Câu lạc bộ toán học Huyện Yên Định Số 04 - 2006
Một bài toán có nhiều cách giải
***************************
Trong việc giảng dạy toán đặc biệt là bồi dỡng học sinh giỏi khi giảng dạy
việc tìm tòi các cách giải khác nhau của một bài toán là cần thiết vì thông qua đó
giáo viên có thể đánh giá học sinh về độ rộng, sâu, chắc kiến thức, khả năng
nhanh nhạy của học sinh mà việc đó rất cần với học sinh giỏi. Đây là vấn đề khó
xong nếu ngời làm toán mà đam mê, ham học hỏi mà thành công đợc thì tự nhiên
nó trở thành một nhu cầu cần thiết.
Tôi xin đa ra một ví dụ về một bài toán chứng minh bất đẳng thức đơn giản
mà có nhiều cách giải để các bạn yêu toán tham khảo.
Bài toán : Cho a , b , c là ba số dơng thoã mãn : a > c , b > c. Chứng minh
rằng :
( ) ( )
c a c c b c ab +
. (1)
Lời giải 1 : ( Sử dụng phép biến đổi tơng đơng)
(1)


( ) ( )
c a c ab c b c
.
Do a > c , b > c nên hai vế cùng dơng, ta bình phơng hai vế :

( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2

2
2
2 0
2 0
2 0
0
ac c bc c c a c b c ab
ab ac c bc c c a c b c
a b c c b c c a c b c c
a c b c c a c b c c
a c b c c
+ +
+ +
+
+

Đây là một bất đẳng thức đúng, ta có điều phải chứng minh.
GV : Nguyễn Thanh Hải Tr ờng THCS Lê
Đình Kiên
1
Câu lạc bộ toán học Huyện Yên Định Số 04 - 2006
Lời giải 3 : (Đặt ẩn phụ).
Ta thấy dới dấu căn của vế trái các nhân tử có quan hệ đặc biệt nh sau :
( )
a a c a+ =
;
( )
b b c b+ =
.
Do đó ta có thể đặt ẩn phụ nh sau :

( )
2
2
2
2
2 0
0



+ + + + +
+ +

Đây là một bất đẳng thức đúng, ta có điều phải chứng minh.
Lời giải 4 : (áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki)
Đặt :
c
b c


=
=

a c x
c y
=
=
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho 4 số x , y ,
,


tam giác vuông ABH, ACH ta
GV : Nguyễn Thanh Hải Tr ờng THCS Lê
Đình Kiên
2
h
c
a
b
a
b
c
a c
b c
Câu lạc bộ toán học Huyện Yên Định Số 04 - 2006
tính ngay đợc :
BH =
a c
; CH =
b c
Ta có :
2. 2. 2.
ABC ABH ACH
S S S= +
V V V
Hay :
( ) ( )
c a c c b c ab +
.
ã
sin BAC

( ) ( )
1
c a c c b c
ab ab

+

. . 1
.(1 ) .(1 ) 1
c a c c b c
b a a b
c c c c
b a a b

+
+
Nhận thấy :
0
c
a
>
;
1
c
b
<
.
Do vậy đặt :
2
2

c
t t
a


= =




= =


Vậy:
2 2 2 2
cos .sin cos .sin 1t t

+

cos .sin cos .sin 1
sin( ) 1.
t t
t


+
+
Bất đẳng thức này đúng.(đpcm)
Đây là bài toán không khó mà Tôi đã tìm hiểu và su tầm. Chúc các bạn
thành công trong việc tìm kiếm các lời giải khác nhau cho một bài toán trong bồi