H v tờn:Lp:.

Chủ đề phơng trình bậc hai một ẩn
A. Kiến thức cần nhớ
I. Định nghĩa : Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có dạng
ax 2 + bx + c = 0

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trớc gọi là các hệ số và a 0
II. Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai :
Phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0(a 0)
= b 2 4ac

*) Nếu > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
x1 =

b +
b
; x2 =
2a
2a

*) Nếu = 0 phơng trình có nghiệm kép :
x1 = x 2 =

b
2a

*) Nếu < 0 phơng trình vô nghiệm.
III. Công thức nghiệm thu gọn :
Phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0(a 0) và b = 2b '
' = b '2 ac

x 2 Sx + P = 0

(Điều kiện để có u và v là S2 4P 0 )
3. Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình ax 2 + bx + c = 0(a 0) có hai nghiệm :
c
a
2
Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình ax + bx + c = 0(a 0) có hai nghiệm :
c
x1 = 1; x 2 =
a
x1 = 1; x 2 =

C. Các dạng bài hay gặp trong bộ môn Toán
1. Phơng trình bậc hai dạng khuyết :
a/ Phơng trình bậc hai khuyết hạng tử bậc nhất :
b/ Phơng trình bậc hai khuyết hạng tử tự do :
Phơng pháp giải : Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân tử
chung, đa về phơng trình tích rồi giải.
2. Phơng trình bậc hai đầy đủ :
Phơng pháp giải :
- Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải.
- Sử dụng quy tắc nhẩm nghiệm để tính nghiệm với một số phơng trình đặc biệt.
3. Phơng trình đa đợc về phơng trình bậc hai :
a/ Phơng trình trùng phơng : ax 4 + bx 2 + c = 0(a 0)
Phơng pháp giải : Đặt t = x2( t 0 ) đa về dạng : at 2 + bt + c = 0
b/ Phơng trình chứa ẩn ở mẫu :
Phơng pháp giải :
- Bớc 1. Tìm điều kiện xác định của phơng trình.
- Bớc 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.


Bài 1. Giải các phơng trình sau :
a / 2x 2 8 = 0
b / 3x 2 5x = 0
c / 2x 2 + 3x + 5 = 0
d / x 4 + 3x 2 4 = 0
e / x 3 + 3x 2 2x 6 = 0
x+2
6
f/
+3=
x 5
2x

Bài 2. Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m : x 2 + mx + m + 3 = 0 (1)
a/ Giải phơng trình với m = - 2.
b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình. Tính x12 + x 22 ; x13 + x 32 theo m.
c/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x12 + x 22 = 9 .
d/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.
e/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.


H v tờn:Lp:.

g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào giá trị của m.
d/ Theo phần b : Phơng trình có nghiệm x1; x 2 0
x1 + x 2 = m
x1x 2 = m + 3


(m) = 132 4.3.14 = 1 > 0

=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
13 + 1
= 2
2.3
13 1
7
m2 =
=
2.3
3
m1 =

Thử lại :

+) Với m = 2 = 0
+) Với m =

7
25
=
>0
3
9

=> thỏa mãn.
=> thỏa mãn.

7

b/ Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c/ Trong trờng hợp phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2. Hãy tính theo m giá trị
của biểu thức A = 16x1x 2 3(x12 + x 22 ). Tìm m để A = 0.
(1)
Bài 8. Cho phơng trình ẩn x, tham số m : (m + 3)x 2 2(m 2 + 3m)x + m3 + 12 = 0
a/ Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho x12 + x 22 là
một số nguyên.
Bi 3:Cho phơng trình bậc hai ẩn x, m là tham số :
x 2 2(m 3) x + 2m 7 = 0

(1)

a/ Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
1

1

b/ Gọi hai nghiệm của phơng trình (1) là x1 ; x2 . Hãy tìm m để x + 1 + x + 1 = m
1
2
Bi 4: Cho phơng trình bậc hai ẩn x, m là tham số :
x 2 3mx + 3m 4 = 0

(1)

a/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân
biệt ?
b/ Hãy tìm m để phơng trình (1) có một nghiệm x1 = 4 + 2 3 . Khi đó hãy tìm nghiệm
x2 của phơng trình đó

a/ Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b/ Tìm giá trị của m thỏa mãn x12 + x22 = 12 (Trong đó x1 , x2 là hai nghiệm của phơng
trình) ?
Bài 9.
Cho phơng trình: x2 - ( m + 1)x + m2 - 2m + 2 = 0
1. Giải phơng trình với m = 2
2. Tìm m để phơng trình có nghiệm kép; vô nghiệm; có hai nghiệm phân biệt.
Bài 10:
Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 (1) (m là tham số)
1) Giải phơng trình (1) với m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
3) Với x1, x2 là nghiệm của (1). Tính theo m giá trị của biểu thức:
A = x1(1 - x2) + x2(1 - x1).
Bài 12.
Cho phơng trình (ẩn x) : 2x2 + mx + m - 3 = 0 (1)
1) Giải phơng trình (1) khi m = -1.
2) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
3) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá
trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dơng.


H v tờn:Lp:.

Bài 13
Cho phơng trình bậc hai x 2 2(2m 1) x + 3m 2 4 = 0 (x là ẩn)

(1)

a/ Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm phân biệt của phơng trình (1). Hãy tìm m để x1 + 2 x2 = 2

KIM TRA CH PHNG TRèNH
Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh:


H v tờn:Lp:.

a / 2x 2 5x = 0

b / 9x 2 25 = 0

c / 2x 2 + 3x + 5 = 0

d / x 4 + 3x 2 4 = 0

Bi 2: Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m : x 2 + mx + m 3 = 0 (1)
a/ Giải phơng trình với m = - 2.
b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm còn lại.
c/ Chng t phng trỡnh (1) luụn cú hai nghim phõn bit vi mi m.
2
2
d/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình .Tỡm giỏ tr nh nht ca A = x1 + x 2
2
2
e/Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x1 + x 2 = 9 .

f/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào giá trị của m
h/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
Bi lm.