BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN ĐỨC TUẤN

VỀ TẬP XÁC ĐỊNH DUY NHẤT
CHO HÀM PHÂN HÌNH
VÀ ĐẠO HÀM CỦA CHÚNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN ĐỨC TUẤN

VỀ TẬP XÁC ĐỊNH DUY NHẤT
CHO HÀM PHÂN HÌNH
VÀ ĐẠO HÀM CỦA CHÚNG
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62 46 01 04

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN THÀNH QUANG

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới:
- Tập thể các Thầy Cô giáo ngành Toán thuộc Viện Sư phạm Tự
nhiên, Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh, về những hỗ
trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của
một nghiên cứu sinh.
- Tập thể các Thầy Cô giáo Khoa Toán - Ứng dụng, Trường Đại học
Sài Gòn, nơi tác giả công tác, đặc biệt là PGS. TS. Phạm Hoàng Quân,
đã giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình
tác giả thực hiện luận án.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những thành viên trong gia đình
của tác giả và những người bạn thân thiết đã luôn giúp đỡ và động viên
trong suốt quá trình học tập.
Phan Đức Tuấn ...


iii

MỤC LỤC
Một số ký hiệu thường dùng trong luận án . . . . . . . . . . . .

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1

Tập xác định duy nhất cho hàm phân hình



58

3.1 Đa thức vi phân chia sẻ một giá trị . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Đa thức vi phân chia sẻ một giá trị không tính bội . . . . . 71
Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án . . . 81
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82


1

MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG
TRONG LUẬN ÁN
Ký hiệu

Ý nghĩa

Trang

N

Tập hợp số tự nhiên

13

C

Trường số phức


3

Ef (S)

Tập ảnh ngược của S qua f , tính cả bội

8

E f (S)

Tập ảnh ngược của S qua f , không tính bội 9

gcd(a, b)

Ước chung lớn nhất của a và b

29

Tf (r)

Hàm đặc trưng của hàm phân hình f

14

Nf (0, r)

Hàm đếm không điểm của hàm phân hình f 14

Nf (∞, r)


1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết phân bố giá trị được xây dựng bởi R. Nevanlinna [72] vào
năm 1925. Sự ra đời của lý thuyết này được đánh giá là một trong những
sự kiện toán học vĩ đại của thế kỷ 20. Bằng cách áp dụng lý thuyết phân
bố giá trị, R. Nevanlinna [73] đã chứng minh định lý nổi tiếng sau: Với
hai hàm phân hình phức khác hằng số f và g , nếu có năm giá trị phân
biệt ai (i = 1, 2, 3, 4, 5) thỏa mãn f −1 (ai ) = g −1 (ai ) ( không tính bội) với
i = 1, 2, 3, 4, 5 thì f = g . Hơn nữa, nếu f −1 (ai ) = g −1 (ai ) (tính cả bội)

với i = 1, 2, 3, 4 thì f =

ag+b
cg+d

với a, b, c, d là các hằng số phức thỏa mãn

ad − bc = 0. Từ đây, lý thuyết về sự xác định duy nhất hàm phân hình

được phát triển mạnh mẽ theo nhiều hướng mở rộng khác nhau.
Vào năm 1976, F. Gross [29] bắt đầu nghiên cứu vấn đề tương tự cho
hai hàm phân hình có ảnh ngược của các tập hợp điểm trùng nhau. Ông
đã đưa ra câu hỏi sau: Tồn tại hay không một tập S ⊂ C ∪ ∞ sao cho
với mọi hàm phân hình khác hằng số f và g thỏa mãn f −1 (S) = g −1 (S)
(tính cả bội) thì f = g ? Tập S có tính chất như vậy được gọi là tập xác
định duy nhất cho hàm phân hình. Ví dụ đầu tiên về tập xác định duy
nhất được đưa ra bởi F. Gross và C.C. Yang [30] vào năm 1982. Hai ông
đã chứng minh tập S = {z : z + ez = 0} là tập xác định duy nhất cho
các hàm nguyên. Chú ý rằng tập hợp này có vô hạn phần tử. Tập xác
định duy nhất đầu tiên cho hàm nguyên có hữu hạn phần tử được đưa

hình và các đơn thức vi phân dạng f n f , khi chúng có cùng tập ảnh ngược
của một điểm tính cả bội và họ đã thu được kết quả sau: Giả sử f và g là
các hàm phân hình khác hằng số, n

11 là một số nguyên và a ∈ C \{0}.

Nếu (f n f )−1 (a) = (g n g )−1 (a) (tính cả bội) thì hoặc f = dg với d là căn
bậc (n + 1) nào đó của đơn vị hoặc g(z) = c1 ecz và f (z) = c2 e−cz với
c, c1 và c2 là các hằng số thỏa mãn (c1 c2 )n+1 c2 = −a2 . Bài toán tổng

quát theo hướng nghiên cứu này được phát biểu dưới dạng: Giả sử f và
g là các hàm phân hình khác hằng số và P là một đa thức vi phân sao


4

cho P [f ] và P [g] có cùng tập ảnh ngược của một hay có thể nhiều điểm
phân biệt. Với giả thiết nào của P hoặc về số các điểm chung, ta có thể
kết luận f = g hoặc ít nhất f và g có một quan hệ mật thiết nào đó.
Theo hướng nghiên cứu này, các kết quả về sự duy nhất của các hàm
phân hình phức lần lượt được khảo sát cho các đa thức vi phân dạng
(f n )(k) , (f n (f − 1))(k) , f n (f − 1)2 f , ...

trong các công trình của M. L. Fang [23], W. C. Lin và H. X. Yi [50].
Bài toán duy nhất cho các hàm phân hình và đạo hàm của chúng
trên trường số p-adic cũng được khảo sát bởi các tác giả H. H. Khoai
và V. H. An [42]; J. Ojeda [54] cho các đơn thức vi phân dạng f n f ; K.
Boussaf, A. Escassut và J. Ojeda [12] cho đa thức vi phân dạng f P (f ),
với P là một đa thức duy nhất cho hàm phân hình; H. H. Khoai, V. H.
An và N. X. Lai [44] cho đa thức vi phân dạng (f n )(k) .

Hàm phân hình, đa thức vi phân và tập xác định duy nhất cho các
hàm phân hình.
3.2 Phạm vi nghiên cứu

Luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu các đặc trưng của các hàm
phân hình và đạo hàm của chúng có cùng ảnh ngược của một hay nhiều
tập hợp điểm trong các trường hợp tính bội và không tính bội.
4 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng lý thuyết phân bố giá trị trong trường hợp phức
của Nevanlinna và trong trường hợp p-adic được xây dựng bởi Hà Huy
Khoái cùng với lý thuyết phân bố giá trị cho đa thức vi phân và các bổ
đề Borel suy rộng.
5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
5.1 Ý nghĩa khoa học

Vấn đề tập xác định duy nhất cho các hàm phân hình và đạo hàm
của chúng là một lĩnh vực nghiên cứu mới và đang phát triển mạnh mẽ.
Các kết quả mới về tập xác định duy nhất, bài toán chia sẻ giá trị cho
hàm phân hình và đạo hàm của chúng vừa mang tính thời sự vừa có mối
quan hệ chặt chẽ với các lĩnh vực về phương trình hàm và phương trình
vi phân. Do đó, việc nghiên cứu các đặc trưng về tập xác định duy nhất


6

của các hàm phân hình và đạo hàm của chúng là có ý nghĩa khoa học và
cần thiết, góp phần làm phong phú thêm hiểu biết về lý thuyết duy nhất
cho các hàm phân hình.
5.2 Ý nghĩa thực tiễn

7

nhất cho hàm phân hình, đó là xây dựng các tập xác định duy nhất với số
phần tử bé nhất có thể. Các kết quả của chúng tôi góp phần làm phong
phú thêm lý thuyết này. Nội dung chính của Chương 1 đã được chúng tôi
công bố trong hai bài báo [57, 58].
Một trong những vấn đề liên kết với bài toán tập xác định duy nhất
là xem xét giá trị Picard của các hàm phân hình. Định lý cơ bản của
đại số nói rằng một đa thức khác hằng số một biến phức luôn nhận mọi
giá trị phức. Sử dụng định lý cơ bản của đại số, W. W. Adam và E. G.
Strauss [5] đã chứng minh: Nếu các đa thức khác hằng số f và g thoả mãn
f −1 (0) = g −1 (0) và f −1 (1) = g −1 (1) thì f = g . Hơn nữa, W. W. Adam

và E. G. Strauss cũng đưa ra kết quả tương tự cho các hàm phân hình
p-adic. Đối với các hàm phân hình phức, chúng ta có định nghĩa: Cho f

là một hàm phân hình, giá trị a ∈ C được gọi là giá trị Picard của f
nếu f (z) = a, ∀z ∈ C. Một tương tự của định lý cơ bản của đại số cho
hàm phân hình phức là Định lý Picard nói rằng mỗi hàm phân hình khác
hằng số f trên mặt phẳng phức có nhiều nhất hai giá trị Picard, nghĩa là
f nhận mọi giá trị phức w trừ ra nhiều nhất hai giá trị. Vào năm 1958,

