www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

TểM TT Lí THUYT V GII NHANH TON 12
Nguyn Chin - Nguyn Hng Quõn
PHặN 1. HM S
S NG BIN NGHCH BIN CA HM S

x1, x 2 K , x 1 x 2 ( K l khoõng hoc on hoc na khoõng).

y f x ng bin trờn K th i lờn t trỏi sang phõi.
f x f x y f x nghch bin trờn K th i xung t trỏi sang phõi.
Chỳ ý: + N u f x 0, x a;b hm s f x ng bi n tr n khoõng a;b .
+ N u f x 0, x a; b hm s f x nghch bi n trờn khoõng a;b .
+ N u f x 0, x a;b hm s f x h ng i trờn khoõng a;b .
+ N u f x ng bi n trờn khoõng a;b f x 0, x a;b .
+ Nu f x nghch bi n trờn khoõng a;b f x 0, x a;b .
1

ai
H

f x1 f x 2

2. Quy tc v cụng thc tớnh ọo hm





iL
ie

C .u

,
v

0






v2
u2
v
u
o hm hm hp: Nu y f u , u u x yx yu .ux .





.c
om
/g

Thng:





1

u . u


1

1
1
2 (x 0)
x
x

1
x
x 0
2 x



oc
0

1

1. nh nghùa





cos u u.sin u

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674



Page | 1

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01



tan x cos1 x

tan u cosu

cot x sin1 x

cot u sin

e e
a a .ln a
ln x x1

e u.e
a u.a .ln a

a

Cụng thc tớnh nhanh o hm hm phõn thc:

a b





a c

x

d f
ax 2 bx c d e
2

dx ex f
dx 2 ex f



e f



2

.


oc
0

2

2

ai
H

2



+ nh nghùa: f x f x





Ta

+ í nghùa c hc: Gia tc tc thi cỷa chuyn ng s f t tọi thi im t 0 l:








f x g x .

.fa




K thỡ hm s f x .g x cỹng ng bin (nghch bin) tr n K. Tớnh chỗt ny cũ th
kh ng ỳng khi cỏc hm s f x , g x kh ng l cỏc hm s dỵng trờn K.
Cho hm s u u x , xỏc nh vi x a;b v u x c;d . Hm s f u x
cỹng xỏc nh vi x a;b .

Nu hm s f x v g x l cỏc hm s dỵng v cựng ng bin (nghch bin) tr n

ce
bo
ok



w

w

w

Quy tc xột tớnh n iu ca hm s.
Giõ s hm s f cũ ọo hm trờn K


cx d
c

hm y khụng xõy ra.





Giõ s y f x ax 3 bx 2 cx d f x 3ax 2 2bx c.



Trỵng hp 2 thỡ h s c khỏc 0 vỡ khi a b c 0 thỡ f x d

1
oc
0



f x 0; x

a 0

0
a 0 .

b 0




iL
ie
u

(ỵng thợng song song hoc trựng vi trýc Ox thỡ kh ng n iu)
* Vi dng toỏn tỡm tham s m hm s c a n iu mt chiu trờn khoõng cũ
di bng l ta giõi nh sau:
Bỵc 1: Tớnh y f x ; m ax 2 bx c.
1

2

s/

*

up

0

a 0

x ; x y 0 cú 2 nghim phõn bit

Ta

Bỵc 2: Hm s n iu trờn


ok

1. nh nghùa
Giõ s hm s f xỏc nh tr n tờp K v x 0 K .



+ x0 l im cc tiu cỷa hm s f nu tn tọi mt khoõng a; b cha x 0 sao cho

a; b K v f x f x , x a;b \ x .
Khi ũ f x ỵc gi l giỏ tr cc tiu cỷa hm s f .

w

.fa

0

0

0

w

a; b K v f x f x , x a;b \ x .

w





cũ ọo hm



nh lớ 1: Giõ s hm s y f x ọt cc tr tọi im x 0 . Khi ũ, nu y f x





ọo hm f x cú th bỡng 0 tọi im x0 nhỵng hm s f kh ng ọt cc tr tọi

ai
H



oc
0

Chỳ ý:

1

tọi im x 0 thỡ f x 0 0.

im x0 .

Hm s cú th ọt cc tr tọi mt im m tọi ũ hm s kh ng cũ ọo hm.

0

iL
ie
u

im x 0 thỡ f ' x0 0 . N u f x 0 tr n khoõng x 0 h; x 0

0

0

s/

0

0

up

Quy tc tỡm cc tr
Quy tc 1:


i 1;2;...

Bc 1: Tỡm tờp xỏc nh. Tỡm f x .




Nu f x 0, f x 0 thỡ hm s





nh lớ 3: Giõ s y f x cú ọo hm cồ p 2 trong khoõng x 0 h; x 0 h vi h 0.


0

f ọt cc ọi tọi x 0 .

0

0

f ọt cc tiu tọi x 0 .

.fa



0

w

w

w



i

ọt cc ọi tọi im x i .

i

ọt cc tiu tọi im xi .

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 4
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MT S DNG TON LIấN QUAN N CC TR HM S
I. CC TR CA HM A THC BC BA:
1. Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu tha món honh cho trc





i to n t ng quat: Cho hm s y f x ; m ax 3 bx 2 cx d. Tỡm tham s m hm
s cú cc ọi, cc tiu tọi x 1, x 2 thúa món iu kin K cho trỵc.

oc


m D1.
2
y B 2 4AC 4b 2 12ac 0
b 3ac 0





c 3: Gi x 1, x 2 l hai nghim cỷa phỵng trỡnh y 0.

hi
D

ai
H



up

s/

Ta


B
2b


Kt lun
Hm s kh ng cũ cc tr.
Hm s cũ hai im cc tr.

b 3ac 0
b 2 3ac 0

ce
bo
ok

2

iu kin hm s cú cc tr cựng du, trỏi du.
Hm s cú 2 cc tr trỏi du
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit trỏi dỗu ac 0.




Hm s cú hai cc tr cựng du

w

w

w

.fa


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


Hàm số có hai cực trð cùng dấu âm

1


 y '  0

B
 phþĄng trình y   0 có hai nghiệm âm phân biệt  S  x 1  x 2    0
A

C
P  x .x 
0
1 2

A
 Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trð x 1, x 2 thỏa mãn:

oc
0

x1    x 2
x1  x 2  


2


 x   x2    0
x .x   x1  x 2    0
 1
 1 2
x  x 2  2
x  x 2  2


 1
 1
Hai căc trð x 1, x 2 thóa mãn   x1  x 2



iL
ie
u



O
nT

 x1   x 2    0  x1.x 2   x1  x 2   2  0

hi



Ta

2


 x   x2    0
x .x   x1  x 2    0
 1
 1 2
x  x 2  2
x  x 2  2


 1
 1

.c
om
/g

2. Tìm điều kiện để đồ thð hàm số có c c điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía,
khác phía so với một đường thẳng
i tri tương đ i giưa 2 điêm vơi đương th ng:



 
 và đþąng thëng  : ax  by  c  0.

w

.fa

Một số trương hơp đ c biêt:
+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 1 phía đối với trục Oy
 hàm số có 2 căc trð cùng dçu
 phþĄng trình y   0 có hai nghiệm phân biệt cùng dçu
+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 2 phía đối với trục Oy
 hàm số có 2 căc trð trái dçu
 phþĄng trình y   0 có hai nghiệm trái dçu
+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 1 phía đối với trục Ox
 phþĄng trình y   0 có hai nghiệm phân biệt và yC Đ .yCT  0
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674

Page | 6
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
c bit:
+ Cỏc im cc tr cỷa th nỡm cựng v phớa trờn i vi trc Ox

y .y 0
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit v C CT
yC yCT 0
Cỏc im cc tr cỷa th nỡm cựng v phớa di i vi trc Ox

