Tính giới hạn của hàm số
ứng dụng định nghĩa đạo hàm vào tính giới hạn
Giả sử cần tính giới hạn L =
0
lim Q( )
x x
x

có dạng
0
0
.
Phơng pháp: Ta biến đổi giới hạn trên về một trong các dạng sau:
Dạng 1: Ta đợc L =
0
0
0
0
( ) ( )
lim '( )
x x
f x f x
f x
x x


=

.
Dạng 2: Ta đợc L =
0

f x f x
x x f x
g x g x
g x
x x



=


với
0
'( ) 0g x
.
Chú ý: Một số bài toán có dạng vô định ta dùng cách biến đổi nh sau:
Dạng
0. .

( )
( ) ( )
1
( )
f x
f x g x
g x
=
.
Dạng
.

lim
x x
y
mà:


=
0
lim ( ) 1
x x
f x
và

=
0
lim ( )
x x
g x
hoặc

=
0
lim ( )
x x
f x
và

=
0
lim ( ) 0

3 2
lim
1
x
x x
x
→
− −
−
. ( §HQG Hµ Néi - 1998 )
Gi¶i:
§Æt
3
( ) 3 2f x x x= − −
, ta cã:
(1) 0f =
,
= − ⇒ = − =
−
2
3 3 3
'( ) 3 '(1) 3 .
2 2
2 3 2
f x x f
x
Khi ®ã:
1
( ) (1) 3
L=lim '(1)

− − +
− +
3 2
3
1
5 7
1
lim . .
1 1
x
x x
x x
§Æt
3 2
3
( ) 5 7f x x x= − − +
, ta cã
(1) 0f =
;
= − − ⇒ =−
− +
2
2 2 2
3
3 2 11
'( ) '(1) .
12
2 5 3 ( 7)
x x
f x f

L =

+ +
+
0
1 2 1 sin
lim .
3 4 2
x
x x
x
x x
x
Đặt
( ) 1 2 1 sinf x x x= + +
, ta có
(0) 0f =
;
= + =
+
1
'( ) cos '(0) 0.
2 1
f x x f
x
Đặt
( ) 3 4 2g x x x= +
, ta có
(0) 0g =
;

.
Nhận xét: Để tính giới hạn trên bằng phơng pháp thông thờng ta phải làm nh
sau
+ +
+
+ + +
=
+ +
= +

= +
+ + + +

= +
+ + + +
1 2 1 sin
3 4 2
1 2 1 sin 3 4 2
( ):( )
1 2 1 3 4 2
sin
( ):( 1)
2 sin 3
( ) : ( 1)
(1 2 1) ( 3 4 2)
2 sin 3
( ): ( 1).
1 2 1 3 4 2
x x
x x

x
x
x
x x
VÝ dô 4: TÝnh giíi h¹n
K
π
→
= − ≠
a
lim(a )tan , (a 0)
2a
x
x
x
. ( D¹ng
0.∞
)
Gi¶i:
ViÕt l¹i giíi h¹n trªn nh sau:
K
a
a
1 1
lim
cot cot
2a 2a
lim
a a
x

f x
x

π
−
⇒ ='( )
2a
f a
,
π
π
→
−
= =
−
a
cot
2a
lim '( )
a 2a
x
x
f a
x
.
Do ®ã K =
2
a
π
.

x
x
y e x y
x
XÐt
=( ) ln(e + ).
x
f x x
Ta cã:
(0)= 0,f
→ →
−
= = ⇒ = = =
−
0 0
e + 1 ln(e + ) ( ) (0)
'( ) , '(0) 2 lim lim '(0) 2.
e + 0
x x
x
x x
x f x f
f x f f
x x x
Do ®ã L =
2
e
.