W. K. Hayman [32] bắt đầu xét mối liên hệ giữa giá trị Picard của các
hàm phân hình và đạo hàm của chúng. Ông đã chứng minh được kết quả
quan trọng sau: Mỗi hàm phân hình phức f thỏa mãn f n (z) + af (z) = b
với mọi z ∈ C là hằng số nếu n ≥ 5 và a, b ∈ C, a = 0. Hơn nữa, nếu f là
hàm nguyên thì chỉ cần n ≥ 3 hoặc n = 2, b = 0. Năm 1982, W. D¨oringer
[20] chỉ ra kết quả này vẫn đúng với f n + af (k) thay cho f n + af với điều
kiện n ≥ k + 4; nếu f là hàm nguyên thì chỉ cần n ≥ 3, không phụ thuộc
k . Sử dụng kết quả này, vào năm 2011, J. Grahl và S. Nevo [28] đã xét

Trong Định lý 2.2.3, điều kiện bị chặn của chúng tôi trong trường
hợp p-adic cho n và k là n ≥ 4, không phụ thuộc vào k , trong khi kết quả
trong trường hợp phức của J. Grahl và S. Nevo [28] là n ≥ 11 và n ≥ k+2.
Trong Định lý 2.2.4, điều kiện bị chặn cho n và k là n ≥ 5k + 14, còn
trong trường hợp phức, điều kiện bị chặn cho n và k đưa ra bởi J. Grahl
và S. Nevo [28] là n ≥ 5k + 17.
Phương pháp chứng minh của chúng tôi là sử dụng Định lý cơ bản
thứ hai cho hàm phân hình p-adic được xây dựng bởi H. H. Khoai [38] và
Bổ đề Borel cho hàm phân hình p-adic được xây dựng bởi P. C. Hu và C.
C. Yang [34]. Nội dung chính của Chương 2 đã được chúng tôi công bố
trong công trình [62].
Trong Chương 3, chúng tôi xét bài toán duy nhất cho đa thức vi
phân dạng f n + af m (f (k) )l , với n, m, l, k là các số nguyên dương. Trong


9

[20], W. D¨oringer đã chỉ ra rằng: Mỗi hàm phân hình phức f thỏa mãn
f n (z) + af m (z)(f (k) )l (z) = b, ∀z ∈ C là hằng số nếu n ≥ 3 + (k + 1)l + m

và a, b ∈ C, a = 0. Sử dụng kết quả này, chúng tôi xét các hàm nguyên và
hàm phân hình có các đa thức vi phân dạng f n + af m (f (k) )l , với n, m, l, k
là các số nguyên dương có cùng ảnh ngược của một điểm trong cả hai
trường hợp tính bội và không tính bội. Đa thức vi phân dạng này khác
với đa thức vi phân dạng f n + af (k) đã xét ở Chương 2 với điều kiện m
nguyên dương. Trong Mục 3.1, chúng tôi nghiên cứu trường hợp tính cả
bội. Kết quả chính của mục này là Định lý 3.1.10 và Định lý 3.1.11. Tiếp
theo, trong Mục 3.2, chúng tôi đưa ra các đặc trưng cho các hàm phân
hình có các đa thức vi phân dạng trên chia sẻ một giá trị không tính bội
và thu đươc Định lý 3.2.1 và Định lý 3.2.2.

3. Đại hội Toán học Toàn quốc lần thứ 8 tại Nha Trang, 10-14/8/2013.
4. Hội Nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên tại Trường Đại học
Quy Nhơn, 12-14/8/2015.


11

Chương 1

TẬP XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CHO HÀM
PHÂN HÌNH P -ADIC
Trong chương này, trước hết, chúng tôi nghiên cứu các tương tự của
Bổ đề Borel trong trường hợp p-adic. Sau đó, chúng tôi ứng dụng các kết
quả này trong việc nghiên cứu bài toán về tập xác định duy nhất cho hàm
phân hình p-adic.

1.1 Một số khái niệm cơ sở
Cho p là một số nguyên tố cố định, Qp là bổ sung đầy đủ của trường
hữu tỉ Q theo chuẩn p-adic. Ký hiệu Qp là bao đóng đại số của Qp . Khác
ˆ là
với trường hợp phức, Q là trường không đầy đủ. Ký hiệu C = Q
p

p

p

bổ sung đầy đủ của bao đóng đại số của Qp . Ta gọi Cp là trường các số
phức p-adic.
Giả sử f là một hàm nguyên trên Cp và b ∈ Cp . Viết f dưới dạng

Nf (r) = Nf (0, r).

