➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥
❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠
✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲
◆❣✉②Ô♥ ❱➝♥ ❑❤✉②Õ♥
❚❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥
tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣
▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ ❚♦➳♥ ❤ä❝
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✲ ✷✵✵✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥
❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠
✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲
◆❣✉②Ô♥ ❱➝♥ ❑❤✉②Õ♥
❚❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥
tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣
❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿ ➜➵✐ sè ✈➭ ▲ý t❤✉②Õt sè
▼➲ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✺
▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ ❚♦➳♥ ❤ä❝
◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝✿ ●❙✳❚❙❑❍✳ ❍➭ ❍✉② ❑❤♦➳✐
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✲ ✷✵✵✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
▼ô❝ ❧ô❝
▼ô❝ ❧ô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶
▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷
✶ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ✺
✶✳✶ ❚r➢ê♥❣ ➤Þ♥❤ ❣✐➳✱ tr➢ê♥❣ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶✳✷ ❚❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✱ ➤❛ t❤ø❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼
✶✳✸ ▲ý t❤✉②Õt ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽
✷ ❚❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣ ✶✶
✷✳✶ ❚❐♣ ❦❤➠♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ✈➭ ❝ø♥❣ ❛❢❢✐♥❡ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ➤➷❝
sè ❞➢➡♥❣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶

✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
rr ở rộ ị ý trờ ợ
ữ r ột ế tr trờ số
ủ t ứ ớ ột trị tệt ố r
r sốt K sẽ ột trờ ủ t ớ ột
trị tệt ố r ị t ó ĩ t
ị t ể ộ ủ ọ A

(K) ữ r
tr K ó tể tứ tr trờ t ỳ trờ
ợ ệt ủ r ột ế tr K ó
t ể t ọ r ệ ề
ó ũ ú ớ tứ ột ứ t tý
số ì ọủ ị ý t ssst
rõ r ị ý ũ ú tr trờ số ữ t ó ự
ợ tố ớ n ĩ
ị ý ị ý ủ K ó số p 0 ủ
t ứ ớ ột trị tệt ố A

(K) ọ ữ
r tr K S ột t ó ự ợ
ữ n sử tố ớ p ế p > 0 ó S t ị
t ủ ọ A

(K) ế ỉ ế S ứ
ề ì sẽ r số p ết ự ợ ủ ột t r
rr ột í ụ ề ột t tử ứ
ột t ị t tr trờ số
ì ó t ứ ó ự ợ ũ ó t


S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

ế tứ sở
rờ ị trờ r
ị ĩ p ột số tố ột số p ó tể
ợ t ề ột é ể ễ ó ột ỗ
x = a
0
+ a
1
p + a
2
p
2
+ ..., a
i
Z().
ổ r x
n
= a
0
+a
1
p+a
2
p
2
+...+a
n

n
y
n
}.
ớ é ộ é ị ĩ tr t ó số
p í ệ
p

ị ĩ ố p x = {x
n
} ợ ọ ột ị ủ

p
ũ ọ ị p ế x
0
0 mod p ệt ột số
a ị p ế a 0 mod p
rờ t Q
p
ủ
p
ợ ọ trờ số p ỗ Q
p
ó p
m
u ớ m ột số ó tể u ột ị ủ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

p

ợ ị ĩ ở
v
p
(p
m
u) = m.
ổ qt
ị ĩ ột ị v tr trờ K ột trị tự
tr K \ {0} t
v(xy) = v(x) + v(y), x, y K;
v(x + y) min{v(x), v(y)}, x, y K;
ớ t v(0) = +(v(x) = + x = 0).
ột trờ K ớ ị v ợ ọ trờ ị
ế c ột số tự ớ tì ị v s ột trị tệt
ố tr K tứ
|x| = c
v(x)
.
v = v
p
số c ợ p t t ợ trị tệt ố
p
|x|
p
= p
v
p
(x)
.
ì trị tệt ố p ủ p

ột trờ ớ trị tệt ố r ợ ọ trờ
r
trị tệt ố ợ ọ t tờ í ệ | ã |
0
ế
|x|
0
=

1 : x K \ {0}
0 : x = 0.
õ r ó ột trị tệt ố r tr K K ể
ủ t ứ ớ trị tệt ố
ị t tứ ị t
ị ĩ f ột tứ ột
S ột t tr ề trị ủ f ị ĩ
E(f, S) =

aS
{(z, m) : f(z) = a ớ số ộ m},
t ò ù í ệ E
S
(f) z tr ề ị ủ f
m ột số t ỳ f g ợ ọ S

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ớ số ộ ế E(f, S) = E(g, S)
ột t S ợ ọ t ị t ể ộ ủ ột ọ
F ế ớ f, g F s E(f, S) = E(g, S) tì t ó f g
tờ ét ọ F ỉ ì ì

ó ế f(z
0
) = 0 tì w
z
0
(f) í ệ số ộ
ủ ể t z
0
ế f ó ột ự ể tì w
z
0
(f) í ệ ủ
ự ể ị ĩ
w
+
z
0
(f) = max{0, w
z
0
(f)}.
ớ ỗ r > 0 t ị ĩ ế ủ ể ở
Z(r, f) =

0<|z
0
|<r
w
+
z

0
(f) mod p
u(f)+1
} log
r
|z
0
|
+ min{1, w
+
0
(f) mod p
u(f)+1
} log r.
r trờ số t tờ tí modp
u(f)+1
ớ r
tr trờ số ế t ụt ế ú ể ủ f
ể số ộ ủ ú r trờ số p > 0 ó ũ
ố ó ũ tí ể ó số ộ
ột ộ ủ p
u(f)+1
ũ ét ế ự ể ĩ
N(r, f) = Z(r,
1
f
) N(r,
1
f
) = Z(r,

i
) + N(r, f) − log r + O(1).
❚❛ sÏ ❝❤Ø t❤ù❝ sù ❝➬♥ ➤Þ♥❤ ❧ý tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ f

≡ 0✱ tr♦♥❣ ➤ã u(f) = 0✳
❍Ö qñ❛ ❞➢í✐ ➤➞② tõ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✸ sÏ ❝ò♥❣ r✃t ❝ã Ý❝❤✳
❍Ö q✉➯ ✶✳✸✳✹✳ ❈❤♦ f ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ tr➟♥ K s❛♦ ❝❤♦ f

≡ 0 ✈➭ ❝❤♦
α
1
, ..., α
n
❧➭ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ♣❤➞♥ ❜✐Öt tr♦♥❣ K✳ ❑❤✐ ➤ã
n

j=1
[Z(r, f − α
j
) − Z(r, f − α
j
)] ≤ T (r, f) − log r + O(1).
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚õ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✶✱
n

j=1
Z(r, f − α
j
) = nT (r, f) + O(1),
✈➭ tõ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✸✱


(K) S ể ộ ế
ỉ ế tồ t số c K, c = 0 s P (f) = cP (g)
ứ ế P (f) = cP (g) tì P (f) = 0 ế ỉ ế P (g) = 0
trệt t ớ ù số ộ ó f g rõ r S ể
ộ f g S ể ộ tì P (f)/P (g) ột
tí tr K ó ể ó số ề
ễ s r từ ý tết ị t ó
ũ s từ ị
ú ý ế ột t t ị t ọ
tứ tì ó ũ t ị t ọ
r tr ỉ ét ớ
tứ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn