giả đơn điệu mạnh trên C với hệ số λ > 0, nếu:
2

f (x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x) ≤ −λ x − y , ∀x, y ∈ C;

(vi) tựa đơn điệu trên C , nếu:
f (x, y) > 0 ⇒ f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C.

Từ định nghĩa trên ta có đơn điệu mạnh thì đơn điệu và giả đơn điệu,
đơn điệu thì giả đơn điệu.
Tính chất đơn điệu của song hàm có liên quan chặt chẽ với tính chất
đơn điệu của toán tử sau.
Định nghĩa 1.3.2. Cho C ∈ H và toán tử A : C → R được gọi là:
(i) đơn điệu mạnh trên C với hệ số λ > 0, nếu:
2

A (x) − A (y) , x − y ≥ λ x − y ,

∀x, y ∈ C;

(ii) đơn điệu chặt trên C , nếu:
A (x) − A (y) , x − y > 0,

∀x, y ∈ C, x = y;

(iii) đơn điệu trên C , nếu:
A (x) − A (y) , x − y ≥ 0,


Header Page 21 of 133.

Chứng minh: Giả sử C không bị chặn. Khi đó nó thỏa mãn điều kiện
bức sau: Tồn tại hình cầu đóng B sao cho
∀x ∈ C\B, ∃y ∈ C ∩ B :

f (x, y) < 0.

Thật vậy, với bất kì hình cầu đóng Br với tâm 0 và bán kính r, xr ∈ C\Br
sao cho
f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C ∩ Br .
(1.3.9)
r0 > 0 cố định, khi đó với mỗi r > r0 , tồn tại xr ∈ C\Br sao cho
f xr , y 0 ≥ 0, ∀y 0 ∈ C ∩ Br0 .

Do f giả đơn điệu mạnh với tham số λ, nên ta có
f y 0 , xr + λ xr − y 0

2

(1.3.10)

≤ 0, ∀r.

Mặt khác, Tập C lồi và f y0 , . là lồi trên C . Theo tính lồi tồn tại x0 ∈ C
sao cho ∂2 f y0 , x0 = ∅, ở đây ∂2 f y0 , x0 là dưới vi phân của hàm lồi
f y 0 , . tại điểm x0 . Đặt w∗ ∈ ∂2 f y 0 , x0 là dưới gradient được định
nghĩa bởi
w∗ , x − x0 + f y 0 , x0 ≤ f y 0 , x , ∀x.
Với x = xr ta có

f (y ∗ , x∗ ) ≥ 0
14

Footer Page 21 of 133.


Header Page 22 of 133.

Theo tính giả đơn điệu mạnh, từ f (x∗, y∗ ) ≥ 0, suy ra f (y∗ , x∗) ≤
−λ x∗ − y ∗ 2
Tương tự, ta có f (y∗ , x∗) ≥ 0, suy ra f (x∗ , y∗ ) ≤ −λ x∗ − y∗ 2 .
Vì λ > 0 và x∗ − y∗ 2 ≥ 0, nên suy ra f (x∗ , y∗ ) = f (y∗ , x∗ ) = 0, suy ra
x∗ = y ∗ .

15

Footer Page 22 of 133.

Thang Long University Libraty


Header Page 23 of 133.

Chương 2

HAI THUẬT TOÁN GIẢI BÀI
TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN
ĐIỆU MẠNH VÀ ÁP DỤNG
Trong chương này, tôi trình bày hai thuật toán giải bài toán cân bằng
giả đơn điệu mạnh trên tập nghiệm của nó. Qua đó chứng minh tính


Nên
inf f (x, y) ≤ 0, ∀x ∈ C.

Do đó



sup
inf f (x, y) ≤ 0.





x∈C

Mặt khác x∗ ∈ C nên

y∈C



sup
inf f (x, y) ≥ inf f (x∗, y) .


x∈C




≤ 0.









sup
inf f (x, y) = max inf f (x, y) = inf f (x∗ , y) = 0.




x∈C




y∈C

y∈C

y∈C

Ngược lại, giả sử có (ii). Khi đó theo lập luận ở trên ta có
sup {−f (x∗ , y)} = min sup {−f (x∗, y)} = 0.

2

2

− L2 y − z .

Khi đó với bất kì x0 ∈ C , dãy xk được xác định theo công thức
xk+1 = s xk = arg min ρf xk , y +
y∈C

Có tính chất

1
y − xk
2

2

.

(2.1.1)

2

2

xk+1 − x∗ ≤ α xk − x∗ , ∀k ≥ 0.
1
Nếu như 0 < ρ ≤
, trong đó x∗ là nghiệm duy nhất của bài toán

fk xk+1 +

1
x − xk+1
2

2

≤ fk (x) , ∀x ∈ C.

(2.1.3)

Thay x = x∗ trong (2.1.3) theo định nghĩa fk ta được
xk+1 − x

2

≤ 2ρ f xk , x∗ − f xk , xk+1
18

Footer Page 25 of 133.

+ xk − x∗

2

2

− xk+1 − xk .
(2.1.4)