1


iL
ie
u

3. Phng trỡnh ng thng qua c c im cc tr

2c 2b 2
y.y
y .y
bc
hoc g x 9ay
hoc g x y
g x
x d
2
3y
9a
9a
3





s/

b 2 3ac
4e 16e 3
vi e
a

a 0
Hm s cũ ỳng mt cc tr v cc tr l cc ọi
.
b 0
a 0
Hm s cú hai cc tiu v mt cc ọi
.
b 0
a 0
Hm s cú mt cc tiu v hai cc ọi
.
b 0

w

w

w

.fa

ce
bo
ok

Hm s cũ ỳng mt cc tr v cc tr l cc tiu



4


Cụng thc tha món ab 0

ai
H

D kin
Tam gi{c ABC vuụng c}n ti A

b 3 8a
b 3 24a
32a 3 (S 0 )2 b 5 0

hi
D

Tam gi{c ABC u
Tam gi{c ABC cú din tớch S ABC S 0
Tam gi{c ABC cú din tớch max (S 0 )

Ta

Tam gi{c ABC cú b{n kớnh ng trũn ngoi tip

Tam gi{c ABC cú d|i AB AC n0

ro

.c
om




th hm s C : y ax 4 bx 2 c cớt trýc Ox tọi

w

b 3 8a

b 2 4ac
b(8a b 3 ) 0

Tam gi{c ABC cú trng t}m O
Tam gi{c ABC cú trc t}m O

w

R

16a 2n02 b 4 8ab 0

Tam gi{c ABC cú cc tr B,C Ox
Tam gi{c ABC cú 3 gúc nhn

4 im phồn bit lờp thnh cỗp s cng
nh tham s hỡnh phợng gii họn bi th
4


b3

32a 3

O
nT

S0

Tam gi{c ABC cú b{n kớnh ng trũn ni tip

C : y ax

C

1

x

B

oc
0

Tng quỏt:



b 3
cot

2

2
Phỵng trỡnh ỵng trủn ngoọi tip ABC : x y

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 8
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

GI TR LN NHầT - GI TR NH NHầT
I. nh nghùa.



Cho hm s y f x xỏc nh trờn tờp D.

f (x ) M , x D
x 0 D, f (x 0 ) M



Kớ hiu: M max f ( x) .
xD

oc
0



* Tỡm GTLN, GTNN ca hm s bng cỏch khõo sỏt trc tip

iL
ie
u

kh ng cũ ọo hm.
+ Bc 2: Lờp bõng bin thi n v ri suy ra giỏ tr ln nhỗt, giỏ tr nhú nhỗt cỷa hm s.
* Tỡm GTLN, GTNN ca hm s tr n mt oọn
Bc 1:



Hm s ó cho y f x xỏc nh v liờn týc tr n oọn a;b .







s/



Ta

Tỡm cỏc im x1, x 2,..., x n trờn khoõng a;b , tọi ũ f x 0 hoc f x
kh ng xỏc nh.


n

2

* Tỡm GTLN, GTNN ca hm s tr n mt hoõng
Bc 1: Tớnh ọo hm f (x ) .
Tỡm tỗt cõ cỏc nghim x i (a;b) cỷa phỵng trỡnh

ce
bo
ok

Bc 2:

f (x ) 0 v tỗt cõ cỏc im i (a;b) lm cho f (x ) kh ng xỏc nh.
Bc 3. Tớnh A lim f (x ) , B lim f (x ) , f (x i ) , f (i ) .
x a

x b

So sỏnh cỏc giỏ tr tớnh ỵc v kt luờn M max f (x ) , m min f (x ) .
(a ;b )

.fa

Bc 4.

(a ;b )

w


Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

1

S M gi l giỏ tr ln nht cỷa hm s y f x trờn D nu:

Page | 9

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

NG TIM CN CA TH HM S
1. ng tim cn ngang
Cho hm s y f (x ) xỏc nh trờn mt khoõng vụ họn (l khoõng dọng

a; , ;b





hoc ; ). ỵng thợng y y0 l ỵng tim cn ngang (hay tim

cờn ngang) cỷa th hm s y f (x ) nu ớt nhỗt mt trong cỏc iu kin sau thúa món:

lim f (x ) y0, lim f (x ) y0


D

x x 0

ai
H

th hm s y f ( x) nu ớt nhỗt mt trong cỏc iu kin sau ỵc thúa món:

oc
0

2. ng tim cn ng
ỵng thợng x x 0 ỵc gi l ỵng tim cn ng (hay tim cờn ng) cỷa

iL
ie
u

KHO ST S BIN THIấN V V TH HM S
1. S hõo sỏt hm s



s/

Tỡm tp xỏc nh ca hm s.
S bin thi n
Chiu bin thi n.
i. Tớnh y ' .


w

w

.fa



.c
om
/g

xỏc nh.
iii. Xột dỗu y ' v suy ra cỏc khoõng bin thi n cỷa hm s.



Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 10
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1

x


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2. KHÂO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ PHÅN THỨC:

x

y

y

nghiệm kép

ai
H

/
Phương trình y  0 có

oc
0

1

O

1

1

O

iL
ie
u


O

Phương trình y /  0 vô

hi
D

1

1

.c
om
/g

ro

O

x

b) HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y  ax 4  bx 2  c
TRƯỜNG HỢP

Phương trình y  0 có

ce
bo
ok


Page | 11

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

O

1
x


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phng trỡnh y / 0 cú

y

y

1 nghim.
1
1
1

O

x

1

O

1

x







up

khi x 0

ro

Ta cú



f x
y f x
f x



T th C : y f x suy ra th C : y f x .

khi x 0




+ Bú phổn th bờn trỏi Oy cỷa C , lỗy i xng phổn th c gi qua Oy.



suy ra th C : y x 3 x .
Bin i C :
+ Bú phổn th cỷa C bờn trỏi
Oy, gi nguyờn C bờn phõi Oy.

Vớ d: T th C : y f x x 3 3x

y

C : y x

2

3

.fa

w

x

-2

C : y x


Page | 12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

3

3x


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

 



 
f x   0
f x   0

 

Däng 2:

Tÿ đồ thð C : y  f x suy ra đồ thð C  : y  f x .

Nội dung:

Ta có:

 

C  : y  x

2

suy ra đồ thð y  x  3x .
3

1

 

x

hi
D

  dþĆi

+ Bó phæn đồ thð cûa C

O

-2

Ox , giĂ nguyên C phía trên Ox.
y

+ Lçy đối xĀng phæn đồ thð bð bó
qua Ox .



-1

3

ai
H

 

Ví dụ: Tÿ đồ thð C : y  f x  x3  3x

oc
0

+ Bó phæn đồ thð phía dþĆi Ox cûa (C), lçy đối xứng phæn đồ thð bð bỏ qua Ox.

  ta læn lþợt biến đổi 2 đồ thð y  f  x  và y  f x 

Ví dụ: Tÿ đồ thð

3

 3x suy ra đồ thð

 

3

y


O

1

ce
bo
ok

3

3

.c
om
/g

y  x  3 x . Biến đổi C để đþợc đồ

3

3x .

 
  
 
 

khi u x   0
u x  .v x   f x 




khi x 1
khi x 1

th (C):
+ Gi nguy n (C) vi x 1 .
+ Bú (C) vi x 1 . Lỗy i xng phn
th ú qua Ox.

x 1

x


y
x 1
x 1 x

x 1


khi x ;1

khi x 1;

x

th (C):

O
nT

(C')

x

1





ra th C : y

x
suy
x 1

oc
0





f x
y x 1 2x 2 x 1
f x


O

Ta

1

Nhờn xột: i vi hm phồn thc thỡ n n
ly i xng cỏc ng tim cn thc
hin phộp suy th mt cỏch tỵng i
chớnh xỏc.

.c
om
/g

ro

up

Nhờn xột: Trong quỏ trỡnh thc hin phộp
suy th n n ly i xng cỏc im c
it cỷa (C): giao im vi Ox, Oy, C, CT

s/

(C)

x

TIP TUYN


0

0

.fa

0

/

w

/

w

y

w

TNG GIAO TH
y0

Cho hm s y f (x ) cũ th (C 1 ) v y g(x ) cũ th (C2 ) .
Phỵng trỡnh honh giao im cỷa (C 1 ) v (C2 )



x0 O

Xột h ỵng cong (C m ) cũ phỵng trỡnh y f (x, m) , trong ũ f l hm a thc theo

hi
D

1.

ai
H

IM C BIT CA H NG CONG

oc
0

im M x0 ; y0 l giao im cỷa (C 1 ) v (C 2 ) .

