Đề tài nghiệp vụ s phạm: Phơng trình bậc cao
Phần I
Đặt vấn đề
1- Lý do chọn đề tài :
Toán học là môn khoa học tự nhiên có từ rất lâu đời. Nó tồn tại và phát triển
cùng với sự tồn tại và phát triển của xã hội loài ngời. Từ 2000 năm trớc công
nguyên ngời Cổ đại đã biết cách giải các phơng trình bậc nhất, ngời cổ Babilon đã
biết giải phơng trình bậc hai và đã dùng các bảng đặc biệt để giải phơng trình bậc
ba.
Nhng để giải các phơng trình bậc cao hơn phải đến đầu thế kỷ 19, nhà Toán
học Nauy là Abet ( 1802 1829) chứng minh đợc rằng phơng trình tổng quát bậc
5 và lớn hơn bậc 5 là không để giải đợc bằng các phơng tiện thuần tuý đại số. Sau
cùng nhà toán học Pháp là Galoa ( 1811 1832) đã giải quyết một cách trọn vẹn
về vấn đề phơng trình đại số.
Sau nhiều năm giảng dạy môn Toán ở bậc trung học cơ sở tôi nhận thấy
mảng giải phơng trình bậc cao đợc đa ra ở sách giáo khoa lớp 8, 9 là rất khiêm tốn,
nội dung sơ lợc, mang tính chất giới thiệu khái quát, quỹ thời gian giành cho nó là
quá ít ỏi. Bên cạnh đó là các nội dung bài tập ứng dụng thì rất phong phú, đa dạng
và phức tạp. Các phơng trình bậc cao là một nội dung thờng gặp trong các kỳ thi ở
Bậc THCS, THPT và đặc biệt trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và cao đẳng.
Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung, tính phức tạp hóa gây nên sự trở
ngại cho học sinh trong quá trình tiếp cận với phơng trình bậc cao. Cùng với sự tích
luỹ kinh nghiệm có đợc của bản thân qua nhiều năm giảng dạy. Kết hợp với những
kiến thức mà tôi đã lĩnh hội đợc trong chơng trình Đại học Toán mà đặc biệt là sự h-
ớng dẫn tận tình của các thầy cô giáo. Tôi mạnh dạn chọn đề tài Những phơng
pháp giải phơng trình bậc cao.
Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này,
tự phân loại đợc một số dạng toán giải phơng trình bậc cao, nêu lên một số phơng
pháp giải cho từng dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc
giải phơng trình bậc cao. Qua nội dung này tôi hy vọng học sinh phát huy đợc khả
năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua cá bài tập nhỏ. Từ đó hình thành cho

phân tích và nhận định hớng giải, nhiều em không học lý thuyết đã vận dụng ngay,
không giải đợc thì chán nản, bỏ không giải hoặc giở sách giải ra chép v.v....
Trong quá trình giảng dạy, đặc biệt khi dạy chơng phơng trình ta thấy các
dạng phơng trình đa dạng và phong phú, mà ta phải vận dụng nhiều kỹ năng biến
đổi đại số nh sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ và một số hằng đẳng thức mở rộng,
dùng các phép biến đổi tơng đơng và các phép biến đổi đại số, phân tích đa thức
thành nhân tử ...
Công cụ giải phơng trình đòi hỏi không cao xa, chỉ với kiến thức toán cấp hai
là đủ. Cái quan trọng là yêu cầu học sinh phải nắm vững kiến thức, phải có sự lập
luận chặt chẽ, phải biết xét đầy đủ các khía cạnh, các trờng hợp cụ thể của từng vấn
đề. Đặc biệt là yêu cầu đối với những học sinh khá, giỏi phải hết sức sáng tạo, linh
hoạt trong khi giải phơng trình, biết đặc biệt hoá và tổng quát hoá những vấn đề cần
thiết.
Là giáo viên trong quá trình giảng dạy việc cung cấp kiến thức cho học sinh
phải thực sự đúng quy trình các bớc biến đổi, phải đảm bảo lôgíc, có hệ thống,
không tự tiện cắt bỏ kiến thức để rèn cho các em học sinh thói quen cẩn thận, kỹ
năng giải bài tập hợp lôgíc toán học.
Việc giải phơng trình bậc cao quy về bậc một nằm trong chơng trình bậc nhất
một ẩn phần cuối chơng, đây là một vấn đề khó với các em học sinh trung bình và
học sinh đại trà, số tiết dạy cho phần này lại ít.
* Đối với giáo viên : Phải hệ thống đợc các khái niệm và các định nghĩa cơ
bản của các dạng phơng trình, các tính chất và các cách giải phơng trình từ đơn giản
đến phức tạp. Nghiên cứu, tìm tòi, khai thác để tìm đợc những ứng dụng đa dạng,
phong phú của phơng trình. Mặt khác phải lựa chọn các phơng pháp thích hợp đối
với từng đối tợng học sinh, đồng thời nâng cao nghiệp vụ của giáo viên.
* Đối với học sinh : Nắm chắc một cách có hệ thống các khái niệm, định
nghĩa, các phép biến đổi tơng đơng, các tính chất và các hệ quả. Từ đó phát triển
Ngời thực hiện: Tô Ngọc Sơn
3
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Phơng trình bậc cao

Ta gọi phơng trình đại số bậc n trên trờng số thực là các dạng phơng trình đ-
ợc đa về dạng :
a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ ... + a
1
+ a
0
= 0
Ngời thực hiện: Tô Ngọc Sơn
4
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Phơng trình bậc cao
Trong đó n nguyên dơng; x là ẩn; a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
là các số thực xác định
( a
n
0).