Cho l là một số nguyên dương, đặt
1
Nl,f (a, r) =
ln p

ở đây nl,f (a, x) =

r
ρ0

nl,f (a, x)
dx,
x

a
|z|≤x min{ωf (z), l}.

Giả sử k là một số nguyên dương. Định nghĩa hàm ωf≤k từ Cp vào N
bởi

ωf≤k (z)

=


0

nếu ωf0 (z) > k

Nếu a = 0, ta đặt Nf≤k (r) = Nf≤k (0, r).
Đặt
1
≤k
Nl,f
(a, r) =
ln p

r
ρ0

n≤k
l,f (a, x)
x

dx,

ở đây
n≤k
l,f (a, x) =

min{ωf≤k
−a (z), l}.
|z|≤x

Cho một hàm nguyên khác hằng số f (z) trên Cp , được biểu diễn bởi
chuỗi hội tụ.

∞


(r),
1 −af2
Nf≤k (∞, r) = Nf≤k
(r),
2
≤k
≤k
Nl,f
(a, r) = Nl,f
(r),
1 −af2
≤k
≤k
Nl,f
(∞, r) = Nl,f
(r).
2

Tương tự cho hàm phân hình f trên Cp , ta định nghĩa
k
Nf≥k (a, r), Nl,f
(a, r), Nl,f
(a, r).

Ta định nghĩa hàm xấp xỉ của hàm phân hình f bởi
mf (∞, r) = max{0, log |f |r },

Tf (r) = T 1 (r) + O(1),
f

Tf (r) = max log |fi |r + O(1),
1≤i≤2

ở đây O(1) là đại lượng bị chặn không phụ thuộc vào r.
Bổ đề 1.1.3. ([34]) Giả sử f là một hàm phân hình khác hằng số trên
Cp . Khi đó, với mọi số nguyên dương k và r > 0, ta có
|f (k) |r ≤

|f |r
.
rk

Bổ đề 1.1.4. ([34]) Giả sử f là một hàm nguyên khác hằng số trên
Cp . Khi đó, với mọi r > 0, ta có
Tf (r) − Tf (ρ0 ) = Nf (0, r) + O(1),

ở đây 0 < ρ0 < r.
Bổ đề 1.1.5 (Bổ đề đạo hàm Lôgarit). ([34]) Giả sử f là một hàm
phân hình khác hằng số trên Cp . Khi đó, với mọi số nguyên dương k
và r > 0, ta có
m f (k) (∞, r) = O(1).
f

Bổ đề 1.1.6 (Định lý cơ bản thứ nhất). ([34]) Giả sử f là một
hàm phân hình trên Cp . Khi đó, với a ∈ Cp , ta có
Nf (a, r) + mf (a, r) = Tf (r) + O(1).



là một lớp tương đương gồm (n+1)-thành phần các hàm nguyên (f0 , ..., fn )
sao cho f0 , ..., fn không có không điểm chung, ở đây hai (n + 1)-thành
phần (f0 , ..., fn ) và (g0 , ..., gn ) là tương đương nếu tồn tại hằng số c sao
cho fi = cgi với mọi i = 0, ..., n. Ta đồng nhất f với một biểu diễn:
f = (f0 , ..., fn )

Giả sử f : Cp → P n (Cp ) là đường cong chỉnh hình có biểu diễn
f = (f0 , ..., fn )

. Ta định nghĩa hàm đặc trưng của f bởi
Tf (r) = max log |fi |r .
0≤i≤n

Giả sử H là một siêu phẳng của P n (Cp ) xác định bởi phương trình
F = 0 sao cho ảnh của f không chứa trong H . Ta đặt
Nf (H, r) = Nf ◦F (r), Nm,f (H, r) = Nm,f ◦F (r).


16

Định nghĩa 1.1.8. Họ các siêu phẳng phân biệt {H1 , . . . , Hq , q ≥ n+1}
trong không gian xạ ảnh n chiều Pn (Cp ) được gọi là ở vị trí tổng quát
nếu n + 1 siêu phẳng bất kỳ của chúng có giao bằng rỗng.
Định nghĩa 1.1.9. Một đường cong chỉnh hình f : Cp → Pn (Cp ) được
gọi là không suy biến tuyến tính nếu ảnh của f không bị chứa trong
không gian con tuyến tính với số chiều nhỏ hơn n của Pn (Cp ).
Định lý 1.1.10 ([45]). Giả sử H1 , . . . , Hq là q siêu phẳng ở vị trí tổng
quát và f là một đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính
trong Pn (Cp ). Khi đó, ta có

cho g(a)h(a) = 0. Khi đó, số nguyên l tồn tại duy nhất và được gọi là bậc


17

của f tại a, ký hiệu bởi ordaf và để đơn giản, ta đặt µaf = ordaf . Ta cũng
định nghĩa µaf,k = min(k, µaf ). Ta có các tính chất của hàm µaf sau đây.
Bổ đề 1.1.12. Giả sử f và g là các hàm phân hình trên Cp và a ∈ Cp .
Khi đó, ta có
1. µaf +g ≥ min(µaf , µag ),
2. µaf g = µaf + µag ,
3. µaf = µaf − µag ,
g

4. µaf (k) ≥ µaf − k, với k là một số nguyên dương sao cho f (k) ≡ 0.
Chứng minh. Các tính chất (1), (2) và (3) được suy ra trực tiếp từ định
nghĩa. Ta chứng minh tính chất (4). Thật vậy, giả sử f = (x−a)l hh21 , ở đây
h1 , h2 là các hàm nguyên không có không điểm chung và h1 (a)h2 (a) = 0.

Ta có
f = (x − a)l−1

[lh1 + (x − a)h1 ]h2 − (x − a)h1 h2
.
h22

Vì vậy
µaf ≥ l − 1 = µaf − 1.

Bằng quy nạp theo k ta có điều phải chứng minh.

(2) Nếu δ1 + δ2 ≥ k + 1, thì
f (z)g(z) = (z − a)δ1 +δ2 f1 (z)g1 (z).

Ta suy ra µa(f g)(k) = δ1 +δ2 −k . Do g là hàm nguyên p-adic nên δ2 ≥ 0.
Vì vậy
µ(f g)(k) ≥ µaf − k.

Bổ đề 1.1.13 đã được chứng minh.

1.2 Bổ đề Borel trong trường hợp p-adic
Bổ đề Borel trong trường hợp phức được phát biểu dưới dạng đơn
giản như sau.
Định lý 1.2.1. Giả sử f1 , f2 , . . . , fn là các hàm chỉnh hình không có
không điểm trên C sao cho
f1 + f2 + · · · + fn = 0.

Khi đó, các hàm f1 , . . . , fn−1 phụ thuộc tuyến tính.
Bổ đề Borel đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các không
gian hyperbolic. Với các mục đích khác nhau, một số mở rộng của Bổ đề
này đã được đưa ra. Năm 1997, Y. T. Siu và S. K. Yeung đã đưa ra một
mở rộng của Bổ đề Borel như sau.
Bổ đề 1.2.2 ([60]). Giả sử gj (x0 , . . . , xn ) là các đa thức thuần nhất
bậc δj với 0 ≤ j ≤ n. Giả sử rằng tồn tại một đường cong chỉnh hình
f : C → Pn (C) sao cho ảnh của f nằm trong một siêu mặt xác định

bởi

n
k−δj



trong siêu mặt xác định bởi
n
k−δj

xj

gj (x0 , . . . , xn ),

j=0
n
j=0 δj .

và k ≥ (n + 1)(n − 1) +

Khi đó, các hàm sau phụ thuộc tuyến

tính nếu chúng không có không điểm chung:
f1k−δ1 g1 (f0 , . . . , fn ), . . . , fnk−δn gn (f0 , . . . , fn ).

Chứng minh. Từ giả thiết ta có
n
k−δj

fj

gj (f0 , . . . , fn ) = 0.

j=0


1

1 (f0 ,...,fn )

= max{Nf k−δ1 g

(r), . . . , Tfnk−δn gn (f0 ,...,fn ) (r)}

1 (f0 ,...,fn )

1

(0, r), . . . , Nfnk−δn gn (f0 ,...,fn ) (0, r)} + O(1).

Do đó
max{Nf k−δ1 g
1

1 (f0 ,...,fn )

(0, r), . . . , Nfnk−δn gn (f0 ,...,fn ) (0, r)}
n+1

Nn−1 (Hj , r) −

≤
j=1

(n − 1)n
log r + O(1). (1.2.1)

0≤j≤n

≤ (n − 1) max {Nfj (0, r)} + Ngj (f0 ,...,fn ) (0, r) + O(1).
0≤j≤n

Với j = n + 1, ta cũng có
Nn−1 (Hn+1 , r) ≤ (n − 1) max {Nfj (0, r)} + Ng0 (f0 ,...,fn ) (0, r) + O(1).
0≤j≤n

Để đơn giản, ta đặt
max Tfj (r) = Tfj0 (r),

0≤j≤n