O
nT

bin x vi m l tham s sao cho bờc cỷa m khụng quỏ 2. Tỡm nhng im c nh thuc h
ỵng cong khi m thay i?
Phng phỏp giõi:
+ Bc 1: ỵa phỵng trỡnh y f ( x, m) v dọng phỵng trỡnh

iL
ie
u

theo ốn m cũ dọng sau: Am B 0 hoc Am2 Bm C 0 .


.fa

ce
bo
ok

cũ ta nguy n cỷa ỵng cong?
Nhng im cũ ta nguyờn l nhng im sao cho cõ honh v tung ca
im ũ u l s nguyờn.
Phng phỏp giõi:
+ Bc 1: Thc hin phộp chia a thc chia t s cho mộu s.
+ Bc 2: Lờp luờn giõi bi toỏn.
3. Bi toỏn tỡm im cũ tớnh chỗt i xng:
Cho ỵng cong (C ) cũ phỵng trỡnh y f (x ) . Tỡm nhng im i xng nhau qua mt

w

im, qua ỵng thợng.





w

w

Bi toỏn 1: Cho th C : y Ax 3 Bx 2 Cx D trờn th C




Giõi h phỵng trỡnh tỡm ỵc a, b t ũ tỡm ỵc toọ M, N.











tỡm

l hai im tr n

C

Trng hp c bit : Cho th C : y Ax 3 Bx 2 Cx D . Trờn th C
nhng cp im i xng nhau qua gc ta .
Phng phỏp giõi:





Gi M a, Aa 3 Ba 2 Ca D , N b, Ab 3 Bb 2 Cb D



0


Giõi h phỵng trỡnh tỡm ỵc a, b t ũ tỡm ỵc toọ M , N .















i xng nhau qua ng thng d : y A1x B1 .
Phng phỏp giõi:







xng nhau qua ỵng thợng d .


ax b
tip tuyn tọi M cớt TC, TCN A v B thỡ M l trung
cx d

Din tớch tam giỏc IAB kh ng i: SIAB


x

.

+ Cho hm phồn thc: y
im cỷa AB.

AB

v ỵng thợng d : Ax By C 0 , thỡ khoõng cỏch t M n d l

ce
bo
ok

h M ;d





.c

l hai im tr n

I d
(1)
(vi I l trung im cỷa MN v u d l vect chợ phỵng
MN .u d 0 (2)
cỷa ỵng thợng d ). Giõi h phỵng trỡnh tỡm ỵc M, N.
Ta cú:



4.



iL
ie
u

Gi M a; Aa3 Ba2 Ca D , N b; Ab3 Bb2 Cb D

tỡm nhng cp im

O
nT

Bi toỏn 3: Cho th C : y Ax 3 Bx 2 Cx D trờn th C

hi
D


cỷa tim cờn ng. N n gi hai s , l hai s dỵng.
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 16
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1



oc
0

+ Ta cú


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

d
d
d
x A ; yA f (x A ) .
c
c
c
d
d
d
Nu B thuc nhỏnh phõi: x B x B ; yB f (x B ) .

yA



2





2

a a yB yA .





cũ phng trỡnh y f (x ) . Tỡm ta im M

thuc (C ) tng khoõng cỏch t M n hai trc ta nhú nht.
Phng phỏp giõi:




Gi M x ; y v tng khoõng cỏch t M n hai trýc ta l d thỡ d x y .

ai
H

y kx
(C )

th
hm
s
y kx

Cho

up

4:

cũ

phng

trỡnh

ax b
c 0, ad bc 0 . Tỡm ta im M trờn (C ) sao cho di MI ngn
cx d

ro

y f ( x)

toỏn




d
a
; tim cờn ngang y .
c
c
d a
; cỷa hai tim cờn.
Ta tỡm ỵc ta giao im I
c c
Tim cờn ng x

ce
bo
ok



.c
om
/g

nht (vi I l giao im hai tim cn).
Phng phỏp giõi:


Bi toỏn 5: Cho th hm s (C ) cũ phng trỡnh y f (x ) v ng thng

w


1



oc
0




www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

PHặN II. M V LOGARIT
LY THA V HM S LY THA.

oc
0

1

1. KHI NIM LY THA.
Ly tha vi s m nguyờn.
Cho n l mt s nguy n dỵng.
Vi a l s thc tựy ý, lỹy tha bờc n cỷa a l tớch cỷa n tha s a .
a n a.a......a ( n tha s).
n

Vi a 0.


b
b
ba


Nu a 1 thỡ a a ;

Ta

a a a ;

O
nT

+ Mt s tớnh cht ca ly tha
Giõ thuyt rỡng mi biu thc ỵc xột u cũ nghùa:

ai
H

1
an

hi
D

a n

+ Vi b 0 , phỵng trỡnh cũ hai nghim trỏi dỗu, kớ hiu giỏ tr dỵng l

giỏ tr õm l b .

.fa

n

w

Mt s tớnh chỗt ca cn bc n

w

w

Vi a,b ;n
+

+

2n

2n

+ 2n

*

, ta cú:

2n

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

+ 2n 1

a

b

2n 1

a

2n 1

b

a, b 0 .

Page | 18
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

n

b , cũn


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
+

0

1

2. HÀM SỐ LŨY THỪA.
 Khái niệm.

Hàm số y  x , vĆi  

, đþợc gọi là hàm số lüy thÿa.

Chú ý.

.

 VĆi  nguyên âm hoðc bìng 0 , têp xác đðnh là



\0 .

O
nT

 VĆi  nguy n dþĄng, têp xác đðnh là

hi
D



2. Să biến thiên

x  0.

.c
om
/g

 1

GiĆi hän đðc biệt:


lim x  0,

x 0



lim x  .

x 

ce
bo
ok

Tiệm cên: không có.
3. Bâng biến thiên.


Oy là tiệm cên đĀng.
3. Bâng biến thiên.

x
y’
y



0




0
0

w

w

w

.fa

y  x  ,   0.

1. Têp xác đðnh: 0;  .

up

D

ai
H

oc
0

1

Đồ thð của hàm số.

 

 a  0, a  1 .

 Khâo sát hàm số mü y  ax ,





y  ax ,  a  1

iL
ie
u

y  ax , a  1



y



up

lim a  .

x 

ro

lim a  0,

s/

GiĆi hän đðc biệt:
x 

.

Ta

1. Têp xác đðnh: .
2. Să biến thiên.

x

O




1

a
0

Đồ thð nhþ hình sau.

w

w

w

.fa

Đồ thð nhþ hình sau.

1



y'

a

1




a .b a



a . b



a

b



a



1

a









loga b loga c loga bc

a ,
a a
a b log b
a

1

iL
ie
u



a.b

a
,b 0
b




, 0 a 1

a






1



log a b .log a b, a, b 0, a 1



a



a

log a a




a

hi
D

a

ai

1
.
logb a

a

ce
bo
ok

2. BầT PHNG TRèNH M V LOGARIT.
Bt phng trỡnh m c bn.
x
x
x
Bỗt phỵng trỡnh mỹ c bõn cú dọng a x b (hoc a b, a b, a b ) vi a 0, a 1.

Ta xột bỗt phỵng trỡnh cũ dọng a x b.
Nu b 0 , tờp nghim cỷa bỗt phỵng trỡnh l

x
, vỡ a b, x . .

.fa

Nu b 0 thỡ bỗt phỵng trỡnh tỵng ỵng vi a x a

loga b

.


Ta

iL
ie
u

O
nT

hi
D

 VĆi 0  a  1 , ta cò đồ thð

s/

 Bất phương trình logarit cơ bản.
Bçt phþĄng trình logarit cĄ bân có däng log a x  b (hoðc log a x  b,log a x  b,log a x  b )

ro

Xét bçt phþĄng trình loga x  b.

up

vĆi a  0, a  1.