<=> -9 = 5 x ( x + 3)
* Chú ý :
Nếu nhân hai vế của một phơng trình với một đa thức của ẩn thì đợc phơng
trình mới có thể không tơng đơng với phơng trình đã cho.
III- Một số cách giải phơng trình bậc cao :
A- Phơng hớng :
Ngời thực hiện: Tô Ngọc Sơn
5
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Phơng trình bậc cao
ở phổ thông không học phép giải tổng quát cho phơng trình bậc ba, bậc bốn
còn phơng trình bậc 5 không có phép giải tổng quát. Tuy nhiên trong một số trờng
hợp đặc biệt có thể đa phơng trình cần giải về những phơng trình bậc 1, bậc 2. Ta
phải dựa vào đặc thù của phơng trình cần giải để có phơng pháp thích hợp.
Giải và giảng dạy các bài toán về giải phơng trình bậc cao quy về bậc nhất
một ẩn hoặc bậc hai nằm trong quá trình giải phơng trình bậc nhất, bậc 2. Nói
chung bao gồm nhiều dạng và phong phú đợc các nhà toán học và s phạm quan tâm
và đề cập tới trong nhiều tài liệu, tập san toán học v.v... Căn cứ vào mục đích ý
nghĩa kết quả điều tra và thực tế giảng dạy chơng phơng trình. Trong quá trình
giảng dạy, bản thân tôi đã nghiên cứu, áp dụng lý luận trong quá trình dạy học, các
phơng pháp đặc trng bộ môn, áp dụng các kiến thức đã học để đa các phơng trình
bậc cao về bậc nhất, bậc hai bằng nhiều cách.
Các dạng cơ bản của phơng trình bậc cao thờng gặp là các phơng trình trùng
phơng, phơng trình đối xứng, phơng trình thuận nghịch...
B- Các bài toán và phơng pháp giải :
1- Phơng pháp đa về phơng trình tích :
1.1. áp dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử :
Để giải các phơng trình dạng này trớc hết ta phải nắm vững các phơng pháp
phân tích đa thức thành nhân tử bằng mọi cách đa phơng trình đã cho về dạng tích.
f(x).g(x) ... h(x) = 0 <=> f(x) = 0
g(x) = 0

+ 3x
2
+ 3x + 1 = x
3
+ 6x
2
+ 12x + 8
<=> x
3
- 3x
2
- 3x 4 = 0
<=> x
3
1 3x
2
3x 3 = 0
Ngời thực hiện: Tô Ngọc Sơn
6
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Phơng trình bậc cao
<=> (x-1) ( x
2
+ x+ 1) 3 (x
2
+ x + 1) = 0
<=> ( x
2
+ x + 1) ( x 4) = 0 (2)
Với học sinh lớp 8 ta làm nh sau:
Do x

x + a
0
= 0
g(x) = b
n
x
n
+ b
n - 2
x
n - 2
+ ... + b
1
x + b
0
= 0
với : b
n 1
= a
n
b
n 2
= x
0
b
n 1
+ a
n 1
.
...............

b
n-1
.......... x
0
b
1
x
0
b
1
x = x
0
b
n-1
=a
n
b
n-2
......... b
0
0
Việc nhẩm nghiệm các phơng trình dựa trên các cơ sở sau :
1.2.1. Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là một nghiệm của đa thức,
đa thức chứa thừa số x 1 .
1.2.2. Nếu đa thức có tổng các hệ số của một số hạng bậc chẵn bằng tổng các
hệ số của số hạng bậc lẻ thì -1 là một nghiệm của đa thức, đa thức chứa thừa số ( x
+ 1).
1.2.3. Mọi nghiệm nguyên của đa thức đều là ớc số của hệ số tự do a
0
.