.c
om

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

BI TON LI SUầT NGN HNG



Sn A nAr A 1 nr



n

r%

A

Sn

n

A

hi
D
O
nT


H

oc
0

2. Lói kộp: tin lói cỷa kỡ họn trỵc nu ngỵi gi kh ng rỳt ra thỡ ỵc tớnh vo vn
tớnh lói cho kỡ họn sau.
a) C ng thc tớnh: Khỏch hng gi vo ngồn hng A ng vi lói kộp r% /kỡ họn thỡ s
tin khỏch hng nhờn ỵc cõ vn lộn lói sau n kỡ họn ( n * ) l:

1

1. Lói n: l s tin lói chợ tớnh trờn s tin gc m khụng tớnh trờn s tin lói do s tin
gc sinh ra, tc l tin lói cỷa kỡ họn trỵc kh ng ỵc tớnh vo vn tớnh lói cho kỡ họn
k tip, cho dự n kỡ họn ngỵi gi kh ng n gi tin ra.
a) C ng thc tớnh: Khỏch hng gi vo ngồn hng A ng vi lói n r% /kỡ họn thỡ s
tin khỏch hng nhờn ỵc cõ vn lộn lói sau n kỡ họn ( n * ) l:

ro

up

s/

Ta

3. Tin gi hng thỏng: Mi thỏng gi ỳng cựng mt s tin vo 1 thi gian c nh.
a) C ng thc tớnh: ổu mi thỏng khỏch hng gi vo ngồn hng s tin A ng vi lói
kộp r% /thỏng thỡ s tin khỏch hng nhờn ỵc cõ vn lộn lói sau n thỏng ( n * ) (
nhờn tin cui thỏng, khi ngồn hng ó tớnh lói) l S n .

r

S .r

n
n log1r
1
A 1r






Sn .r

1 r 1 r

n

1


w

w

w

.fa



n

r
Sn
n

1r 1





5. Vay vn trõ gũp: Vay ngồn hng s tin l A ng vi lói suỗt r% /thỏng. Sau ỳng mt
thỏng k t ngy vay, bớt ổu hon n; hai lổn hon n cỏch nhau ỳng mt thỏng, mi
hon n s tin l X ng v trõ ht tin n sau ỳng n thỏng.
a) C ng thc tớnh: Cỏch tớnh s tin củn lọi sau n thỏng ging hon ton c ng thc tớnh
gi ngồn hng v rỳt tin hng thỏng n n ta cũ
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 23

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1 r
X

A 1r

1 r

n



n

0

1

r

.r

oc
0



A 1r

n

1

hi




,m n



Ta

Trong ũ:

r

iL
ie
u

7. Bi toỏn tng trng dồn s:
C ng thc tớnh tởng trỵng dồn s

1

s/

r % l tợ l tởng dồn s t nởm n n nởm m
X m dồn s nởm m

up

X n dồn s nởm n

n



A 1r

lói v lói suỗt mi kỡ họn l



n

. Giõ s ta chia mi nởm thnh m kỡ họn tớnh

r
% thỡ s tin thu ỵc sau n nởm l:
m
m .n

.fa


r
Sn A 1
m

Khi tởng s kỡ họn cỷa mi nởm l n v cc, tc l m , gi l hỡnh thc lói kộp ti n

S Ae n .r ( c ng thc tởng trỵng mỹ)



nu F ' x f x

trờn K thỡ vi mi hỡng s C , hm s
G x F x C cỹng l mt nguy n hm cỷa f x trờn K .
2) Nu F x l mt nguy n hm cỷa hm s f x trờn K thỡ mi nguy n hm cỷa
f x trờn K u cũ dọng F x C , vi C l mt hỡng s.
Do ũ F x C ,C l h tỗt cõ cỏc nguy n hm cỷa f x trờn K .
l mt nguy n hm cỷa f x

2. Tớnh chỗt ca nguy n hm

f x dx f x v f ' x dx f x C ; d f x dx f x dx

Nu F(x) cũ ọo hm thỡ:

d F(x ) F(x ) C

Ta



iL
ie
u

O
nT

hi

/g

f (x )dx F(x ) C

ro

Cụng thc i bin s: Cho y f u v u g x .
Nu

F (u) C

3. S tn tọi ca nguy n hm



nh lớ: Mi hm s f x li n týc tr n K u cũ nguy n hm trờn K .

ce
bo
ok

Bõng nguy n hm cỏc hm s thng gp
2. dx x C

1. 0dx C
3. x dx
1

.fa


6. e xdx e x C
7. a xdx

ax
C
ln a





1

1 ax b
16. ax b dx

a 1


c , 1

3x 2 x 3 x
dx

x
dx
1
ln ax b c
18.
ax b a