0
= 1 + 1 + 0 + (-1) + (-1) = 0
Và : a
4
+ a
2
+ a
0
= 1 + 0 + (-1) = a
3
+ a
1
= 1 + (-1) .
áp dụng mục 1.2.1 và 1.2.2 ta có 2 nghiệm của phơng trình (2) là :
x
1
= 1; x
2
= -1.
áp dụng lợc đồ Hoócne ta có :
x
i
a
4
=1 a
3
=1

a
2

<=> x 4 = 0 (*)
x
2
x + 4 = 0 (**)
(*) <=> x 4 = 0 <=> x = 4
(**) <=> x
2
x + 4 = 0
= 1 4.4 = 1 16 = - 15 < 0 => (**) vô nghiệm
Vậy nghiệm của pt (3) là x = 4
* Bài toán 4: Giải pt: 2x
3
5x
2
+ 8x 3 = 0 ( 4)
Việc áp dụng nhận xét các mục 1.2.1; 1.2.2 ; 1.2.3 không thể giải quyết đợc
vấn đề ( vì ở phơng trình này không có nghiệm nguyên). Ta nghĩ đến cơ hội cuối
cùng nếu phơng trình có nghiệm hữu tỉ và áp dụng nhận xét ở mục 1.2.4
(4) <=> 8x
3
20x
2
+ 32x 12 = 0
Ngời thực hiện: Tô Ngọc Sơn
8
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Phơng trình bậc cao
<=> (2x)
3
5 (2x)
2

<=> ( y 2)
2
+ 8 > 0 y
Vậy phơng trình ( 4) có một nghiệm và x = 1/2
1.2.5. Việc nhẩm nghiệm nh ở trên sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu số hạng tạ
do a
0
lớn và có nhiều ớc số. Trong trờng hợp này ta sẽ áp dụng nhận xét sau để đi
loại trừ bớt các ớc không là nghiệm của phơng trình một cách nhanh chóng.
- Nếu x
0
là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1) 0; f(-1) 0 thì
1
)1(
0

x
f
và
1
)1(
0
+

x
f
đều là các giá trị nguyên.
*Bài toán 5 : Giải phơng trình : 4x
3
13x

áp dụng lợc đồ Hoócne ta đa (5) về dạng sau :
(x-3) ( 4x
2
x + 6 ) = 0
<=> x 3 = 0 (*)
Ngời thực hiện: Tô Ngọc Sơn
9
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Phơng trình bậc cao
4x
2
x + 6 = 0 (**)
(*) <=> x = 3
(**) <=> 4x
2
x = 6 = 0
= (-1)
2
4.4.6 < 0 => (**) vô nghiệm.
Nên phơng trình (5) có một nghiệm là : x = 3.
* Chú ý :
- Việc nhẩm nghiệm phơng trình có thể nhẩm miệng rồi dùng thuật toán chia
đa thức cho đa thức để hạ bậc và đa phơng trình về dạng tích.
- Có thể dùng lợc đồ Hoócne để xác định ớc số nào của a
0
là nghiệm, ớc số
nào không là nghiệm và đa ngay ra dạng phân tích.
VD : Xét phơng trình : x
3
5x
2

+ c = 0 ( a0) gọi là phơng trình trùng phơng.
+ Cách giải : Đặt ẩn phụ y = x
2
( y 0) đa về phơng trình bậc hai đối với y
nh sau :
Ngời thực hiện: Tô Ngọc Sơn
10
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Phơng trình bậc cao
ay
2
+ by + c = 0
* Bài toán 7 : Giải phơng trình :
x
4
5x
2
+ 4 = 0 (1)
Giải : Đặt y = x
2
( y 0)
(1) <=> y
2
5y + 4 = 0
<=> (y-1)(y-4) = 0
<=> y 1 = 0 <=> y = 1
y 4 = 0 y = 4
x
2
= 1 <=> x
1

+ 8y 9 = 0
<=> (y-1)(y+9) = 0
<=> y 1 = 0 <=> y = 1
y +9 = 0 y = -9
x
2
+ 4x 5 = 1 <=> x
2
+ 4x - 6 = 0
<=> x
1,2
=
102

x
2
+ 4x 5 = -9 <=> x
2
+ 4x + 4 = 0
<=> x
3,4
= - 2
Ngời thực hiện: Tô Ngọc Sơn
11
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Phơng trình bậc cao
Vậy phơng trình ( 1) có 3 nghiệm :
x
1
=
102

+ 12y
2
+ 2 = 16
<=> y
4
+ 6y
2
7 = 0 ( Phơng trình trùng phơng)
Đặt m = y ( m0) ta đợc phơng trình.
m
2
+ 6m 7 = 0 (8)
Dùng phơng pháp nhẩm nghiệm ( a+b+c = 0)
(*) <=> m
1
= 1 (thoả mãn); m
2
= -7 (loại)
y
2
= 1 => y
1
= 1; y
2
= -1
x + 2 = 1 => x = -1
x + 2 = -1 => x = -3
Vậy phơng trình (1) có 2 nghiệm là :
x = - 1; x = -3
Dạng 4: Phơng trình đối xứng bậc chẵn có dạng:

3x
2
+ 3x + 2 = 0 ( 1)
Giải: x = 0 không là nghiệm của ( 1)
Với x 0 chia 2 vế của (1) cho x
2
ta đợc phơng trình tơng đơng
0
23
332
2
2
=+++
x
x
xx
Ngời thực hiện: Tô Ngọc Sơn
12